Electrónica. Trucos y secretos

Tiempos y frecuencias

El tiempo y la frecuencia son dos magnitudes fundamentales en el estudio de la electrónica. Tiempo y frecuencia están estrechamente vinculados, sobre todo cuando nos encontramos ante señales o eventos cíclicos (es decir, que se repiten en el tiempo). Si golpeamos una baqueta sobre un tambor cuatro veces en un segundo, estamos produciendo un sonido de cuatro hercios. Por tanto, los golpes están separados entre sí por un tiempo equivalente a:

La fórmula para calcular la frecuencia es:

La letra T indica el periodo, es decir, la duración total de un evento que se repite. Para una corriente alterna, el periodo es el tiempo necesario para que la corriente realice un ciclo completo, partiendo de 0, llegando al máximo, bajando hasta el valor mínimo y regresando a 0. Podemos hablar de periodo y, por tanto, de frecuencia para toda señal que se repite en el tiempo.

Figura 1.22 – El periodo es el tiempo necesario para realizar un ciclo completo.

Ya sabemos que a los electrónicos no les gustan demasiado los números con comas y ceros, y que son muy perezosos. ¡Por eso prefieren hablar de hercios (Hz) que de eventos que se comprueban cada 0.00000012 s!

Las corrientes continuas tienen una frecuencia igual a 0 Hz, por lo que nunca cambian.

Fasores

La fórmula del seno utilizada en electrónica depende normalmente del tiempo, pasado como parámetro. Por ejemplo, podemos expresar una tensión que cambia en el tiempo con una tendencia sinusoidal con un texto de este tipo:

v(t) = sin(t)

Sin embargo, el trazado que obtenemos no es muy lógico porque faltan informaciones fundamentales para una señal sinusoidal. De hecho, no tenemos ningún control sobre su frecuencia, es decir, sobre el número de repeticiones por segundo, ni su amplitud. Habitualmente se prefiere escribir una señal sinusoidal con un texto como el siguiente:

v(t) = A · sin(2π ft + φ)

Esta expresión nos permite definir la amplitud de la señal que depende del valor de A. La sinusoide pura oscila entre 1 y –1, mientras que de esta manera podemos obtener una señal que va de A a -A. Si A fuera igual a 10, tendríamos una señal que pasa de 10 a -10 V. Entre paréntesis observamos un texto más complicado. Concentrémonos en la primera parte, que determina la frecuencia de oscilación de la onda. Para configurar la frecuencia de oscilación y utilizar el tiempo como variable, necesitamos el siguiente texto:

2π ft

La onda sinusoidal se repite de forma periódica tras un cierto periodo de tiempo T. Este tiempo se denomina periodo de la onda y es exactamente el inverso de la frecuencia:

o bien:

es una velocidad angular porque expresa en cuánto tiempo la sinusoide regresa al punto de partida, y puede expresarse en ángulos por segundo. Hemos visto que 2π es igual al ángulo perigonal, es decir, 360°, que dividimos por el periodo T de la onda. Al multiplicar esta velocidad angular por el tiempo t, puedo conocer en qué punto se encuentra mi sinusoide, si me imagino que está trazada por una aguja que gira dentro de un cuadrante de reloj.

El último parámetro de nuestra sinusoide es la fase (ϕ)³ , necesaria en el caso en que se desee que la onda empiece en un punto distinto a 0.

Figura 1.23 – Efecto de la fase sobre la sinusoide.

Cuando se estudian circuitos donde circulan corrientes sinusoidales, puede resultar cómodo utilizar una descripción alternativa y más práctica para realizar los cálculos en lugar de tratar directamente con las sinusoides. Al aplicar una señal a una determinada frecuencia a un circuito formado por componentes comunes (resistencias, inductancias, condensadores), todas las magnitudes eléctricas presentes cambiarán con la misma pulsación (a la misma frecuencia). En estos casos puedo simplificar las cosas y mantener solo lo indispensable. Considero una onda cosinusoidal (simplifico los cálculos a continuación):

v(t) = A · cos(2π ft + φ)

de la cual solo me ocupo de:

A, φ

porque la frecuencia será la misma para todo el circuito. Estos dos números expresan una amplitud y un ángulo y pueden dibujarlos sobre un gráfico. Estamos acostumbrados a utilizar gráficos cartesianos, donde las coordenadas se indican sobre dos ejes perpendiculares entre sí. Un modo alternativo de indicar un punto es mediante las coordinadas polares, que especifican, en lugar de la x y la y, la distancia del punto de partida y el ángulo de inclinación respecto a un eje de referencia.

Figura 1.24 – Coordenadas rectangulares (1) y polares (2).

Obviamente, siempre se puede pasar de un sistema de coordenadas al otro mediante algún cálculo (necesitarán una calculadora científica, un seno y un coseno). Por ahora no necesitamos realizar ningún paso de coordenadas, por lo que seguiremos adelante... Sabemos indicar las coordenadas de un punto en el plano cartesiano y podemos hacerlo escribiendo, por ejemplo, las coordenadas entre paréntesis, separadas por comas:

P = (a,b)

Con las coordenadas polares, podemos hacer algo parecido a esto:

P = (A, φ)

Los primeros matemáticos e ingenieros que estudiaron estas señales prefirieron utilizar una versión mucho más elegante que el simple espacio cartesiano formado por dos coordenadas, x e y, y adoptaron aquello que se conoce como números complejos (o imaginarios), que permiten combinar x e y en un único número (disculpen la definición poco precisa y algo folclórica). Así, podemos indicar el mismo punto P de esta forma:

P = a + jb

La j que vemos antes de la b es la unidad imaginaria que, a veces, también se indica con una i. Podemos dibujar en un gráfico cartesiano este número como si fuera un punto común con una abscisa (la x) que equivale a la a, y una ordenada (la y) que equivale a la b. Podemos transformar un número imaginario en su representación polar. Tampoco en este caso tendremos dos números desvinculados, sino que podemos escribir el conjunto de un modo más compacto:

P = A · e^jφ

A es igual a la longitud del segmento que une el origen con el punto, mientras que ϕ es la inclinación del segmento respecto al eje horizontal.

Figura 1.25 – El punto P representado en el plano imaginario, en coordenadas cartesianas y polares.

Hemos partido de una sinusoide para llegar a una representación suya concreta que tiene en cuenta solo sus componentes fundamentales: amplitud y fase.

Por lo tanto, podemos decir que:

A · cos(2π ft + φ)

equivale a:

A · e^jφ

Esta última representación se puede denominar fasor y, cuando se trata con las corrientes alternas, simplifica mucho los cálculos. Además, puedo pasar de una sinusoide de forma clásica a un fasor, y viceversa. Sin embargo, a la práctica, cuando se trabaja con fasores, no se tiene en cuenta la amplitud original de la onda sinusoidal, sino que se divide su valor por la raíz cuadrada de 2, porque así se trabaja con el valor efectivo de la sinusoide. El valor efectivo se puede definir para cada magnitud periódica y está relacionado con los valores medios. Si consideramos una sinusoide y la observamos durante un periodo de tiempo, esta tendrá una zona toda positiva y una, idéntica, negativa. Su valor medio es, por tanto, igual a 0, porque la onda es durante tanto tiempo positiva como negativa. Podría parecer que una onda sinusoidal no sea capaz de combinar nada si, al final, tiene un valor medio igual a 0.

Sabemos muy bien que esto no es así, puesto que, si no, en nuestras casas no tendríamos corriente alterna. Por esta razón se utiliza el valor eficaz o RMS (Root Mean Square), que es igual al valor de la corriente continua que produciría la misma disipación de potencia (media) sobre una carga resistiva. Para calcular el valor eficaz de una onda sinusoidal, se necesita calcular el área de la sinusoide al cuadrado, dividida por su periodo, y todo ello bajo una raíz cuadrada. El cálculo proporciona un resultado muy sencillo y familiar para todos los electrónicos:

Operaciones sobre fasores

Hemos definido un fasor y hemos aprendido que corresponde a una representación cómoda para una sinusoide. Cuando utilizamos fasores, debemos basarnos en estas reglas.

Producto de un fasor por una constante

Una tensión sinusoidal s₁(t) corresponde a un fasor A₁. Si multiplico (o amplifico) la sinusoide s₁(t) por n veces, obtengo que también la amplitud del fasor se amplificará con la misma magnitud y será igual a:

Suma de fasores

Si tengo dos magnitudes sinusoidales s₁ y s₂, puedo sumarlas y obtener:

S₃(t) = S₁(t) + S₂(t)

La suma no cambia si utilizamos los fasores:

Derivada de un fasor

En las fórmulas electrónicas, a menudo hay que tener en cuenta la variación de la señal. Si tengo s₁(t), me podría interesar conocer la rapidez con que cambia la señal en el tiempo, lo que equivale a saber la pendiente de la curva. En muchas fórmulas electrónicas, es necesario calcular este tipo de variaciones. Por ejemplo, al estudiar los condensadores observamos que la corriente que pasa por ellos es proporcional a la variación en el tiempo de la tensión en las placas. La variación de la tensión en el tiempo es comparable a la pendiente de la curva. Cuando queremos medir la pendiente de una calle, medimos cuánto sube y a lo largo de qué distancia. Con las dos medidas podemos determinar la pendiente, que, por último, se puede expresar como porcentaje. Cuando, mientras conducimos, nos encontramos con un cartel que indica que la pendiente de la carretera es del 10 %, significa que la carretera subirá como mínimo 10 m por cada 100 m que recorramos.

Figura 1.26 – Cartel que indica una pendiente del 10 % y grafía para el cálculo de la pendiente.

Para medir la pendiente, debemos medir dos intervalos, uno a lo largo del eje x y otro a lo largo del eje y. Estos intervalos también se conocen como delta y se escriben así:

Δ_t = t₂ − t₁

Imaginemos que tomamos un intervalo muy pequeño, y reducimos al máximo la distancia de los dos puntos. Supongamos que llevamos esta distancia prácticamente hasta 0. En matemáticas, esta operación equivale a calcular el límite, llevar la distancia entre dos puntos de forma ideal hasta 0. En esta condición cambia también la manera de escribir la delta, que es prácticamente infinitesimal. Así, escribiremos lo siguiente:

dt

Para indicar que estamos derivando una función respecto a una de sus variables, por ejemplo, una función que dependa del tiempo t, escribiremos:

Para calcular la derivada de una función cualquiera, se necesitan algunos conocimientos de análisis matemático. El procedimiento no es complicado, aunque es preciso recordar algunas reglas sencillas que podemos consultar en un libro de matemáticas. Por ahora basta con haber comprendido (o recordado) que la derivada de una función equivale a calcular una nueva función que representa la pendiente de la función de partida punto por punto.

Volviendo a las sinusoides y los fasores, si tenemos una sinusoide:

s₁(t) = A · cos(2π ft + φ)

o:

s₁(t) = A · cos(ωt + φ)

utilizando:

2π f = ω

y queremos calcular su derivada:

observamos que, pasando a los fasores, obtenemos:

Si tenemos en cuenta que los fasores se caracterizan por una distancia y un ángulo, se pueden trazar gráficamente. El resultado que hemos obtenido corresponde a rotar el fasor 90°. Esta información nos servirá más adelante, cuando apliquemos la sinusoide a componentes electrónicos como condensadores e inductancias.

Ley de Ohm en corriente alterna

La ley de Ohm se aplica también en circuitos alimentados con corriente alterna. Podemos imaginar que tenemos un generador que produce una tensión alterna y lo aplicamos a una resistencia R con un simple circuito, como el que se muestra en la figura 1.27.

Figura 1.27 – Generador sinusoidal conectado a una resistencia R.

La señal utilizada será:

V₁(t) = V · cos(2π ft)

La corriente que circula en el circuito se puede determinar simplemente con la ley de Ohm:

Podemos observar que tanto la expresión de la tensión como la de la corriente tienen la misma forma, ambas son cosenos, con la misma frecuencia. Por tanto, tenemos dos ondas simples sincronizadas, es decir, en fase entre ellas. La resistencia no modifica la señal sinusoidal y no presenta desfases. También podemos escribir las ecuaciones mediante los fasores. La ley de Ohm adopta esta forma:

donde e son los fasores que corresponden a V₁ (t) e I (t).

Condensadores en corriente alterna

Un condensador es un componente electrónico muy sencillo que se crea acercando dos superficies metálicas denominadas placas. Estas placas están conectadas a los dos terminales. Si se conecta una batería a los dos terminales, no pasará la corriente, solo de forma momentánea. De hecho, el condensador permite el paso solo de corrientes variables en el tiempo, mientras bloquea las continuas.

Cuando aplicamos una tensión continua, sobre las dos superficies se forma una distribución de cargas eléctricas, positivas sobre una placa y negativas sobre la otra. Esta distribución de cargas origina un campo eléctrico estable una vez que la corriente se está ejecutando. La corriente que detectamos en la fase de carga es una corriente aparente, por el hecho de que las armaduras se están cargando y, por tanto, es como si absorbieran cargas eléctricas, con lo que da así la impresión de que circula algo de corriente en el circuito (displacement current). La cantidad de carga presente en las placas de un condensador es proporcional a la diferencia de potencial aplicada. La constante que indica esta proporción se denomina capacidad y se indica con la letra C.

Q = C · V

La capacidad es una magnitud similar a la resistencia: de hecho, caracteriza el condensador e indica su capacidad de almacenar cargas eléctricas. Además, es un número siempre positivo. La capacidad de un condensador se mide en faradios y en submúltiplos de faradio.

Figura 1.28 – Símbolos de condensadores, polarizados y no, y representación gráfica de las placas cargadas.

Hemos podido ver al inicio de este capítulo que la corriente puede describirse como la variación de carga en el tiempo. En la primera expresión hemos utilizado las deltas. Obviamente, la fórmula se puede escribir como una derivada y, por tanto, será:

Recordemos que esta expresión significa que nos interesa conocer la tendencia de las variaciones de carga en el tiempo. Tratemos de aplicar la derivada en la ecuación que describe la relación entre carga y tensión sobre un condensador (Q = CV):

El primer término es, precisamente, la corriente, por lo que, si realizamos la sustitución, tenemos:

También podemos analizar la fórmula con fasores. Supongamos que aplicamos una tensión sinusoidal al condensador:

V(t) = V · cos(2π ft + φ)

El fasor correspondiente será y lo aplicaremos a la fórmula para la corriente:

La fórmula me dice que el fasor , aplicado al condensador, producirá el fasor , desfasado 90°. También podemos comprobar esta propiedad de los condensadores dibujando en un gráfico el progreso de V(t) e intentando calcular gráficamente su derivada. Como ya hemos dicho, la derivada es igual a la pendiente de la curva punto por punto. La función sin(t) parte en el punto de origen de los ejes con una inclinación de 45°. El valor de su derivada y de la pendiente será igual a 1.

Cuando sin(t) está a 90°, se encuentra en su punto máximo de altura y se prepara para bajar: la pendiente es igual a 0.

A 180° sin(t) va de bajada y pasa por el eje horizontal a 45°, por lo que su pendiente será de –1.

A 270° su pendiente es aún de 0 para, a continuación, volver, a 360°, a 1.

Si dibujamos la curva de las pendientes, hemos obtenido la tendencia de i(t) y podemos observar que la corriente tiene un desfase de 90° (de antemano) respecto a la tensión.

Figura 1.29 – Tendencia de una tensión sinusoidal aplicada a un condensador.

La tensión aplicada cambia continuamente, por lo que en el condensador circulará una corriente y este podría comportarse de forma similar a un resistor. A diferencia de un resistor, un condensador no disipa energía, sino que actúa desfasando entre ellos la tensión y la corriente aplicadas. Este comportamiento se asemeja al de una resistencia, pero, como hemos visto, tiene como efecto el de desfasar ambos componentes. Así, podemos describirlo como una relación entre tensión y corriente que se llama reactancia y se mide en ohmios. Normalmente la reactancia se representa con la letra X. La reactancia del condensador es igual a:

La reactancia depende de la frecuencia y, cuando esta es muy elevada, tendremos un valor muy bajo que subirá a medida que la frecuencia disminuye. Cuando la frecuencia es igual a 0, el valor de inductancia es infinito. Por esta razón, los condensadores dejan pasar las señales variables, pero no las continuas.

Figura 1.30 – Tendencia de la reactancia de un condensador al cambiar la frecuencia de la señal aplicada.

Inductores en corriente alterna

Un inductor es un componente eléctrico cuyo comportamiento es opuesto al de un condensador. Los inductores también tienen una estructura muy simple. De hecho, se hacen enrollando un cable eléctrico varias veces hasta obtener una bobina formada por múltiples espiras situadas unas junto a otras. Mientras que los condensadores utilizan un campo eléctrico, los inductores deben sus propiedades al campo electromagnético que se establece entre las espiras alimentadas por una corriente. Si conectamos una batería a los dos terminales, conseguimos un paso de corriente. Sin embargo, si la corriente aplicada cambia en el tiempo, observaremos cierta oposición al paso de las cargas a medida que va aumentando la frecuencia. Un inductor bloquea las corrientes variables y deja pasar, en cambio, las corrientes continuas. Si aplicamos una corriente al componente, entre las espiras se establece un campo magnético que obstaculiza las variaciones de corriente. El campo magnético que se forma depende de las características de la bobina: número de espiras, longitud, diámetro del bobinado. La tensión en los extremos de un inductor depende de las variaciones de la corriente y, por tanto, podemos escribir:

La tensión en los extremos del inductor está vinculada a los cambios de corriente mediante el valor de inductancia (L). La inductancia se mide en henrios y submúltiplos de henrios. La inductancia es una magnitud similar a la resistencia; de hecho, caracteriza al inductor e indica su capacidad de almacenar energía electromagnética. L siempre es un número positivo.

Figura 1.31 – Símbolo de un inductor y representación gráfica de la bobina con el campo eléctrico.

Podemos volver a escribir la fórmula de la inductancia con fasores: imaginemos que aplicamos una corriente sinusoidal al inductor:

I(t) = I · cos(2π ft + φ)

El fasor correspondiente será y lo aplicaremos a la fórmula para la tensión:

La fórmula me revela que el fasor , aplicado al inductor, producirá el fasor , con un desfase de 90°. Otra forma de observar esta propiedad de los inductores es dibujando sobre un gráfico la tendencia de I(t) y tratando de calcular gráficamente su derivada, como hemos hecho para el condensador. Podemos observar que la curva de la tensión se desfasa 90° (con retraso) respecto a la corriente.

Figura 1.32 – Tendencia de una corriente sinusoidal aplicada a un inductor.

La tensión aplicada varía continuamente y, por tanto, por el inductor pasará una corriente que tendrá dificultades en circular, porque este se comporta de forma similar a un resistor. A diferencia de un resistor, un inductor no disipa energía, sino que actúa desfasando entre ellos la tensión y la corriente aplicadas. Este comportamiento se asemeja al de una resistencia, pero, como hemos visto, tiene como efecto desfasar ambos componentes. Por esta razón, podemos describirlo como una relación entre tensión y corriente que se llama reactancia y se mide en ohmios. Normalmente la reactancia se representa con la letra X. La reactancia del inductor es igual a:

X_L = 2π fL

La reactancia depende directamente de la frecuencia: al aumentar el valor de una, también aumentará el de la otra, que será 0 cuando existe corriente continua. Por esta razón, los inductores dejan pasar las señales continuas y obstaculizan las variables.

Figura 1.33 – Tendencia de la reactancia de un inductor cuando varía la frecuencia de la señal aplicada.