Fundamentos de ingeniería estructural para estudiantes de arquitectura

Figura 1.39 Dirección tangencial del roce

c) La fuerza de roce que puede desarrollarse entre dos cuerpos tiene un valor límite máximo:

en que μ es el coeficiente de roce estático, que depende de los materiales en contacto y las condiciones de sus superficies, y de N, que es la fuerza normal de contacto perpendicular a la superficie tangencial de deslizamiento potencial. Cuando la fuerza de fricción F_r excede F_max se rompe el equilibrio estático y se inicia el deslizamiento. Generalmente el deslizamiento continúa porque el coeficiente de roce cinemático μ_c es aún menor que μ. Cuando la fuerza de fricción es idéntica a F_max se dice que el cuerpo se encuentra en la condición límite de equilibrio o a punto de deslizar. Cuando la fuerza de fricción F_r es menor que F_max el cuerpo puede encontrarse en equilibrio.

Valores típicos del coeficiente de roce se presentan en la Tabla 1.1. Debe notarse sin embargo que ellos sólo tienen valor referencial, ya que pueden variar ampliamente dependiendo de las distintas calidades de cada material, del acabado de las superficies y su limpieza, de la temperatura, y por cierto en alto grado de la presencia de agua o lubricación.

d) El coeficiente de roce μ, es independiente de la fuerza normal N y no depende del área de contacto de los cuerpos involucrados. El hecho de que el contacto se realice en un área pequeña, manteniendo N constante, sólo involucra una presión de contacto mayor, pero no altera a μ ni a la fuerza de roce máxima F_max.

TABLA 1.1 Valores Típicos del Coeficiente de Roce Estático

Como se mencionó antes, el valor de μ para cada caso específico es muy incierto. Afortunadamente, sin embargo, su valor puede determinarse mediante un experimento muy simple. Este consiste en disponer una rampa de inclinación variable hecha de uno de los materiales y colocar sobre ella el segundo material, como ilustra la Fig. 1.40.a. Para cualquier inclinación ϕ, las fuerzas que actúan sobre el bloque y el correspondiente polígono de fuerzas se muestran en las Figs. 1.40.b y c.

Figura 1.40 Determinación del coeficiente de roce

El experimento consiste en aumentar progresivamente el ángulo ϕ hasta alcanzar ϕ_max compatible con el equilibrio, es decir hasta que se inicie el deslizamiento del bloque. En referencia a la Fig. 1.40.c, con ϕ=ϕ_max y utilizando el Teorema de Lamy, las ecuaciones de equilibrio son:

utilizando la segunda igualdad se tiene

pero por ser la situación límite de equilibrio, la fuerza de fricción alcanzó su valor máximo, luego

igualando las Ecs. 1-37 y 1-38 se tiene

con lo cual, medido ϕ_max en el experimento, se obtiene el coeficiente de roce μ entre ambos materiales.

La explicación del experimento anterior se presta para introducir el concepto de ángulo de roce, que corresponde a la inclinación máxima respecto a la normal que puede adoptar la fuerza interna total entre dos superficies en contacto. En la Fig. 1.40.b la reacción se planteó en términos de las componentes normal al plano N y tangencial al plano F_r. Por supuesto la reacción total R es la suma de ellas dos, como muestra la Fig. 1.40.d, y por cierto R es vertical, e igual en magnitud y sentido contrario a W, pues el equilibrio exige R=W. Como puede apreciarse en la Fig. 1.40.d, R forma ángulo ϕ con la normal, o sea, forma ángulo ϕ con el plano inclinado. El experimento antes descrito puede entonces interpretarse diciendo que en la medida que se aumenta la inclinación de la rampa, se obliga a cambiar la inclinación de R con respecto al plano inclinado, aunque su magnitud se mantiene siempre constante igual a W y su dirección se mantiene siempre vertical. La pérdida de equilibrio al alcanzar ϕ_max se explica entonces porque las superficies en contacto no son capaces de desarrollar una reacción interna con inclinación mayor a ϕ_max. La máxima inclinación, o ángulo de roce, se relaciona con el coeficiente de fricción según la Ec. 1.39, de donde:

La interpretación geométrica del ángulo de roce máximo ϕ_max es el llamado cono de roce. Si se tiene una partícula sobre una superficie cualquiera, para mantenerla en equilibrio en contacto con la superficie, la reacción R de la superficie sobre la partícula debe encontrarse sobre o al interior del cono generado por las infinitas rectas que forman ángulo ϕ_max con la normal a la superficie en el punto de contacto (Fig. 1.41). Cuando R está justo sobre el cono, la partícula se encuentra en estado límite de equilibrio.

Figura 1.41 Cono de roce

Otra aplicación de la fricción se encuentra en el caso de cuerdas o correas en contacto con superficies rugosas. Por ejemplo, la Fig. 1.42.a muestra una cuerda real pesada que descansa en reposo sobre la rama de un árbol, aunque sin duda el peso de las partes colgantes es diferente como muestra la Fig. 1.42.b. Este tipo de fricción se utiliza mucho en máquinas, para transmitir el movimiento de un elemento rotatorio a otro, casos muy conocidos son la correa del ventilador de un automóvil, o la correa de la antigua máquina de coser movilizada con los pies. Una importante aplicación industrial es la correa transportadora, que consiste en una banda sin fin para acarrear granos, minerales, o productos molidos en general; el movimiento de la banda de goma se mantiene por contacto rugoso con un cilindro motriz accionado por un motor.

Por el contrario, hay ocasiones en que se desea minimizar el roce de contacto, utilizándose para ello dispositivos como las poleas. Cuando puede ignorarse el roce, por ser despreciable, se usan modelos de contacto liso, como muestran las Figs. 1.42.c y d; la propiedad fundamental en este caso es que la tensión T de la cuerda se mantiene constante, independiente de la longitud de contacto con el apoyo liso y de los ángulos de despegue de la cuerda a ambos lados de la curva de apoyo.

Figura 1.42 Cuerdas en contacto rugoso (a y b) y lisos (c y d)

Para analizar el estado de equilibrio límite de una cuerda liviana en contacto con una superficie cualquiera rugosa, considérese la Fig. 1.43. La cuerda está en contacto con la curva entre los puntos A y B donde se despega de ella, siendo tangente a la curva en dichos puntos. En A y B se han trazado las normales a la curva (perpendiculares a la tangente), las que se intersectan en 0 formando el ángulo β. Suponiendo que la cuerda está a punto de deslizar hacia la izquierda, a lo largo del camino entre A y B se desarrollan fuerzas de fricción en el contacto, designadas por f, que se oponen al deslizamiento (sentido contrario a T), y fuerzas normales n. Estas fuerzas, que podrían considerarse actuando en pequeños segmentos de la cuerda, no son constantes sino dependen de la curvatura de la superficie en el punto de contacto; en efecto, a mayor curvatura mayores son n y f (f=μn), mientras que si no hay curvatura (contacto plano) n y f son nulas. Por simplicidad, en la Fig. 1.43 se muestran con las mismas letras a todo el largo del contacto, pero en rigor son distintas en cada punto. Claramente T > T_o ya que, para romper el equilibrio, la fuerza T debe vencer a T_o más todas las fuerzas de fricción a lo largo del contacto. La evaluación de la relación entre T y T_o requiere usar cálculo integral (ver Riley y Sturges, 1995), lo que se omitirá aquí, llegándose a la expresión:

En que e es un número notable en matemáticas que corresponde a la base de los logaritmos naturales (la función logaritmo natural, designada por ln, es tal que si para dos números reales dados se cumple que ln(a)=b implica que e^b=a). El número e corresponde al resultado de la serie infinita

Figura 1.43 Cuerda sobre superficie rugosa

Por su parte β, como muestra la Fig. 1.43, es el ángulo de contacto, o ángulo entre las normales en los puntos de tangencia, el que debe expresarse en radianes. Los radianes son una unidad de medida de ángulos: una circunferencia completa, es decir un ángulo de 360°, equivale a 2π radianes. La conversión de β de grados a radianes se obtiene entonces de la proporción

Ejemplo 1.13

Un bloque de peso W se encuentra sobre un plano inclinado en 10° como muestra la Fig. E1.13.a. El coeficiente de fricción entre ambos materiales es μ=0,3. a) ¿Está el bloque en equilibrio?; b) ¿Para qué inclinación del plano se rompería el equilibrio?, c) En la condición límite de equilibrio, ¿cuál es la magnitud de las componentes normal y tangencial de la reacción? y ¿cuál es la reacción total?.

Figura E1.13

Solución:

a) La única forma de que el bloque pierda el equilibrio es que no haya suficiente fricción para sostenerlo. Entonces, para responder la pregunta hay que analizar las reacciones del plano sobre el bloque. Para ello considérese la Figura E1.13.b, que muestra el diagrama de cuerpo libre del bloque con las fuerzas externas que actúan sobre él. Se muestra también un sistema de ejes de referencia respecto de los cuales las ecuaciones de equilibrio son:

La máxima fuerza de roce que podría desarrollarse es

como F_r <F_max el bloque está en equilibrio.

b) La máxima inclinación posible corresponde al ángulo de roce (Ec. 1-40):

También podrían haberse usado las ecuaciones de la parte (a) con la incógnita ϕ_max en vez de 10º:

pero por tratarse de la condición límite de equilibrio F_r = μN, luego

que corresponde a la Ec. 1-39 que conduce a la misma ecuación usada antes.

c) Usando las ecuaciones de la parte (b) se tiene:

d) La reacción total es la composición (suma) de F y N (Fig. E1.13.c). La componente horizontal de R es:

y la componente vertical es:

o sea, R=R_V=W, lo que era obvio ya que para equilibrar el peso W vertical se requiere una reacción también vertical, de sentido opuesto y magnitud W. Este último resultado no rige sólo para la condición límite de equilibrio sino para cualquier inclinación ϕ del plano inclinado tal que ϕ≤ϕ_max.

Ejemplo 1.14

Sobre dos planos inclinados en 30º y 60º descansan bloques de peso W y 1000 kg respectivamente (Fig. E1.14.a). El contacto es liso en el plano de la izquierda y rugoso con coeficiente μ=0,5 en el plano de la derecha. Los bloques están unidos por una cuerda liviana que pasa por una polea lisa en la arista C. Determinar qué valores del peso W permiten el equilibrio del sistema.

Figura E1.14

Solución: Considérese los diagramas de cuerpo libre de los tres elementos relevantes del sistema. En el caso de la polea, por ser lisa, la fuerza que transmite la cuerda se mantiene constante, y se ha designado por T (Fig. E1.14.b). En el caso del bloque de peso W (Fig. E1.14.c) la reacción del plano sobre el bloque es únicamente la normal N, ya que el contacto es liso; y las ecuaciones de equilibrio son:

En el caso del bloque de peso 1000 kg considérese primero la condición límite de equilibrio en que el bloque tiende a deslizar hacia abajo del plano inclinado, por esta razón en la Fig. E1.14.d la fuerza de roce F_r (componente tangencial de la reacción) se ha colocado en el sentido negativo del eje u, es decir, en sentido opuesto al desplazamiento potencial; en otras palabras, F_r ayuda a que el bloque no caiga. Las ecuaciones de equilibrio son:

pero por ser condición límite de equilibrio y utilizando la ecuación iv se tiene

que se introduce en la ecuación iii para obtener T=866–F_r=616 kg. Con este valor de T, la ecuación i queda:

Este valor de W es el necesario para justo impedir que el bloque de 1000 kg caiga hacia abajo. Si se aumenta el valor de W se seguirá manteniendo el equilibrio (disminuyendo F_r), pero si W es muy grande puede llegar a levantar el bloque de 1000 kg hacia arriba perdiéndose nuevamente el equilibrio. En este nuevo estado límite de equilibrio el diagrama de la Fig. E1.14.d sigue siendo válido, excepto que F_r tiene sentido contrario pues ahora debe oponerse al deslizamiento potencial hacia arriba. Todas las ecuaciones de equilibrio antes planteadas son válidas, excepto la iii que ahora queda

Utilizando la ecuación v se obtiene T=866+F_r=1116 kg, y de la ecuación i se obtiene W=2232 kg. Se concluye entonces que el sistema está equilibrio si

Ejemplo 1.15

A un bloque de peso W, que descansa en un plano rugoso inclinado en α con el plano horizontal, se le aplica una fuerza F horizontal paralela al plano, a) Si el sistema está en equilibrio, determinar la magnitud y dirección de la fuerza de fricción; b) Determinar la máxima fuerza F que se puede aplicar y la dirección en que se iniciará el desplazamiento al romperse el equilibrio.

Figura E1.15.a

Solución: Este es un problema de tipo espacial por lo que deberá utilizarse un sistema de ejes de referencia tridimensional. Además, por tratarse de un cuerpo sometido a sólo 3 fuerzas (W, F y la reacción R del plano sobre él), éstas deben ser concurrentes y el cuerpo puede modelarse como partícula. Considérese entonces el sistema de ejes que muestra la Fig. E1.15.b en que el plano xy coincide con el plano inclinado, el eje z es perpendicular a él, y el eje y es horizontal. La Fig. E1.15.c muestra los mismos ejes vistos en un plano de perfil.

A su vez, las Figuras E1.15.d y e muestran las fuerzas dadas y las reacciones correspondientes. Las fuerzas de fricción H_x y H_y, que actúan en el plano de contacto de ambos cuerpos (tangenciales), corresponden a las componentes de la fuerza de fricción total H, también tangencial, pero de dirección desconocida. La reacción normal N, de dirección z, se aprecia en el plano de perfil. Por cierto la reacción R total del plano sobre el bloque corresponde a la composición de las 3 componentes de reacción:

Figura E1.15

Las ecuaciones de equilibrio son muy simples, en efecto:

a) La fricción total H es la composición de las fuerzas tangenciales H_x y H_y, como muestra la Fig. E1.15.f. Como el triángulo OAB es rectángulo, se tiene:

Figura E1.15.f

b) En la condición límite de equilibrio la reacción tangencial total H alcanza la fricción máxima que puede desarrollarse H_max = μN. Luego, utilizando la ecuación iii:

e introduciendo en la ecuación iv se tiene:

y el deslizamiento se iniciará en la dirección de esta fuerza:

Ejemplo 1.16

Determinar la fuerza X necesaria para sostener un peso de 1000 kg mediante una cuerda liviana que da dos vueltas completas a un tronco rugoso con coeficiente de fricción μ=0,5. ¿Qué fuerza soporta la rama del árbol?

Figura E1.16

Solución: Se supone que el peso está a punto de deslizar hacia abajo, es decir la fuerza X será la mínima necesaria para sostenerlo. Utilizando la Ec. 1-41 con T= 1000 kg, T₀ =X y β=2·2π=4π radianes, se tiene:

La fuerza que soporta la rama es la diferencia 1000–X, es decir 998,1 kg.

Ejemplo 1.17

Un cuerpo de 100 kg de peso cuelga de una cuerda liviana que pasa por sobre un mesón y sostiene un peso W en su otro extremo. El coeficiente de roce entre la cuerda y la mesa es 0,4. Determinar el peso W para que el peso de 100 kg: a) no descienda, b) suba

Figura E1.17

Solución:

a) Se trata de aplicar el peso W mínimo posible para impedir el desplazamiento de la cuerda hacia la derecha, o sea, se supone que el sistema está a punto de deslizar hacia la derecha. Aplicando la Ec. 1-41 en la esquina B, donde se tiene un cambio de ángulo de la cuerda β = π/2 se tiene

En la zona horizontal del mesón no hay fricción porque no hay curvatura, luego en la esquina A Y=X, y aplicando nuevamente la Ec. 1-41:

b) Para la condición inversa se puede seguir un procedimiento análogo al anterior, sin embargo basta con darse cuenta que el cuociente entre las fuerzas en ambos extremos es ahora justamente el inverso. Luego, para que la cuerda se desplace hacia la izquierda se requiere aplicar

De ambos resultados puede concluirse que si 28,46≤W≤351,36 kg el sistema está en equilibrio.

1.8 Concepto de Momento

1.8.1 Introducción

Considérese el cuerpo de peso W de la Fig. 1.44 que descansa sobre un plano liso horizontal. Sobre el cuerpo actúan dos fuerzas F horizontales, paralelas, de igual magnitud, pero de sentido opuesto. En la dirección vertical z habrá equilibrio del cuerpo con una reacción vertical igual y contraria al peso W (R=W). Lo notable ocurre en la dirección y, pues también se cumple la ecuación de equilibrio

pero intuitivamente queda claro que, siendo el plano liso, el cuerpo no permanecerá en reposo sino tenderá a girar en el sentido de los punteros del reloj. Pareciera paradojal que cumpliéndose las ecuaciones de equilibrio éste no se logra, pero no lo es, la falacia está en considerar al cuerpo como partícula, lo que es ilegítimo porque las fuerzas aplicadas no son concurrentes.

Figura 1.44

Las conclusiones inmediatas son, primero, que el equilibrio de fuerzas no basta para garantizar el equilibrio de un cuerpo, y segundo, que el concepto mismo de fuerza es insuficiente para describir el estado de un cuerpo tridimensional como el bloque de la Fig. 1.44. Para completar la descripción del estado de cuerpos tridimensionales sometidos a sistemas generales de fuerzas, es necesario introducir el concepto de momento, lo que se hará en las secciones siguientes.

1.8.2 Momento de una Fuerza con Respecto a un Punto

Dada una fuerza F (magnitud, línea de acción, y sentido) y un punto cualquiera O, se define el momento de la fuerza con respecto al punto O como el producto de la fuerza por su distancia al punto O (Fig. 1.45).

Debe notarse que la línea de acción de la fuerza (recta cualquiera en el espacio) y el punto cualquiera O definen un plano. La distancia d del punto a la recta se mide en dicho plano como la longitud de la perpendicular desde O a la recta (d=OA).

Figura 1.45 Momento de una fuerza con respecto a un punto

1.8.3 Traslado de una Fuerza Fuera de su Línea de Acción

A las operaciones fundamentales con fuerzas descritas en la Sección 1.4 puede ahora agregarse una nueva y poderosa operación: Dada una fuerza F actuando en la línea de acción L₁, ella puede trasladarse a una línea de acción paralela L₂, incorporando el momento de la fuerza original con respecto a cualquier punto O de L₂ (Fig. 1.46). Se dice entonces que el sistema inicial y el sistema final son estáticamente equivalentes, es decir, desde el punto de vista del equilibrio su efecto es idéntico:

Figura 1.46 Traslado de una fuerza a una nueva línea de acción

Notar que el punto O es arbitrario pues, donde quiera que se escoja sobre L₂, el resultado es el mismo, ya que d es simplemente la distancia entre las dos rectas paralelas, es decir la longitud de la perpendicular a ambas rectas en el plano que ellas definen.

1.8.4 Pareja de Fuerzas y Propiedades del Momento

Se denomina pareja de fuerzas a dos fuerzas de igual magnitud, de líneas de acción paralelas, y sentido opuesto. Ejemplo de una pareja es la que actúa sobre el bloque de la Fig. 1.44. Para entender el efecto de una pareja considérese la de la Fig. 1.47.a. A continuación se aplica la operación descrita en la sección anterior, trasladando la fuerza en la línea de acción L₁ a la línea de acción L₂. El resultado de esta operación se muestra en la Fig. 1.47.b. Los sistemas de las Figs. 1.47.a y b son obviamente estáticamente equivalentes. Pero en el sistema de la Fig. 1.47.b las dos fuerzas opuestas actuantes en la línea de acción L₂ se anulan entre sí, luego, el sistema de la Fig. 1.47.b es equivalente a un momento único M=Fd o momento puro como ilustra la Fig. 1.47.c. Como este último sistema es estáticamente equivalente al de la Fig. 1.47.a se concluye que una pareja de fuerzas es equivalente a un momento puro, es decir una acción con fuerza resultante nula pero que tiende a producir un giro del cuerpo sobre el cual se aplica.

Figura 1.47 Pareja de fuerzas

Figura 1.48 Ejemplos de momentos puros

La acción de momento puro es muy usual y nuestros dedos la realizan con gran habilidad en múltiples ocasiones: para girar la perilla del volumen de una radio, para sacar o poner la tapa de un frasco, para retirar un tornillo suelto. También se utilizan herramientas especiales para ejercer momentos puros, como la llave sacabujías o la llave de cruz para soltar o apretar los pernos de las ruedas de un vehículo. La Fig. 1.48 muestra un par de estos ejemplos, en el caso de la tapa del frasco, los 5 dedos ejercen fuerzas tangenciales a ella, posiblemente de distintas magnitudes, las que sumadas tienen resultante nula, pero ejercen un momento puro para atornillar o desatornillar la tapa; notar que el efecto del momento es producir un giro en torno a un eje perpendicular a la tapa. Por su parte, el mecánico aplica fuerzas iguales y contrarias, que ejercen un momento puro neto sobre la tuerca; nuevamente una acción que produce un giro en torno al eje de la herramienta y al eje del perno.

Figura 1.49

Una propiedad fundamental de una pareja de fuerzas es que puede trasladarse a cualquier posición en el plano y su efecto, desde el punto de vista del equilibrio, es el mismo. En el ejemplo de la Fig. 1.47 se hizo ver que la pareja dada era equivalente a un momento puro en torno a cualquier punto de la recta L₂. Tomando la misma pareja inicial (Fig. 1.49.a) se trasladarán ambas fuerzas, desde L₁ y L₂ respectivamente a una tercera línea de acción paralela L₃, a distancia d’ de L₂, y contenida en el plano de L₁ y L₂, es decir, en el plano de la pareja (Fig. 1.49.b). El traslado de F de L₁ a L₃ incorpora el momento M₁=F(d + d’), y el traslado de F de L₂ a L₃ incorpora el momento M₂=Fd’. En L₃ las fuerzas F de sentido opuesto se cancelan, y los momentos se suman algebraicamente pues M₂ tiene sentido contrario a M₁, luego el momento puro resultante es:

Es decir, la pareja original es equivalente a un momento puro en L₃ (Fig. 1.49.c). Obviamente la operación anterior puede hacerse a cualquier recta L₃ contenida en el plano de la pareja original, es decir para cualquier valor de la distancia d’, y el resultado será el mismo: un momento puro M=Fd. Se concluye entonces que el efecto de una pareja de fuerzas es equivalente a un momento puro actuando en cualquier posición del plano de la pareja; esta propiedad se conoce como principio de transmisibilidad de una pareja de fuerzas. Es decir el momento equivalente a la pareja reside en cualquier parte del plano, así como una fuerza reside en cualquier parte de su línea de acción. Por otra parte, el valor invariante Fd corresponde a la magnitud de la pareja, lo que significa que la intensidad del momento puede variarse modificando la magnitud de la fuerza F, o la distancia d, o ambas. Finalmente, como ya se mencionó, un momento tiene también sentido (claramente al mover la perilla de la radio podemos hacerlo en uno u otro sentido). Típicamente, en el plano se utiliza con frecuencia la identificación del sentido de un momento como a favor de los punteros del reloj, o en el caso opuesto, en contra de los punteros del reloj.

En conclusión, el ente momento es similar al ente fuerza. Ambos tienen las propiedades de magnitud, dirección, y sentido, como se comparan en la Tabla 1.2.

Finalmente, cabe mencionar que el plano que alberga a un momento puede tener dirección cualquiera en el espacio y puede ser necesario expresar el momento en sus componentes según los ejes de un sistema de referencia tridimensional. Sin embargo, conforme a los objetivos de este texto y por simplicidad, aquí se trabajará casi exclusivamente con problemas planos que no requieren la representación vectorial de los momentos.

TABLA 1.2 Comparación de los entes Fuerza y Momento

1.8.5 Reducción de un Sistema General de Fuerzas. Caso Plano

Dado un sistema de fuerzas cualquiera en un plano, su reducción consiste en simplificarlo a una fuerza única R y a un momento único M_O en torno a un punto arbitrario O previamente escogido, de modo que el sistema original y el sistema resultante son estáticamente equivalentes:

El procedimiento consiste en aplicar la operación descrita en la Sección 1.8.3 para todas las fuerzas dadas, trasladando cada una de ellas a una línea de acción que pasa por el punto O. Finalmente se tiene un conjunto de fuerzas concurrentes en O, para el cual se obtiene su resultante R, más el conjunto de momentos de cada una de las fuerzas en torno al punto O, cuya suma algebraica es el momento total M_O. En general el sistema reducido será tal que R≠0 y M_O≠0, sin embargo, en el caso de un sistema de fuerzas plano, el sistema resultante puede siempre transformarse en uno referido a un nuevo punto P tal que M_P=0 y

Existen entonces tres alternativas para el sistema reducido resultante:

por cierto el último caso corresponderá a lo que se llama un sistema de fuerzas en equilibrio. El procedimiento de reducción de un sistema de fuerzas plano se ilustra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 1.18

El sistema de fuerzas de la Figura E1.18.a, referido a los ejes x e y, corresponde a todas las fuerzas (acciones y reacciones) que actúan sobre un cuerpo plano. Se pide: a) reducir el sistema de fuerzas dado a una fuerza y un momento en el punto O₁; b) transformar el sistema anterior en uno estáticamente equivalente a él pero con la fuerza pasando por el punto O₂; c) ¿existe una línea de acción de la fuerza tal que el momento del sistema pueda anularse?; d) ¿está el cuerpo en equilibrio?.

Solución:

a) La traslación paralela de todas las fuerzas al punto O₁ corresponde a tener un sistema de fuerzas concurrentes en dicho punto. La resultante (suma) de este sistema de fuerzas se obtendrá haciendo la suma de las componentes horizontales y verticales, y posteriormente componiendo éstas para hallar la resultante R. En particular la fuerza F₁ se puede descomponer en

y la distancia de F₁ al punto O₁ es d₁=52 cm, de manera que el momento de F₁ con respecto al punto O₁ es

tomándose como positivo los momentos contra los punteros del reloj. Procediendo de igual forma para cada una de las fuerzas, se construye la siguiente tabla:

Figura E1.18.a

La última línea de la tabla es la suma de las 5 líneas anteriores. La resultante total R es entonces (Fig. E1.18.b):

que forma ángulo α con la horizontal

El sistema de fuerzas dado es equivalente a R actuando en O₁ junto al momento M_O1 como muestra la Fig. E1.18.b. Notar que M_O1 se puso en su sentido verdadero a favor de los punteros del reloj, por ello en la figura se ha omitido el signo negativo del resultado de la Tabla.

Figura E1.18.b

b) Lo que se pide es trasladar el sistema resultante en O₁ (Fig. E1.18.b) al punto O₂. Para ello hay que dibujar a escala la resultante R en la Fig. E1.18.a y medir la distancia de su línea de acción al punto O₂. Esto no se muestra aquí, pero se obtiene d=22 cm, pasando la línea de acción de R hacia la izquierda del punto O₂. La nueva resultante en O₂ es la misma R anterior, pero el momento en O₂ es:

Los sistemas {R_O1, M_O1} y {R_O2, M_O2} son estáticamente equivalentes entre sí y equivalentes al sistema original dado:

Figura E1.18.c

c) Volviendo al sistema reducido de la Fig. E1.18.b, se ve en la Fig. E1.18.c que si la resultante se traslada a la línea de acción L₃ a distancia z tal que

se tiene que en la nueva posición el sistema tiene la misma resultante R pero el momento, por ejemplo con respecto al punto O₃ es:

Entonces el sistema originalmente dado se ha reducido a su expresión más simple, una única fuerza R=742 kg actuando en la línea de acción L₃ y un momento nulo:

d) El cuerpo no está en equilibro porque a pesar de haberse anulado el momento persiste una resultante R=R_O3≠0.

1.8.6 Equilibrio de un Cuerpo Rígido

Como puede anticiparse de la discusión y ejemplo de la Sección anterior un cuerpo estará en equilibrio cuando el sistema de fuerzas que actúa sobre él corresponda a un sistema nulo: tanto la fuerza resultante como el momento resultante son ambos nulos. Obviamente esto es lo que requiere la 2^a Ley de Newton para que el sistema permanezca en reposo sin experimentar aceleración traslacional ni angular (aceleraciones asociadas a desplazamiento y rotación respectivamente).

Se tiene entonces que es condición necesaria y suficiente para el equilibrio de un cuerpo rígido sometido a un sistema cualquiera de n fuerzas externas F_i, que la resultante de las fuerzas sea nula, y que la suma de los momentos de las fuerzas con respecto a un punto O arbitrario sea también nula. Simbólicamente, las condiciones anteriores se escriben como

teniendo presente que las cantidades involucradas en las sumatorias anteriores son vectoriales y no pueden sumarse en forma algebraica directa. La Ec. 1.46 es la misma que la Ec. 1-29 condición equilibrio de una partícula. Para el caso de un cuerpo rígido debe cumplirse también la Ec. 1-47 que en el caso de una partícula se satisface automáticamente porque las fuerzas son concurrentes.