Моделирование канала коротковолновой радиосвязи

(54)

Произведя замену переменной, аналогичную (52), получим:

Произведя интегрирование по частям получим:

(55)

(56)

Если помеха, распределенная по нормальному закону, имеет математическое ожидание m_x=0 и некоторое среднеквадратическое отклонение от математического ожидания σ_х, то медианное значение огибающей этого процесса, m_E и среднеквадратическое отклонение от медианного значения σ_E, в соответствии с (44) и (47), всегда будут равны:

Для такого случайного процесса отношение всегда равно .

Поэтому, таким способом невозможно сформировать помеху с требуемыми параметрами огибающей.

Второй способ.

Рассмотрим формирование помехи посредством формирования двух случайных процессов, основного и сопряженного.

Итак, требуется сформировать некоторую случайную величину х(t), распределенную по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание m_x=0, среднеквадратическое отклонение σ_х, которое зависит от среднеквадратического отклонения огибающей. Определим параметры огибающей этой случайной величины посредством сопряженного процесса [1]. С помощью преобразования Гильберта можно найти некоторую случайную величину y(t), сопряженную с величиной x(t) [1]

(57)

Тогда случайную величину x(t) и ей сопряженную y(t) можно представить в виде [1]:

(58)

            (59)

где – огибающая случайного процесса,      (60)

– фаза случайного процесса.

(61)

Математическое ожидание случайной величины y(t) m_y=0, а среднеквадратическое отклонение σ_y=σ_х.

Определим среднеквадратическое отклонение огибающей σ_Е(t) случайного процесса и установим его связь со среднеквадратическим отклонением σ_х исходного случайного процесса.

В формуле (60) под знаком корня квадратного имеются две случайные величины, которые являются квадратичными функциями случайного процесса. Функция плотности вероятности для нормального закона имеет вид [4]:

(62)

Функция плотности вероятности для нормального закона при квадратичной функции случайного процесса приведена в [1] и для

u

(

t

)=

x

²

(

t

) и, соответственно, будет иметь вид:

(63)

при a=0 функция будет иметь вид:

(64)

Математическое ожидание этой квадратичной функции m_u вычислим как первый момент случайной величины:

(65)

и после подстановки пределов получаем:

(66)

Тогда математическое ожидание огибающей случайного процесса, то есть функции E(t), будет определяться:

(67)

В данном случае математическое ожидание огибающей будет и ее медианным значением.

Дисперсию квадратичной функции D_u вычислим как второй момент случайной величины:

(68)

и после подстановки пределов получаем:

(69)

Тогда среднеквадратическое отклонение квадратичной функции будет равно:

(70)

Дисперсия огибающей случайного процесса, то есть функции E(t), будет определяться:

(71)

Среднеквадратическое отклонение огибающей случайного процесса от медианного значения будет вычисляться по формуле:

(72)

Обратим внимание на то, что для случайной величины, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием m_x=0, параметры огибающей вычисляются по одной и той же формуле:

Это означает, что в шуме, моделируемом посредством основного и сопряженного процесса, формула (57), соотношение всегда будет равно единице. Поэтому этим способом также невозможно смоделировать случайный процесс с требуемыми параметрами огибающей.

Третий способ.

Рассмотрим еще один способ формирования помехи посредством формирования двух процессов: процесса, соответствующего среднеквадратическому отклонению от медианного значения огибающей, и процесса, соответствующего медианному значению огибающей.

Для этого сформируем случайные величины x(t) огибающей случайного процесса X(t), распределенные по нормальному закону с параметрами: m_x=0 и σ_x. Сформируем случайные величины y(t) случайного процесса Y(t), распределенного по равномерному закону в котором случайная величина может принимать только два значения: y(t)=± m_y. Вычислим случайные величины z(t)=x(t)+y(t), генерируемого процесса Z(t). Для формирования случайных величин x(t) в MATLAB можно сгенерировать случайную величину x₁=rand, распределенную по равномерному закону в диапазоне [0,1], а затем по интегральной функции нормального закона распределения получить случайные величины x(t).

Для формирования случайных величин y(t) в MATLAB можно сгенерировать случайную величину y₁=randi([0,1],1), распределенную по равномерному закону и имеющую значения только 0 и 1, а затем сформировать случайную величину y(t) по следующему закону:

y= m_y при y₁=1;

y= -m_y при y₁=0,

или наоборот, это значения не имеет.

Рассмотрим формируемую таким способом помеху. Плотность распределения формируемой случайной величины x(t), распределенной по нормальному закону, запишется в виде [4]:

(73)

Случайная величина y(t) распределена по равномерному закону и имеет всего два значения +m_y и –m_y, вероятность появления которых Р=1/2.

Суммарная случайная величина z(t)=x(t)+y(t)=x(t)±m_y, определена на двух интервалах: z≥0 и z≤0. При z≥0 случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами σ_x и плюс m_y, а при z≤0 с параметрами σ_x и минус m_y. С учетом вероятности появления положительных и отрицательных значений случайной величины ее плотность распределения можно записать в виде:

(74)

      (75)

Определим медианное значение огибающей этого случайного процесса в соответствии с (51).

Подставив медианное значение, вычисленное в (53) для нормального закона распределения получим:

(76)

Определим дисперсию огибающей этого случайного процесса в соответствии с (54).

Подставив значение дисперсии огибающей, вычисленное в (55) для нормального закона распределения получим:

Соответственно

(77)

Из (76) и (77) найдем значения параметров σ_x и m_y, необходимых для формирования случайного процесса с огибающей, соответствующей рассчитанной.

(78)

            (79)

Задача решена. С помощью данного способа имеется возможность формировать случайный процесс с параметрами огибающей, соответствующими требуемым.

Формирование случайной величины с огибающей, распределенной по логарифмически нормальному закону.

Если случайная величина x(t) распределена по логарифмически нормальному закону, то ее плотность вероятности запишется в виде [4]:

(80)

Тогда случайная величина

(81)

будет распределена по нормальному закону с плотностью распределения [4]

(82)

Как видно из (70) и (71), при переходе от одного закона распределения к другому параметры m_x и σ_x не изменяются, поэтому и параметры случайной величины с огибающей, распределенной по нормальному закону, m_E и σ_E не будут изменяться при переходе к огибающей, распределенной по логарифмически нормальному закону. Из (71) находим формулу для перехода от случайной величины, распределенной по нормальному закону, к случайной величине, распределенной по логарифмически нормальному закону

(83)

Способ формирования случайной величины z(t) с огибающей, распределенной по нормальному закону бы определен выше в третьем способе. Остается по формуле, аналогичной (83), от случайной величины z(t) перейти к случайной величине z₁(t) с огибающей, распределенной по логарифмически нормальному закону

(84)

Таким образом, способ формирования случайной величины с огибающей, распределенной по логарифмически нормальному закону, также определен.

Формирование случайной величины с огибающей, распределенной по полунормальному закону.

Под полунормальным законом распределения (Half-normal distribution) понимают нормальный закон распределения, заданный на половине интервала, но для которого площадь под кривой спектральной плотности равна площади под кривой спектральной плоскости нормального закона распределения, заданного на всем интервале от -∞ до +∞. В литературе на русском языке упоминание об этом законе распределения встречается крайне редко, в основном под названием «усеченный слева нормальный закон распределения».

Плотность распределения и интегральная функция для полунормального закона распределения записывается в виде [5]:

(85)

            (86)

Из формулы (85) видно, что это центрированный (m_x=0) нормальный закон распределения с удвоенной плотностью, заданный на половине интервала.

Определяя по формулам (51) и (54) медианное значение огибающей этого закона распределения и стандартное отклонение от медианного значения получаем:

(87)

                  (88)

Сравнивая с аналогичными параметрами, полученными для нормального закона в (53) и (56), видим, что для полунормального закона распределения эти параметры в два раза больше, чем для нормального закона.

Формировать случайную величину с огибающей, распределенной по полунормальному закону будем аналогично рассмотренному выше третьему способу формирования случайной величины, но с учетом значений, полученных в формулах (87) и (88). Медианное значение огибающей и стандартное отклонение от огибающей должны бать в 2 раза больше, чем для огибающей, распределенной по нормальному закону, полученные в (76) и (77), в результате чего будем иметь:

(89)

            (90)