Физика повседневности. От мыльных пузырей до квантовых технологий

Капающий кран

Оставим мыльные пузыри и вернемся к каплям, а точнее – ко всем знакомой ситуации: неплотно закрытый кухонный кран подтекает, роняя капли через регулярные промежутки времени (илл. 11). Их падение происходит очень быстро, и мы невооруженным глазом не можем различить детали – они доступны только высокоскоростной камере. Однако, и не имея такой камеры, бельгийский физик Жозеф Плато (1801–1883) в XIX веке сумел подробно проанализировать форму этих капель. Опытный экспериментатор решил устранить действие силы тяжести – тогда падающие капли будут двигаться достаточно медленно и за ними можно будет проследить невооруженным глазом. Вместо того чтобы ронять капли воды в воздухе, он использовал другую, не смешиваемую с водой, жидкость с плотностью, близкой к плотности воды (см. главу 6, врезку «Два эксперимента по следам Плато»). В этом случае действующая на капли выталкивающая сила Архимеда (глава 15) почти полностью компенсирует их вес. И все происходит так, как будто капли освободились от действия гравитации.

11. Неплотно закрытый кран подтекает. Динамика образования капель сложна. Ее детально изучали в 1990-х годах

Таким образом, Плато смог наблюдать образование капель на выходе из крана. Оказалось, что между формирующейся каплей и краном образуется жидкая нить, которая постепенно становится все тоньше, и утончается до тех пор, пока капля не отделится. Интересно, что при этом на нити образуется сопроводительная вторичная капля, видимая, например, на последней фотографии на илл. 3. Этот «спутник», систематически возникающий при образовании капель, стал открытием Плато. Опишем еще одну его находку.

При вытекании из крана тонкой струи видно, что она остается непрерывной и цилиндрической только в верхней части. Ниже струя теряет свою регулярную форму, и человеческий глаз не в состоянии различить, что с ней происходит далее (см. главу 6, врезку «Два эксперимента по следам Плато»). Но мы можем догадаться. Цилиндрическая форма соответствует относительно большой поверхностной энергии струи. Следовательно, в целях минимизации своей поверхностной энергии струя рассыпается на множество небольших капель (илл. 11). Цилиндрическая струя оказывается неустойчивой! Это явление называется «неустойчивость Рэлея – Плато», поскольку его теория была разработана лордом Рэлеем (см. главу 3, «Цвет неба в хорошую погоду»).

Кривизна, средняя кривизна, цепочка и катеноид

В каждой своей точке кривая (при определенных условиях непрерывности, дифференцируемости и т. д.) характеризуется радиусом кривизны R. Последний определяется как радиус окружности, наилучшим образом приближающей эту кривую в выбранной точке. Соответственно, в каждой точке кривой можно определить и величину ее кривизны γ = 1/R.

В свою очередь, поверхность в любой точке A (см. илл.) характеризуется двумя радиусами кривизны: R₁ и R₂. Они соответствуют минимальным и максимальным значениям радиуса кривизны при сечении поверхности в этой точке плоскостью, проходящей через нормаль. Радиус кривизны считается положительным, если кривая в сечении выпуклая, и отрицательным, если она вогнутая (на рисунке R₂ < 0 и R₁ > 0). Среднюю кривизну γ определяют посредством отношения 2γ = 1/R₁ + 1/R₂.

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы поверхность была минимальной, оказывается требование, чтобы ее средняя кривизна в любой точке поверхности была равной нулю, то есть два основных радиуса кривизны должны быть равными по модулю, но иметь противоположные знаки.

Существует большое разнообразие минимальных поверхностей. Однако особую роль среди них занимают катеноиды. Читатель, обладающий некоторыми знаниями о дифференциальном исчислении, без особого труда докажет, что уравнение цепной линии определяется выражением y = αch (kx). Вращение цепной линии вокруг оси x порождает катеноид, который имеет нулевую среднюю кривизну. Можно также доказать, что именно эта поверхность соответствует устойчивой форме мыльной пленки, заключенной между двумя параллельными кольцами, при условии что они находятся достаточно близко друг к другу (илл. 10). Если же их развести достаточно далеко, то катеноид лопнет и останется два диска внутри колец.

Если же давление по обе стороны мыльной пленки оказывается разным, то она образует поверхности со средней кривизной, равной во всех точках, но отличной от нуля. Скажем, таковы мыльные пузыри, возникшие на проволочной раме и удерживающие воздух. Простым примером такой поверхности является замкнутый двумя сферическими «шапками» цилиндрический пузырь (илл. 9): его средняя кривизна γ везде равна 1/(2R), где R – радиус колец.

Геометрия минимальной поверхности (форма мыльной пленки, находящейся под равными давлениями со всех сторон). В любой точке A такой поверхности лежащие на ней кривые либо вогнуты (красная кривая), либо выпуклы (зеленая кривая). Красная кривая соответствует минимальной кривизне линии, уходящей вверх (вогнутой), а зеленая – минимальной кривизне линии, загибающейся вниз (выпуклой). Для минимальной поверхности обе кривизны 1/R₁ и 1/R₂ должны быть равны по модулю

Распаду струи предшествует появление выпуклостей и сужений, которые увеличиваются вплоть до отделения капель. Сверхбыстрая фотосъемка показывает, что между двумя каплями нормального размера образуется небольшая капля, подобная уже известному нам «шарику Плато». Действительно, прежде чем отделиться, большие капли разделяются длинным и тонким цилиндром, который после окончательного отделения капель и образует «шарик Плато». Поведение струи во времени оказывается довольно сложным. Капли становятся то удлиненными, то сплющенными, проходя промежуточную сферическую форму. Эти колебания можно изучать либо с помощью метода скоростной фотосъемки, либо куда более давним, изобретенным Плато методом стробоскопии, при котором движущийся объект освещается периодически, однако лишь в течение кратких мгновений.

Физики-музыканты

Первые наблюдения за распадом струи жидкости под влиянием звука были выполнены французским физиком Феликсом Саваром (1791–1841), чьим именем впоследствии была названа единица измерения, используемая для оценки высоты музыкальных нот. Ученый заметил, что возбуждение вблизи струи музыкального звука подходящей частоты усиливает ее фрагментацию: цилиндрическая часть струи практически исчезает, она начинает делиться на капли с самого верха. Согласно Савару, будущие капли начинают формироваться в струе уже сразу после ее выхода из крана. Поначалу это простые выпуклости, становящиеся все более и более выраженными по мере падения жидкости до точки, где они полностью разделяются. Эти близкие друг к другу выпуклости (илл. 12) производят слабый, но четко определенной частоты звук. Ученый предположил, что музыкальная нота, звучащая в унисон с этими колебаниями, оказывает особое влияние на струю и разрывает ее на вереницу капель!

12. Тонкая цилиндрическая струя воды, чтобы минимизировать свою поверхностную энергию, распадается на капли (a). При определенных условиях между каждой парой больших капель возникает небольшая капелька (так называемый спутник Плато). Из-за деформации в момент отрыва капля падает колеблясь (b)

Британский физик Джон Тиндаль (1820–1893) продолжил опыты Савара с прозрачной цилиндрической струей 27-метровой высоты – такая струя под воздействием звука органной трубы становилась мутной и распадалась на множество капель. Тиндаль лил воду в широкий сосуд, располагая его на разной высоте, выше или ниже точки, в которой струя мутнела. Вот что он обнаружил: «Когда нисходящая струя пересекает поверхность жидкости выше “точки перерыва”, причем давление не слишком сильно, то она входит в нее молча; но когда эта поверхность пересекается со струей ниже точки перерыва, то слышится журчание и появляется множество пузырьков».

Два эксперимента по следам Плато

Приглашаем вас, дорогие читатели, провести два эксперимента на вашей кухне (необязательно доводя их до совершенства, как Плато; см. главу 6, «Капающий кран»).

Опыт 1

Устранение действия гравитации на капли

Наполните маслом узкий стакан высотой не менее 10 см, затем влейте в него с помощью пипетки или коктейльной соломинки спирт, смешанный с водой (не менее 70 % спирта), предварительно его подкрасив. Маленьким каплям потребуется несколько секунд, чтобы достичь дна, более крупным – чуть меньше секунды, но вам хватит времени, чтобы проследить за ними. Как заметил Плато, вы получите довольно большие капли (диаметром около сантиметра) сферической формы, в то время как капли воды того же размера в воздухе оказались бы сильно деформированными силой тяжести. Это и неудивительно: если ввести характеризующую такие капли капиллярную длину, определяемую формулой (1), то в знаменателе последней для капли, пребывающей в масле, следует заменить плотность воды на разницу плотностей спиртового раствора и масла. Понятно, что такая капиллярная длина окажется намного больше, чем вычисленная для воды. Кроме того, вы можете оценить и скорость падения капель. Сравните ее с величиной, полученной по формуле Стокса, о которой мы поговорим в главе 15, «Движение пузырьков и турбулентность».

Опыт 2

 

Демонстрация неустойчивости Рэлея – Плато

Медленно, как можно более плавно откройте кран. Из него начнут падать капли. Откройте его чуть сильнее, так, чтобы получить очень тонкую и непрерывную струю воды. Для того чтобы продемонстрировать распад струи из-за неустойчивости Рэлея – Плато, возьмите одну из пластиковых карт, которые в таком количестве вторглись в современную жизнь, и вставьте ее в струю воды на достаточном расстоянии от крана. При этом вы услышите звук падающих капель, а ваши пальцы, держащие карту, почувствуют легкое дрожание! Эти явления исчезнут, если подставить карту под верхнюю часть струи (см. илл.).

Цилиндрическая струя воды через несколько сантиметров от истока распадается на капли

Это подтолкнуло американского изобретателя Александра Белла (1847–1922) к созданию водного микрофона (илл. 13). Его струя была намного меньше 27 м в высоту и падала на резиновую мембрану вместо поверхности жидкости. Мембрана была натянута в верхней части трубки, в которую была вставлена другая трубка в виде воронки. В соответствии с экспериментами Тиндаля, нижняя часть струи воды делилась на капли и при достижении мембраны производила звук. Благодаря резонатору, которым являлись трубка и воронка, стук капель усиливался. Камертон, вибрировавший рядом с тонкой струей воды, вызывал головокружительный «капельный хор»; звук поднесенных к струе часов становился слышным во всей комнате. В конце XIX века немецкий популяризатор науки Донат утверждал, что он пробовал использовать такое устройство для передачи своего голоса. Струя действительно «заговорила», но так нечетко и столь хриплым и неприятным голосом, что все помощники ученого разбежались.

13. Водный микрофон Александра Белла

Водный микрофон не самое известное изобретение Александра Белла, прославившегося созданием телефона. Впрочем, следует заметить, что авторство на изобретение телефона ему, по-видимому, следует разделить с Элишей Греем (1835–1901) и Антонио Меуччи (1808–1889). Через много лет после конфликта из-за патента на это изобретение потомкам осталось известно преимущественно имя Белла.

Глава 7

Климат: почему лето становится жарче?

С течением времени на Земле установился климат, благоприятствующий для зарождения и дальнейшего существования жизни. Это заслуга и согревающего ее своими лучами Cолнца, и естественного парникового эффекта, и сложного динамического равновесия между океанами и атмосферой. В этой главе мы рассмотрим основные физические механизмы поддержания на земной поверхности температур, комфортных для человеческого организма. Однако производственная деятельность человека приобрела такие масштабы, что она уже не проходит бесследно для природы…

Какая погода устанавливается в той или иной точке Земли, определяется главным образом протеканием разнообразных физических явлений, хотя на ее формирование оказывают свое действие также химические и биологические процессы. Для предсказания погоды на ближайшие дни метеорологи применяют соответствующие законы физики. И, как нам хорошо известно, порой они ошибаются! Как же так, ведь они располагают уравнениями, которые, казалось бы, должны позволять предсказывать будущее, если хорошо известно «настоящее»? Дело, оказывается, в том, что «настоящее» никогда не известно в полном объеме, и сложнейшие уравнения, описывающие состояние атмосферы, решаются только приблизительно, с большей или меньшей точностью. При этом они оказываются крайне чувствительными к малейшей ошибке в начальных данных. Часто говорят (преувеличивая), что один взмах крыла чайки, изменяя совсем чуть-чуть состояние атмосферы, может повлечь радикальное изменение погодных условий и, например, стать косвенной причиной бури на другом краю света… Такая крайняя чувствительность к погрешностям в измерении начальных условий в метеорологии называется детерминистическим хаосом.

1. Пять циклов ледниковых и межледниковых периодов сменили друг друга на протяжении последних 450 000 лет. Эти циклы тесно связаны с орбитальными параметрами Земли; интервал между двумя периодами таяния льдов составляет приблизительно 100 000 лет

2. Спектры излучения (вверху) и поглощения (внизу) паров ртути, полученные путем пропускания излучаемого ими света через призму. Как и каждая из порождающих радугу капель воды, призма преломляет падающее на нее излучение. Показатель преломления света зависит от длины его волны (см. главу 2, «Отражение и преломление световых волн»). Спектр излучения, испускаемого возбужденным (например, нагретым) одноатомным газом, состоит из дискретного набора линий (линейный спектр). Изучая его, ученые судят о химической природе конкретного вещества

Задача климатолога в некотором смысле кажется более простой, чем задача метеоролога. Если климатолог делает прогнозы, то они должны быть применимы для довольно обширных регионов и в течение длительных периодов времени. Так, в климатологии делаются прогнозы климата, который установится и через 50, и через 100 лет. Выходит, на климат детерминистический хаос не оказывает влияния? Едва ли. Однако не хаос является главным противником климатолога – прежде всего он должен учитывать сложные, разнообразные и взаимозависимые физические явления, формирующие климат. Эти явления происходят в различных – вплоть до космических – масштабах, в очень разных временны́х интервалах (они могут длиться дни, месяцы, века, тысячелетия – см. илл. 1). Те или иные существенные для формирования климата процессы могут протекать на любых высотах атмосферы, на любой глубине морей и т. д.

3. Физик Николя Леонар Сади Карно (1796–1832) в форме Политехнической школы. Из семьи Карно вышло много известных людей: Лазар Карно (1753–1823) – военный министр времен Первой Республики, математик; его внук, Мари-Франсуа Сади Карно – президент Франции в 1887–1894 годах; брат последнего – химик Мари-Адольф Карно (1839–1920), в честь которого назван минерал карнотит

Радиационный баланс Земли

В климатологии температура оказывается наиболее просто прогнозируемой физической величиной. Температура Земли зависит в первую очередь от тепла, которое она получает от Солнца и которое приводит в движение все механизмы формирования климата. Это тепло до нас доходит в виде электромагнитного излучения, частóты которого в основном находятся в видимой области спектра (см. илл. в главе 3, врезке «Цветовое зрение»). Часть этого тепла Земля, излучая, в свою очередь, электромагнитные волны, возвращает обратно в космическое пространство. Однако ввиду того, что температура Земли гораздо ниже температуры Солнца, частóты излучаемых ею электромагнитных волн оказываются гораздо меньшими. Это – инфракрасное – излучение человек без специальных приборов не видит, и жить оно ему никак не мешает.

Поскольку электромагнитное излучение играет важную роль в нашем рассказе, то, прежде чем углубиться в исследования климата, давайте обсудим его свойства.

От спектров атомов до спектра абсолютно черного тела

Все нагретые тела излучают электромагнитные волны. Излучение, испускаемое каким-то телом с заданной температурой, характеризуется своим спектром, то есть зависимостью мощности излучения, приходящейся на единичный интервал длин волн (или частот), как функцией величины длины волны λ (или частоты υ = c/λ). Простой способ визуализировать спектр испускаемого телом света состоит в том, чтобы поставить на его пути призму и спроецировать полученное изображение на экран; при этом белый свет разделится на различные цвета, его составляющие (см. главу 3, «Цветовое зрение»).

Спектр излучения того или иного тела зависит от его химической природы, температуры и агрегатного состояния: газ ли это, жидкость либо твердое тело.

Атомарный газ (например, пары ртути) при низком давлении испускает излучение определенных частот, его спектр состоит из четких линий (илл. 2). Этот факт выражает собой фундаментальное свойство атомов: порции энергии, которые атомы могут излучать или поглощать, дискретны (объяснение ему дает квантовая механика, см. главу 22). Каждая линия спектра излучения соответствует переходу атома из состояния с энергией E₁ в другое состояние, с более низкой энергией E₂. Такой переход сопровождается испусканием излучения частоты υ = (E₁ – E₂)/h, где h = 6,6⋅10^–34 Дж⋅c – постоянная Планка. Единичный акт такого излучения соответствует испусканию «кванта света», или фотона (см. главу 22, «Спектр излучения атомов – ключ к атомной структуре»). Напротив, если атом помещается в поле монохроматического излучения частоты υ, то он способен его поглотить только при условии, что в его спектре существует два энергетических состояния, такие, что для них E₁ – E₂ = hυ. Следовательно, атом поглощает только такое излучение, которое способен излучать. Таким образом, спектр поглощения нагретого газа очень походит на спектр его излучения: ярким линиям излучения в последнем соответствуют темные линии в спектре поглощения.

Вышесказанное верно для газа, образованного атомами. А что можно сказать о свойствах молекулярных газов, таких как образующие земную атмосферу кислород (O₂) и азот (N₂)? Оказывается, что здесь ситуация принципиально схожа с описанной выше: молекулярные газы поглощают или излучают свет только определенных частот. Однако в определенных интервалах частот разрешенные энергетические состояния молекул оказываются весьма близкими друг к другу, так что форма спектра излучения молекулярного газа, как мы увидим далее, может весьма существенно отличаться от формы спектра газа атомарного.

А что делается в твердых телах и жидкостях? Оказывается, что и их спектры имеют «запрещенные» диапазоны частот, в которых тела не поглощают и не испускают свет. Зато для остальных частот спектр излучения (и спектр поглощения) непрерывен, с чередованием максимумов и минимумов интенсивности, образующим сложную кривую.

Физики XIX века, в частности в Германии, расходились во мнениях по поводу всего этого разнообразия. Им хотелось бы иметь излучатель света с простыми свойствами – например, тело, которое поглощало бы все излучение, которое на него падает! Понятие такого идеального объекта, «абсолютно черного тела», в физику ввел немецкий ученый Густав Кирхгоф (1824–1887). Название соответствовало сущности: действительно, если предмет поглощает излучение во всей видимой области, то он кажется черным. Ниже мы увидим, что Солнце, подобные ему звезды и в некоторой степени планеты могут рассматриваться как абсолютно черные тела.

Формула Планка

Абсолютно черное тело кажется черным только при низких температурах. Когда оно нагревается, то испускает свет. Какого же цвета при этом «абсолютно черное тело» становится? Чтобы ответить на этот вопрос, следует определить зависимость мощности его излучения при температуре T, приходящейся на единичный интервал длин волн от самой величины длины волны. Такова была задача, поставленная Кирхгофом в 1859 году.

Вообще говоря, совсем не очевидно, что эта задача имеет решение: можно подумать, что сам вопрос в своей постановке абсурден. Действительно, а вдруг существует тело, поглощающее все падающее на него излучение и ничего не излучающее? Поместив такое тело вблизи абсолютно черного тела, излучающего электромагнитные волны, можно было бы создать холодильную машину, не требующую никаких энергетических затрат: абсолютное черное тело остывало бы, отдавая тепло другому телу посредством излучения. Увы, существование такой «вечной» холодильной машины противоречило бы важному физическому принципу, сформулированному Сади Карно в 1824 году (илл. 3). Согласно ему, чтобы создать функционирующую холодильную машину, то есть передавать тепло от холодного объекта горячему, необходимо расходовать механическую, электрическую или химическую энергию.

Демонстрация свойств абсолютно черного тела

Давайте представим себе два абсолютно черных тела A и B одинаковой температуры. Поместим их в теплоизолированную закрытую камеру с отражающими стенками (см. илл.: два абсолютно черных тела здесь изображены красными, так как они должны быть достаточно горячими – около 800 К, или 500 °C). Согласно принципу Карно, в отсутствие произведенной внешними силами работы теплопередача всегда идет от более горячего тела к менее нагретому. Поскольку оба тела имеют одну и ту же температуру, то суммарной теплопередачи от одного к другому не происходит, что означает, что энергия, получаемая телом A от тела B, равна энергии, излучаемой телом А в направлении тела B. Поэтому, если мы заменим одно из абсолютно черных тел, например A, абсолютно черным телом C той же формы, но другой химической природы, оно должно будет излучать столько же энергии, сколько и тело A, поскольку получает столько же. Получается, что количество энергии, излучаемой с единицы поверхности в секунду при заданной температуре (то есть мощность излучения), для любого абсолютно черного тела C будет таким же, что и для абсолютно черного тела A. Таким образом, мощность излучения с единицы поверхности для всех абсолютно черных тел определяется только температурой.

 

Теперь поместим между двумя абсолютно черными телами цветной фильтр (например, зеленый, см. илл.), который пропускает только свет с длинами волн, близкими к определенному значению λ. Те же рассуждения, что и в случае отсутствия фильтра, показывают, что мощность излучения при заданной температуре в заданном диапазоне длин волн (тех, которые фильтр пропускает) одинакова для всех абсолютно черных тел. Кроме того, понятно, что полная излучаемая мощность излучения пропорциональна площади поверхности тела. Поэтому можно сделать вывод о том, что мощность L (T, λ) dλ, излучаемая единицей площади абсолютно черного тела в интервале длин волн dλ, зависит только от температуры T и выбранной длины волны λ (функция L (T, λ) называется спектральной плотностью мощности излучения). Эта мощность при равенстве температур примерно одинакова и для угольного блока, и для вольфрамовой проволоки, так как оба этих объекта с некоторым допущением можно рассматривать как абсолютно черные тела.

a. Два абсолютно черных тела в равновесии имеют одинаковую температуру, что означает, что каждое получает столько же энергии, сколько излучает. Если одно из абсолютно черных тел заменить абсолютно черным телом той же формы, но другой химической природы, оно поглотит ту же энергию и, следовательно, должно излучать ту же энергию. Таким образом, энергия, испускаемая абсолютно черным телом данной формы при данной температуре, не зависит от его природы. b. Если добавить цветной фильтр, рассуждения остаются в силе. Таким образом, энергия, излучаемая в заданной частотной полосе абсолютно черным телом данной формы при данной температуре, не зависит от его природы

Исходя из принципа Карно, который в переформулированном Рудольфом Клаузисом (1822–1888) виде приобрел статус «второго начала термодинамики», Кирхгоф пришел к выводу, что все абсолютно черные тела испускают свет одинаково (см. врезку выше). Точнее, количество энергии, излучаемой в интервале длин волн между λ и λ + dλ участком поверхности площади dS абсолютно черного тела, имеющего температуру T, равно величине L(T, λ) dSdλ, каким бы оно ни было.

Зная, что все абсолютно черные тела эквивалентны, удобно изучать их свойства на примере простейшей модели – прямоугольной коробки, заполненной стоячими электромагнитными волнами, или, на языке квантовой физики, фотонами. В одной из стенок коробки сделаем маленькое отверстие, через которое фотоны могут ее покинуть. Немецкий физик Макс Планк (1858–1947) изучил свойства такого излучения и пришел к выводу, что спектральная плотность его мощности определяется формулой:

где c = 3⋅10⁸ м/с – скорость света в вакууме, h = 6,67⋅10^–34 Дж⋅с – постоянная, называемая сегодня постоянной Планка, и k_Б = 1,38⋅10^–23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Эту знаменитую формулу Планк вывел в 1900 году. С ее появлением была не только разрешена трудная задача, над которой совместно работали немецкие теоретики и экспериментаторы, но и было положено начало квантовой механике – области физики, описывающей свойства микромира (см. главу 22). Действительно, чтобы получить эту формулу, Планк вынужден был выдвинуть гипотезу о том, что энергия излучения может принимать только дискретные значения, кратные некоей минимально возможной ее величине, названной Планком «квантом». Именно эта гипотеза впоследствии позволила Эйнштейну, вернувшись к ньютоновским корпускулам, ввести понятие светового кванта (позднее названного фотоном). Использовав последнее, он предложил объяснение загадочного явления фотоэффекта, за которое в 1921 году получил Нобелевскую премию по физике.

Историческая значимость понятия абсолютно черного тела огромна.