Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики

Наше врожденное чувство чисел

Чтобы проверить ваше чувство чисел, я предлагаю вам небольшой эксперимент. Посмотрите на этот отрезок, на котором размещены два числа: тысяча и миллиард.

Теперь постарайтесь без раздумий, инстинктивно ответить на следующий вопрос: где на этом отрезке вы отметите миллион? Не бойтесь ошибиться, правильным будет любой ответ – важно узнать, как работает ваша интуиция с большими числами.

Итак, вы указали на отрезке точку, где, по вашему мнению, находится миллион. Давайте посмотрим, о чем нам это скажет.

Вероятнее всего, в поисках ответа ваш мыслительный процесс развивался поэтапно. Как только вы ознакомились с вопросом, ваш мозг интуитивно выдал ответ. Грубо и без анализа. Затем настал черед более сложных умозаключений. Вы вспомнили все, что знаете о числах тысяча, миллион и миллиард, и выбранная вами точка немного переместилась на отрезке. Или даже сильно переместилась. Влево или вправо? Вероятно, вы также приняли во внимание то, о чем мы говорили ранее. Возможно, вам показалось, что вопрос сформулирован не очень точно, что в нем есть какой-то подвох. Вы ответили на вопрос с точки зрения аддитивности или мультипликативности? Это что-то меняет в данном случае?

Каждый ответит на этот вопрос по-своему, но одна реакция будет превалировать – сначала представить миллион примерно на середине отрезка. Или немного левее середины, потому что заключить, что миллион ближе к тысяче, чем к миллиарду, можно достаточно быстро. Но по мере дальнейших размышлений над вопросом точка на отрезке будет смещаться левее, все ближе к тысяче.

Так в чем же дело? Прозвучит неожиданно, но миллион находится совсем рядом с тысячей. В заданном масштабе невооруженным глазом их даже не различить, и оба числа будут располагаться практически там же, где и ноль, если добавить на наш отрезок и его.

Конечно, в абсолютном выражении миллион – это большое число, но миллиард все же в тысячу раз больше! В таких масштабах даже миллион – это совсем немного. Если бы вы стояли в точке ноля, а миллиард находился в километре от вас, то миллион был бы от вас всего в одном метре, а тысяча – в одном миллиметре. А если взглянуть издалека, то покажется, что ноль, тысяча и миллион расположены в одной точке.

Тем не менее, как и в случае с расстоянием до Луны, математический вердикт интуитивно сложно принять. Если записать числа цифрами, миллион займет свою законную позицию посередине между тысячей и миллиардом.

Тысяча: 1000

Миллион: 1 000 000

Миллиард: 1 000 000 000

В миллионе на три нуля больше, чем в тысяче, и на три меньше, чем в миллиарде. Визуально, если мы уделяем внимание не самой величине числа, а длине его написания, у нас возникает откровенный соблазн поместить миллион в середину. Сама природа нашей системы счисления, как правило, заставляет нас думать мультипликативно. Визуальное впечатление было бы совсем иным, если бы эти числа записали римскими цифрами или если бы мы начертили палочки. В нашей системе единиц, десятков, сотен и т. д. добавление нуля приводит к тому, что представленное число умножается на десять, внося путаницу между сложением и умножением.

Таким образом, если мы расставим числа на отрезке, в соответствии с мультипликативным подходом, миллион будет точно посередине. И слева, и справа мультипликативный разрыв между числами будет равен тысяче.

Странно, что этот феномен не наблюдается, когда речь идет о не таких больших числах. Если бы я попросил вас разместить число 50 на отрезке от 1 до 100, вы без малейших колебаний поместили бы его посередине.

Надо заметить, что слова французского языка передают конфликт между аддитивным и мультипликативным.

У первых десятков есть свое название: двадцать, тридцать, сорок… Разница между названиями аддитивна. На каждом шаге мы прибавляем десять.

До 100 язык аддитивный.

Когда мы перевалим за 100, в дело вступает умножение. Для обозначения 200 или 300 отдельных слов нет. Мы просто говорим «две сотни» или «три сотни»^[6]. Как если бы мы говорили «два-десять» и «три-десять» вместо «двадцать» и «тридцать». Далее слова образуются с мультипликативной скоростью: тысяча, миллион, миллиард, триллион, квадриллион… Каждый из этих терминов в тысячу раз больше предыдущего.

Если бы мы поместили эти числа на отрезок и считали аддитивно, все они стремились бы к нулю и выглядели бы крошечными по сравнению с последним числом. Миллиард ничтожен по сравнению с триллионом, который сам по себе смехотворно мал по сравнению с квадриллионом, и так далее.

Школьная математика практически не обращает внимания на этот словарный переход от сложения к умножению. Однако он сильнейшим образом влияет на наш образ мышления. Наше восприятие чисел не является ни врожденным, ни объективным. Оно накрепко связано с тем, как мы изучали математику.

Впрочем, давайте ненадолго забудем о наших знаниях и культурных предубеждениях и вернемся к изначальному восприятию чисел. Как бы мы мыслили, если бы с детства не сталкивались со школьной математикой?

Это можно попытаться выяснить у людей, которых эти знания обошли стороной. Например, у детей, еще слишком маленьких, чтобы углубиться в изучение чисел. Или у туземцев, чье отношение к числам, свободное от условностей и предвзятостей цивилизации, сильно отличается от нашего.

В 2000-х годах исследовательские группы проводили различные эксперименты, чтобы ответить на эти вопросы. Маленьким детям из Соединенных Штатов, а также представителям народа мундуруку, живущего в лесах Амазонии на севере Бразилии, предложили выполнить тесты, очень похожие на те, которые я вам продемонстрировал. В языке этого индейского народа нет слов для обозначения чисел больше пяти – их восприятие величин радикально отличается от нашего.

Испытуемым показывали отрезки, концы которого соответствовали двум числам. А затем их просили разместить на этом отрезке другие числа. Конечно, числа должны были быть представлены в форме, понятной людям, которые никогда не изучали математику. Эти тесты проводились в разных форматах: например, визуально – с изображениями, содержащими несколько точек, – или на слух, при помощи звуковых сигналов. Перед началом теста испытуемым тщательно объясняли правила.

Полученные результаты последовательны и однозначны: дети и мундуруку интуитивно воспринимают числа скорее мультипликативно, чем аддитивно. Вот, например, как индейцы разместили числа на отрезке от 1 до 10.

Конечно, этот тест не идеален. Он слишком интуитивен, а точно оценить значение сразу нескольких показателей навскидку совсем не просто. Так, мы видим, что число 5 на шкале в среднем располагали за числом 6! Но важно не это. Важно отметить, как широко расставлены малые числа, в то время как бо́льшие громоздятся друг на друге в конце отрезка. Как будто небольшие числа, такие как 1 и 2, имеют большее значение, чем такие как 8 и 9 – те вынуждены тесниться.

Не кажется ли вам, что у этих результатов есть некое сходство с законом Бенфорда? Это простое совпадение или же мы на пороге какого-то открытия? Сейчас связь между ними не очевидна, но давайте запомним эту идею – вскоре у нас будет возможность вернуться к ней.

Эта тенденция подтверждается во всех проведенных тестах. Включая и тесты на числа до 100, которые проводились с детьми. Например, чаще всего ребенок на отрезке от 1 до 100 отметит 10 примерно посередине. Результат интригует: ведь поставить 10 ровно между 1 и 100 можно, только если мы мыслим мультипликативно.

Что, если мы пойдем еще дальше?

В XX веке было проведено несколько экспериментов, доказывающих, что такое восприятие чисел свойственно не только человеку. Что это можно проследить и у других видов, не только Homo sapiens.

Многие животные обладают естественным чувством количества. Хотя бы для того, чтобы оценить объем пищи, который им нужно накопить, или количество хищников, которых им нужно избежать, чтобы выжить. Их чувство величины довольно приблизительно и ограниченно по сравнению с человеческим, тем не менее удивительно.

Условия экспериментов с животными и интерпретация их результатов требуют гораздо более тонкого и тщательного подхода. С лошадьми, птицами или шимпанзе невозможно вести прямой диалог, подробно объяснить им правила эксперимента или заставить их понять цель того, что они делают. Однако некоторые факты поражают, потому что, похоже, некоторые животные воспринимают числа мультипликативно.

Вот пример эксперимента с крысами. Несколько особей поместили в клетки, внутри которых находились два рычага. Затем исследователи регулярно подавали крысам серию звуковых сигналов. Иногда два сигнала, иногда – восемь. Когда было всего два звуковых сигнала, крысам давали пищу при условии, что они нажимали на первый рычаг. Когда сигналов было восемь – при нажатии на второй рычаг. Некоторое время спустя грызуны поняли принцип и научились правильно нажимать на рычаг в зависимости от количества звуковых сигналов.

После того как крысы научились работать с рычагами, начался сам эксперимент. Что произойдет, если изменить количество звуковых сигналов? После трех сигналов, немного помедлив, крысы шли к первому рычагу, как в случае с двумя звонками. После пяти, шести или семи сигналов крысы выбирали второй рычаг, как в случае с восемью. Но после четырех сигналов они запутались! Половина крыс нерешительно подходила к первому рычагу, а другая половина – ко второму. Как будто для них число четыре оказывалось посередине между двумя и восемью, делая их выбор совершенно случайным.

Без сомнения, вы уже догадываетесь, какой напрашивается вывод: мультипликативно 4 находится посередине между 2 и 8. Если бы крысы рассуждали аддитивно, их смутила бы цифра 5. Но камнем преткновения для них стало все же число 4.

Подобные эксперименты проводились с другими наборами чисел и другими животными. Конечно, трудно понять, что происходит в головах этих маленьких существ, и результаты порой дают серьезную погрешность. Но несомненно одно: каждый раз животные терялись, когда сталкивались с числами, которые находятся в середине какого-либо отрезка с точки зрения мультипликативности, а не аддитивности.

Пытаясь выяснить сами истоки нашего понимания чисел, мы неизбежно приходим к одному и тому же выводу: наше естественное чувство величин преимущественно мультипликативно.

Тем не менее очевидно, что ни один мозг, будь то человеческий или животный, не даст точных ответов на поставленные вопросы без обучения. Мультипликативное мышление не является ни осознанным, ни точным. Полученные результаты спонтанны и интуитивны, как и ваша первая интуитивная реакция, когда вы поместили миллион в середину отрезка от тысячи до миллиарда. Они не свидетельствуют о математических знаниях, а просто демонстрируют работу врожденного, по-видимому, механизма, который наделяет нас преимущественно мультипликативной интуицией на числа.

Аналогичные тесты проводились со взрослыми американцами, и они ясно продемонстрировали, что по мере изучения математики мультипликативная интуиция постепенно исчезает. Для чисел от 1 до 10 взрослые выбирают исключительно аддитивный подход. Однако мультипликативный инстинкт не исчезает полностью, появляясь при работе с большими, наиболее сложными числами.

Таким образом, аддитивный подход не так спонтанен. По большому счету это всего лишь привычка, выработанная в детстве. В своей статье 1938 года Фрэнк Бенфорд писал: «Мы так привыкли все нумеровать как 1, 2, 3, 4…, при этом считая это естественным порядком вещей, так что сама идея принять нумерацию вида, допустим, 1, 2, 4, 8… кажется невозможной».

Возможно, вам все еще трудно это принять. Трудно отказаться от воспитываемого в нас аддитивного подхода. Если это так, не беспокойтесь, читайте дальше, позвольте себе увлечься. Вы увидите, как это увлекательно – открывать для себя новый способ мышления.

Однако возникает вопрос: если наша врожденная интуиция мультипликативна и если она больше подходит для осмысления окружающего нас мира, то почему мы так стараемся изгнать ее из наших умов? Зачем навязывать себе аддитивное мышление, которое меньше соответствует реальности? Неужели школьная математика оттолкнула нас от здравого смысла, заменив его искусственным и неадаптивным мышлением?

Стоит ли отказываться от аддитивного мышления?

Ответ – нет. Само по себе аддитивное мышление нельзя отбросить. Оно даже полезно во многих ситуациях. Когда в следующий раз вы будете рассчитываться на кассе в магазине, вы явно предпочтете сложение умножению. Также очевидно, что нет смысла убеждать вас, что, несмотря на все, что мы только что узнали, сложение и вычитание по-прежнему являются неотъемлемой частью нашей повседневной жизни: не настолько, как мы привыкли думать, но все же достаточно.

Кроме того, само умножение нуждается в сложении. Мультипликативный характер нашей интуиции сам по себе вовсе не облегчает понимание математики умножения. Без изучения математики свой интуитивный потенциал полностью реализовать невозможно. И для этого очень важно хорошо усвоить сложение, чтобы затем перейти к более глубокому изучению умножения.

Итак, как же лучше сравнить два числа?

На этот вопрос нет абсолютного и окончательного ответа. Решает только контекст. И иногда выбор сделать трудно. Существуют неоднозначные и спорные ситуации, в которых нет наилучшего варианта. Сложение и умножение просто предлагают два разных, но комплементарных взгляда на числа.

Такой вывод может показаться неудачным. В конце концов, разве математика не должна давать точные и окончательные ответы? Как точная наука может руководствоваться подходом «зависит от»? Под этим кажущимся парадоксом скрывается вся творческая неоднозначность математики. Этих «зависит от» в математике бесконечное множество. И именно благодаря им она превращается в территорию свободы и творчества. Математика неоднозначна, многоаспектна, относительна, и это делает ее еще лучше.

Принять эту относительность и научиться с ней играть – значит найти неиссякаемый живительный источник открытий и инноваций. Математика предлагает тысячи различных инструментов для решения одного и того же вопроса. И эти инструменты как клавиши пианино. Знать их – это сольфеджио, уметь на них играть – искусство. Спросить, лучше ли сравнивать два числа с помощью сложения или умножения, все равно что спросить, в какой тональности лучше сочинять мелодию: соль мажор или ля минор. Делайте свой выбор. Возможно, он не всегда будет удачным, но это не имеет значения.

Можно любить играть на пианино, не будучи Моцартом. Можно любить играть в математику, не будучи Эйнштейном. Не бойтесь: чем больше вы играете, тем более утонченным будет ваш вкус. И тем больше музыка чисел будет очаровывать ваш разум.

Письменность без нулей и запятых

Пришла пора немного покопаться в прошлом наших исследуемых. Чтобы понять, что происходит во взаимном соперничестве сложения и умножения, нам надо вернуться к самим истокам математики. Откуда к нам пришли эти математические операции? Какая у них история и как они стали такими, какими их знаем мы?

Ненадолго закройте глаза, сделайте глубокий вдох – наше новое путешествие начинается. Мы направляемся на Ближний Восток, на территорию нынешнего Ирака. Там мы погрузимся в запутанное и далекое прошлое, которое бережно хранит несколько неразрешимых секретов о числах и математических операциях.

Давайте отправимся на четыре тысячелетия назад.

На плодородных равнинах Вавилонии процветает одна из первых цивилизаций. Вот уже несколько столетий на берегах Тигра и Евфрата растут красивые богатые города с глиняными постройками характерного красно-охристого цвета. В самых крупных из них проживает несколько десятков тысяч жителей. Здесь в основном говорят на аккадском, но можно услышать и несколько других языков. Письменность изобрели уже более тысячи лет назад, и знания передавались и расширялись из поколения в поколение. Сформировались сложные системы управления. Быстрыми темпами развивалась торговля.

Именно здесь, в этих древних городах, появились первые школы писцов, в которых аккумулировались и передавались самые важные знания и умения. Прежде люди осваивали навыки прямо на рабочем месте, практикуясь в своем ремесле. Родители учили своих детей, ремесленники – своих подмастерьев; обменивались знаниями и люди, занятые в одной области. Конечно, в предшествующие столетия уже появилось несколько школ, но в большинстве своем они были плохо организованы и маргинальны. В конце третьего тысячелетия до нашей эры система образования начала развиваться и структурироваться, и во всех крупных городах стали появляться эдуббы, или «дома табличек». Именно в один из таких эдуббов мы и отправимся.

Вот мы на берегу Евфрата, у ворот Ниппура. Город занимает площадь более одного квадратного километра. В его сердце возвышается храм верховного бога Энлиля – Экур, «горный дом», покоряющий путников. Обойдя его с запада, мы увидим храм Инанны, богини любви и войны. Вдоль его стен прорыт канал; крики торговцев и лодочников, суетящихся на пристанях, наполняют эхом улицы.

Пройдя метров двести вдоль берега, а затем повернув налево, мы окажемся в квартале писцов. На этом небольшом холме, немного в стороне от центра, расположены несколько десятков низких домиков с открытыми дворами. Через сорок веков на этом холме найдут более тысячи глиняных табличек, покрытых убористым почерком писцов, и археологи назовут это место Холмом табличек.

Ниппурские эдуббы известны по всей Месопотамии. Именно здесь сосредоточены самые активные и влиятельные школы. В каждом небольшом дворике студенты писали на своих глиняных табличках мелкие клинообразные значки. Именно здесь учителя разрабатывали первые в истории школьные программы, и во всех школах Месопотамии учились тому же, что и в Ниппуре. Уровень за уровнем студенты знакомились со всем, что должен был знать профессиональный писец. Здесь изучали шумерский, язык науки, переписывали таблички, выполняли письменные упражнения и писали сочинения. Также изучались самые передовые науки того времени, и, конечно же, математика.

Математика писцов – это не математика уличных торговцев. Подобно тому, как шумерский язык был языком ученых, на котором не говорили в повседневной жизни, ученые имели собственную систему счисления. Система, отличная от той, которой пользовались торговцы или скотоводы в своих коммерческих делах. И именно благодаря этой системе месопотамцы стали первыми, кому довелось испытать на себе, пускай и неосознанно, прелести мультипликативного мышления.

Давайте на несколько минут заглянем в одну из этих школ. Студенты во дворе. Сидя прямо на земле под палящим солнцем, они проводят свои вычисления. В правой руке крепко держат калам, заостренный тростниковый стержень, кончиком которого они проводят по мягкой, прохладной поверхности глины. Иногда один из них встает и идет к колодцу, откуда набирает немного воды, чтобы освежить поверхность таблички или стереть ошибку.

Хотя их почерк отличается от нашего, их цифровая система удивительно современна и близка к той, которую мы используем сегодня. Позиционная система счисления. Система, в которой значение цифры зависит от того, какое место она занимает при записи числа.

Например, когда вы пишете 123, вы знаете, что в этом числе три единицы, два десятка и одна сотня. Каждая позиция в десять раз больше той, что находится справа от нее. Месопотамское счисление работает по тому же принципу, с одной различием: каждая позиция в шестьдесят раз больше, чем та, которая находится справа от нее. Так называемая шестидесятеричная система счисления.

Взглянув на древнемесопотамский планшет одного из студентов, вы обнаружите, что он только что написал 123. Или, точнее,  клинописью. Таким образом, это число состоит из трех единиц, двух шестидесяток и шестидесяти шестидесяток (то есть равно трем тысячам шестисот). Таким образом, в нашей десятичной системе запись числа  выглядит как 3723 (1 × 3 600 + 2 × 60 + 3 × 1).

Система счисления по целочисленному основанию 60 использовалась почти два тысячелетия, вплоть до упадка месопотамской цивилизации. Тем не менее, несмотря на свою потрясающую эффективность и поразительную современность, у этой системы было два недостатка. Ученым из Ниппура не пришло в голову изобрести ни ноль, ни запятую.

Возможно, вы еще не очень хорошо знакомы с клинописью и шестидесятеричной системой, чтобы полностью понять последствия этих двух недостатков. Но давайте перенесем их в нашу десятичную систему. Что бы мы делали, если бы нам пришлось обходиться без нуля и запятой? Посмотрите, например, на следующие числа:

Эти числа неотличимы друг от друга. Числа 12, 120 и 1,2 пишутся одинаково. Точно так же, как числа 540, 5400 и 0,54 или числа 9900, 990 и 9,9. Не имея представления о нуле и запятой или о каких-либо других обозначениях, выполняющих те же функции, месопотамские писцы сталкивались с одной серьезной проблемой: в их системе разные числа писались одинаково!

Конечно, им легко простить такую неловкость, ведь мы знаем чудеса науки, которых им все же удалось достичь с помощью такой системы: чрезвычайно эффективное руководство, точные архитектурные и топографические данные, астрономические измерения и поразительно точные описания небесных явлений, математические абстракции, которые исчезнут вместе с их цивилизацией и будут открыты заново только через тысячу с лишним лет. Достаточно сказать, что отсутствие нуля и запятых их не останавливало.

Тем не менее проблема серьезная. Как они это делали? Как выполняли вычисления с числами, не зная, о каких числах идет речь?

Месопотамским писцам удалось разрешить свою проблему с замечательной ловкостью. Она не только им не мешала, но и стала их сильной стороной! Их система счисления, столь же простая, сколь и гениальная, позволила им использовать свойства умножения.

Судите сами. Поставьте себя на место ученика-писца. Возьмите свежую глиняную табличку и калам и сядьте среди других студентов. В качестве упражнения вас просят выполнить следующее умножение: 12 × 8. Вы записываете расчет клинописью на табличке^[7], а затем начинаете размышлять. Как это сделать? Чтобы без проблем выполнить эту операцию, у вас есть таблицы умножения, и вы в совершенстве владеете методом, которому вас научил ваш преподаватель. Но, прежде чем приступить к расчетам, вы должны знать, какой расчет делать! Учитывая двусмысленность системы счисления, вы действительно не знаете, что скрывается за числами 12 и 8. Возможно, 12 на самом деле 120. Или 1200. Или, может быть, даже 0,12. А 8, с другой стороны, вполне может означать 8, 80 или 0,8… добавляя запятую или нули, мы можем интерпретировать это умножение бесчисленным количеством способов. Как вам это решить?

Задача представляется невыполнимой в этих условиях.

И все же происходит математическое чудо. Вот что мы получим, если проверим некоторые из возможных итераций этого вычисления.

12 × 8 = 96

120 × 8 = 960

1200 × 8 = 9600

1,2 × 80 = 96

0,12 × 0,8 = 0,096

Результаты этих умножений составляют 96, 960, 9600 и 0,096. И без нулей и запятых все эти числа будут записываться как 96! Ошибиться невозможно. Ответ – 96, что бы это 96 ни значило.

Это одно из одновременно раздражающих и проникновенных достоинств математики: иногда можно говорить правильные вещи, не зная, о чем идет речь. Таким образом, писцы умножали числа без нулей и запятых и получали числа без нулей и запятых. Они не знали, о каких числах они говорили, и все же их результаты были всегда верными!

Используя это свойство, месопотамцы обнаружили то, что много веков спустя ученые назовут инвариантом. Инвариант, как и следовало ожидать, – это то, что остается неизменным, несмотря на возможные варианты его возникновения.

Так, несмотря на все возможные интерпретации умножения 12 × 8, результат без нуля и запятой остается неизменным: 96. Инварианты встречаются во многих областях науки. Во время наших математических исследований мы встретим еще много других. Прикосновение к подобному всегда вызывает волнующее предчувствие открытия, ощущение причастности к какой-то тайне. Инвариант показывает, что объединяет априори разные вещи. Некая общая черта, винтик, скрытый на заднем плане, который подарит вам безмятежное удовлетворение от понимания того, как все работает. Писцы так хорошо приспособились к своей инвариантной системе, что почти два тысячелетия обходились без нулей и запятых. Однако в III веке до нашей эры некоторые из них в конечном счете изобрели символ нуля, обозначенный знаком. Однако у него было мало времени для развития. Месопотамская цивилизация переживала период упадка, и клинописное письмо с его шестидесятеричной системой уже были на грани исчезновения.

Нам пора покинуть берега Евфрата, чтобы совершить новый скачок во времени. Еще несколько строк, и Ниппур больше не будет существовать. Останутся лишь руины в пустыне и захороненные таблички для археологов будущего.

Но это не имеет значения.

Настоящие герои этой истории не люди и не их цивилизации. Хорошие идеи не умирают. Они просто иногда впадают в спячку на несколько столетий, ожидая своего часа. Готовые снова появиться, когда придет время, в голове любопытного и вдохновенного Homo sapiens. Ноль вернется в Индию примерно в 300 году нашей эры, когда будет изобретена десятичная система, которую мы унаследовали.

Что касается удивительного инварианта умножения, то много веков спустя он вдохновит странного шотландского ученого, который запустит новый виток развития современной науки. Он также даст Фрэнку Бенфорду математический инструментарий для понимания его закона.