Ужас бесконечного времени реально вызывается сознанием того, что человек способен проникать мысленным взором лишь на очень ограниченное время как в прошлое, так и в будущее. И притом даже это проникновение имеет локальный характер, т.к. наши какие-никакие знания о прошлом и будущем распространяются только на очень ограниченное количество субстанции (т.е. конечных предметов), занимающей очень ограниченный объем окружающего человека пространства. Именно наше незнание событий далекого прошлого и далекого будущего вызывает мистический ужас перед бесконечностью времени.

Итак, как и в других случаях, бесконечность времени сопряжена с незнанием.

––

И еще один вопрос: был ли когда-то сотворен наш мир? Есть любители уверенно отвечать: нет, наш мир существует вечно. Но если подумать, это очень сомнительный тезис. Ведь из этого утверждения прямо следует, что бесконечное прошедшее время – это уже совершившийся факт. А значит, любое событие, происходящее в настоящее время (или могущее произойти в будущем) в ограниченном объеме пространства в течение ограниченного промежутка времени, уже происходило в прошлом, не здесь так в другом месте. Ибо что это за удивительное событие (если оно действительно возможно), для реализации которого требуется более чем бесконечное подготовительное время? Т.е., например, такое событие как "выборы президента России 2008 года" уже происходили в прошлом в разных местах Вселенной, и притом уже бесконечное количество раз. Только очень, очень трудно в это поверить.

6.2.4.2.

––

Бесконечное пространство

––

Имея лишь конечный запас времени, человек за всю жизнь способен переместиться в пространстве только на ограниченное расстояние. Значит, весь остальной объем пространства человеку в принципе недоступен. Даже наблюдения с помощью оптических приборов не решают этой проблемы, т.к. позволяют увидеть хотя по нашим земным меркам и очень большой, но все же ограниченный объем пространства.

Значит, и бесконечность пространства сопряжена с незнанием.

6.2.4.3.

––

Бесконечное количество субстанции (вещества)

––

Человек в течение жизни способен воспринять лишь конечное количество ощущений, значит, и конечное количество предметов, которые состоят из конечного количества субстанции. А все остальное количество субстанции и бесконечное количество сделанных из нее предметов никогда не станет объектом восприятия этого человека, а значит, и объектом его познания.

И вот еще что. Допустим даже, что продолжительность жизни человека была бы бесконечной. Тогда он мог бы перемещаться во всем бесконечном пространстве и познавать бесконечное количество предметов. Но все равно проблема бесконечности субстанции не была бы решена. Познание каждого конкретного предмета требует некоторого времени. Скажем, человек уже познал некоторую совокупность предметов, например, Солнечную систему, и пустился в бесконечное путешествие в пространстве. Пропутешествовал миллиард лет, наузнавал бог знает где черт знает чего, а за это время Солнечная система может измениться настолько, что его бывшее знание о ней уже превратится в полное незнание.

Выходит, что и бесконечность субстанции и количества составленных из нее предметов в мире явлений тоже сопряжена с незнанием.

6.2.4.4. *

––

И все-таки 3 особых бесконечности принципиально не отличаются от любых других *

––

Можно ли из сказанного сделать вывод, что три самые главные и самые страшные бесконечности принципиально не отличаются от любых других бесконечностей и могут быть в процессе познания сведены к конечностям?

Думаю, что да. Только сделать это будет очень и очень непросто. Однако у меня есть на эту тему некоторые соображения.

Безбрежный Космос – вроде бы олицетворение бесконечности: вот уж чего нам никогда не познать! Но это иллюзия, стоит только найти подходящую параметризацию, и мы сможем узнать устройство нашего мира в целом (но, как всегда, только в существенных чертах. Конечно, количество всевозможных подробностей в нашем мире всегда будет бесконечным.)

Первый шаг в этом направлении – новая физико-математическая модель пространства – времени – субстанции. Ограниченность и недостаточность старой декартовско-евклидовской модели сейчас уже очевидна, а толковой замены для нее пока нет. Я считаю, что такой новой моделью может стать моя модель дискретного времени – пространства – субстанции (которую я в общих чертах описал в главе 5 "Физика") после того, как эта модель будет доведена до ума.

Как я это себе представляю?

Отчасти я уже написал об этом в главе 5 "Физика" (5.2.4. "Дискретность пространства", п.5.2.4.4.2.). Параметризация микроскопических подсистем, состоящих из небольшого количества неделимых частиц субстанции, позволит описывать физические процессы в микромире. Развертывание моей модели до привычных нам масштабов позволит на основании целочисленных микрокоординат неделимых частиц субстанции по определенным формулам перейти к привычной нам параметризации физических состояний, т.е. к декартовским 3-х мерным координатам, массам, электрическим зарядам и т.д.

Но это не предел для моей модели. Развертывание ее в гиперкосмических масштабах позволит найти подходящую параметризацию для объектов, размеры которых превышают всякое воображение. И те пространственные и другие характеристики, которые получатся для этих объектов, уже не будут вписываться в 3-х мерное декартовско-евклидовское пространство.

И это еще не все. Хотя я пока что могу об этом только мечтать, но все-таки надеюсь и предчувствую, что моя модель будет способна и к развертыванию в бесконечном масштабе, как в пространстве, так и во времени.

Но дело даже не в том, моя или не моя модель окажется на это способна. Главное – сама принципиальная возможность создания такой модели, в чем я совершенно уверен.

Кратко опишу, как я представляю развертывание модели дискретного времени – пространства – субстанции в бесконечных масштабах как во времени, так и в пространстве, содержащем субстанцию. Принцип тот же, что и при развертывании микроскопической модели в привычных нам масштабах (или в гиперкосмических). Идея состоит в том, что наш мир как бесконечное (с нашей сегодняшней точки зрения) целое может быть в существенных чертах исчерпывающим образом описан с помощью конечного количества некоторых пока что неизвестных нам параметров (т.е. конечного количества целых чисел). Причем эти параметры могут быть вычислены по определенным формулам на основании целочисленных микроскопических координат неделимых частиц субстанции. Мы сможем вычислить значение этих параметров в текущий момент времени, и потом найти (опять-таки из моей модели) формулы, по которым эти параметры изменяются во времени, без всяких временных ограничений: вплоть до бесконечного прошлого и бесконечного будущего. Т.е. наш мир станет в существенных чертах познаваем и в своем бесконечном целом, а не только в конечных частях.

6.3. *

––

Другие миры *

––

Говоря о других мирах, я не имею в виду мир "вещей самих по себе", мир ноуменальных личностей, мир эстетических идей, и т.п. Эти миры – не наша епархия, не человеческая. Я подразумеваю только другие "миры явлений", отличные от нашего мира явлений.

Итак:

"Существуют ли другие миры?"

Этот вопрос совсем не так глуп и схоластичен, как может показаться с первого взгляда.

Задам еще один вопрос:

"Может ли человечество в нашем мире при естественном ходе событий воспринять все возможные ряды явлений, которые вообще способна воспринимать человеческая душа?"

Если да, то вопрос о существовании других миров для человека не актуален. Какой смысл любопытствовать о других мирах, если возможные в них ряды явлений мы можем при каких-то обстоятельствах наблюдать и в нашем мире?

Если же нет (а Кант считает, и я вслед за ним считаю, что нет), тогда вполне возможно потенциально бесконечное количество созерцаний, которые человечество никогда не могло бы воспринять при естественном ходе событий в нашем мире. И не только действительных созерцаний, но и воображаемых, т.е. таких мыслей и фантазий, которые никогда не могли бы возникнуть у человека при естественном ходе вещей. Вопрос о перемещении человека в другие миры сводится к тому, чтобы найти способ, последовательность действий, которые переведут человека в состояние, связанное с восприятием совсем других рядов явлений (или, как говорит Кант, в совсем другую по содержанию область).

Если это действительно возможно, то откроются совершенно новые горизонты не только для познания, но и для действия:

1.) Зная глобальные параметры нашего мира, на них можно и воздействовать. Человечество получит возможность влиять на мир в целом, а не только локально.

2.) Переход человека из одного мира в другой.

3.) Переход нашего мира явлений в принципиально другое состояние, и вообще другой уровень деятельности человечества, когда нашим домом будет не Земля среди других небесных тел, а весь наш мир среди других миров.

Это кажется фантастикой, но может стать и реальностью. Но как?

На это я могу ответить довольно определенно: такие прорывы возможны только поэтапно, через множество шагов. И первый шаг для меня очевиден: параметризация пространства в микромире, исследование свойств целочисленных координат неделимых частиц субстанции в дискретном времени.

––

И еще один вопрос, тесно связанный с возможной множественностью миров явлений. Пространство в нашем мире явлений имеет 3 измерения. Это значит, что психофизиологический механизм человека (включая и его волю), обеспечивающий его приспособление к окружающей среде, т.е. к потоку ощущений, имеет ровно 3 степени свободы. Ведь поток ощущений – это не просто интересный кинофильм. Этот поток изменяет и само тело человека, и окружающую его природную среду, что также имеет прямое влияние на человеческое тело. Так что от степени приспособляемости человека к потоку ощущений зависит не только качество его жизни (включая и возможность размножения), но и сама продолжительность этой жизни.

Можно ли быть уверенным, что именно такие 3 степени свободы – это оптимальный вариант для живого организма в плане приспособления? (считая поток ощущений от воздействий на души "вещей самих по себе" за нечто данное извне, как оно и есть на самом деле.) На этот вопрос невозможно ответить a priori. Это может выясниться только при детальном исследовании того "ряда Фурье", о котором я пишу в п.5.3.12.6. Вполне мыслимы оба варианта:

a.) Именно 3 степени свободы дают оптимальное приспособление.

b.) А может быть, что существа в нашем мире и не лучшим образом приспособлены к восприятию потока ощущений. Возможно, есть другие роды существ (или могут быть), которые имеют более 3-х степеней свободы для движения в пространстве, и поэтому лучше приспособлены к своему миру явлений. Хотя источником ощущений для них являются те же "вещи сами по себе", но их мир явлений (т.е. этих существ) отличается от нашего, и в частности количеством измерений пространства.

––

6.4.

––

Невозможность двусторонней бесконечности

––

Всякая реальная бесконечность есть некоторое воплощение бесконечного множества натуральных чисел, т.е. по крайней мере начало у нее всегда можно найти. Взять хоть, например, бесконечное прошедшее время: за его начало условно можно принять текущий момент, и отсчитывать в прошлое.

Вроде бы очевидный пример двусторонней бесконечности: множество всех целых чисел – положительных, отрицательных и ноля. Но эта двусторонность фиктивная. Множество целых чисел создано искусственным соединением 3-х разных множеств: множества натуральных чисел, множества натуральных чисел со знаком "минус", и множества из одного элемента, числа "ноль".

Я думаю, что в реальном мире не может быть двусторонней бесконечности. Т.е. бесконечность мира не может быть и экстенсивной (внешней), и интенсивной (внутренней, проистекающей из бесконечной делимости времени, пространства и субстанции). Чтобы двигаться в экстенсивную, внешнюю бесконечность, нужно иметь твердую опору под ногами, а такой опорой могут быть только неделимые частицы субстанции в дискретном времени и дискретном пространстве. Если бы под ногами у человечества была разверзтая бездна бесконечно делимой субстанции в бесконечно делимом времени и пространстве, прорыв человека во внешнюю, экстенсивную бесконечность был бы невозможен.

––

Глава 7.

––

МАТЕМАТИКА

––

Математика теснейшим образом связана с физикой. Физика – древнейшая из наук. Вся наука началась с наблюдений за предметами, их положением, их движением, их действием друг на друга, и т.п. Уже позже человек начал считать предметы, количественно оценивать их размеры и интенсивность их качеств. Но с другой стороны, физика давно уже не может обходиться без математики. Я бы сказал так: физика и математика по отношению ко всем остальным наукам – как Адам и Ева по отношению ко всему человечеству. Математика прекрасна и совершенна, физика глубока и возвышенна.

Один из фантастических персонажей Станислава Лема говорит примерно следующее: "Мне всегда было жаль людей, не способных чувствовать красоту математики. Мужчины, обладающие женщинами с заурядной внешностью, могут завидовать тем, которые обладают красавицами, но женщина есть женщина. А математическая красота – этого нельзя заменить ничем".

Приведу еще цитату из книги А.Бергсона (1859-1941) "Творческая эволюция" (1907):

"Появление круга, нарисованного мелом на доске, – нечто, нуждающееся в объяснении: это вполне физическое существование само по себе не обладает ничем, чтобы победить несуществование. Но "логическая сущность" круга, то есть возможность начертить его по известному закону, другими словами, его определение, есть нечто такое, что кажется мне вечным; у него нет ни места, ни даты, ибо нигде ни в какой момент возможность начертить круг не имела начала."

Иногда утверждают, что математика – всего лишь обобщение опыта производимых человеком измерений. Это неверно. Никогда не бывает, чтобы два разных математика, правильно решив одну и ту же математическую задачу, пришли к двум разным формулам, которые отличались бы друг от друга даже на самую малость, гораздо меньшую возможной погрешности измерений. Каким способом ни вычислять число "пи", всегда получится один и тот же бесконечный ряд десятичных знаков: 3,1415926…, вычисляй хоть до миллионного знака. Хотя длины реальных окружностей и их диаметров можно измерить как правило только до 4-го знака после запятой, максимум до 6-го знака. Между тем если два разных человека будут исследовать какое-то одно физическое тело, они неизбежно в каких-то подробностях разойдутся и по своим чувственным восприятиям от этого тела, и в результатах физических измерений. Выходит, математические формулы – это не есть порождение человеческого ума. Человек их находит, но он их не создает. Математика – это вполне устойчивая объективная реальность, гораздо более устойчивая, объективная и реальная, чем наблюдаемый нами текучий мир явлений. Можно при желании представить в воображении сотворение или уничтожение каких угодно физических вещей, но совершенно невозможно представить возникновение истинных математических формул (или той же бергсоновской "логической сущности круга"), и тем более их исчезновение. Т.е. представить такое время, когда эти формулы не были истинными, или такое время, когда они перестанут быть истинными.

Кант пишет: "В любом частном учении о природе можно найти науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в нем математики".

Для понимания самого Канта обязательна некоторая математическая подготовка.

а.) Хотя бы самое общее представление о теории многомерных пространств.

b.) Хотя бы элементарное понимание сущности математической аксиоматики и математической логики, т.е. принципах доказательства математических предложений.

7.1.

––

Многомерные пространства

––

Главное отличие N-мерного пространства от нашего 3-х мерного в том, что для определения положения точки такого пространства нужно не 3 числа (т.е. координаты: длина, ширина и высота), а N чисел, т.е. координат: (х1, х2, х3, … , хN). Поверхность в нашем 3-х мерном пространстве – понятие наглядное. Примером может служить поверхность любого предмета: шкафа, дома, Земли, и т.п. Поверхность может быть и бесконечной.

В N-мерном пространстве поверхность (иногда говорят "гиперповерхность") – это непрерывное многообразие точек, имеющее размерность меньше N, т.е. меньше, чем размерность самого пространства (как правило размерность N-1). В принципе это аналогично поверхности в нашем пространстве, но приходится напрягать воображение.

7.2.

––

Аксиоматика

––

С аксиоматикой и математической логикой в определенной степени знаком каждый, кто учил в школе математику. Но общее знакомство не гарантирует от полного недоумения в конкретных случаях.

Главное правило доказательства математических утверждений – это "Аксиома силлогизма":

"Если из A следует B, а из B следует C, то из A следует C".

Обычно какое-нибудь сложное математическое утверждение доказывается так: устанавливают, что его истинность логически следует из истинности некоторых других, более простых утверждений:

_____________________________А

_________________|________________________|

__________________а1_а2_а3_............_аk

Каждое из утверждений {а} выводится из утверждений {b}, каждое из утверждений {b} выводится из утверждений {c} и т.д. Эти утверждения а,b,c… образуют то, что Кант называет "регрессивным рядом". Получается что-то вроде перевернутого дерева:

_________________________А

___________/_____________|______________________\

_________а1_____________а2______________________аk

___/___/_____\_______/___|_____\_____________/___|______\

_b11_b12_____b1i___b21__b22_____b2p________bk1__bk2_____bkm

____________________________________________________________

Каждое промежуточное утверждение (х) тоже является вершиной своего дерева. Для каждого утверждения (х) справедливо требование: в его дереве не должно встречаться утверждения (х) или равносильного ему. Если такое случится, нужно сразу же исправлять доказательство, чтобы этого не было. Такая ситуация называется "порочный круг", т.е. при доказательстве утверждения (х) используется, прямо или замаскированно, это же утверждение (х) (получается, что истинность (х) следует из истинности самого (х),а это логическая ошибка).Вот простейший пример ложного рассуждения, основанного на порочном круге:

– Я куплю себе дом.

– Но у тебя нет денег.

– Я займу у Р.

– Но у Р. тоже нет денег.

– А он займет у меня.

Чтобы дерево доказательства не ушло в бесконечность, оно должно обрываться в тех местах, где используется такое утверждение, которое в этой математической теории считается аксиомой. Поэтому дерево доказательства всегда конечно, и на его низших концах находятся только аксиомы этой теории.

Можно спросить: "Из чего же следует истинность аксиом?". А ни из чего. Любая теорема этой теории доказывается в предположении, что все аксиомы этой теории истинны. Все аксиомы данной теории не должны противоречить друг другу, и должны быть независимы друг от друга, т.е. ни одна из них не должна быть следствием остальных.

Какой во всем этом смысл, и для чего все это нужно, если истинность аксиом не доказывается? А вот какой. Теория – это аппарат, пригодный для использования в других теориях или в конечном счете на практике. Смысл такой же, как и в любом разделении труда. Если кто-то исследует свойства некоторого конкретного класса объектов, и если он установит, что для этих объектов истинны утверждения аксиом какой-то уже разработанной абстрактной теории (как он это установит – это уже его проблемы), то он может без риска ошибиться использовать любую теорему этой теории по отношению к своим конкретным объектам. А формулировать и доказывать эти теоремы непосредственно для конкретных объектов было бы для него очень трудной, а может быть и практически невыполнимой задачей.

Так, например, тригонометрия и теория логарифмов очень облегчают жизнь мореплавателям. Дифференциальное и интегральное исчисление очень помогают физикам и инженерам, и т.д. Или взять теорию графов, т.е. объектов, имеющих некоторое количество точек (вершин), и некоторое количество соединяющих их линий (ребер). Допустим, оптовая торговая фирма занимается поставками товаров. Ее клиентов можно считать вершинами графа, а транспортные пути между ними – ребрами. Задача состоит в том, чтобы за минимальное время поставить товары максимальному количеству клиентов (т.н. "Задача коммивояжера"). Если клиентов много, а транспортная сеть достаточно сложная, применение теории графов дает хорошие результаты.

Так что смысл построения абстрактной теории примерно тот же, что и в производстве станков (и вообще инструментов). Сам станок не имеет потребительных свойств: не годится ни в пищу, ни в качестве одежды, жилья, и т.п. Но может использоваться для производства предметов, имеющих потребительные свойства.

7.3.

––

Коммутативность умножения

––

Зная, что А+В=В+А, очень легко доказать, что А*В=В*А. А*В – это сумма А множеств по В единиц в каждом.

b(1) + b(2) + b(3) + ........................ + b(A) = А*В

В каждом из множеств b(k) содержится В единиц. Возьмем из каждого множества b(k) по одной единице, и сложим в одно множество а(1). Очевидно, что в нем будет А единиц. Затем также сконструируем множества а(2), а(3), и т.д. Всего получится столько множеств а(m), сколько единиц в одном множестве b(k), т.е. ровно В множеств по А единиц в каждом. Это как раз равно В*А. Значит, А*В=В*А.

7.4.

––

Коммутативность сложения

––

Но как доказать, что А+В=В+А (коммутативность сложения)? С первого взгляда кажется, что очень просто. Ведь сложить А и В, значит свалить в одну кучу все единицы множеств А и В, и не все ли равно, в каком порядке это сделать? Вот, например, на столе лежат А спичек и В спичек. Если смотреть слева, то получится А+В, а если справа, то В+А, а ведь от этого сумма не зависит, можно проверить, не отходя от стола. И все-таки остается сомнение. В данном случае все ясно, а в других? Всегда ли результат не зависит от порядка, в котором пересчитываются элементы множества? Например, если зайти в большой лес, пройти его из одного конца до другого и пересчитать все деревья, а потом повернуть назад и снова пересчитать в обратном порядке, то результаты вряд ли сойдутся. Конечно, можно списать это на ошибки в подсчете, ну, там, после 18 сразу пошло 20, или после 35 сразу перескочил на 46, какое-то дерево пропустил, или наоборот, посчитал 2 раза, и т.п. Но все же, нельзя ли доказать убедительнее? Попробую.

Во-первых, нужно взять коробку спичек, и с их помощью составить таблицу сложения для чисел, каждое из которых меньше десяти. Убедиться, что в этих пределах всегда А+В=В+А. Дальше рассмотрим суммы А+В и В+А, записав эти числа в десятичной системе счисления:

_____аk________a3_a2_a1_a0__________bm___________b3_b2_b1_b0

_+___________________________и____+

__bm___________b3_b2_b1_b0_____________аk________a3_a2_a1_a0

____________________________________________________________

_=_____________c3_c2_c1_c0________=______________d3_d2_d1_d0

Все а,b,c,d меньше десяти.

Складываем справа налево поразрядно.

а0+b0=b0+a0 Это я проверил на спичках. Значит, c0=d0 . Если a0+b0 > 9 , то единица прибавится к следующему разряду.

В следующем разряде a1+b1=b1+a1 , это тоже проверено на спичках. Если из 0-го разряда был перенос единицы, то тогда a1+b1+1=b1+a1+1 , все равно это верно, т.к. если a1+b1=х , то и b1+a1=х , х+1=х+1 , значит c1=d1 .

И т.д. справа налево. В следующий разряд всегда будет переноситься 1 или ничего. Ясно, что все десятичные цифры суммы А+В совпадут с десятичными цифрами суммы В+А .

Кажется, уже все ясно. И все-таки ощущается какая-то смутная неудовлетворенность. Все равно при записи числа цифрами в десятичной системе неявно предполагается, что число элементов множества не зависит от порядка, в котором пересчитываются эти элементы. Хотя это достаточно очевидно и можно принять за аксиому, но с другой стороны, это слишком примитивный подход. Если как попало вводить новые аксиомы, их может набраться миллион, и многие можно будет доказывать исходя из других.

Ломал, ломал голову – ничего не могу придумать. Помчался к Коле К., все-таки профессор-математик. Залетаю к Коле:

– Как доказать, что А+В=B+А, хоть общая идея, какой тут подход?!

Коля хотя и не внес ясности ("Основания арифметики" – не его епархия, там свои спецы), но отослал к литературе. Прибегаю в библиотеку, открываю книгу: Е-мое! Оказывается, все очень просто, а сам бы в жизни не додумался.

Вот одно из возможных доказательств.

Сначала нужно сформулировать подходящие аксиомы.

Аксиома (1): Если к единице (т.е. числу 1) последовательно прибавлять единицу

1+1=2

2+1=3

3+1=4 и т.д.,

то таким способом можно получить любое натуральное число, ни одно натуральное число не будет пропущено.

Аксиома (2): Если к обеим частям равенства прибавить одно и то же число, то равенство не нарушится. Например:

если A=B

то A+1=B+1

и вообще A+C=B+C

Аксиома (3): Допустим, мы имеем сумму

A+B=S

Если к одному из слагаемых, и неважно к какому, первому или второму, прибавить единицу, то и сумма увеличится на единицу, т.е.

(A+1)+B=S+1

A+(B+1)=S+1

Эти три аксиомы очевидны даже для людей далеких от математики, и их уже достаточно для доказательства теоремы A+B=B+A.

Доказательство я проведу по шагам.

Шаг 1. Возьмем простое и очевидное равенство:

1+1=1+1

Шаг 2. Прибавим в левой части равенства 1 к первому слагаемому, а в правой части равенства прибавим 1 ко второму слагаемому. В обоих случаях сумма увеличится на 1, это следует из аксиомы (3). А из аксиомы (2) следует, что равенство при этом не нарушится:

(1+1)+1=1+(1+1),

т.е. 2+1=1+2

Будем повторять эту операцию и получать равенства:

3+1=1+3

4+1=1+4 и т.д., пока не получим равенство

A+1=1+A Аксиома (1) ручается за то, что это обязательно произойдет.

Шаг 3. Прибавим в левой части полученного в Шаге 2 равенства

A+1=1+A

единицу ко второму слагаемому, а в правой части этого равенства прибавим 1 к первому слагаемому. В обоих случаях сумма увеличится на 1, это следует из аксиомы (3). А из аксиомы (2) следует, что равенство при этом не нарушится:

A+(1+1)=(1+1)+A

т.е. A+2=2+A

Будем повторять эту операцию и получать равенства:

A+3=3+A

A+4=4+A и т.д., пока не получим равенство

A+B=B+A Аксиома (1) ручается за то, что это обязательно произойдет.

Таким образом, теорема A+B=B+A полностью доказана.

7.5.

––

Что важнее: содержание утверждения или его формулировка?

––

Вы может быть удивляетесь, к чему я все это горожу? А вот к чему. В произведениях Канта встречаются такие утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Да и вообще это не редкость. Много есть утверждений вроде бы очевидных, но которые никак не удается доказать. Ну, например, первое, что пришло в голову: наше пространство 3-х мерное, имеет длину, ширину и высоту, положение любой точки в выбранной системе отсчета можно описать всего тремя числами, т.е. координатами X, Y, Z. А как логически доказать, что именно 3-х чисел для этого достаточно, а не, скажем, 4-х или 5-ти и т.д.? Никак не удается это доказать. И таких примеров тьма. Можно, конечно, списать эту недоказуемость на дефицит ума, на недостаточное развитие науки: дескать, наука до этого еще не дошла, но когда-нибудь дойдет. Но во многих случаях дело бывает совсем в другом. Многие вроде бы очевидно истинные утверждения не удается доказать просто потому, что они, вообще говоря, неверны, точнее, не везде верны. Почему же их бывает невозможно и опровергнуть? Потому что они все-таки где-то могут быть верны.

Поясню свою мысль. Надо различать содержание утверждения, т.е. реальные факты, на которых оно основано, от конкретной формулировки утверждения. Формулировка имеет такое роковое значение, о котором человек обычно даже не подозревает. Дело в том, что математика и математическая логика – универсальные науки, действительные для всех миров, как существующих, так и всего лишь возможных. (При этом надо иметь в виду, что математическая логика – это подмножество общей логики, т.е. некоторая ее часть.) Математически можно доказать только такую формулировку, которая истинна для любого мира, как действительного, так и только возможного, а находить такие универсальные формулировки непросто. Если говорить об общей логике, то она не столь универсальна, но тоже создана не только для нашего мира. Чтобы утверждение было доказуемым, его нужно конкретизировать, ограничивать, обставляя целым рядом условий, характерных именно для нашего мира.

Впрочем, даже если говорить только о нашем мире, основная масса утверждений тоже не универсальна, и верна только в определенных границах. Например, законы идеальных газов действительны только в определенных интервалах давлений и температур.

7.6.

––

Всегда ли можно найти правильную формулировку утверждения?

––

Но тут-то и вырисовывается огромная проблема: как же определить, какие условия, характерные именно для нашего мира, нужно добавить к конкретной формулировке утверждения? Ведь для этого надо знать, чем наш мир отличается от других. Но мы же не можем бывать в других существующих мирах, не говоря уже о несуществующих, но возможных, это нам не дано. И однако некоторым иногда удается находить выход из этого затруднения с помощью идей. Здесь я только обозначаю этот факт, а речь об идеях будет впереди.

Пример. Допустим, на некой планете живет не очень сообразительное существо. Климат там такой: ровно полгода лето, и вся планета зеленая, затем резко наступает зима, и вся планета белая от снега. И вот это недалекое существо формулирует " Закон цветов": "Зеленый цвет имеет свойство сменяться только белым, а белый цвет – только зеленым". Что получится, если этот инопланетный придурок вознамерится логически доказать такой "закон"? Он может пыхтеть над доказательством хоть миллион лет, но никогда не докажет свой "закон", потому что он в таком общем виде неверен, хотя и безотказно действует на той планете. Но на других планетах есть много цветов, и сменяться они могут произвольно.

В нашем мире подобные ситуации тоже не редкость. В свое время знаменитый математик Гаусс (1777-1855) писал: человек, которому удастся доказать, что через точку на плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной, заслужит в качестве приза бриллиант размером с весь земной шар. Но впоследствии Лобачевский (1792-1856) (да и сам Гаусс) понял, что доказать это невозможно, потому что существуют разные геометрии, и не все они обладают таким свойством.

Poprzedni 1 ...12 131415 16 Kolejny

Свободная воля и законы природы, или Занимательная философия

Osoby, które czytają tę książkę, przeczytały również