Fundamentos de ingeniería estructural para estudiantes de arquitectura

1.3.3 Centro de Gravedad

A excepción de las partículas, en los cuerpos la masa (materia) está distribuida en la extensión de su volumen, por ello, el peso de un cuerpo está también repartido espacialmente.

Esta distribución del peso puede visualizarse considerando un cuerpo de forma simple, como por ejemplo el tablero rectangular de madera, de espesor constante, que muestra la Fig. 1.9.a. Suponiendo que el material es homogéneo, es decir que sus propiedades son las mismas en toda su extensión, cualquier porción de igual volumen tiene el mismo peso. Si imaginariamente se considera el tablero subdividido en 25 partes, como en la Fig. 1.9.a, cada parte pesa p=P/25, siendo P el peso total del tablero. Por cierto, puede pensarse en un número muy grande de partes, y cada parte pesará la fracción correspondiente del total, llegándose a una distribución uniforme muy fina del peso total.

Figura 1.9 Tablero de madera: a) peso distribuido, b) peso concentrado

Trabajar con la distribución real de la masa de un cuerpo exigiría considerar un número enorme de pequeñas fuerzas correspondientes a su peso distribuido. Ello sería muy complejo, aún para cuerpos de forma simple como el de la Fig. 1.9. Afortunadamente tal complejidad es innecesaria porque desde el punto de vista del equilibrio en todo cuerpo existe un punto, llamado centro de gravedad, en el cual puede suponerse actuando concentradamente su peso total, como se muestra en la Fig. 1.9.b para el ejemplo del tablero. Se dice entonces que la fuerza o peso total P de la Fig. 1.9.b es estáticamente equivalente a la distribución uniforme de pesos p de la Fig. 1.9.a.

El centro de gravedad no es un punto arbitrariamente definido sino un punto que efectivamente tiene una propiedad física muy especial. Por ejemplo, si se quiere equilibrar el tablero apoyándolo en un solo punto (en la punta de un clavo o de un dedo), el único punto que permitirá lograr el equilibrio es el centro de gravedad (CG). Es decir, físicamente, el CG es el “centro” de la masa, o como también podría decirse, es el punto “promedio” de la distribución espacial de la masa.

Esta condición de “centro” o “promedio” permite deducir que siempre que un cuerpo homogéneo tenga un eje de simetría el CG estará sobre dicho eje. Ello porque siempre un eje de simetría divide el cuerpo en dos partes iguales, o sea de igual forma y peso, por lo tanto el “centro” no puede estar a uno ni otro lado de la línea divisoria sino sobre ella. Esto permite localizar en forma inmediata el CG de formas geométricas simples, ya que si hay dos ejes de simetría el CG debe estar en su intersección. Naturalmente en el caso de volúmenes, siempre que exista un plano de simetría el CG estará sobre él. La Fig. 1.10 muestra los CG de varios cuerpos simples: rectángulo, círculo, anillo, barra, esfera. En la Tabla V.2 se presentan propiedades y centros de gravedad de cuerpos comunes.

Figura 1.10 Centros de gravedad de formas geométricas que presentan simetría

El caso del triángulo merece especial consideración. En un triángulo se definen las transversales de gravedad como las líneas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. La Fig. 1.11.a muestra t_c, la transversal de gravedad correspondiente al vértice C. Obviamente t_c no es un eje de simetría, pero tiene la particular propiedad de dividir el triángulo en dos mitades iguales: de igual área y de igual peso si el material es homogéneo. De igual área porque por definición el punto D en la Fig. 1.11.a divide el lado AB en dos partes iguales de longitud c/2, luego las áreas de los triángulos ADC y BCD son ambas iguales a ch/4 (un medio de la base por la altura). Además las distancias de A y B a t_c son iguales, y también deben serlo las distancias de los centros de gravedad de los triángulos ADC y DBC a t_c, luego el CG del triángulo ABC debe estar sobre la línea t_c. Si se traza cualquiera de las otras dos transversales de gravedad, t_a por ejemplo, el CG debe estar en la intersección de t_a y t_c. Aún más, como lo anterior ocurre para cualquier par de transversales que se escoja (t_a con t_c, t_b con t_c, o t_a con t_b) queda demostrado que las tres transversales de gravedad son concurrentes y que el CG es el punto de concurrencia (Fig. 1.11.b). Además, puede demostrarse que el CG intercepta a cada una de las transversales en segmentos cuyas longitudes están en la razón 1:2, es decir, la distancia de C a CG es el doble de la distancia de CG a D.

Figura 1.11 Centro de gravedad de un triángulo

Figura 1.12 Subdivisión discreta de un área plana

A continuación se considera la determinación de la ubicación del centro de gravedad para el caso de cuerpos planos homogéneos. Sea un cuerpo de forma cualquiera como el que se muestra en la Fig. 1.12, el cual se ha subdividido en un número n de áreas conocidas, en que el área del segmento i es A_i y la posición del CG del segmento i está definida por las coordenadas x_i, y_i. En los bordes curvos la subdivisión deberá ser más fina, con el objeto de representar la forma del cuerpo de la manera más fiel posible mediante pequeños segmentos de formas regulares, como rectángulos, triángulos o trapecios. Las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo se definen como:

Notar que las definiciones anteriores no son otra cosa que lo que normalmente se conoce como un promedio ponderado. En efecto, por ejemplo, lo que se denomina el promedio ponderado acumulado del rendimiento académico de un estudiante universitario tiene exactamente la misma definición:

en que N_i es la nota en el curso i, c_i su número de créditos, y n el número de materias cursadas. El concepto de “ponderación” refleja el hecho que los cursos no tienen igual “peso” pues tienen distinto creditaje, por ello las notas deben ponderarse asignándoles un valor proporcional al creditaje. El promedio “corriente” de notas de igual valor, es decir sin corrección por creditaje u otro factor, es simplemente:

lo que corresponde a considerar c_i ≡ 1 para todo i.

El método de cálculo implícito en las Ecs. 1-10 y 1-11 obviamente corresponde al concepto aplicado por Arquímedes (Ejemplo 1.1). Naturalmente, por otra parte, las ecuaciones mencionadas se transforman en integrales cuando el modelo deja de ser discreto (subdivisión en un número finito de partes) y se aborda como un continuo (subdivisión en infinitas partes).

Ejemplo 1.3

Determinar el centro de gravedad de un cartón delgado de la forma que se muestra en la Fig. E1.3.a

Figura E1.3

Solución: Se escoge un sistema de ejes de referencia, como por ejemplo el indicado en la Fig. E1.3.b. Por cierto hay distintas alternativas y libertad para escoger el sistema de ejes, aunque en algunos casos puede haber elecciones más convenientes que simplifiquen los cálculos.

A continuación se subdivide el cuerpo en segmentos de área simples cuyos CG son conocidos. En este caso, se ha subdividido el cartón en tres cuadrados iguales (Fig. E1.3.b) de modo que sus áreas y centros de gravedad son:

luego:

El CG calculado se muestra en la Fig. E1.3.c

Ejemplo 1.4

Determinar el centro de gravedad del cuerpo plano homogéneo de la Fig. E1.4 que tiene dos perforaciones circulares de radio “a”.

Figura E1.4

Solución: Este ejemplo ilustra que en la subdivisión del cuerpo en segmentos pueden considerarse áreas “en exceso” las que por cierto deben simultáneamente sustraerse. En efecto, en este caso los segmentos escogidos y sus áreas son: A₁ =54a²=área total del rectángulo, y₂ A =A₃ =πa²=área de las perforaciones. Entonces, al utilizar las Ecs. l-10 y 1-11, A₂ y A₃ deben incorporarse con signo negativo, para restarlas del área A₁ que las incluyó a pesar de ser espacios vacíos:

Ejemplo 1.5

Determinar el centro de gravedad de un alambre delgado, de peso constante por unidad de longitud, doblado en forma de M como se muestra en la Fig. E1.5.a.

Figura E1.5

Solución: Este ejemplo ilustra un caso de distribución de masa sobre una línea. Escogiendo los ejes de referencia y numerando los segmentos como se indica en la Figura E1.5.b, y siendo L la longitud de los segmentos 2 y 3:

los cálculos se organizan en la siguiente tabla:

Ejemplo 1.6

Determinar la posición del centro de gravedad de un círculo homogéneo de espesor constante al que se le ha recortado un cuadrado como se muestra en la Fig. E1.6.

Figura E1.6

Solución: Similarmente al procedimiento usado en el Ejemplo 1.4, se tiene:

1.4 Operaciones con Fuerzas

1.4.1 Principio de Transmisibilidad de una Fuerza

El Principio de Transmisibilidad establece que desde el punto de vista del equilibrio una fuerza puede considerase actuando en cualquier punto de su línea de acción. Naturalmente, este principio es consistente con el concepto de fuerza definido en la Sección 1.3.1; en efecto, una fuerza queda definida por su dirección o línea de acción, no siendo necesario para el equilibrio explicitar en qué punto específico de ella se ubica. Así, la fuerza de la Fig. 1.3 puede “desplazarse” a cualquier posición dentro de su línea de acción, manteniendo inalterado su efecto estático. Obviamente en lo anterior está implícito que si la fuerza actúa sobre un cuerpo, el principio no permite trasladarla para hacerla actuar sobre otro cuerpo.

La Fig. 1.13.a muestra un hombre que tira de una cuerda para sostener una carga. La Fig. 1.13.b muestra el modelo de la situación anterior. La fuerza que realiza el hombre, designada por F, tiene por línea de acción la dirección de la cuerda, siendo indiferente su posición. Físicamente, puede pensarse en este caso que la fuerza F que ejercen las manos del hombre se “transmite” sin variación a lo largo de la cuerda, de manera que en cualquier punto que se “corte” ficticiamente la cuerda, para modelar el problema, estará actuando igual fuerza F. Igual discusión puede realizarse en relación la carga de peso W; en el modelo, W se ubicará en cualquier posición de la línea vertical que pasa por el centro de gravedad del cuerpo.

Figura 1.13 Situación real y su modelo

Es relevante discutir a continuación por qué se precisó que la transmisibilidad de las fuerzas es válida sólo desde el punto de vista del equilibrio. Tal precisión es necesaria porque desde el punto de vista del cuerpo que experimenta la fuerza, el punto de aplicación de ella sí es relevante. En efecto, los esfuerzos internos en un objeto, en general serán diferentes si la fuerza externa se aplica en puntos diferentes. El ejemplo de la Fig. 1.14 ilustra este punto: la Fig. 1.14.a muestra a un hombre al que se le aplica una fuerza H “empujando” sobre uno de sus brazos, mientras la Fig. 1.14.b muestra al mismo hombre, pero ahora la fuerza H está “tirando” de su otro brazo. Obviamente lo que “siente” el hombre, es decir, los esfuerzos internos en él, son distintos; sin embargo, para efectos de su equilibrio, las fuerzas que el piso ejerce sobre él son idénticas en ambos casos (siempre que él se mantenga rígidamente erguido en igual posición en las dos situaciones descritas).

Figura 1.14

1.4.2 Composición de Fuerzas

La operación de composición de fuerzas corresponde a lo que ordinariamente se llama realizar la “suma” de las fuerzas. La palabra composición, sin embargo, enfatiza que tal operación no es una simple suma, ya que en ella intervienen simultáneamente las tres propiedades de las fuerzas: magnitud, dirección, y sentido. La composición puede realizarse en forma analítica utilizando el álgebra vectorial, pero ello no se hará aquí, ya que tales conocimientos no son requisito para los lectores de este texto; en cambio, se privilegiará una presentación geométrica, que tiene la ventaja adicional de mantenerse más próxima a la realidad física del problema. Un método analítico simple, que sólo requiere el uso de la trigonometría, se verá más adelante en el Ejemplo 1.8.

Sean P₁ y P₂ (Fig. 1.15.a) dos fuerzas concurrentes en el punto O, su composición se realiza aplicando la Ley del Paralelogramo que establece que la resultante de dos fuerzas concurrentes es la diagonal del paralelogramo formado por ellas. Notar que dos fuerzas concurrentes son forzosamente coplanares. La construcción geométrica se realiza en la forma indicada en la Fig. 1.15.b: por el extremo A₁ de la fuerza P₁ se traza una paralela a la fuerza P₂, y por el extremo A₂ de la fuerza P₂ se traza una paralela a la fuerza P₁, formándose el paralelogramo OA₁ BA₂. La fuerza R aplicada en O, de magnitud igual a la diagonal del paralelogramo, de dirección OB, y sentido de O a B, es la resultante de P₁ y P₂, es decir su efecto es enteramente equivalente a la acción conjunta de P₁ y P₂. Se dice entonces que R es estáticamente equivalente a P₁ y P₂ y se escribe simbólicamente:

La extensión del procedimiento anterior al caso de varias fuerzas coplanares concurrentes es trivial. Efectivamente, basta con proceder en forma sucesiva con pares de fuerzas. La Fig. 1.16.a muestra en un sistema dado de 3 fuerzas. En la Fig. 1.16.b se muestra la composición de P₁ y P₂ obteniéndose la resultante parcial P₁₂, y finalmente, en la Fig. 1.16.c se componen P₁₂ con P₃ obteniéndose la resultante final R. Se tiene entonces:

Naturalmente el punto O de la Fig. 1.16.c es coincidente con el punto O de la Fig. 1.16.a; la presentación en tres figuras separadas sólo ha tenido por objeto mostrar con mayor claridad las etapas de la construcción geométrica.

Figura 1.15 Composición de fuerzas

Figura 1.16 Composición de 3 fuerzas concurrentes

Figura 1.17 Composición de fuerzas no concurrentes

En el caso de fuerzas coplanares no concurrentes a un punto, el procedimiento anterior puede aplicarse con ayuda del principio de transmisibilidad de las fuerzas. Sean tres fuerzas coplanares cualesquiera como P₁, P₂ y P₃ de la Fig. 1.17.a. Las fuerzas P₁ y P₂ pueden primero trasladarse a su punto de intersección O₁ (Fig. 1.17.b), y construir allí el paralelogramo correspondiente para encontrar su resultante P₁₂. A continuación se componen las fuerzas P₁₂ y P₃, trasladándolas a su punto de intersección O₂ (Fig. 1.17.c), donde se construye su paralelogramo para determinar R, fuerza estáticamente equivalente al sistema original dado:

Las construcciones geométricas anteriores no son factibles si las fuerzas son paralelas. En tal caso se puede proceder mediante la construcción del Polígono Funicular, que se verá en la Sección 1.4.5, pero también es posible utilizar el concepto de centro de gravedad, como se describe a continuación. Sean varias fuerzas coplanares paralelas P₁, P₂, P₃ y P₄, como ilustra la Fig. 1.18, y sean x₁, x₂, x₃, y x₄ sus distancias a un origen de referencia O. La resultante de este sistema tiene magnitud R igual a la suma de las magnitudes de las fuerzas dadas:

y su línea de acción pasa por el punto de coordenada x* tal que (Ec. 1-10):

La regla anterior funciona incluso si algunas fuerzas tienen sentido contrario. El caso especial en que la suma algebraica de las magnitudes de las fuerzas es nula, i.e. x*=∞, se interpretará físicamente más adelante.

Figura 1.18 Composición de fuerzas coplanares paralelas

1.4.3 El Polígono de Fuerzas

Una forma geométrica alternativa de encontrar la resultante de un sistema de fuerzas es construir el polígono de ellas, lo que se realiza copiando paralelamente las fuerzas una a continuación de la otra. Por ejemplo, considerando el sistema de fuerzas dado en la Fig. 1.16.a, el polígono de las fuerzas corresponde a la línea OABC de la Fig. 1.19.a y la fuerza resultante R es la que va desde el inicio de la primera fuerza al término de la última, es decir de O a C. Obviamente, para realizar la construcción del polígono de fuerzas es inmaterial el orden en que se copian las fuerzas, resultando siempre el mismo punto final para cualquiera de las combinaciones posibles.

Figura 1.19 Polígonos de fuerzas

Si el sistema de fuerzas es concurrente, como el de la Fig. 1.16.a, la resultante queda completamente determinada pues se conoce un punto de su línea de acción, el punto de concurrencia O. En el caso de un sistema de fuerzas no-concurrentes como el de la Fig. 1.17.a también se puede construir su polígono, como se muestra en la Fig. 1.19.b; ello permite encontrar la resultante en magnitud y dirección, pero no se conoce su línea de acción ya que no se dispone de un punto de ella. Para definir ese punto hay que realizar la construcción de la Fig. 1.17 o recurrir al polígono funicular que se presentará en la Sección 1.4.5.

Una situación de particular importancia es aquella en que el polígono de fuerzas es cerrado, es decir, la última fuerza termina exactamente en el punto de inicio de la primera, como se muestra en la Fig. 1.20. Este caso corresponde a un sistema de fuerzas con resultante nula, condición fundamental para el equilibrio de un sistema. Por esta razón, el polígono de fuerzas se utilizará más adelante como una herramienta geométrica fundamental para encontrar relaciones entre las fuerzas en un sistema en equilibrio.

Figura 1.20 Sistema con polígono de fuerzas cerrado

1.4.4 Descomposición de Fuerzas

Una fuerza puede descomponerse según dos direcciones cualesquiera aplicando la Ley del Paralelogramo en forma inversa. Dada la fuerza P y las direcciones 1 y 2 de la Fig. 1.21.a, las componentes P₁ y P₂ de P se obtienen completando el paralelogramo que tiene a P como diagonal, como se muestra en la Fig. 1.21.b. Obviamente se cumple que la fuerza P es estáticamente equivalente al conjunto de sus dos componentes, es decir:

Figura 1.21 Descomposición de una fuerza

Figura 1.22 Proyecciones ortogonales de una fuerza

Es muy usual y conveniente aplicar la descomposición utilizando dos direcciones perpendiculares entre sí, las que normalmente son referidas como ejes ortogonales, o sistema de ejes cartesiano. La Fig. 1.22 muestra una fuerza P que se ha descompuesto en sus componentes P_x y P_y según los ejes x e y. P_x y P_y se denominan también proyecciones de P sobre los ejes x e y respectivamente.

Obviamente:

Las proyecciones ortogonales tienen la ventaja de permitir usar las funciones trigonométricas básicas, que en un triángulo rectángulo, como el de la Fig. 1.23, se definen como:

Figura 1.23 Triángulo rectángulo

y sus inversas

Aplicando las Ecs. 1-15 y 1-16 a la Fig. 1.22 se tiene que:

y además, por ser OAB un triángulo rectángulo, en virtud del Teorema de Pitágoras se tiene que las magnitudes de P y de sus componentes cumplen con:

La Ec. 1-23 también puede demostrarse elevando al cuadrado y sumando las Ecs. 1-21 y 1-22 y utilizando la conocida identidad trigonométrica:

El Ejemplo 1.7 presenta una aplicación directa de la regla de descomposición a la solución gráfica de un problema de estática. El Ejemplo 1.8 presenta una metodología analítica general para la composición de un sistema de fuerzas concurrentes; el método se basa en descomponer primero todas las fuerzas en sus componentes, para después simplemente sumar estas últimas en forma algebraica.

Finalmente cabe mencionar que en el caso tridimensional, es decir una fuerza en el espacio, se utiliza un sistema de tres ejes coordenados ortogonales, sobre cada uno de los cuales se proyecta la fuerza para obtener las componentes P_x, P_y, P_z (Fig. 1.24). Es claro que:

Figura 1.24 Proyecciones ortogonales de una fuerza en el espacio

Ejemplo 1.7

Descomponer la fuerza P en las direcciones AC y BC para determinar los esfuerzos en las barras correspondientes. Para esta construcción se adopta una escala como la indicada en la figura en que una cierta longitud representa a tantas unidades de fuerza. Notar que la solución implica que la barra BC queda sometida a un esfuerzo interno de tracción, mientras la barra AC experimenta compresión.

Figura E1.7

Ejemplo 1.8

Determinar la resultante del sistema de cinco fuerzas concurrentes que se muestra en la Fig. E1.8.a

Figura E1.8.a

Solución: Los cálculos de las componentes x e y de cada una de las fuerzas se organizan en la Tabla siguiente. Notar que los signos negativos indican componentes que tienen el sentido negativo de los ejes de referencia.

Figura E1.8.b

La suma de las proyecciones de las fuerzas sobre el eje x es la componente P_x de la resultante, y análogamente P_y para el eje y. La resultante P, según la Ec. 1-23, tiene magnitud (Fig. E1.8.b):

y su dirección queda dada por el ángulo β:

Notar que en la fórmula anterior se usó el valor absoluto de P_y ya que no se está utilizando el signo trigonométrico del ángulo β sino sólo su magnitud.

1.4.5 El Polígono Funicular

El procedimiento indicado en la Sección 1.4.2 para determinar la resultante de un sistema de fuerzas no concurrentes (Fig. 1.17), que consiste en la aplicación sucesiva de las leyes de transmisibilidad y del paralelogramo, puede reemplazarse por una construcción más conveniente, el polígono funicular, que también es aplicable al caso de un sistema de fuerzas paralelas. Además de ser una solución alternativa para los casos señalados, la mayor importancia de esta construcción radica en que permite profundizar algunos aspectos conceptuales del trabajo con sistemas de fuerzas, y en que ayudará a comprender el funcionamiento de una forma estructural muy notable en la historia de la arquitectura: el arco.

Figura 1.25.a Polígono Funicular

Figura 1.25.b Polígono de Fuerzas

Sea un sistema de fuerzas coplanares que actúan sobre un cuerpo rígido, tales como P₁, P₂, P₃ y P₄ en la Fig. 1.25.a. Las etapas de la construcción del polígono funicular son las siguientes:

a) Primero se construye el polígono de fuerzas, ABCDE en la Fig. 1.25.b, con el cual se determina la magnitud y dirección de la resultante R, pero no se conoce la posición precisa de su línea de acción.

b) Se escoge un punto arbitrario en el plano, tal como el punto O en la Fig. 1.25.b, que se denomina foco o polo. Desde el foco se trazan los rayos OA, OB, OC, OD, y OE a los extremos de las fuerzas P₁ a P₄.

c) Se escoge arbitrariamente un punto de arranque, a partir del cual se comenzará a construir el polígono funicular. Este es el punto S_o en la Fig. 1.25.a.

d) Pasando por S_o se traza una recta paralela al rayo OA, hasta interceptar la fuerza P₁ en el punto S₁; la recta trazada constituye el primer lado del polígono funicular. Pasando por S₁ se traza una recta paralela al rayo OB, hasta interceptar la fuerza P₂; la recta S₁S₂ constituye el segundo lado del polígono funicular. Y así, sucesivamente, trazando paralelas a OC, OD y OE se obtienen los lados S₂S₃, S₃S₄, y a partir de S₄ el último lado del polígono funicular.

e) El punto Q, intersección de la prolongación del primer y del último lado del polígono funicular, es un punto de la línea de acción de la resultante R, quedando ésta totalmente determinada. Se tiene entonces que

La calificación de “funicular” dada al polígono se debe a que tiene la forma que adoptaría un hilo sin peso, sujeto en sus extremos (puntos S_o y S₅), al ser sometido a las fuerzas P₁, P₂, P₃ y P₄ actuando en los puntos S₁, S₂, S₃ y S₄. Claramente dicho hilo se encontraría sometido a un esfuerzo de tracción en toda su longitud.

La analogía con el hilo facilitará explicar el fundamento de la construcción anterior. Para ello, se reconstruirá la Fig. 1.25 indagando sobre el equilibrio parcial de cada una de las fuerzas P_i dadas. Observando el polígono de fuerzas de la Fig. 1.26.b, y recordando que el punto O fue arbitrariamente elegido, se puede pensar que los rayos BO y OA(con sentido de B hacia O y de O hacia A) representan dos fuerzas arbitrarias F₂ y F₁ respectivamente que tienen la propiedad de equilibrar a la fuerza P₁; esto último porque el polígono OABO de las 3 fuerzas P₁, F₁ y F₂ es cerrado, es decir su resultante es nula. Puede pensarse entonces que el primer y segundo lado del polígono de la Fig. 1.26.a corresponden a fuerzas de tracción F₁ y F₂ en el hilo que equilibran a la fuerza P₁. Análogamente, la fuerza P₂ en la Fig. 1.26.b está en equilibrio con las fuerzas arbitrarias F₃ (con sentido de C hacia O) y F₂ (con sentido de O hacia B), ya que el polígono OBCO es cerrado; las paralelas a OB y CO, es decir los lados segundo y tercero del polígono funicular de la Fig. 1.26.a corresponden a las fuerzas de tracción F₂ y F₃ en el hilo necesarias para equilibrar a la fuerza P₂. Así, sucesivamente, las fuerzas F₃ y F₄ equilibran a P₃, y F₄ y F₅ equilibran a P₄. Ahora bien, observando la Fig. 1.26.a, se aprecia que la fuerza F₂, que participa en el equilibrio de P₁, y la fuerza F₂, que participa en el equilibrio de P₂, se autoequilibran, ya que constituyen el segundo lado, o hilo continuo, del funicular; análogamente ocurre con las fuerzas F₃ asociadas al tercer lado y F₄ asociadas al cuarto lado.

En resumen, el primer tramo del hilo ejerce una fuerza F₁, que es la fuerza que debería realizar una persona que sostuviera el hilo desde el punto S_o, y el último tramo del hilo ejerce una fuerza F₅, que habría que ejercer externamente para sostenerlo desde el punto S₅. Por supuesto si F₁ y F₅ equilibran al conjunto de fuerzas P₁, P₂, P₃ y P₄, ellas equilibran a su resultante R, y por lo tanto R pasa por el punto de intersección de las líneas de acción de F₁ y F₅; tal equilibrio también queda explícito en el polígono de fuerzas (Fig. 1.26.b), donde F₁, R y F₅ constituyen un polígono cerrado (OAEO), o sea,

En los lados 2^o, 3^o y 4^o el hilo experimenta esfuerzos internos de tracción de magnitud F₂, F₃ y F₄ respectivamente.

Como la elección de la ubicación del foco del polígono de fuerzas es arbitraria, se pueden trazar infinitos polígonos funiculares distintos para un mismo sistema de fuerzas. El hecho de que la intersección del primer y último lado ocurra siempre sobre la misma línea recta constituye una propiedad notable. En geometría, a un conjunto de puntos que satisfacen una misma condición se le denomina lugar geométrico; en este caso, la propiedad señalada puede expresarse diciendo que “el lugar geométrico de los puntos de intersección de los primeros y últimos lados de los infinitos polígonos funiculares que pueden trazarse para un sistema de fuerzas dado, es una línea recta, la que corresponde a la línea de acción de la resultante del sistema de fuerzas”.

Hay varias otras propiedades de los polígonos funiculares que no se incluyen aquí porque escapan al objetivo de este texto. En la Sección siguiente se aplicará el polígono funicular en la forma denominada línea de presión, que tiene especial significación para la comprensión del funcionamiento de las estructuras en arco, bóvedas y cúpulas.

Figura 1.26 Polígono Funicular: Equilibrios Parcial y Global

1.4.6 La Línea de Presión y el Arco

Dado un conjunto de fuerzas, puede construirse para ellas un polígono funicular invertido, como muestra la Fig. 1.27. La inversión se logra escogiendo el foco a la izquierda del polígono de fuerzas, es decir, al lado contrario de lo hecho en la Fig. 1.25. Además, puede darse mayor o menor curvatura al polígono funicular escogiendo el foco más cerca o más lejos del polígono de fuerzas. Las fuerzas dadas no tienen que ser de igual magnitud, ni paralelas, ni equidistantes, como ocurre en la Fig. 1.27.a, pero tal selección no resta generalidad a las conclusiones que se obtendrán a continuación. Sin embargo, el caso de fuerzas verticales es muy frecuente pues corresponde al caso común de cargas gravitacionales.

Si se analiza el equilibrio individual de una fuerza, por ejemplo la segunda, la Fig. 1.27.c muestra que ella se mantiene en equilibrio con las fuerzas F₁ y F₂, cuyas magnitudes son las que entrega la Fig. 1.27.b. Claramente, las fuerzas F₁ y F₂ son de compresión, y lo mismo ocurre para todos los pares de fuerzas necesarias para el equilibrio de cada una de las fuerzas verticales dadas. Al contrario de lo que ocurrió en la Sección 1.4.5, ahora todos los lados del polígono funicular están en compresión, por ello se le llama “línea de presión”.

Si consideramos un arco de bloques pétreos como el de la Fig. 1.28 concluimos entonces que todos los elementos que lo componen están comprimidos y no se producen tracciones en las caras de contacto entre ellos, es decir, no hay tendencia a la separación. Para ello, la línea de presión debe pasar por el eje del arco, más precisamente por los centros de gravedad de las secciones en contacto o muy próxima a ellos. Esto permite usar materiales como la piedra o el ladrillo, de gran resistencia a la compresión pero débiles en tracción, incluso sin necesidad de disponer un mortero de pegamento entre ellos.

La invención del arco representa un salto tecnológico en la arquitectura pues permite salvar luces mayores que las que podían obtenerse con un dintel macizo de roca. La luz de éste en flexión quedaba limitada por su baja resistencia a la tracción, fallando por fractura en la mitad de la luz. A su vez las dimensiones de los dinteles o vigas de piedra quedaban también limitadas por la dificultad de encontrar grandes bloques de roca sana de una pieza, transportarlos, y alzarlos a su posición en la obra. Mayores luces podían obtenerse con vigas de madera, pero tales construcciones no tenían la durabilidad de la roca por su natural degradación con el tiempo y por su vulnerabilidad al fuego.