Fundamentos de ingeniería estructural para estudiantes de arquitectura

Como se discutió en la Sección 1.5, la Ec. 1-46 es equivalente a tres ecuaciones escalares (Ecs. 1-30 ó 1-31) que corresponden a las condiciones de equilibrio en términos de las componentes (o proyecciones) de las fuerzas con respecto a cada uno de los ejes de un sistema de coordenadas tridimensional. Del mismo modo, la ecuación de momentos (Ec. 1-47) equivale también a tres ecuaciones escalares en términos de las componentes (o proyecciones) de los momentos con respecto al sistema de referencia tridimensional. En resumen, las ecuaciones escalares de equilibrio de un cuerpo rígido en el espacio son seis.

Un gran número de casos de equilibrio de cuerpos rígidos en el espacio pueden tratarse como problemas planos, e incluso, cuando tal simplificación no es posible, los problemas pueden al menos parcialmente descomponerse para ser analizados en varios planos separadamente. Por problema plano se entiende aquel en que las fuerzas del sistema pueden suponerse contenidas en un plano, aunque no necesariamente los cuerpos involucrados sean planos (como por ejemplo el caso de la Fig. 1.33.c). Con frecuencia también se presentan casos en que el espesor del problema, o su tercera dimensión, es despreciable frente al tamaño de los cuerpos en el plano de sus dos dimensiones predominantes, como se discutirá más adelante en relación con el equilibrio de estructuras “planas”. La simplicidad de los problemas planos los hace particularmente atractivos para madurar los conceptos fundamentales de equilibrio; su simplicidad radica en que las Ecs. 1-46 y 1-47, que como se dijo antes representan seis ecuaciones escalares, se reducen a tres. En efecto, si el plano de las fuerzas del sistema es el plano xy, la tercera de las Ecs. 1-46 (Ec. 1-30.c ó 1-31.c) es irrelevante, por su parte, de las tres ecuaciones de momento, sólo queda una. Las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido plano son entonces:

en que O es punto cualquiera del plano de las fuerzas.

Ejemplo 1.19

Un hombre y un niño de pesos 70 y 32 kg respectivamente se encuentran sobre una pasarela provisoria de 100 kg de peso y 5 m de longitud como muestra la Fig. E1.19.a. Determinar las reacciones en los apoyos de la viga.

Figura E1.19

Solución: La Fig. E1.19.b muestra el modelo de cuerpo libre de la viga indicando las fuerzas que actúan sobre ella. Se han supuesto sólo dos fuerzas de reacción verticales en los extremos de la viga, ya que no hay solicitaciones horizontales. A las reacciones se les ha supuesto un sentido hacia arriba, opuesto al sentido de las cargas gravitacionales. Las ecuaciones de equilibrio relevantes son las Ecs. 1-48.b y c:

de la segunda ecuación se obtiene R₂=405/5=81 kg, valor que introducido en la primera da R₁=121kg.

Ejemplo 1.20

A una barra homogénea de 4 m de longitud y 100 kg de peso, que se apoya como se muestra en la Fig. E1.20.a, se le aplica una carga vertical P en su extremo A. Los contactos son rugosos con coeficiente μ=0,6. Se pide: a) Plantear las ecuaciones de equilibrio; b) Estudiar para que valor de P se rompe el equilibrio (por deslizamiento de la barra o porque su extremo B se levanta del piso).

Figura E1.20

Solución: La Fig. E1.20.b muestra el diagrama de cuerpo libre de la barra con todas las fuerzas externas que actúan sobre ella. Las reacciones R_C y R_B son las “normales” (perpendiculares) a los planos de deslizamiento tangencial, y las fuerzas de roce F_rB y F_rC son por supuesto tangenciales, es decir perpendiculares a las normales, y de sentido opuesto al deslizamiento potencial. El peso de la barra actúa en su centro de gravedad (punto medio). El ángulo α es conocido pues tgα=l/2, o sea α=26,565º.

a) Las ecuaciones de equilibrio (Ecs. 1-48) son las siguientes:

La primera observación que procede hacer es que este sistema de 3 ecuaciones tiene 5 incógnitas: P y las 4 componentes de reacción, luego no puede resolverse. Incluso si la fuerza P fuera un dato conocido tampoco podrían calcularse las 4 reacciones incógnitas. Por ello, las condiciones a que se refiere la parte “b” del problema deberán aportar nuevas ecuaciones que permitan resolver el sistema de ecuaciones.

b) Caso de deslizamiento de la barra:

La condición de deslizamiento corresponde al caso límite de equilibrio, luego se cumple que:

dos ecuaciones adicionales que sumadas a las 3 anteriores permiten resolver para las 5 incógnitas antes mencionadas, obteniéndose: R_B=-19,18 kg, F_rB=-11,51 kg, R_C=128,64 kg, F_rC=77,18 kg, P=30,40 kg. Pero, la reacción R_B no puede ser negativa, ya que el piso no podría ejercer una fuerza de ese sentido pues antes la barra se levantaría despegándose del piso en el punto B. Este es justamente el segundo caso que hay que analizar, ya que la situación de deslizamiento no ocurre.

c) Caso de levantamiento de la barra en B:

El diagrama de la Fig. E1.20.b sigue siendo válido con la modificación que R_By F_rB no existen pues no hay contacto en B. O sea, se ha supuesto que se está justo iniciando el despegue del extremo B de la barra que se encuentra a una distancia ínfima del piso.

Las ecuaciones de equilibrio se obtienen de las mismas anteriores haciendo R_B=0 y F_rB=0. Se tiene entonces:

sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas de donde se obtienen P= 13,38 kg, R_C=101,41 kg, y F_rC=50,71 kg. Lo que indica que para P=13,38 se rompe el equilibrio por levantamiento del extremo B de la barra. Notar también que cuando esto ocurre F_rC ≠μR_C, como era de esperar, porque esta situación no tiene nada que ver con una condición límite de equilibrio por deslizamiento.

Ejemplo 1.21

Una escalera de 3 m de largo y peso 35 kg se apoya formando un ángulo de 60º como se muestra en la Fig. E1.21.a. La pared es lisa pero existe fricción con el suelo con coeficiente de roce μ. Se pide: a) Determinar las reacciones en el piso y en el muro cuando un hombre de 75 kg de peso sube hasta una distancia de 2 m medida desde el extremo inferior de la escalera; b) Determinar el coeficiente de roce μ necesario para que el hombre pueda llegar al extremo superior de la escalera.

Figura E1.21

Solución: La Fig. E1.21.b muestra el diagrama de cuerpo libre de la escalera. La reacción en B es perpendicular al muro por ser contacto liso. En la base A existe tanto reacción normal V_A como componente tangencial de roce H_A.

a) Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas verticales, horizontales y momentos son respectivamente:

b) Considérese que cuando el hombre llega arriba se alcanza el estado límite de equilibrio. Las ecuaciones i e ii son las mismas anteriores. En la ecuación iii sólo se modifica la distancia d que ahora es 3 m, luego:

Notar como aumenta la fuerza de roce a medida que el hombre sube. En la condición límite de equilibrio el roce alcanza el valor máximo que puede desarrollar, o sea:

Naturalmente para este valor del coeficiente de roce la escalera estará “a punto de deslizar” cuando el hombre llegue al extremo superior. Si se desea evitar el riesgo de caída, debería haber un coeficiente de roce mayor que el valor mínimo necesario calculado. Sin embargo, puede pensarse que en una situación real también existirá rugosidad en el contacto con el muro, y la fuerza de roce correspondiente ayudará al equilibrio. Como ejercicio el lector puede rehacer el problema pero con fricción tanto en A como en B. Se dará cuenta que no puede resolver la parte “a”, ¿por qué?. Al resolver la parte “b” por cierto encontrará que el coeficiente de roce necesario es menor que el antes calculado.

Ejemplo 1.22

La Fig. E1.22.a muestra un tecle, que es un aparejo para levantar objetos de gran peso en forma manual. Típicamente el tecle se cuelga de un marco móvil que permite trasladarlo a distintos lugares en un taller; en la figura se muestra suspendido de un techo fijo. La parte superior del aparato se compone de dos poleas solidarias (unidas a un mismo eje) de radios diferentes. Una cadena sin fin pasa por las poleas, las que son dentadas para enganchar los eslabones de la cadena e impedir su deslizamiento. Al tirar el hombre de la cadena, las poleas superiores giran juntas, pero el punto A de la polea de radio mayor avanza más que el punto B de la de radio menor, lo que tiene por efecto que la polea C y la carga suban. Notar que el hombre tira hacia un lado de la cadena y el otro lado queda suelto. Si los radios de las poleas solidarias son r₁=10 cm y r₂=8 cm, determinar la fuerza que debe hacer el hombre para levantar un peso W=300 kg. Despreciar los pesos de la cadena y de las poleas.

Solución: Del diagrama de cuerpo libre de la polea C (Fig. E1.22.b), despreciando el peso de la polea, se tiene que las cadenas que la soportan realizan cada una fuerzas de W/2. Estas fuerzas se transmiten a la polea superior como se muestra en la Fig. E1.22.c. Hacia el lado de la cadena suelta, la fuerza es Q=0, ya que se está despreciando el peso de la cadena. La fuerza que realiza el hombre es F; nuevamente, despreciando el peso de la cadena, F actúa como se indica en la Fig. E1.22.c. Tomando momentos en tomo al punto O se tiene:

Figura E1.22.a

Notar que si r₂ se aproxima a r₁ la fuerza F se hace cada vez más pequeña. En particular si r₂ =r₁ resulta F=0, es decir el hombre no realizaría esfuerzo, pero el aparato sería inútil porque la carga no subiría aunque se dieran vueltas y vueltas a la cadena. Para los datos especificados en el enunciado se obtiene

Figura E1.22(continuación)

Ejemplo 1.23

Un cajón homogéneo de 150 kg de peso ha volcado apoyándose en otro cajón de 100 kg de peso. El coeficiente de fricción de los cajones con el suelo es μ=0,4. El contacto entre ambos cajones es liso. Determinar si el sistema está en equilibrio.

Figura E1.23.a

Solución:

i) Equilibrio del cajón 1

La Fig. E1.23.b muestra el diagrama de cuerpo libre del cajón 1. En el piso hay reacciones normal y de roce, no así en C donde el contacto es liso. Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas son:

La ecuación de momentos conviene tomarla con respecto al punto A; para ello hay que calcular previamente la distancia “d” de la fuerza de 150 kg al punto A:

luego:

La máxima fuerza de roce que puede desarrollarse es F_rmax =μN_A=0,4·150=60 kg; como F_rA<F_rmax el cajón 1 está en equilibrio.

ii) Equilibrio del cajón 2

Este cuerpo podría perder el equilibrio de dos formas: por deslizamiento o por volcamiento. Para analizar el deslizamiento considérese la Fig. E1.23.c; las ecuaciones de equilibrio de fuerzas son:

La fuerza de fricción máxima que puede desarrollarse es F_rmax=μN=0,4·100=40 kg; como F_r<F_rmax el cajón 2 no desliza.

Para analizar el volcamiento considérese la Fig. E1.23.d. El volcamiento ocurrirá por giro en torno a la arista D del cajón, tendiendo éste a levantarse manteniendo contacto con el suelo solamente a través de la arista D. Por ello, las reacciones del piso deberán actuar justo en D. Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas son las mismas anteriores. La ecuación de equilibrio de momentos en torno a D requeriría:

lo que no se cumple porque 1060,7≠1000, luego el cajón 2 vuelca. Entonces el cajón 1 tampoco está en equilibrio porque no puede afirmarse en el cajón 2.

Figura E1.23(continuación)

1.9 Ejercicios Propuestos

1.01 Localizar los centros de gravedad de los alambres delgados que se indican en la figura. (Respuesta: x*=-3b/34, y*=45b/272; x*=6,71 cm, y*=17,95 cm)

1.02 Hallar el centro de gravedad del área mostrada en la figura. (Respuesta: x*= 1,09 cm, y*=3 cm)

1.03 Encontrar el centro de gravedad de los 4 círculos de radio 1 cm ubicados como se indica. (Respuesta: x*=5 cm, y*=3 cm)

1.04 Encontrar el centro de gravedad de la superficie sombreada de la figura. (Respuesta: x*=4 cm, y*=4,55 cm)

1.05 Demuestre que el centro de gravedad de un área trapecial de bases a y b y altura h tiene una coordenada y* igual a

1.06 Encontrar el centro de gravedad del área de la figura achurada (usar centro de gravedad de un sector semicircular de Tabla V.2). (Respuesta: x*=17,88 cm, y*=38,47 cm)

1.07 Un disco de radio r₁=50 cm y espesor unitario tiene cuatro agujeros como se muestra en la figura. Los centros de los agujeros están sobre una circunferencia de radio r₂=30 cm formando ángulos de 60º. Determine el centro de gravedad del disco en el plano x, y. (Respuesta: x*=13 r ²₃/(625–r ²₃), y*=0 cm)

1.08 Encontrar el centro de gravedad del área de la figura achurada. (Respuesta: x*=8,4 cm, y*=4,7 cm)

1.09 Determinar el centro de gravedad de una placa circular de material homogéneo y espesor constante con una perforación triangular como se muestra. (Respuesta: x*=y*= -0,5074)

1.10 Determinar las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo plano que se indica, el cual está dibujado a escala. Cada cm² de área (achurada) pesa 15 gramos y cada cm de longitud de la barra AB pesa 5 gramos. (Respuesta: x*=3,95 cm, y*=6,62 cm)

1.11 Descomponga la fuerza de 800 kg en dos componentes a lo largo de las direcciones e₁ y e₂ indicadas. Use solución gráfica y compruebe analíticamente. (Respuesta: F₁=771,58 kg, F₂=601,99 kg)

1.12 Sobre una partícula actúa el sistema de fuerzas F₁=800 kg, F₂=600 kg, F₃=1131,4 kg y F₄= 1341,6 kg. Determinar la resultante del sistema e indicar cuáles son sus componentes en las direcciones x e y. Determinar las componentes de la resultante en un nuevo sistema de ejes x’ y’ correspondiente al sistema xy original girado en 45° en sentido trigonométrico positivo. Use solución gráfica y compruebe analíticamente. (Respuesta: F_x= -200 kg, F_y= -600 kg, F_x’= -565,69 kg, F_y’= -282,84 kg)

1.13 Sobre una partícula actúa el sistema de 5 fuerzas coplanares indicado. Se pide: a) determinar analíticamente su resultante, b) dibujar el polígono de fuerzas y su resultante. (Respuesta: R=57,77, α=265,7º)

1.14 Sea un sistema de fuerzas F_i que actúan en un plano vertical, formando ángulos α_i medidos desde la dirección x horizontal, y aplicadas en los puntos P_i cuyas coordenadas se indican. Usando el polígono funicular determinar gráficamente la resultante e indicar el punto de coordenadas (x, 0) por donde pasa la línea de acción de la resultante.

1.15 Sobre un soporte fijo a la pared actúan las fuerzas F₁=50, F₂=80 y F₃=90 formando ángulos α=31° y β=60°. Determine: a) la magnitud y dirección de la resultante R = {F₁, F₂, F₃}, b) las componentes horizontal y vertical de R y dibújelas actuando sobre el soporte en sus sentidos positivos, c) las reacciones V y H de la pared sobre el soporte y dibújelas actuando sobre el soporte en sus sentidos positivos. (Respuesta: R=175,8, α=17,27°, R_H=167,9, R_v =52,2)

1.16 Determinar la resultante del sistema de fuerzas paralelas dado: a) mediante solución geométrica utilizando polígono funicular, b) utilizando el concepto de centro de gravedad.

1.17 Un bloque de peso W se sostiene mediante dos cables livianos. Determinar las fuerzas en los cables. (Respuesta: 0,879W; 0,652W)

1.18 Una esfera que pesa 10 kg y tiene 15 cm de radio cuelga de un cable liviano y se apoya sobre una pared lisa. Determinar la fuerza T en el cable y la reacción de la pared sobre la esfera. (Respuesta: 10,44; 3)

1.19 Sobre una pequeña rueda que puede moverse libremente sobre un hilo liviano se aplica una fuerza P. Demuestre que sólo hay equilibrio si α=7,5º, y que en el estado de equilibrio la fuerza de tracción del cable es 82,1% de P.

1.20 Un cuerpo que pesa 1000 kg cuelga del sistema de cables flexibles y livianos representados en la figura. Determinar las fuerzas en los cables AC, BC, CD y DE. (Respuesta: T_AC=597,72 kg, T_BC=1154,70 kg, T_CD=1154,70 kg, T_DE=577,35 kg)

1.21 El polipasto de la figura soporta un peso de 150 kg. Sabiendo que β=20º, hallar la magnitud y la dirección α de la fuerza P que debe ejercerse en el extremo libre de la cuerda para mantener el equilibrio. (Respuesta: 57,5; 46,84º)

1.22 Un cilindro de peso 15 kg y radio 20 cm descansa sobre otro cilindro de peso 20 kg y radio 30 cm como se muestra. Calcule todas las fuerzas que actúan sobre el cilindro inferior. (Respuesta: 25 kg, 23,45 kg y 23,1 kg)

1.23 La barra AB y el hilo BC de la figura no tienen peso. Del punto B se cuelga un peso de 100 kg. Calcular los esfuerzos en la barra y el hilo. (Respuesta: -87; 79,9)

1.24 Dos discos de radio 6 cm y peso P se amarran de sus centros por medio de un hilo sin peso y sostienen sobre ellos a un tercer disco de radio 9 cm y peso 2P. El largo del hilo es tal que la fuerza de contacto entre los discos inferiores es nula. Todos los contactos son lisos. Determine: a) la fuerza que soporta el hilo, b) la reacción del suelo sobre cada uno de los discos inferiores, c) la fuerza de interacción entre un disco inferior y el superior. (Respuesta: T=0,436P, N=2P, R=1,09P)

1.25 El cable liviano del sistema de la figura tiene una longitud a. Uno de sus extremos está amarrado a un apoyo fijo en A y el otro a un peso ω después de pasar por una polea lisa en B. Sobre el cable se mueve libremente la rueda C que sostiene el peso W. Demuestre que en la posición de equilibrio Demuestre que sólo hay equilibrio si ω>W/2.

1.26 Un hombre que pesa 80 kg tira en dirección vertical de una cuerda liviana con el objeto de levantar un bloque de peso 25 kg. Calcule la Fuerza F que hace el hombre y grafíquela en función del ángulo θ. Comente las características del gráfico. ¿Cuál es el valor de la fuerza T_o en la cuerda y el ángulo θ_o cuando el hombre no puede seguir levantando el peso? (Respuesta: T=12,5/cosθ, T_o=80, θ_o=81°)

1.27 Un bloque que pesa 10 kg se suspende de una pared y del cielo mediante una cuerda liviana de 80 cm de largo. El gancho puede deslizar libremente sobre la cuerda. Determinar el esfuerzo en la cuerda y los ángulos α y β. (Respuesta: 6,4 kg, α=38,68º, β=51,32º)

1.28 Un peso W se encuentra descansando sobre un plano liso inclinado en α=30° con la horizontal, atado a una cuerda que pasa sobre la polea lisa A y sostiene en su otro extremo un peso P=0,7W. ¿Qué ángulo γ forma la cuerda con el plano en la posición de equilibrio?. Demostrar que el problema sólo tiene solución si P ≥ 0,5W. (Respuesta: γ =44,41^o)

1.29 Un cilindro de peso 100 y un bloque de peso 200 descansan sobre dos planos inclinados como se muestra. Todos los contactos son lisos. Calcular todas las reacciones externas e internas. (Respuesta: N₁=173, N₂=0, N₃=173, R=100)

1.30 Dos cilindros lisos de pesos W₁ y W₂ descansan en contacto dentro del espacio formado por dos planos inclinados en α y β con respecto al plano horizontal. Encontrar las reacciones de los planos sobre los cilindros y la fuerza interna de contacto entre ambos cilindros. (Respuesta: R₁=(W₁+W₂)senβ/sen(α+β), R₂=(W₁+W₂)senα/sen(α + β), tanγ=(W₂cotα–W₁cotβ)/(W₁+W₂), F=R₂senβ/cosγ)

1.31 Determinar la fuerza que debe ejercer sobre la cuerda un hombre de peso W para sostenerse a sí mismo. Determinar la fuerza total que se traspasa al techo. Despreciar el peso de la silla, cuerdas y poleas. (Respuesta: W/5, W)

1.32 Tres cilindros de diámetros 8, 10 y 16 cm pesan 222, 350 y 890 kg respectivamente. Determinar las fuerzas que ejercen las paredes y el piso sobre los cilindros inferiores y las fuerzas de interacción entre éstos y el cilindro superior. Todas las superficies lisas. Se sugiere determinar primero los ángulos del triángulo cuyos vértices son los centros de los cilindros. (Respuesta: Ángulos: 47,43º; 52,92º; 79,65º; Reacciones: V₁=696, V₂=766, H=361, R₁=500, R₂=653 kg)

1.33 Determine el ángulo θ para el cual la barra de peso W y largo L estará en equilibrio si los contactos son ambos lisos. Determinar las reacciones de los planos sobre la barra. En ambos casos trate la barra como partícula. (Respuesta: θ=57,55º, 0,606W, 0,873W)

1.34 Los tres bloques de la figura pesan W1=200 kg, W2=100 kg y W3=150 kg. Los coeficientes de fricción en los contactos son los indicados. Determinar la fuerza F que rompe el equilibrio del sistema. (Respuesta: 60 kg)

1.35 A un bloque de peso 100 kg que se encuentra sobre un plano inclinado en 30° se le aplica una fuerza P=20 kg como se indica. El coeficiente de fricción entre los cuerpos es 0,65. Verificar si el bloque está en equilibrio. (Respuesta: sí)

1.36 Dos bloques de peso W unidos por una cuerda liviana están montados como muestra la figura. Verificar si están en equilibrio. (Respuesta: sí)

1.37 En el sistema de la figura los contactos entre los bloques y los planos en que se apoyan son rugosos con coeficiente de roce igual a 0,3. La cuerda sin peso que une los bloques pasa por una polea lisa. Se pide: a) Si P=0, ¿está el sistema en equilibrio?, b) ¿Qué valor de P se requiere para hacer deslizar los bloques?. (Respuesta: no; 1,82W)

1.38 Sobre una cuña sin peso que sostiene un bloque de peso W se aplica una fuerza horizontal H. Existe rugosidad en todos los contactos con coeficientes de roce μ₀=tanλ₀, μ₁=tanλ₁ y μ₂=tanλ₂. Demostrar que la mínima fuerza H necesaria para mantener el equilibrio es y la fuerza H necesaria para levantar el bloque es

y la fuerza H necesaria para levantar el bloque es

1.39 Sobre un bloque de 1000 kg de peso, que descansa sobre un plano inclinado en 30°, se aplica una fuerza horizontal H. El coeficiente de roce entre el bloque y el plano es μ=0,5. Determinar la magnitud de H requerida para: a) mantener el equilibrio, b) que la fuerza de fricción sea nula, c) iniciar el deslizamiento del bloque hacia arriba. (Respuesta: 60 kg, 577 kg, 1514 kg)

1.40 Los bloques A y B de 30 y 20 kg de peso respectivamente, descansan en equilibrio en un plano inclinado en α=20°. Los coeficientes de fricción son los indicados. Se pide: a) Determinar las fuerzas reactivas sobre los bloques A y B; b) Si se aumenta la inclinación del plano inclinado, ¿para qué ángulo α se rompe el equilibrio? ¿cómo se rompe el equilibrio?. (Respuesta: a) N_A=28,19 kg, F_rA=10,26 kg, N_B=46,98 kg, F_rB=17,l kg; α=24,2°, desliza B sobre el plano inclinado manteniéndose A solidario con B)

1.41 Una cuerda de 2 metros de largo que pesa 3600 gramos (1 cm de cuerda pesa 18 gr) descansa sobre un cilindro rugoso de 20 cm de diámetro y coeficiente de roce μ=0,3. Determinar el mínimo largo x necesario para mantener el equilibrio. (Respuesta: 47,3 cm)

1.42 Si se mantienen las mismas condiciones del Ejercicio 1.23, excepto que ahora la barra AB pesa 30 kg, recalcule la fuerza en el hilo y calcule las reacciones en el apoyo A. (Respuesta: T=91,9, H_A=76,6, V_A=79,3)

1.43 Un cilindro se apoya sobre una barra y un muro en la forma que se indica en la figura. El cilindro pesa 500 kg y la barra 100 kg. Si todas las superficies son lisas, determinar las reacciones en los apoyos A y B de la barra. (Respuesta: H_A=288,7 kg, V_A=283,3 kg, V_B=316,7 kg)

1.44 Una barra de longitud 2L y peso W se apoya en una polea lisa y en una pared rugosa. El coeficiente de fricción entre la barra y la pared es 0,5. Comprobar si para α=60° la barra está en equilibrio. (Respuesta: no)

1.45 Una barra de metal de 3 m de largo y 28 kg de peso se apoya sobre un piso de baldosas mojadas, y por lo tanto muy resbaloso (contacto liso), y sobre un muro de hormigón (contacto rugoso con coeficiente de roce igual a 0,3). ¿Está la barra en equilibrio?. (Respuesta: no)

1.46 La grúa horquilla de la figura tiene una tara de 5000 kg y su centro de gravedad (CG) se ubica como se muestra. Determinar la carga neta máxima que puede levantar ubicada en la posición indicada. Determinar las reacciones en las ruedas para la carga bruta máxima. (Respuestas: W_max= 4000 kg, reacciones 4500 y 0)

1.47 Una placa de madera de 2 metros de largo, 0,8 m de ancho y peso 25 kg, se mantiene en un plano vertical apoyándose en el piso rugoso con coeficiente de roce 0,2 y en un rodillo liso en B. El punto de contacto B está a 0,6 m de altura sobre el piso. Calcular las reacciones en B y en A. ¿Está la placa en equilibrio?. (Respuesta: N_B=13,64 kg, H_A=8,77 kg, V_A=14,55; no)

1.48 Un vehículo que pesa 1400 kg incluidos sus pasajeros remolca un carro de 180 kg de peso. La ubicación de los centros de gravedad A y B de cada uno se muestran en la figura. El carro se carga con 200 kg en bultos distribuidos en forma no-homogénea, quedando el centro de gravedad C de la carga en la posición indicada. La barra de tiro del carro puede girar libremente en torno a la rótula de enganche D. Determinar: a) Las reacciones en las ruedas del vehículo sin el carro; b) Las reacciones en todas las ruedas cuando se engancha el carro. (Respuesta: 420, 280 kg; 407, 323, 160 kg)

1.49 El sistema de la figura consta de dos barras AC y BC que pesan 240 y 113 kg respectivamente y pueden girar libremente en torno a las articulaciones A y B. Tienen contacto liso en C y se sostienen por medio de la cuerda liviana tensada por un peso W que a su vez descansa en la barra AC. Si W=1000 kg, calcular la fuerza que ejerce la cuerda y la reacción interna en C. ¿Qué valor mínimo debe tener W para que el sistema no colapse?. (Respuesta: 489,6 kg, 290 kg; 249,5 kg)

1.50 La barra uniforme AB de la figura pesa 40 kg y puede girar libremente en torno a la articulación en B. El hombre pesa 80 kg y tira de la cuerda que sostiene la barra. La cuerda pasa por un semicilindro fijo con coeficiente de roce 0,4. Calcular la fuerza mínima vertical que debe hacer el hombre para mantener el equilibrio. (Respuesta: 31,91 kg)

1.51 La barra AB de la figura “a” tiene peso W, largo L, y está articulada en el punto B. El extremo A se sostiene mediante un hilo liviano, que pasa por una polea lisa, del cual cuelga un bloque en su otro extremo. Se pide: a) Determinar cuánto debe pesar el bloque para que la barra AB esté en equilibrio, b) Suponiendo que el bloque tiene efectivamente el valor antes calculado, pero en vez de estar la barra articulada en B sólo se apoya en un plano rugoso con coeficiente μ=0,7 como muestra la figura “b”. ¿Está la barra en equilibrio?. (Respuesta: a) 0,765W; b) No, porque la reacción horizontal necesaria para el equilibrio 0,382W excede la máxima fuerza de fricción que puede desarrollarse en el contacto 0,236W)

1.52 Una viga homogénea que pesa 1000 kg, tiene 3 m de longitud, es paralela a un plano vertical, y se apoya de las distintas maneras indicadas. Los rodillos y las poleas son lisos; en los otros contactos hay roce con los coeficientes de fricción indicados. Se pide: a) en la figura “a” calcular las reacciones en los apoyos; b) en la figura “b”, ¿está la viga en equilibrio?; c) en la figura “c”, determinar el máximo valor de P compatible con el equilibrio. (Respuesta: a) normal a la barra en A 532,6 kg, tangencial 221,9 kg, vertical en B 423 kg; b) No; c) normal a la barra en A 532,5 kg, vertical en B 508,5 kg, P_max=459,3 kg)

1.53 Un hombre de peso W ha colocado una escalera sin peso de longitud L con la pendiente indicada y empezado a ascender por ella. Si los coeficientes de fricción entre la escalera y el piso y entre la escalera y la pared son ambos de 0,25, encuentre cuánto puede subir el hombre (distancia x en la figura) antes de que la escalera resbale. Compruebe y explique por qué antes de ocurrir la condición límite de equilibrio por deslizamiento no es posible encontrar las reacciones del piso y la pared. (Respuesta: x=0,376L; hay 4 incógnitas y sólo 3 ecuaciones, es decir, es un problema hiperestático).

1.54 La barra de la figura está sostenida por una articulación en B y por un cable en A. Encuentre: a) la tensión en el cable, b) las reacciones en B. (Respuesta: a) 2588, b) V=2157, H=2315)

1.55 Una rueda de radio 3r y peso W se encuentra sobre un plano inclinado rugoso y está sujeta por una cuerda enrollada a su eje de radio r (la cuerda de varias vueltas sobre el eje de modo que no puede deslizar sobre él), a) Si la rueda está en equilibrio, determinar la reacción del plano sobre ella y la tensión en la cuerda, b) Determinar el coeficiente de fricción mínimo requerido para que sea posible el equilibrio. (Respuesta: a) N=Wcosα, F_r=0,5Wsenα, T=3F_r; b) μ=0,5tgα)