Физика повседневности. От мыльных пузырей до квантовых технологий

Метеорологические проявления силы Кориолиса

Важным результатом воздействия силы Кориолиса является образование вихрей определенного направления вокруг любой зоны низкого или высокого давления (илл. 6). Можно было бы предположить, что воздушные массы напрямую движутся в зоны низкого давления (такие зоны называются «депрессией» и часто отмечаются буквой D на метеорологических картах). Однако на самом деле под действием силы Кориолиса ветры отклоняются. В Северном полушарии они закручиваются вокруг зоны низкого давления против часовой стрелки. В случае возникновения антициклонов (отмечаемых A) с зонами высокого давления в центре, ветры циркулируют по часовой стрелке. При этом в природе они никогда не образуют вихрь, полностью соответствующий изображенному на илл. 6; и все же мы можем утверждать, что в Северном полушарии ветры имеют низкое давление слева и высокое давление справа (илл. 7). В Южном же полушарии все происходит наоборот (см. главу 5, врезку «В раковинах Южного и Северного полушарий»).

6. Ветер вокруг области пониженного давления с центром D в Северном полушарии. Перепад давления (показанный оранжевым цветом) провоцирует приток воздуха в область пониженного давления (ветер, представленный красными стрелками). Этот ветер отклоняется силой Кориолиса (голубой) и таким образом приближается к центру D, закручиваясь против часовой стрелки (зеленый). Черные стрелки: примерное направление ветра при равновесии между силой Кориолиса и силой, вызванной перепадом давления

Другое проявление силы Кориолиса это направление пассатов – ветров, которые постоянно дуют к западу между 30-й параллелью южной и 30-й параллелью северной широты. Первопричина этих ветров – явление конвекции (см. главу 7, «Температура Земли»): теплый экваториальный воздух поднимается вверх и уступает место прохладному воздуху, происходящему из более высоких широт. Таким образом, на поверхности рождаются ветры, направленные с севера на юг в Северном полушарии и с юга на север в Южном, их называют пассатами. Сила Кориолиса отклоняет эти ветры к западу (илл. 8).

7. Ураган Айрин, приближающийся к Багамским островам (в Северном полушарии) в августе 2011 года, вид со спутника. (a) Закручивание воздушных масс вокруг центральной области низкого давления осуществляется в направлении, противоположном вращению часовой стрелки; (b) наблюдавшаяся в феврале того же года обратная ситуация в Южном полушарии показана на примере циклона Бингиза близ Мадагаскара

Сила Кориолиса действует не только на ветры: она влияет еще и на морские течения и приливы (см. главу 5, «Температура Земли»). Действие вращения Земли на передвижение водных масс было замечено Пьером-Симоном Лапласом еще в XVIII веке, задолго до Кориолиса. Но Лаплас для их объяснения не стал изобретать фиктивные силы инерции.

8. Пассаты отклоняются к западу под действием силы Кориолиса из-за вращения Земли (a), в чем можно убедиться с помощью правила левой руки (b)

Идеи Кориолиса же были приняты не без сомнений. Один из членов Французской академии наук в 1859 году писал: «Эти фиктивные силы приводят к правильному результату; однако именно потому что они фиктивные, такое рассмотрение, по-видимому, не способно дать нам четкое представление о природе этого явления путем анализа действительных причин». Это замечание выдвигает на первый план яркий новаторский характер введенного Кориолисом понятия, польза которого сегодня неоспорима.

В раковинах Южного и Северного полушарий

Каждый наблюдал возникновение водоворота при стоке воды из раковины. В каком направлении он закручивается? Широко распространено ошибочное мнение, что в Северном полушарии вода всегда закручивается против часовой стрелки (илл. 7), в то время как в Южном – наоборот. Конечно, сила Кориолиса влияет на слив воды, но нужен куда больший масштаб, чтобы ее воздействие стало определяющим.

Соответствующий опыт был поставлен Ашером Шапиро в Массачусетском технологическом институте (США) в 1962 году. Он использовал бак примерно двухметрового диаметра и глубиной около 15 см. Бак опустошался за 20 минут, и водоворот (наблюдаемый благодаря плавающему предмету) через 15 минут действительно закручивался против часовой стрелки.

Что касается наших раковин, которые намного меньше и опустошаются быстрее, направление водоворота объясняется скорее деталями геометрического характера (неровностями раковины, изначально полученным водою импульсом и т. д.). Поэтому возможны оба направления закручивания независимо от полушария, в котором вода уходит из раковины!

Закручивание воды при стоке из раковины. Вопреки распространенному мнению, направление вращения не зависит от того, в каком полушарии Земли оно происходит

Возвращение к закону Бэра

Согласно закону Бэра, правый берег рек круче левого в Северном полушарии, противоположный эффект наблюдается в Южном. Это наблюдение было сделано для сибирских рек, Нила, Дуная… Объяснение этого явления связано с силой Кориолиса, которая заставляет течение реки отклониться к правому берегу (илл. 9). Из-за трения у берегов поток быстрее на поверхности, чем у дна реки, и, следовательно, сила Кориолиса также больше на поверхности. Это приводит к вертикальной циркуляции воды, которая способствует эрозии правого берега и появлению наносов на левом берегу. Процесс несколько напоминает механизм образования меандров (см. главу 1, «Как меняется русло рек?»). Однако при оценке воздействия силы Кориолиса мы обнаружим, что оно незначительно. По этой причине данную проблему, которая была предметом доклада Эйнштейна, а также многонедельного спора во Французской академии наук в 1859 году, все еще нельзя рассматривать как решенную.

9. Cила Кориолиса F^→_CO отклоняет течение рек к правому берегу в Северном полушарии и к левому – в Южном

10. Платформа Кориолиса в Гренобле в 2000 году. Ее демонтировали в начале XXI века и восстановили в 2014 году

Заключение

Для решения проблем механики у исследователей есть выбор между двумя методами. Астрономы чаще всего предпочитают невращающуюся систему координат, установленную относительно самых далеких, условно неподвижных звезд. Другой метод состоит в том, чтобы использовать систему координат, связанную с Землей, что обязывает вводить мнимые силы: силу Кориолиса и центробежную силу. Так поступают в метеорологии: неудобство несущественно, ведь большую часть сил (вес, трение и т. д.) было бы слишком трудно учитывать в системе отсчета, связанной со звездами. И все же не всегда легко принимать в расчет силу Кориолиса в вычислениях, поэтому необходимо проверять их опытным путем. В этом цель платформы Кориолиса, установленной в Гренобле. Это вращающаяся платформа диаметром 13 м, на которую устанавливаются бассейны различной формы и размеров, выдерживает вес вплоть до 300 т и совершает до четырех оборотов в минуту (илл. 10).

Глава 5

Морские приливы и отливы

Говорят, что мореплаватель Пифей из Массалии (нынешний Марсель) в IV веке до нашей эры уже подозревал, что основная причина приливов – Луна: он заметил, что ритм приливов соответствует ее обращению вокруг Земли. Сегодня известно, что это явление действительно обусловлено воздействием на водоемы гравитационных сил Луны и Солнца. В этой главе мы подробно опишем движение вод при приливах и отливах.

Прилив – впечатляющее явление. В некоторых местах, например на берегах Ла-Манша (илл. 1), порой прилив может оказаться опасным для тех, кто рискует отправиться на прогулку по океанскому пляжу.

Благодаря Ньютону (см. главу 4, «Ньютоновская механика») мы знаем, какой закон физики лежит в основе приливов: вскоре после открытия закона всемирного тяготения Ньютон показал, что приливы – одно из его проявлений. Луна притягивает воду океана, которая, таким образом, становится выпуклой. Эта выпуклость остается обращенной к Луне, в то время как Земля продолжает вращаться вокруг своей оси. Когда эта избыточная масса воды доходит до берега, начинается прилив. Затем, по мере дальнейшего движения Луны, ее влияние переносится на сушу, избыточный водный шлейф возвращается в океан – происходит отлив. Это описание, однако, не бесспорно. Первое возражение: Земля обращается вокруг себя за 24 часа, Луна почти не двигается в течение этого времени (ей требуется приблизительно 27 дней, чтобы совершить оборот вокруг Земли). Следовательно, можно ожидать одного прилива в день. Но их происходит два! Второе возражение: почему роль Луны в явлении прилива столь значительна, в то время как Земля с куда большей силой притягивается Солнцем?

Ответы на эти вопросы мы найдем, ознакомившись более подробно с явлением гравитации, законы которой также были открыты Ньютоном.

1. Скалы Этрета во время отлива и прилива. Амплитуда прилива (то есть разница высоты воды на одном и том же месте) здесь достигает порядка 10 м. Для сравнения: во внутреннем море, таком как Средиземное, амплитуда прилива составляет примерно 10 см

 

Ньютон – основатель современной физики

Легенда гласит, что Ньютон открыл закон всемирного тяготения, когда отдыхал под яблоней и увидел падающее яблоко (илл. 2). Это, сказал он себе, доказательство того, что Земля воздействует на яблоко некоей силой притяжения. Очевидно, подобная сила действует не только на яблоко, но и на все находящиеся рядом с Землей объекты. Но почему только рядом с Землей? Ньютона посетила гениальная догадка: притяжение должно быть универсальным и, следовательно, осуществляться также между Солнцем и планетами, и – более общо – между всеми обладающими массой объектами!

Падение яблока и движение планет объяснимы, если допустить, что два тела массой M и m, находящиеся на расстоянии D, притягивают друг друга (илл. 3) с силой, равной

где G – константа, называемая гравитационной постоянной. Согласно основному закону динамики (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»), плод под воздействием силы притяжения, с которой Земля действует на яблоко, падает на Землю с ускорением. Именно это, бросая камни с Пизанской башни, и наблюдал чуть ранее Галилей (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»). При этом ускорение яблока оказывается равным g = GM_З/R_З², где M_З – масса Земли, а R_З – ее радиус. Этот радиус (около 6400 км) был известен со времен Античности, и ускорение свободного падения g (приблизительно равное 10 м/с²) было измерено экспериментально. Предполагая, что плотность Земли примерно одинакова, Ньютон смог оценить и порядок величины массы M_З, а уже зная ее, – вычислить константу G.

Точное значение G, известное сегодня, составляет 6,674∙10^–11 м³∙кг^–1∙с^–2. Оно невелико! Гравитационное притяжение между протоном и электроном незначительно по сравнению с электростатическим притяжением, которое также обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Для крупного же объекта, такого как Земля, сила притяжения достаточна, чтобы удерживать нас на поверхности планеты… и чтобы мы потирали ушибы, упав с дерева.

2. Ньютон за несколько секунд до открытия закона всемирного тяготения. Плод, ставший причиной несчастий Евы, помог Ньютону обрести бессмертие

Небо падает нам на голову

В отличие от яблока, Луна не падает на Землю, а Земля – на Солнце. Почему? Ведь закон всемирного тяготения работает также и в этих случаях. Чтобы понять причину, достаточно простого расчета, но, очевидно, этот парадокс казался невероятным многочисленным современникам Ньютона. Он остается немного удивительным и для нас; давайте вспомним, как он объясняется.

Если бы действие гравитационного притяжения Солнца на Землю внезапно прекратилось, то она, согласно принципу инерции (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»), продолжила бы свой путь, равномерно удаляясь от Солнца по касательной к своей прежней орбите. Следовательно, именно притяжение Солнца не позволяет Земле удалиться от него, но этой силы недостаточно, чтобы заставить Землю на него «упасть». Эту ситуацию проще всего проанализировать с помощью понятия центробежной силы (см. главу 4, «Еще одна фиктивная сила: центробежная»), которая возникнет при применении основного принципа динамики к описанию движения тел во вращающейся системе. Если система вращается с угловой скоростью Ω вокруг неподвижного центра O, то центробежная сила, действующая на тело массой m на расстоянии D от центра, есть

F = mΩ²D.

Эта сила направлена по радиусу в направлении от центра круговой траектории. В случае Земли, вращающейся вокруг Солнца, центробежная сила F^→₂ точно компенсирует гравитационную силу F^→₁, с которой ее притягивает Солнце, и поэтому планета на него не падает. При этом Земля двигается вокруг Солнца по кругу радиусом D_С с угловой скоростью

где M_С – масса Солнца. На самом деле Земля описывает вокруг Солнца не окружность, а эллипс^[3].

3. Закон гравитации. Два объекта A и B на расстоянии D притягивают друг друга с силой, пропорциональной 1/D²

4. Притяжение, осуществляемое небесным телом (Солнцем или Луной) на предмет на Земле. В центре Земли O гравитационная сила уравновешена центробежной силой. В точке A гравитационная сила больше, чем центробежная. В точке B гравитационная сила слабее центробежной. Равнодействующая F^→ этих двух сил обозначена красной стрелкой. Таким образом, вода в океанах притягивается небесным телом в точке A, а отталкивается в точке B

Заметим, что эту же величину угловой скорости можно было бы найти и исходя из второго закона Ньютона, записанного для тела, движущегося под действием силы тяготения Солнца и в инерциальной системе отсчета. Однако вычисления в этом случае оказались бы значительно сложнее.

Закон всемирного тяготения, как заметил Ньютон, объясняет движение Земли вокруг Солнца и движение Луны вокруг Земли. Он показал, что этим законом объясняются и приливы.

Происхождение приливов

Для изучения приливов нужно учитывать взаимодействие между Землей, Луной и Солнцем, что требует чересчур сложных вычислений. Поэтому мы начнем с гипотетической ситуации, будто Луны не существует (чрезмерное допущение в случае приливов, но оно упростит объяснение), и рассмотрим Землю и Солнце как два отдельных тела.

Мы уже выяснили, что действующие на Землю центробежная и гравитационная силы уравновешивают друг друга. Это действительно так в центре Земли, но не на ее поверхности. В точке, наиболее близкой к Солнцу (точка A на илл. 4), расстояние D до Солнца наименьшее, следовательно, притяжение Солнца (пропорциональное 1/D²) сильнее, в то время как центробежная сила (пропорциональная D) слабее. Таким образом, равнодействующая сила направлена к Солнцу. Вода, находящаяся в точке A, притягивается к Солнцу – происходит прилив!

5. Фазы Луны. Для наблюдателя на Земле освещенная часть небесного тела зависит от его положения на орбите по отношению к Солнцу. От новолуния до следующего полнолуния проходит две недели

6. Во время полнолуния и новолуния силы Луны и Солнца накладываются друг на друга и приливы особенно сильны. Напротив, прилив смягчается во время первой и последней четверти

В точке, наиболее удаленной от Солнца (точка B), расстояние D до Солнца наибольшее, и его гравитационное притяжение оказывается слабее, в то время как центробежная сила оказывается большей, чем в точке А. Равнодействующая сила отбрасывает водные массивы от Солнца, и там тоже происходит прилив! Если бы Солнце было единственным небесным телом, вызывающим приливы, они происходили бы дважды в день: один в солнечный полдень, когда преобладает гравитационное притяжение, другой – в полночь, когда максимальна центробежная сила. В результате, если бы Земля была покрыта водой со всех сторон, она приняла бы форму удлиненного эллипсоида (как мы увидим, совсем немного удлиненного) или, как порой говорят, мяча для игры в регби (илл. 4). Удлинение вершин эллипсоида ограничено гравитационным притяжением водных масс самой Землей, которое, очевидно, сильнее, чем притяжение Луны и Солнца.

Борьба за влияние между Солнцем и Луной

Данные для Земли, Луны и Солнца. Расчеты, приведенные в четвертом и пятом столбцах, позволяют сравнить удельные веса гравитационных сил, с которыми Солнце и Луна притягивают Землю, и действие этих небесных тел на приливы

Луна или Солнце – какое небесное тело сильнее влияет на приливы?

Чтобы упростить объяснение, ограничимся рассмотрением наиболее близкой к притягивающему небесному телу точки A (илл. 4) и наиболее удаленной от него точки B – таких, что в них обе силы F^→₁ (гравитационная) и F^→₂ (центробежная) лежат на прямой Земля – Солнце или Земля – Луна. В таком случае мы можем оперировать только их модулями и не учитывать направления векторов. Пусть M – масса небесного тела и D – расстояние до Земли. Вычислим силу, с которой небесное тело действует на тело массой δm в точке A или B. Между центром Земли O и точкой A или B расстояние до небесного тела претерпевает относительное изменение, равное R_З/D, где R_З – радиус Земли. Относительное изменение обеих сил F₁ и F₂ между точкой O и точкой A или B пропорционально этой величине. Итак, в точке O модули обеих сил равны GMδm/D². Изменение этой величины при перемещении в точку A или B, следовательно, пропорционально GMδmR_З/D³. Соответственно, пропорциональным GMδmR_З/D³ оказывается и модуль равнодействующей силы F^→ = F^→₁ + F^→₂, называемой приливной силой (силы в A и B направлены в противоположные стороны). Точное вычисление показывает, что коэффициент пропорциональности оказывается равным 3.

Соответственно, если небесное тело – Солнце, то результирующая сила в точках A или B будет равна GM_СδmR_З/D_Л³, а в случае Луны – GM_ЛδmR_З/D_Л³. Из приведенной выше таблицы видно, что сила воздействия Луны на поверхности Земли примерно в два раза больше силы воздействия Солнца.

Напротив, сила гравитационного притяжения Земли Луной намного слабее притяжения Земли Солнцем, поскольку сила, осуществляемая массой M на расстоянии D, пропорциональна M/D², а отношение M_С/D_С² почти в 200 раз больше отношения M_Л/D_Л² (см. таблицу). А что можно сказать о влиянии Солнца на движение Луны? Для этого надо сравнить M_С/D_С² и M_З/D_Л², где M_З – масса Земли. Это величины одного порядка (см. таблицу). Следовательно, воздействием Солнца на движение Луны пренебрегать нельзя^[4].

Луна, жемчужина ночного неба, породила множество верований и суеверий. Мы знаем, что она действительно ответственна за приливы, а вот ее влияние на подъем сока в растениях или на наше настроение (а также на облик оборотней) представляется сомнительным

 

7. Последствие задержки приливов для движения Луны. Земля (З) и Луна (Л) рассматриваются наблюдателем, находящимся над Северным полюсом. Луна поворачивается в том же направлении, что и Земля, с меньшей угловой скоростью (приблизительно один оборот в месяц). Наземные приливы сдвинуты на угол φ (здесь преувеличенный) относительно движения Луны. Из-за этой задержки сила притяжения Луны Землей имеет малую составляющую f^→, направленную перпендикулярно оси (ЛЗ), которая постепенно отдаляет Луну от Земли

Объяснение, приведенное для Солнца, действительно и для Луны: водные массивы, наиболее близкие к Луне, притягиваются ею, а наиболее удаленные – отталкиваются. Тогда какое небесное тело воздействует сильнее: Солнце или Луна? Чтобы ответить на этот вопрос, придется провести небольшой расчет (см. врезку). Из него следует, что сила, притягивающая воду в точке A, наиболее близкой к воздействующему небесному телу (Солнцу или Луне), пропорциональна M/D³, где M – масса этого небесного тела и D – расстояние до Земли. Итак, отношение M_С/D_С³ приблизительно в два раза меньше, чем M_Л/D_Л³. Значит, влияние Луны на приливы примерно в два раза сильнее, чем влияние Солнца! Так как Луна вращается вокруг Земли не очень быстро, за 24 часа происходит почти два прилива. Таким образом, из-за движения Луны между ними проходит чуть больше 12 часов (а именно 12 часов и 25 минут).

При этом воздействие Солнца на приливы нельзя считать незначительным. Когда три небесных тела выстраиваются в ряд, что происходит чуть чаще раза в месяц (илл. 5), действие Луны усиливает действие Солнца – и приливы особенно сильны. Эти квадратурные приливы приходятся на полнолуние или новолуние. А в первой или в последней лунной четверти происходят слабые сизигийные приливы (илл. 6). С другой стороны, приливы особенно сильны в дни равноденствия, когда Солнце оказывается в одной плоскости с земным экватором.

Высота приливов и их прогнозирование

Гениальная и простая, теория приливов Ньютона все же неспособна правильно предсказать их амплитуду. Их высота (разница уровня воды между приливом и отливом), согласно теории создателя классической механики, должна составлять всего несколько десятков сантиметров. В действительности же высота прилива на океанском побережье обычно достигает десятка метров. Кроме того, она значительно варьирует в зависимости от места, что нельзя объяснить теми аргументами, которые мы приводили ранее. Дело оказывается в том, что Ньютон предполагал поверхность океана всегда пребывающей практически в равновесии и смиренно повинующейся действующим на нее силам. Почти веком позже французский математик и физик Пьер-Симон Лаплас (1749–1827) показал, что правильная теория должна быть динамической. Выяснилось, что важную роль в этом процессе играет явление резонанса: высота прилива в данный момент времени и в данной точке зависит от силы приливов в предыдущие дни и, в свою очередь, оказывает влияние на амплитуду следующих приливов. Сила Кориолиса также играет роль, отклоняя движение водных массивов, поэтому изменение уровня воды во время прилива на берегах Ла-Манша достигает десятка метров с французской стороны, но практически на четыре метра меньше на английских берегах!

Энергия приливов

Приливы несут ценную энергию, которую было бы заманчиво получить. Для этого были изобретены приливные электростанции (см. илл.), которые для производства электроэнергии используют приливные течения или связанные с ними перепады высоты воды. Однако действительно ли энергия приливов неисчерпаема, как солнечная или ветровая? Как мы уже упоминали, потери энергии во время приливов приводят к замедлению вращения Земли. Так что использование энергии приливов, вполне вероятно, может усилить это замедление…

Давайте сначала оценим энергию, которую человек может максимально извлечь из каждого прилива. Дадим очень грубую оценку, предполагая, что прилив ежедневно поднимает на высоту h = 1 м площадь воды, равную R_З². Получается энергия порядка gρR_з²h², где ρ – плотность воды, то есть около 10¹⁸ Дж в день. Это значение огромно и близко ко всему мировому потреблению энергии, которое в 2008 году составило около 5 ∙ 10²⁰ Дж. Теперь давайте сравним его с кинетической энергией вращения Земли. Она определяется формулой для энергии вращающегося шара: (1/5) M_зR_з²ω². Подставляя в нее массу Земли M_з = 6 ∙ 10²⁴ кг, ее радиус R_З = 6,37 ∙ 10⁶ м и угловую скорость ω – один поворот в день, то есть около 7 ∙ 10^–5 радианов в секунду, находим, что кинетическая энергия вращения Земли составляет примерно 2,4 ∙ 10²⁹ Дж. Разделив этот результат на 5 ∙ 10²⁰ Дж, мы увидим, что, даже если человечество научилось бы полностью извлекать всю энергию приливов (что технически кажется неосуществимым), Земля продолжит вращаться еще на протяжении полумиллиарда лет.

В Рансе, на севере Бретани, приливная электростанция успешно работает с 1967 года. Плотина (которая также служит мостом) работает при движении воды в обоих направлениях: турбины действуют во время как прилива, так и отлива. Таким образом предприятие использует вызванное приливом изменение уровня воды для выработки электроэнергии

Высота приливов определяется не только расположением Луны и Солнца по отношению к Земле, но и очертаниями берегов и подводным рельефом. Вычисления крайне сложны, и проделать их не представляется возможным. К счастью, предсказать свойства приливов с очень большой точностью можно, принимая уровень моря в данной точке за сумму синусоидальных функций времени Σ a_isin(ω_it − α_i). В такой сумме достаточно учесть десяток слагаемых. Частоты ω_i хорошо известны, а коэффициенты ω_i, так же как фазовые сдвиги α_i, в каждой точке берега определяются экспериментально.