Conceptos avanzados del diseño estructural con madera

El método gamma fue ya detallado en profundidad en el Capítulo 3 del libro “Conceptos avanzados del diseño estructural con madera. Parte II”, pues este método se aplica habitualmente en el cálculo de rigideces efectivas y tensiones de elementos compuestos por elementos que están unidos longitudinalmente de forma continua, pero por una interfaz semi-rígida, como suele ser el caso de los conectores mecánicos. La clave del método consiste en, minorar las contribuciones de inercia de Steiner por el factor γ el cual toma valores cercanos a 0 cuando la interfaz es muy flexible, y 1 cuando la interfaz es muy rígida. El método más estandarizado presenta fuertes limitaciones en cuanto a su aplicación; por ejemplo, tan sólo puede ser empleado para cargas sinusoidales (o uniformes), y para piezas compuestas de 3 capas (2 interfaces), aunque el método fue modificado y extendido por múltiples autores para tener una mayor aplicabilidad. En la práctica, este método se aplica para la mayoría de situaciones en vigas y columnas compuestas.

En el caso del CLT, las interfaces entre láminas son obviamente rígidas (encoladas), sin embargo, es posible aplicar este método para piezas de 3 y 5 láminas asumiendo que las láminas intermedias son en realidad interfaces flexibles. En algunos textos, el lector puede identificar este método como método “γ modificado” aunque dicha denominación no parece muy adecuada ya que en la literatura existen multitud de modificaciones del método, antes incluso de la aparición del CLT. A continuación, se presentan los principales aspectos a tomar en consideración para la aplicación del método γ en la modelación de la flexión del CLT de 3 y 5 láminas fuera del plano. Es imprescindible que el lector se haya familiarizado con la presentación del método (incluyendo sus hipótesis y limitaciones de partida) en el Capítulo 3 de la primera parte de este libro.

En la parte final de esta sección, se presenta brevemente la modificación de Schelling del método gamma, quien mediante un procedimiento matricial permitió extender el método para más de 2 interfaces, lo que posteriormente sirvió para aplicar el método a CLT de 7 láminas o más y otros tipos de componentes con más de 2 interfaces.

Transformación de la sección transversal del CLT a un “elemento compuesto” equivalente

Recordemos que el factor γ se calcula a partir de la rigidez al flujo de corte (k), el cual para el caso de vigas conectadas mecánicamente puede estimarse como la relación entre el módulo de corrimiento del conector y la separación entre conectores (k=K/s)

En el caso del CLT, la deformación horizontal puede asumirse, para ángulos pequeños como el producto de la deformación angular por la altura, así es que

Por tanto, la rigidez al flujo de corte k provista por una lámina perpendicular solicitada a rodadura, puede estimarse como

Donde el subíndice perp en la fórmula anterior, simplemente se añade para notar que, la rigidez y el espesor se refiere únicamente al de las láminas perpendiculares, pues son éstas las que producen la interfaz flexible. Así es que el factor gamma correspondiente a la lámina superior o inferior en contacto con una lámina perpendicular flexible de CLT, puede estimarse como

De este modo, las placas de CLT de 3 láminas podrían concebirse como una pieza compuesta de 2 materiales los cuales son unidos por una interfaz semirígida (p. ej. una viga en T) y las placas de CLT de 3 láminas podrían asociarse a una viga compuesta con 3 capas rígidas y 2 interfaces semi-rígidas (p.ej. una viga en I), ver Figura 1.2.3.

FIGURA 1.2.3 Idealización de placas de CLT de 3 y 5 láminas como vigas compuestas con interfaces semirígidas mediante el método γ (modificado de Bogensperger et al. 2012).

Cálculo de rigideces y tensiones

La rigidez flexional efectiva se calcula igual que para piezas compuestas, esto quiere decir que, se considera que la inercia efectiva viene únicamente dada por las capas longitudinales considerando la flexibilidad de la interfaz de acuerdo a la siguiente expresión

Es decir, para CLT de 3 capas, únicamente las 2 capas externas aportan inercia flexional

Y para CLT de 5 capas, la capa central, y las capas 2 externas aportan inercia

Para que posteriormente

Para el cálculo de las tensiones axiales máximas, y de forma análoga a las vigas compuestas, se considera que la tensión viene dada como la suma de las tracciones/compresiones axiales en el cdg de las láminas externas y la máxima tensión de flexión

Con

Por otra parte, las tensiones cortantes pueden obtenerse como

En el caso de CLT con 3 láminas, la capa del medio no contribuye en el módulo estático para verificar la rodadura, por lo que simplemente puede aplicarse

De modo que la tensión máxima de corte longitudinal en las capas externas, coincide con la tensión de corte por rodadura en la capa interna.

En el caso de CLT con 5 láminas, el cortante máximo se produce en la lámina interna longitudinal, el cual puede estimarse como

Al igual que se comentó con en el método anterior, la solicitación de rodadura máxima que se produce de forma constante en las 2 capas perpendiculares de una placa de 4 láminas, es idéntica al cortante máximo longitudinal en las láminas externas, es decir, que puede calcularse como

Nótese que en el caso de CLT con 5 capas, las “alas” las constituyen las láminas externas longitudinales, mientras que el “alma” sería la lámina central longitudinal; así los distanciamientos del c.d.g. de cada lámina al eje neutro, pueden calcularse de forma análoga a las vigas en I. En caso de que todas las capas tengan el mismo espesor, t, y estén hechas del mismo material, pueden emplearse las siguientes fórmulas simplificadas para el cálculo de los factores γ, y distanciamientos de los cdg al eje neutro

Sin embargo, en el caso de CLT con 3 capas la situación es un poco diferente a las vigas en T, ya que ninguno de los 2 componentes (capas longitudinales) suele pasar por el eje neutro. Teniendo en cuenta ese detalle, en el caso de que los espesores y rigideces de las 3 capas sean idénticos el cálculo de los factores γ y distanciamientos ai puede obtenerse con las siguientes fórmulas simplificadas

Ventajas y desventajas del método

 Ventajas: dado que el método gamma está tremendamente extendido y normalizado en la madera, este método se ha prescrito en las guías de cálculo de numerosas aprobaciones técnicas de productos comerciales (ETAs, i.e. European Technical Assesments) antes incluso de que el cálculo con CLT se haya normalizado en los códigos de construcción.

 Desventajas: aunque se puede calcular manualmente, su aplicación es más tediosa que el método anterior y solo permite el cálculo de CLT de 3 y 5 láminas (a no ser que se extienda mediante la modificación de Schelling que a continuación se presenta). Además, los resultados en vigas continuas y vigas en voladizo (aun modificando las luces artificialmente como se comenta en el Capítulo 3 de libro “Conceptos avanzados del diseño estructural con madera. Parte I”) pueden generar resultados poco satisfactorios.

 

Extensión de Schelling

Basado en el método anterior, Schelling propuso una modificación para poder extender el método para cualquier número de interfaces semirrígidas. El planteamiento del problema consiste en resolver el siguiente problema matricial:

Con

y

Donde el subíndice n indica el número total de láminas longitudinales, i representa el número lámina longitduinal, partiendo desde la cara superior, y kj,k representa la rigidez al flujo de corte de cada una de las capas transversales. Así por ejemplo para un CLT de 7 capas tendríamos 4 capas longitudinales (subíndices i=1, 2, 3 y 4), sobre las que deberíamos calcular las propiedades a1,…,a4, d1,…,d4 y 3 capas transversales o interfaces (subíndices j,k=1-2, 2-3 y 3-4) sobre las que deberíamos calcular kj,k. Una vez determinados todos los coeficientes, se puede resolver el valor del factor gamma de cada interfaz sin más que invertir la matriz

Una vez determinados todos los valores gamma, el procedimiento se aplica de forma completamente análoga. Así, por ejemplo, la inercia efectiva resulta

Donde n ahora ya no está limitado a un máximo de 3 capas longitudinales. Téngase en cuenta que este método no es exclusivamente aplicable al CLT, sino que en el caso de capas unidas por conectores mecánicos de rigidez K y separación s, simplemente deberíamos considerar que

1.2.4 Modelo de la analogía de corte (shear analogy)

El modelo consiste en idealizar el CLT como una viga ficticia y homogénea, compuesta por 2 cordones separados a una determinada distancia, los cuales están acoplados en cuanto a la deflexión (tienen la misma flecha en cada sección), en concreto:

 El cordón superior (cordón A), posé una inercia flexional correspondiente a la suma de inercias de las láminas longitudinales respecto de su centro de gravedad (BA). Además, el cordón superior es completamente rígido al corte, por lo que se puede asumir que SA=∞.

 El cordón inferior (cordón B), tiene una rigidez flexional que se corresponde con la contribución de Steiner de las láminas longitudinales (BB), mientras que su rigidez al corte se corresponde con la rigidez al corte de las láminas longitudinales y las láminas perpendiculares (SB), ver una ilustración en la Figura 1.2.4.1.

FIGURA 1.2.4.1 Principio básico de idealización del CLT mediante el método de la analogía de corte (después de Bogensperger et al. 2012).

En realidad, lo que se busca con esta idealización es poder separar adecuadamente los siguientes comportamientos:

1 Las tensiones axiales y cortantes originadas por los momentos flectores a los que se sometería cada lámina individual, si es que todas las láminas experimentasen la misma curva de deformación elástica, la fuerza se distribuyese en las distintas capas, pero estas no estuviesen unidas. Esto es lo que se logra representar mediante el cordón A, que agrupa la misma deflexión para todas las láminas, y las secciones permanecen planas (no hay ningún efecto de acentuación de deformaciones porque la viga es infinitamente rígida al corte).

2 Las tensiones axiales y cortantes adicionales originadas por el hecho de que las láminas se encuentran a diferentes alturas respecto del eje neutro y al mismo tiempo pueden traspasar la tensión de flujo de corte a las láminas longitudinales adyacentes de acuerdo a la flexibilidad de las láminas perpendiculares. Es decir, la parte de Steiner, la cual tiene en cuenta que cada una de las láminas, tendrá una solicitación axial constante adicional por el hecho de estar alejadas del eje neutro, siempre y cuando sea posible transmitir el corte. La diferencia entre los axiles medios (nótese que son medios porque se toma el centroide de cada lámina en la contribución de Steiner) de cada lámina, genera a su vez un cortante adicional. Esto se logra representar mediante el cordón B, que además permite considerar la acentuación de la deflexión por el efecto de la flexibilidad de corte (tanto por las láminas longitudinales como las perpendiculares).

De este modo, es posible aproximar las tensiones en el CLT con la sumatoria de las tensiones A y B, ver una ilustración en la Figura 1.2.4.2.

FIGURA 1.2.4.2 Sumatoria de las contribuciones de tensiones por momento flector sin acción compuesta, cordón A, y contribuciones por transmisión de flujo de corte a través de interfaz flexible, cordón B, como base para el cálculo de solicitaciones del CLT según el método de analogía de corte (basado en Bogensperger et al. 2012).

Debe notarse que el fundamento anterior es similar al pilar fundamental del razonamiento teórico del método γ. En el método γ, se asume que la semirrigidez de la unión únicamente afecta a las tensiones derivadas de la inercia adicional de la contribución de Steiner. En el método de la analogía del cort,e también se separa la componente de Steiner y únicamente allí se considera la transmisión del corte. La diferencia principal de este último método es que en lugar de considerar la semirrigidez de corte de la unión (representada por γ), se considera la flexibilidad (semirrigidez) de corte de las capas transversales por el efecto de la rodadura. Es por ello que este método se ha denominado “analogía” de corte, respecto de la semirrigidez de una unión en el método γ. Dicho efecto de flexibilidad, se considera en su totalidad en el cordón B, lo que permite modelar paneles de CLT con cualquier número de láminas y tipos de carga.

La estrategia para resolver el sistema anterior, consiste en acoplar el campo de las deflexiones de ambos cordones, y resolver la deformación por corte del cordón B. Aunque existen soluciones analíticas para lo anterior, lo habitual es aplicar programas computacionales de cálculo en el contexto de este modelo. En concreto, los paneles de CLT se suelen modelar como vigas acopladas, atribuyendo las rigideces que a continuación se detallan. Una vez calculadas los esfuerzos de corte y momentos de los cordones, se procede a determinar las tensiones internas reales aplicando una regla de transformación que a continuación se detalla. El método también es apropiado para modelar losas biaxiales.

Cálculo de rigideces y tensiones

La rigidez flexional del cordón A, es lógicamente la suma (en paralelo) de las rigideces individuales de las láminas, y la rigidez al corte se asume infinita

Nota: Ei suele despreciarse igualmente para las láminas perpendiculares, aunque al ser calculado mediante software en ocasiones se considera. Para la rigidez al corte en la práctica se le atribuye un valor muy elevado.

Respecto del cordón B, la rigidez flexional es la suma (en paralelo) de las componentes de Steiner, y la rigidez al corte es la suma (en serie) de las rigideces a corte de las láminas longitudinales y perpendiculares

Nótese que de igual modo la rigidez de las láminas perpendiculares no se suele contabilizar en la rigidez flexional. Respecto de la rigidez al corte, se considera, al igual que en el método γ, que la rigidez al flujo de corte de cada lámina es

Dado que las láminas se deforman en serie, ver Figura 1.2.4.3, y que las mitades exteriores de las láminas externas no se deforman (y por tanto su rigidez a corte no contribuye), la rigidez equivalente al flujo de corte resulta

FIGURA 1.2.4.3 Deformación en serie al cortante de las láminas de CLT (readaptado para el CLT a partir de consideraciones en DIN1052 2010).

Considerando que solo se produce deformación por corte entre los centros de gravedad de las láminas externas del CLT (distanciadas a una distancia a), la rigidez al corte del cordón B, que a su vez representa la rigidez al corte de la “viga” de CLT puede estimarse como

Tal que

Dado que

Se obtiene

Así es que

Una vez calculados los esfuerzos en el programa computacional de acuerdo a las rigideces anteriormente comentadas, se pueden estimar el reparto de momentos y axiles en cada una de las láminas sin más que relativizar las rigideces flexionales y axiales respectivamente

Los que permiten estimar las tensiones flexionales en cada punto de la sección vertical (z)

Por supuesto las tensiones axiales se pueden estimar de acuerdo a la posición del cdg de cada lámina (es,i)

Y naturalmente, la tensión axial real en cualquier punto de la sección se aproxima como

Por otra parte, el cortante A se reparte en las láminas según rigidez flexional

Y el cortante B no requiere transformación porque ya considera la rigidez al corte del CLT. Finalmente, las tensiones de corte se pueden aproximar como

De modo que

Ventajas y desventajas del método

 Ventajas: puede modelar cualquier cantidad de láminas y tipo de cargas con gran exactitud. Sin duda, es capaz de aproximar la solución de vigas continuas de forma mucho más exacta que los otros 2 métodos. Estas ventajas han hecho que el método de la analogía de corte esté siendo el método mayormente adoptado en la normativa actual.

 Desventajas: su implementación requiere bastante esfuerzo, y requiere un mayor grado de discretización que los métodos anteriores. Las tensiones de corte no se aproximan bien en áreas cercanas a cargas puntuales y apoyos intermedios en vigas continuas.

1.2.5 Teoría de componentes (k-method)

La teoría de componentes, también denominada como método k, fue propuesta en algunos textos iniciales para calcular el CLT debido a que este método ya fue propuesto hace varias décadas por Blass y Fellmoser para el cálculo del terciado. La ventaja central del método, es que permite reducir el problema a la determinación de factores de modificación de rigidez y resistencia lo cual hace su aplicación muy sencilla en el cálculo. Lo anterior no solo concierne a la flexión fuera del plano, sino en realidad muchos de los principales esfuerzos, por lo que en esta sección se presenta no solo el modelo de flexión sino el modelo estructural para diferentes esfuerzos. El método se puede aplicar además para CLT de múltiples láminas. Sin embargo, la teoría de componentes tiene una limitación tremendamente restrictiva para el CLT, y es que no considera la deformación por corte. Esto se debe a que naturalmente el método fue ideado para calcular terciado donde las razones L/t suelen ser ≥ 30. Así es que la aplicación práctica en el CLT es muy reducida. No obstante, a continuación, ser resume de forma muy concisa las suposiciones y los fundamentos de este método:

 Hipótesis de Bernouilli sobre planicie de secciones deformadas. No existe deformación cortante porque la relación L/t ≥ 30.

 La rigidez perpendicular no es 0 sino E⊥=E90= E||/30= E0/30.

 La rigidez efectiva del CLT para diferentes estados de carga, puede calcularse como el producto de la rigidez E0 multiplicada por el coeficiente de modificación de rigidez, ki, correspondiente, ver Tablas 1.2.5-6.

 La resistencia efectiva (tensiones admisibles) del CLT para diferentes estados de carga, también pueden calcularse considerando el producto de la resistencia (tensión admisible) multiplicada por el coeficiente de modificación correspondiente, ki, ver Tabla 1.2.6.

 Una vez modificadas las rigideces efectivas, las rigideces flexionales y las solicitaciones pueden calcularse empleando inercias, áreas y módulos resistentes brutos sin considerar el efecto de la ortotropía de las capas. Por ejemplo, el cálculo de la rigidez flexional resulta

y

TABLA 1.2.5 Determinación de los coeficientes de modificación ki según el estado de carga para la aplicación del método k (modificado de Gagnon y Popovski 2011).

TABLA 1.2.6 Aplicación de los coeficientes de moficidación ki para el cálculo de tensiones admisibles y rigideces efectivas del CLT según el método k (después de Gagnon y Popovski 2011).
Solicitación	Orientación fibra externa respect solicitación	Resistencia efectiva	Rigidez efectiva
Fuerzas fuera del plano
Flexión	Paralela
Perpendicular
Fuerzas en el plano
Flexión	Paralela
Perpendicular
Tracción	Paralela
Perpendicular
Compresión	Paralela
Perpendicular

1.3 MODELO DE CÁLCULO TIPO PLACA; TEORÍA DE PLACAS CON CONTRIBUCIÓN DE CORTE DE PRIMER ORDEN

A pesar de que varios de los modelos de vigas anteriores pueden extenderse con mayor o menor dificultad para constituir elementos tipo placa (2D) y poder modelar así flexiones biaxiales, así como otras situaciones de carga y condiciones de vínculo más complejas, sin duda la forma más extendida para modelar este tipo de elementos, especialmente cuando las condiciones de carga, vínculo y geometrías son complejas, consiste en emplear directamente un modelo de placa, referido habitualmente como plate (sin esfuerzos de membrana) shell, (con esfuerzos de flexión y membrana) en contextos de modelos computacionales. Estos modelos no sólo se aplican para predecir la flexión fuera del plano, sino que en general se usan para explicar prácticamente todo el comportamiento mecánico del CLT.

Pese a que existen soluciones analíticas, especialmente para situaciones de carga y vínculo relativamente sencillas, claramente la resolución de problemas con elementos 2D suele realizarse mediante métodos numéricos de aproximación. En particular, es muy común emplear el modelo de los elementos finitos (MEF) para aproximar soluciones, y es por ello, que en la práctica profesional el uso del término plate o shell suele relacionarse con el MEF. La precisión de estos modelos es sin duda muy superior a los modelos analíticos (o eventualmente computacionales como, por ejemplo, la analogía de corte) anteriormente descritos. De hecho, a menudo el “error” de los modelos de flexión uniaxial presentados anteriormente, se determina en función de cuan bien pueden estos emular los resultados del modelo que a continuación se describe.

Sin duda la teoría de placas es extensísima entre otras cosas porque permite predecir la rigidez, deformación y tensiones internas de elementos tipo placa compuestos por capas laminadas reduciéndolos de 3D a 2D. Cada una de las láminas puede ser isótropa, transversalmente isótropa u ortótropa. Esto es particularmente importante para la industria aeroespacial, que convencionalmente fabrica las cáscaras o “shells” de naves con placas compuestas laminadas. Por supuesto el análisis de la teoría de shells no es el objeto de este libro, por lo que a continuación se describe únicamente lo esencial en relación a la modelación del CLT.

Principalmente existen 2 teorías para simplificar el comportamiento global de placas compuestas laminadas, tales como el CLT a elementos 2D, y afortunadamente, muchos de los softwares comerciales mayormente empleados permiten implementar ambos modelos:

1 Teoría clásica de placas laminadas o teoría de laminados basada en la teoría de placas de Kirchhoff (teoría clásica de laminación). Usualmente empleada para predecir el comportamiento de placas delgadas, asume que el plano intermedio en el plano de la placa es el plano neutro (similar a fibra neutra en la teoría de vigas), por lo que no existen ni deformaciones ni tensiones. Tampoco considera que pueda existir tensión y deformación en la dirección del grueso de la placa. Finalmente asume que las secciones de la placa son planas y perpendiculares al plano intermedio, es decir, que no existe deformación por corte.

2 Teoría de placas laminadas con contribución de corte o teoría de laminados basada en la teoría de placas de Mindlin (teoría de cortante de primer orden). Es similar a la teoría clásica de Kirchhoff, pero sí considera la deformación por corte lo que la hace mucho más conveniente para predecir el comportamiento de placas gruesas tales como el CLT en su morfología más habitual.

Por lo anterior, a continuación, se resumen las particularidades del modelo de laminado basado en la teoría de placas de Mindlin para aplicación en el CLT y, se explican los modelos actuales de cálculo empleados para determinar las diferentes rigideces.

1.3.1 Suposiciones fundamentales de la teoría de placas de Mindlin

Al igual que en la teoría de Kirchhoff, el plano intermedio se asume como el plano neutro, y también se considera que no existe deformación en el grueso de la placa εz=0, es decir se asume la hipótesis de tensión plana. Esto se adapta bastante bien a la realidad, si es que la geometría no se acerca a la de un sólido (l/t<10).

Además, tal y como fue introducido con anterioridad, la sección perpendicular de la placa permanece plana y de espesor constante, pero no necesariamente perpendicular a la deformada. Dicho de otro modo, se permite que haya deformación por corte transversal, tal que las normales a la placa no resultan perpendiculares al plano intermedio, ver Figura 1.3.1. Así pues, la deformación de corte se asume constante en toda la placa, lo que obliga a emplear factores de corrección de deformación por corte transversal, k. Además de ello, tal como se detalla en apartado sucesivos, también se suele requerir la aplicación de factores de corrección por torsión y corte longitudinal, k.

FIGURA 1.3.1 Deformación básica y desplazamientos en la teoría de placas de Mindlin: (izquierda) el giro de la sección plana se asume como la suma del giro debido a la deformada más la contribución del corte, lo que contrasta frente a la sección no plana real; (derecha) los desplazamientos horizontales se asumen como la sumatoria del desplazamiento de la deformada en el plano intermedio más la contribución por giro (basado en Oñate 2013).

1.3.2 Formulación de desplazamientos en la teoría de Mindlin

El desplazamiento horizontal de cualquier punto de la placa se asume como una composición del desplazamiento de la lámina intermedia (u0 y v0, medidos en z=0), menos el desplazamiento horizontal correspondiente al giro (sobre ejes x e y) multiplicado por el ángulo de giro (θ). Nótese que, como se asumen pequeños desplazamientos, y las secciones permanecen rectas, el desplazamiento horizontal debido al giro puede calcularse como el producto de la coordenada z (radio) multiplicado por el ángulo de giro θ, ver Figura 6.1.4.5.1.

A su vez, tal como se muestra en la Figura 6.1.4.5.1, el giro sobre cualquiera de los dos ejes se asume como la suma del giro provocado por la rotación de la normal en estado deformado, más la rotación debido al corte:

Finalmente, se asume que la sección no se deforma en su espesor, por lo que el desplazamiento vertical de cualquier punto de la sección transversal se asume idéntico al desplazamiento del plano intermedio

1.3.3 Deformaciones

Dado que la matriz de rigidez del elemento de CLT con capas simétricas es casi diagonal, puede establecerse una relación bastante directa entre los esfuerzos y las deformaciones, así como los dos acoplamientos anteriormente mencionados:

 Los momentos mx, my y mxy son, respectivamente, los principales causantes de las curvaturas (giros por unidad de longitud) de kx, ky y kxy.

 Los cortantes transversales vx e vy provocan distorsiones verticales en cada uno de los planos ortogonales de la placa, γxz, γyz.

 Los axiles y el cortante en la placa nx, ny y nxy son, respectivamente, los principales causantes de las tensiones y distorsión angular en la membrana εx, εy, γxy.

El vector traspuesto de deformación global de la placa puede escribirse como

O lo que es lo mismo

De modo que, análogamente a la formulación de desplazamientos, la deformación individual en cada coordenada vertical z de cada lámina suele calcularse a partir de las deformaciones globales de la placa como

Nótese que en esta última ecuación no se considera explícitamente la contribución de la deformación por corte transversal en la lámina. Esto se debe a que, si bien dicha contribución si se toma en cuenta en la deformación de la placa para las verificaciones de servicio, no se suele incorporar en la deformación de las láminas individuales porque las tensiones cortantes perpendiculares suelen considerarse independientemente, es decir, no se calculan a partir de las deformaciones de las láminas individuales, ver Sección 1.3.11.

1.3.4 Esfuerzos y tensiones en la placa

Los esfuerzos internos, i.e. axiles, cortantes y momentos, a los que la placa está sometida se asumen esfuerzos por metro de ancho (kN/m y kNm/m, respectivamente) por lo que la denominación suele ser con letras minúsculas. La dirección del largo, x, se toma como la dirección de la fibra en el exterior de la placa, y el ancho, y, es la dirección perpendicular al largo en el plano de la placa. La convención de signos y direcciones de los esfuerzos internos es similar a la que se emplea en el hormigón, ver Figura 6.1.5.3; el primer subíndice hace referencia al eje normal al plano en el que actúa el esfuerzo, el segundo subíndice hace referencia a la dirección donde se producen las tensiones. En caso de que los dos subíndices se repitan, se elimina uno de los subíndices. Por ejemplo, el axil por metro de ancho nx representa un esfuerzo que actúa en el plano cuya normal es el eje x y produce tensiones de dirección x. El esfuerzo nxy es el esfuerzo que actúa en el plano cuya normal es el eje x, pero produce tensiones de dirección y. En total, la placa puede estar sometida a los siguientes esfuerzos:

1 Fuerzas axiales por unidad de longitud en las 2 direcciones horizontales, nx y ny, que generan tensiones axiales σx, σy en la membrana, esto es en el plano de la placa, ver Figura 1.3.4.

2 Momentos flectores por unidad de longitud respecto de ambos ejes, mx y my, que generan tensiones σx, σy en la membrana.

3 Momento torsor (twisting) por unidad de longitud. El momento actúa en el plano cuya normal es x y produce tensiones cortantes en el eje y por lo que la designación es mxy y τxy. Por supuesto se genera un momento idéntico en el plano con normal y que produce esfuerzos tangenciales en x.

4 Cortante por unidad de longitud en el plano de la placa, nxy, que generan tensiones cortantes en el plano de la placa τxy.

5 Cortantes por unidad de longitud perpendiculares al plano de la placa, en los planos xz e yz, vx y vy, que generan tensiones cortantes en ambos planos perpendiculares a la placa τxz, τyz.

FIGURA 1.3.4 Esfuerzos y tensiones en la placa.