Moda, wiara i fantazja we współczesnej fizyce Wszechświata

Tekst
0
Recenzje
Przeczytaj fragment
Oznacz jako przeczytane
Jak czytać książkę po zakupie
Czcionka:Mniejsze АаWiększe Aa

Przykładowo, w przypadku heterotycznej teorii strun, struny uważa się za z konieczności zamknięte, co oznacza, że nie mogą w nich występować dziury (zob. §1.6, ale przede wszystkim §1.16). Jeśli chcemy myśleć o nich w bezpośredni fizyczny sposób – czyli jeszcze zanim zastosuje się „sztuczkę” z obrotem Wicka – to powierzchnie świata strun muszą być z konieczności czasopodobne, jak na Rys. 1-30(b). Jeśli powierzchnia świata ma być bez dziur, to musi być ona czasopodobną rurką rozciągającą się nieskończenie daleko w przyszłość. Nie jest poprawnie myśleć o „owijaniu się” jej wokół mikroskopijnych dodatkowych wymiarów, ponieważ wszystkie te wymiary uważane są za przestrzenne. Rurka ta może wyłącznie rozciągać się nieograniczenie daleko w przyszłość, co oznacza, że nie kwalifikuje się w rzeczywistości jako powierzchnia zamknięta. Jest to jedno z pytań, na których odpowiedź nie pojawia się w żadnym znanym mi tekście na temat teorii strun.

Dziwi mnie ten brak spójnego obrazu geometrycznego, który pomógłby w przedstawianiu teorii strun przy pomocy zwykłych pojęć fizycznych. Jest to szczególnie zaskakujące w przypadku teorii, o której nie tak rzadko mówi się jako o potencjalnej teorii wszystkiego. Tego typu brak klarownego obrazu geometrycznego i fizycznego stoi w jawnym kontraście z wysoce zaawansowaną geometrią i bardzo staranną analizą na poziomie czysto matematycznym pojawiającą się w badaniach tych 6-rozmaitości (zwykle są to przestrzenie Calabiego-Yau; zob. §1.13 i §1.14), które mają odpowiadać za 6 dodatkowych wymiarów przestrzennych „zwiniętych” do skali Plancka, aby zapewnić spójność teorii strun. Uważam za niezwykle osobliwe, że istnieje zgoda grupy doskonale wykształconych fizyków na to połączenie wysoce subtelnych analiz geometrycznych z pozornym brakiem troski o globalną spójność geometryczną.

W następnych dwóch podrozdziałach, gdzie będę kontynuował omawianie kwestii swobody funkcjonalnej, będę posługiwał się przykładem czasoprzestrzeni o 10 wymiarach, jednak przedstawiane przeze mnie argumenty nie są ograniczone wyłącznie do przypadków o takim wymiarze. Klasyczny, przedstawiony w §1.11 argument, zgodnie z którym dodatkowe wymiary tego typu byłyby katastrofalnie niestabilne, stosuje się do każdej teorii, w której występują przynajmniej 2 dodatkowe („mikroskopijne”) wymiary przestrzenne, i dla której stosują się 10-wymiarowe Einsteinowskie (Λ = 0) równania próżniowe 10G = 0 (liczba wymiarów czasowych to wciąż 1). W standardowej literaturze omawiany jest argument na rzecz tezy, że pierwotna 26-wymiarowa teoria strun bozonowych faktycznie jest katastrofalnie niestabilna, ale nie jest to szczególnie istotne ze względu na opisywany w tej książce mój argument, który ma znacznie szerszy zakres obowiązywania.

Argumentacja przedstawiona w §1.10 ma całkowicie odmienny charakter od tej z §1.9, a związana jest z często wysuwanym argumentem odwołującym się do mechaniki kwantowej, zgodnie z którym przy jakichkolwiek realistycznie osiągalnych poziomach energii nie jest możliwe uzyskiwanie wzbudzeń wewnątrz owych niewyobrażalnie małych dodatkowych wymiarów przestrzennych. Argument ten jest w mocy niezależnie od tego, jaka jest konkretnie liczba owych wymiarów przestrzennych, aby jednak wyrażać się precyzyjnie, omówię go na przykładzie popularnej dziś teorii 10-wymiarowej. Nie będę przejmował się supersymetrią, aby kwestie geometryczne pozostały możliwie klarowne. Zakładam, że obecność supersymetrii nie wpłynęłaby zasadniczo na ważność tego argumentu, ponieważ wciąż mógłby on dotyczyć wyłącznie nie-supersymetrycznego „ciała” geometrii (zob. §1.14).

Wszystkie omawiane przeze mnie argumenty rozwijane są z perspektywy, która wydaje się być koniecznym założeniem teorii strun, zgodnie z którym wszystkie dodatkowe wymiary są w pełni dynamiczne. Choć więc teoretycy strun często wskazują na podobieństwa pomiędzy dodatkowymi wymiarami teorii strun a dodatkowym wymiarem wprowadzonym przez Kaluzę i Kleina, muszę ponownie podkreślić dużą, zasadniczą różnicę pomiędzy pierwotnym modelem Kaluzy-Kleina a propozycjami przedstawianymi w teorii strun. We wszystkich znanych mi wersjach teorii strun o wyższej wymiarowości, być może za wyjątkiem 16 wymiarów w modelach heterotycznych, które opisałem wcześniej w tym podrozdziale, nie pojawia się sugestia występowania czegokolwiek analogicznego do symetrii obrotowej w wyższych wymiarach, którą przyjęto w teorii Kaluzy-Kleina – w istocie istnieniu tego typu symetrii wyraźnie się zaprzecza [Greene 1999]. W takim przypadku swoboda funkcjonalna teorii strun jest prawdopodobnie bardzo duża, a mianowicie aż ∞k∞9 dla konwencjonalnej teorii 10-wymiarowej, w przeciwieństwie do swobody ∞k∞3, której spodziewamy się po realistycznej teorii fizycznej. Kluczową kwestią jest to, że choć w teorii Kaluzy-Kleina nie mamy swobody wprowadzania dowolnych zmian w zakresie dodatkowego wymiaru przestrzennego S1 (ze względu na narzuconą symetrię obrotową), w teorii strun swoboda ta explicite występuje. To właśnie tu leży źródło nadmiernej swobody funkcjonalnej teorii strun.

Jest to kwestia, która – w odniesieniu do teorii klasycznych (tj. nie-kwantowych) – nigdy, wedle mojej wiedzy, nie została poważnie omówiona przez ekspertów teorii strun. Argumentuje się natomiast, że tego typu rozważania nie mają w zasadzie znaczenia dla teorii strun, ponieważ problem należy omówić z punktu widzenia mechaniki kwantowej (czy kwantowej teorii pola), a nie klasycznej teorii pola. I rzeczywiście, gdy porusza się kwestię nadmiernej swobody funkcjonalnej w 6 dodatkowych „mikroskopowych” wymiarach w obecności teoretyków strun, często bywa ona zbywana za sprawą nieco naciąganego ogólnego argumentu kwantowo-mechanicznego, który uważam za zasadniczo błędny. Argument ten zostanie omówiony w następnym podrozdziale, a następnie (w §1.11) przedstawię własne rozumowanie, że nie tylko jest on dogłębnie nieprzekonujący, ale że logiczną konsekwencją istnienia dodatkowych teorio-strunowych wymiarów przestrzennych byłaby zasadnicza niestabilność Wszechświata – należy się spodziewać, że wymiary te zaznałyby dynamicznego zapadania się, czego skutki dla „zwykłej” makroskopowej geometrii czasoprzestrzennej byłyby katastrofalne.

Argumenty te dotyczą zasadniczo stopni swobody występującej w geometrii czasoprzestrzeni samej w sobie. Występuje jednak osobna, ale blisko z tym związana, kwestia nadmiernej swobody funkcjonalnej w innych polach zdefiniowanych na wyżej wymiarowych rozmaitościach czasoprzestrzennych. Omówię te kwestie, a także wspomniane czasem potencjalne aspekty obserwacyjne tego zagadnienia, pokrótce pod koniec §1.10. Podobny problem zostanie również wspomniany w §2.11 i choć przedstawione tam wnioski można uznać za wstępne, dotyczą one kłopotliwych kwestii, które nie zostały jeszcze poprawnie omówione w znanej mi literaturze, a które z pewnością na to zasługują.

1.10. Kwantowe problemy ze swobodą funkcjonalną?

W niniejszym podrozdziale (oraz w §1.11) przedstawiam argument, który stanowi moim zdaniem bardzo poważny powód, dla którego nie możemy uciec od kwestii nadmiernej swobody funkcjonalnej w teoriach o dodatkowych wymiarach przestrzennych, nawet przy odwołaniu się do mechaniki kwantowej. Jest to w zasadzie ten sam argument, który zaprezentowałem w styczniu 2002 roku na konferencji w Cambridge z okazji 60. urodzin Stephena Hawkinga [Penrose 2003; zob. też DDR §31.11 i §31.12], ale tutaj przedstawiam go w mocniejszej postaci. Aby jednak zrozumieć kluczowe dla tego argumentu aspekty fizyki kwantowej tak, jak są one zwykle przedstawiane, musimy powiedzieć nieco o procedurach występujących w standardowej teorii kwantowej.

Rozważmy prosty układ kwantowy, taki jak atom (np. wodoru) w stanie spoczynku. Okazuje się, że istnieje szereg dyskretnych, różnych od siebie poziomów energetycznych tego atomu (np. dozwolonych orbit elektronu w atomie wodoru). Istnieje stan o energii minimalnej, określany jako stan podstawowy; można się spodziewać, że każdy inny stan stacjonarny tego atomu o wyższej energii ostatecznie – jeśli środowisko, w którym znajduje się ten atom nie jest zbyt „gorące” (tj. o zbyt wysokiej energii) – przejdzie do stanu podstawowego, czemu towarzyszyć będzie emisja fotonów. (W pewnych przypadkach występują „reguły wyboru”, które zakazują zachodzenia niektórych przemian, ale nie wpływa to na ogólny obraz sytuacji.) Z drugiej strony, jeśli atomowi dostępna jest wystarczająca ilość energii zewnętrznej (zwykle w postaci promieniowania elektromagnetycznego w formie tak zwanej „kąpieli fotonowej”, czyli w kontekście mechaniki kwantowej ponownie oznacza to udział fotonów), która zostaje mu następnie przekazana, atom ten może przejść ze stanu o niższej energii, np. stanu podstawowego, do stanu o wyższej energii. W każdym razie energia E każdego biorącego udział w takich procesach fotonu związana jest z określoną częstotliwością ν, zgodnie ze słynnym równaniem Plancka: E = (§1.5, §1.8, §2.2, §3.4).

Powróćmy teraz do kwestii dodatkowych wymiarów czasoprzestrzeni w teorii strun. Eksperci od tej teorii niemal zawsze twierdzą beztrosko, gdy przyciśnie się ich w tej sprawie, że (olbrzymia!) swoboda funkcjonalna tkwiąca w owych dodatkowych wymiarach przestrzennych nigdy nie będzie miała okazji się przejawić w zwykłych okolicznościach. Wydaje się to wynikać z poglądu, że owe stopnie swobody związane z deformacją geometrii dodatkowych 6 wymiarów są niemal całkowicie zabezpieczone przed wzbudzeniem ze względu na to, jak wielka potrzebna by była energia, aby doszło do ich wzbudzenia.

W rzeczywistości istnieją pewnego typu szczególne sposoby deformacji dodatkowych wymiarów przestrzennych, ktore mogą zostać wzbudzone bez dodawania żadnej energii do układu. Wchodzą one w grę w 10-wymiarowej czasoprzestrzeni, gdy 6 dodatkowych wymiarów przestrzennych traktuje się jako przestrzenie Calabiego-Yau; zob. §1.13 i §1.14. Tego typu deformacje określa się jako mody zerowe, i wiążą się z nimi kłopotliwe kwestie, z których doskonale zdają sobie sprawę teoretycy strun. Owe mody zerowe nie wprowadzają dodatkowej swobody funkcjonalnej, która nas teraz interesuje, i omówię je bliżej dopiero w §1.16. W bieżącym i następnym podrozdziale omówione zostaną te deformacje, które w pełni uczestniczą w pełnej nadmiarowej swobodzie funkcjonalnej i do ekscytacji, których faktycznie potrzebna jest znacząca ilość energii.

 

Aby oszacować niezbędną do tego skalę energii, posłużmy się raz jeszcze wzorem Plancka E = . Nie pomylimy się wiele, jeśli za częstotliwość ν uznamy odwrotność czasu, jaki zajmuje sygnałowi poruszającemu się z prędkością światła przebycie odległości charakterystycznej dla jednego z tych wymiarów. „Rozmiar” owych wymiarów zależy od tego, o której wersji teorii strun jest mowa. W pierwotnej wersji teorii 26-wymiarowej w grę wchodziły rozmiary rzędu 10–15 m, co oznacza, że odpowiedni poziom energii mieści się w zakresie osiąganym w LHC (zob. §1.1). W przypadku nowszych 10-wymiarowych supersymetrycznych teorii strun wymagane energie przekraczałyby o wiele rzędów wielkości zakres dostępny najbardziej potężnemu akceleratorowi cząstek na Ziemi (LHC) lub jakiemukolwiek realistycznie planowanemu akceleratorowi. W tego typu odmianach teorii strun, które mają stanowić poważną propozycję teorii grawitacji kwantowej, energie będą w przybliżeniu rzędu energii Plancka, czyli tej odpowiadającej długości Plancka, wspomnianej pokrótce w §1.1 i §1.5, a nieco bliżej w §3.6 i §3.10. Uważa się więc zwykle, że aby dokonać wzbudzenia ze stanu podstawowego stopni swobody ukrytych w dodatkowych wymiarach, niezbędne byłoby nadanie poszczególnym cząstkom energii przynajmniej tak wielkich – a mowa tu o skali energii zbliżonej do tej, która zostaje uwolniona wskutek eksplozji sporego pocisku artyleryjskiego. Teoretycy strun uważają więc, że w przypadku tych odmian ich teorii, w których skala wielkości dodatkowych wymiarów odpowiada długości Plancka, wymiary te są w praktyce zabezpieczone przed wzbudzeniami w dającej się wyobrazić przyszłości.

Można na marginesie wspomnieć, że istnieją wersje teorii strun, zwykle uważane za leżące poza głównym nurtem badań, w których dodatkowe wymiary mają skale przestrzenne zbliżone do milimetra. Rzekomą zaletą tych modeli jest fakt, że miałyby się one poddawać testom eksperymentalnym [zob. Arkani-Hamed i in. 1998]. Z punktu widzenia swobody funkcjonalnej pojawia się jednak poważny problem: wzbudzenie oscylacji w owych wymiarach powinno być względnie łatwe, nawet przy energiach osiąganych już dziś w akceleratorach, jest więc dla mnie niejasne, dlaczego autorzy tych modeli nie przejmują się potężnym nadmiarem swobody funkcjonalnej, która w zgodzie założeniami tych modeli już dawno powinna była się przejawić.

Muszę przyznać, że z podanych niżej powodów uważam argument, że swoboda funkcjonalna obecna za sprawą dodatkowych wymiarów przestrzennych, nawet w skali Plancka, powinna być zabezpieczona przed wzbudzeniami, za kompletnie nieprzekonujący. Nie potrafię więc poważnie potraktować zasadniczego poglądu, że potężny zasób swobody obecnej w dodatkowych wymiarach nie zostanie osiągnięty za sprawą wzbudzeń nawet w „typowych” warunkach występujących dziś we Wszechświecie. Jest wiele powodów, dla których jestem sceptyczny. Przede wszystkim powinniśmy zapytać, dlaczego energię Plancka uważa się w tym kontekście za „wysoką”. Przypuszczam, że rozumuje się, iż energia ta miałaby zostać planowo „wstrzyknięta” w coś w rodzaju wysokoenergetycznej cząstki, na sposób typowy dla akceleratorów cząstek (co stanowi sytuację analogiczną do przejścia atomu ze stanu podstawowego do stanu wyższego za sprawą absorpcji fotonu). Musimy jednak pamiętać, że w obrazie prezentowanym przez teoretyków strun, czasoprzestrzeń – przynajmniej wtedy, gdy dodatkowe wymiary są w stanie podstawowym – jest przestrzenią iloczynową 𝓜 × 𝒳 (zob. Rys. A-25 w §A.7), gdzie 𝓜 jest obiektem zbliżonym do naszego zwykłego klasycznego wyobrażenia 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, a 𝒳 jest przestrzenią dodatkowych „mikroskopowych” wymiarów. W 10-wymiarowej wersji teorii strun 𝒳 jest zwykle traktowane jako przestrzeń Calabiego-Yau, która jest szczególnego rodzaju 6-rozmaitością, o której powiemy nieco więcej w §1.13 i §1.14. Jeśli dodatkowe wymiary mają ulec wzbudzeniu, odpowiednie „mody wzbudzone” (zob. §A.11) czasoprzestrzeni dotyczyłyby naszej wyżej wymiarowej czasoprzestrzeni iloczynowej 𝓜 × 𝒳’, gdzie 𝒳’ to zaburzony (wzbudzony) układ dodatkowych wymiarów. (O 𝒳’ powinniśmy, oczywiście, myśleć w pewnym sensie jako o przestrzeni „kwantowej”, a nie klasycznej, to jednak nie wpływa znacząco na nasz tok rozumowania.) Mój argument zasadza się na tym, że dokonując wzbudzenia 𝓜 × 𝒳 do 𝓜 × 𝒳’, wzbudziliśmy cały Wszechświat (całą przestrzeń 𝓜 obecną w każdym punkcie 𝒳), tak więc kiedy myślimy o energii niezbędnej do wzbudzenia określonego modu jako o „wielkiej”, powinniśmy myśleć o tym w kontekście Wszechświata jako całości. Nierozsądnie jest, moim zdaniem, domagać się, aby „wstrzyknięcie” tego kwantu energii dokonało się z konieczności za sprawą wysoce zlokalizowanej cząstki wysokoenergetycznej.

Bardziej istotny w kontekście omawianych tu zagadnień byłby model, w którym na dynamikę (wyżej wymiarowego) Wszechświata jako całości wpływa jakiegoś rodzaju, przypuszczalnie nieliniowa (por. §A.11 i §2.4), niestabilność. W tym punkcie powinienem chyba wyjaśnić, że nie uważam, aby dynamika „wewnętrznych” stopni swobody, determinująca zachowanie się dodatkowych 6 wymiarów przestrzennych, była niezależna od dynamiki stopni „zewnętrznych”, które determinują zachowanie naszej „zwykłej” 4-wymiarowej czasoprzestrzeni. Aby obydwa te obiekty wspólnie uważać za składniki faktycznej całkowitej „czasoprzestrzeni”, powinna istnieć dynamika zarządzająca oboma zbiorami stopni swobody w ramach jednego opisu teoretycznego (w przeciwieństwie do traktowania tego pierwszego obiektu po prostu jako swego rodzaju „wiązki” nad tym drugim, zob. §A.7 i §1.9). I rzeczywiście, uznaje się, że ewolucję obu zbiorów stopni swobody kontroluje jakiegoś rodzaju wersja równań Einsteina – a taki przynajmniej wyłania się obraz z tego, co piszą teoretycy strun, przynajmniej na poziomie klasycznym, gdzie ewolucja całej 10-wymiarowej czasoprzestrzeni miałaby być dobrze przybliżona przez 10-wymiarowe próżniowe równania Einsteina 10G = 0 (zob. §1.11 poniżej).


Rys. 1-31: Do wzbudzenia mikroskopijnej zwartej 6-wymiarowej przestrzeni 𝒳 teorii strun potrzebna jest energia odpowiadająca skali Plancka; w ruchu Ziemi wokół Słońca skoncentrowana jest znacznie większa energia. 𝓜 oznacza zwykłą 4-wymiarową czasoprzestrzeń znaną z naszych codziennych doświadczeń, a 𝓜’ jej względnie niewielką część, obejmującą obszar orbity ziemskiej. Tylko bardzo niewielka część energii zaburzenia czasoprzestrzeni wynikającego z ruchu Ziemi byłaby potrzebna dla wzbudzenia 𝒳 do innej przestrzeni 𝒳’, jako że zaburzenie to obejmuje tylko 𝓜’.

Do kwestii klasycznych niestabilności wrócę jeszcze w §1.11; omawiane teraz zagadnienia mają znaczenie dla układów kwantowych; ostatecznie okaże się, że jeżeli chcemy dokonać poważnej analizy kwestii stabilności, rzeczywiście musimy uwzględnić również obraz klasyczny. W kontekście dynamiki całego Wszechświata energia Plancka wcale nie jest duża; jest bardzo nieznacząca. W ruchu Ziemi wokół Słońca, przykładowo, zawarta jest energia kinetyczna około milion milionów milionów milionów (tj. 1024) razy większa! Nie widzę powodu, dla którego niewielka część tej energii, która mogłaby z łatwością przekraczać energię Plancka, nie miałaby zostać przeznaczona na zaburzenie w niewielkim stopniu przestrzeni 𝒳 w obszarze 𝓜’ o rozmiarze rzędu średnicy Ziemi; lub w nieco większym obszarze obejmującym cały układ Słońce-Ziemia. Gdy rozprzestrzeni się ją po takim obszarze, gęstość energii będzie bardzo niewielka (zob. Rys. 1-31), przez co faktyczna geometria owych dodatkowych wymiarów przestrzennych (𝒳) pozostałaby niemal niezmieniona w obszarze 𝓜’ za sprawą zaburzenia rzędu energii Plancka. Nie widzę powodu, dla którego nasza lokalna geometria czasoprzestrzeni 𝓜’ × 𝒳 nie miałaby ulec zaburzeniu do czegoś w rodzaju 𝓜’ × 𝒳’, będąc przy tym gładko połączona z pozostałą częścią 𝓜 × 𝒳 poza obszarem 𝓜’ , przy czym różnica pomiędzy geometriami 𝒳 i 𝒳’ mogłaby być niewielka, znacznie mniejsza od skali Plancka.

Równania opisujące całą 10-przestrzeń dynamicznie sprzęgałyby ze sobą 𝓜 z 𝒳, tak więc należałoby się spodziewać, że skutkiem względnie zlokalizowanego (występującego w otoczeniu 𝓜’) zaburzenia makroskopowej geometrii czasoprzestrzeni 𝓜 będzie lokalna zmiana geometrii 𝒳. Sprzężenie to powinno być przy tym wzajemne – uwolnienie się niezliczonej ilości stopni swobody, które są potencjalnie obecne w dodatkowych wymiarach, ukryte w tworach geometrycznych o skali Plancka, a w których występuje, nawiasem mówiąc, potężna krzywizna czasoprzestrzeni, mogłoby mieć katastrofalny wpływ na dynamikę w skali makroskopowej.

Choć istnieją argumenty, wysuwane w kontekście teorii supersymetrii, że geometria 𝒳 w stanie podstawowym może być silnie ograniczona (tak na przykład, że musi być z konieczności 6-przestrzenią Calabiego-Yau, zob. §1.13 i §1.14), nie wpływa to na możliwość zmiany tej geometrii pod wpływem czynników dynamicznych. Przykładowo, choć równania Einsteina 10G = 0, jeśli zastosuje się je do przypadków, gdy geometrię można wyrazić poprzez iloczyn 𝓜 × 𝒳, mogą narzucać silne warunki na dozwoloną geometrię 𝒳 (a także geometrię 𝓜), ta szczególnego typu forma iloczynowa nie utrzyma się w ogólnym przypadku dynamicznym – i, rzeczywiście, prawie cała swoboda funkcjonalna wyraża się w rozwiązaniach, które nie mają takiej postaci (zob. §A.11). W ogólnym przypadku nie można się spodziewać, że kryteria, dzięki którym uda się ograniczyć strukturę geometryczną dodatkowych wymiarów (np. do przestrzeni Calabiego-Yau) w stanie podstawowym, utrzymają się w przypadku w pełni dynamicznym.

Na tym etapie warto wyjaśnić pewną kwestię związaną z poczynionym przeze mnie wcześniej porównaniem do kwantowych przejść w atomach, ponieważ na początku tego podrozdziału, gdy omawiałem kwestię atomu w stanie spoczynku, pominąłem pewną kwestię techniczną. Aby atom był rzeczywiście, w ścisłym sensie, w spoczynku, jego stan (funkcja falowa) musi być rozprzestrzeniony po całym Wszechświecie (jeśli cząstka spoczywa, to jej pęd wynosi dokładnie zero, z czego wynika jednorodny rozkład w przestrzeni; zob. §2.13 i §4.2), podobnie jak 𝒳 (lub 𝒳’) rozprzestrzenia się po całym Wszechświecie w iloczynie 𝓜 × 𝒳. Czy to w jakimkolwiek sensie unieważnia moje wcześniejsze tezy? Nie wydaje mi się, aby tak miało być. O procesach z udziałem pojedynczych atomów musimy tak czy inaczej myśleć jako o zdarzeniach zlokalizowanych, gdy na stan atomu wpływa jakiś proces lokalny, taki jak oddziaływanie z jakimś innym względnie dobrze zlokalizowanym obiektem, np. fotonem. Fakt, że stan stacjonarny (lub: niezależna od czasu funkcja falowa) atomu powinien być, w sensie czysto technicznym, rozprzestrzeniony po całym Wszechświecie, nie wpływa na to, w jaki sposób faktycznie dokonuje się obliczeń, ponieważ zwykle wszystkie zależności przestrzenne obliczane są względem środka masy układu i problem znika.

Sytuacja jest jednak zupełnie inna w przypadku zaburzeń przestrzeni 𝒳 o charakterystycznym rozmiarze zbliżonym do skali Plancka, ponieważ z samej swojej natury stan podstawowy 𝒳 nie jest zlokalizowany w jakimś określonym miejscu w zwykłej czasoprzestrzeni 𝓜; powinien być on wszechobecny i przenikać całą strukturę czasoprzestrzeni Wszechświata. Geometryczny stan kwantowy 𝒳 miałby więc wpływać na szczegółowe cechy procesów fizycznych zachodzących w najodleglejszej galaktyce we Wszechświecie w równym stopniu, co tu na Ziemi. Argument teoretyków strun, że energia odpowiadająca skali Plancka jest zbyt duża, w porównaniu z dostępnymi typowo energiami, aby doprowadzić do wzbudzenia 𝒳, wydaje mi się z wielu powodów nieprzekonujący. Rzecz nie tylko w tym, że tego rzędu energie są z łatwością dostępne za sprawą zjawisk niezlokalizowanych (np. ruchu Ziemi); nawet gdybyśmy wyobrazili sobie, że 𝒳 faktycznie przechodzi w stan wzbudzony 𝒳’ za sprawą zjawiska cząsteczkowego (być może za sprawą jakiegoś rodzaju zaawansowanej technologii pozwalającej na konstrukcję akceleratorów nadających cząstkom energię Plancka), co oznaczałoby, że osiągnięty został nowy stan Wszechświata 𝓜 × 𝒳’, byłby to wniosek w oczywisty sposób absurdalny, ponieważ nie należy się spodziewać, że fizyka w Galaktyce Andromedy w mgnieniu oka zmieni się za sprawą zdarzenia, które ma miejsce tu na Ziemi! Powinniśmy raczej myśleć w kategoriach znacznie bardziej łagodnego zdarzenia, które ma miejsce w pobliżu Ziemi, a następnie następuje propagacja jego skutków z prędkością światła. Tego typu procesy lepiej jest opisywać za pomocą klasycznych równań nieliniowych, a nie przejść kwantowych.

 

Biorąc to wszystko pod uwagę, chciałbym wrócić teraz do tego, o czym była mowa wcześniej, i sprawdzić, w jaki sposób kwant energii rzędu skali Plancka, rozprzestrzeniony po względnie dużym obszarze 𝓜’ należącym do 𝓜, mógłby wpłynąć na geometrię przestrzeni 𝒳 w tym obszarze. Jak już wspomniałem, skutki dla 𝒳 byłyby niewielkie, a im większy jest obszar 𝓜’, tym są one mniejsze – jeśli cały czas modelujemy ten proces jako zdarzenie o energii Plancka rozprzestrzenione po całym obszarze. Jeśli natomiast interesują nas bardziej znaczące zmiany w kształcie lub rozmiarze 𝒳, czyli przejście pomiędzy przestrzenią 𝒳 a 𝒳*, różniącą się znacznie od 𝒳, to musimy rozważyć energie znacznie większe od skali Plancka (energie takie, rzecz jasna, są powszechnie dostępne w znanym nam Wszechświecie, występujące choćby w ruchu Ziemi wokół Słońca). Ich dodanie do układu nie nastąpiłoby już za sprawą pojedynczego „minimalnego” kwantu energii w skali Plancka, lecz sukcesywnego przekazywania 𝒳 wielkiej liczby kwantów energii. Aby doszło do przemiany 𝒳 w znacząco inną przestrzeń 𝒳* na dużym obszarze przestrzeni 𝓜, musiałaby to być w istocie olbrzymia liczba tego typu kwantów (o energii rzędu skali Plancka lub większej). Zwykle przyjmuje się, że gdy mowa o zjawiskach, w których bierze udział tak duża liczba kwantów, najlepiej jest je opisywać klasycznie (tj. bez mechaniki kwantowej).

W rzeczywistości, o czym będzie mowa w rozdziale 2, kwestia tego, w jaki sposób zjawiska klasyczne wyłaniają się z wielości procesów kwantowych, prowadzi do szeregu głębokich pytań na temat związków pomiędzy światem kwantowym a klasycznym. Bardzo interesujące (i kontrowersyjne) jest pytanie, czy wyłanianie się zachowań klasycznych wynika po prostu naturalnie na skutek zajścia wielkiej liczby zjawisk kwantowych, czy też występuje tu jakiś osobny proces. Do kwestii tej powrócę w §2.13. Dla celów bieżącej dyskusji nie ma to jednak szczególnego znaczenia; chciałbym zwrócić tylko uwagę na to, że rozsądnie jest stosować argumenty klasyczne przy omawianiu problemu zaburzeń czasoprzestrzeni 𝓜 × 𝒳, przy których przestrzeń 𝒳 faktycznie ulega znaczącej zmianie. Wynikają z tego poważne trudności związane z dodatkowymi wymiarami przestrzennymi, o czym będzie bliżej mowa w następnym podrozdziale.


Rys. 1-32: Różnica pomiędzy przestrzenią 𝓜 interpretowaną jako (a) przestrzeń iloczynowa; (b) podprzestrzeń.

Zanim jednak omówimy te trudności – w odniesieniu do określonego sposobu wprowadzania dodatkowych wymiarów przestrzennych w teorii strun – sądzę, że korzystnie będzie porównać je z pewnym zjawiskiem eksperymentalnym, które przywołuje się czasem jako analogiczne. Przykładową realizacją tego zjawiska jest kwantowy efekt Halla [von Klitzing i in. 1980; von Klitzing 1983] – dobrze potwierdzone eksperymentalnie 2-wymiarowe zjawisko kwantowe zachodzące w zwykłej fizyce 3-wymiarowej. Występuje tu silna bariera energetyczna ograniczająca układ do 2-wymiarowej powierzchni, a fizyka kwantowa tego niżej wymiarowego świata wydaje się nie zwracać uwagi na dodatkowy trzeci wymiar, ponieważ w układzie nie występuje wystarczająco dużo energii, aby pokonać tę barierę. Czasem twierdzi się więc, że zjawisko to można potraktować jako analogiczne do tego, co może dziać się w przypadku dodatkowych wymiarów teorii strun, gdzie nasza zwykła 3-wymiarowa fizyka miałaby być nieczuła na istnienie 9-wymiarowego nadrzędnego świata, w którym się mieści, ze względu na wielką barierę energetyczną.

Jest to jednak całkowicie błędna analogia. Powyższy przykład stosuje się w większym stopniu do modelu „świata bran” opisanego w §1.16, w którym niżej wymiarowa przestrzeń jest podprzestrzenią wyżej wymiarowej, a nie przestrzenią iloczynową, która występuje w standardowych modelach teorii strun, które omawiałem wyżej (czego przykładem jest powyższe wyrażenie 𝓜 × 𝒳) – zob. §A.7 i Rys. 1-32. Dla przedstawionego w następnym podrozdziale argumentu kluczowa jest rola pełniona przez przestrzeń 𝓜, która jest przestrzenią iloczynową, a nie podprzestrzenią. Obraz, w którym niżej wymiarowa przestrzeń jest podprzestrzenią, ma jednak znaczenie w przypadku skrajnie odmiennego modelu „świata bran”, o którym będzie mowa w §1.16.

1.11. Klasyczna niestabilność wyżej wymiarowej teorii strun

Powróćmy teraz do wspomnianej w §1.10 kwestii stabilności klasycznej czasoprzestrzeni o postaci 𝒮 = 𝓜 × 𝒳, gdzie 𝒳 to zwarta przestrzeń o bardzo małych rozmiarach. Choć moja argumentacja nie jest silnie uzależniona od określonej natury przestrzeni 𝒳, wyrażę ją w odwołaniu do tych wersji teorii strun, w których 𝒳 jest zwartą 6-wymiarową przestrzenią określaną jako rozmaitość Calabiego-Yau – więcej na ten temat w §1.13 i §1.14 – tak więc 𝒮 jest 10-wymiarową czasoprzestrzenią. Występują w nich również elementy supersymetrii (§1.14), jednak nie odegrają one żadnej roli w przedstawionej tu przeze mnie analizie, która ma charakter klasyczny (i o której można pomyśleć jako o dotyczącej wyłącznie „ciała” układu, por. §1.14), pozwolę więc sobie na zignorowanie na razie supersymetrii, odkładając jej omówienie do §1.14. Prawdę mówiąc, wymagam wyłącznie tego, aby przestrzeń 𝒳 była przynajmniej 2-wymiarowa, co z pewnością jest spełnione we współczesnej teorii strun, oraz tego, aby czasoprzestrzeń 𝒮 spełniała określone równania pola.

Wspomniałem już wcześniej (w §1.10), że zgodnie z teorią strun rzeczywiście powinny występować równania pola spełniane przez metrykę przypisaną wyżej wymiarowej przestrzeni 𝒮. W pierwszym przybliżeniu możemy uznać, że są to próżniowe równania Einsteina 10G = 0, gdzie 10G to tensor Einsteina utworzony przy użyciu 10-metryki przestrzeni 𝒮. Równania te narzuca się na czasoprzestrzeń 𝒮, w której znajdują się struny, aby uniknąć anomalii – wykraczającej poza anomalię omówioną już w §1.6, która doprowadziła do konieczności zwiększenia wymiarowości czasoprzestrzeni. W rzeczywistości człon „10G” w równaniu 10G = 0 jest tylko pierwszym elementem szeregu potęgowego występującego w niewielkiej wielkości α’ określanej jako stała strunowa – jest to bardzo mały parametr o wymiarze powierzchni, zwykle przyjmowany jako tylko nieznacznie większy od kwadratu długości Plancka (zob. §1.5):

α’ ≈ 10−68 m2.

Równania pola dla 𝒮 można więc wyrazić jako szereg potęgowy (§A.10):

0 = 10G + α’ H + α’ 2J + α’ 3K + ···,

gdzie H, J, K itd. to wyrażenia utworzone z krzywizny Riemanna i jej rozmaitych wyższych pochodnych. Ze względu na bardzo małą wartość α’, człony o wyższych potęgach pomija się zwykle w rzeczywistych wersjach teorii strun (choć poprawność tego kroku jest do pewnego stopnia wątpliwa, ponieważ nie jest znane zachowanie się tego szeregu, jego zbieżność itd. – por. §A.10 i §A.11). W szczególności można uznać, że wspomniane wyżej (zob. §1.13 i §1.14) przestrzenie Calabiego-Yau spełniają odpowiednie równanie dla 6-przestrzeni (6G = 0), co oznacza, że odpowiednie równanie dla 10-przestrzeni iloczynowej 𝓜 × 𝒳 (10G = 0) również obowiązuje, jeśli tylko standardowe równanie próżniowe Einsteina 4G = 0 jest spełniane przez 𝓜 (co jest rozsądnym założeniem dla próżniowego „stanu podstawowego” pól materii)[8]. Wszędzie tu przyjmuję postać równań Einsteina bez członu Λ (zob. §1.1 i §3.1). Stała kosmologiczna byłaby w istocie całkowicie zaniedbywalna przy omawianych tu skalach.