Organización industrial

3.2.2 Implicaciones de la competencia de Cournot

Consideremos ahora una función general de demanda inversa, P(q), y funciones generales de costos Ci(qi). Escribimos los beneficios de la empresa i como

Cada empresa maximiza sus beneficios respecto a su propia producción. La condición de primer orden de la maximización de beneficios es entonces Definiendo αi = qi/q como la participación de mercado de la empresa i y recordando que la elasticidad precio de la demanda inversa es 1/η = − P′(q)q/P(q), podemos reescribir la condición de primer orden de la maximización de beneficios como

Este es la fórmula básica de fijación de precios de Cournot.

Lección 3.7 En el modelo de Cournot, el margen de ganancia de la empresa i es mayor cuanto más grande sea la participación de la empresa i y menos elástica sea la demanda de mercado.

Por lo tanto, el modelo de Cournot proporciona la siguiente predicción empíricamente demostrable: en un mercado dado, entre más grande sea una empresa, mayor margen de ganancia deberá tener. Si suponemos que los costos son convexos, C″(qi) ≥ 0, una condición suficiente para que exista un equilibrio de Cournot es que P′(q)qi sea decreciente en qi. Esta condición es equivalente a

que es la condición de sustituibilidad estratégica, tal como se definirá más adelante. Si la derivada cruzada es en efecto negativa, entonces las funciones de mejor respuesta son de pendiente negativa.

En el modelo de Cournot con costos marginales constantes (Ci (qi) = ci qi), las condiciones de primer orden de la maximización de beneficios pueden reescribirse como

Los beneficios en equilibrio son (p − ci) αi Q(p) donde p es el precio de equilibrio bajo competencia de Cournot. Podemos escribir los beneficios de toda la industria de dos formas equivalentes:

Donde la segunda línea utiliza las condiciones de primer orden, p − ci = αip/η. Igualando las dos expresiones alternativas y reordenando los términos, obtenemos

Recordamos del capítulo anterior que IH denota el índice de Herfindahl, que mide el grado de concentración de la industria. Entonces, observamos que el índice de Lerner promedio (ponderado por las participaciones de mercado) es proporcional al índice de Herfindahl. Esto quiere decir que, en el modelo lineal de Cournot, hay una relación uno a uno entre el poder de mercado y la concentración. En la medida en que el modelo lineal de Cournot con costos marginales constantes es una buena descripción de los mercados reales, esto implica que calcular el índice de Herfindahl y estimar la elasticidad precio de la demanda permite calcular el margen de ganancia promedio (o índice de Lerner promedio) en el mercado.

Lección 3.8 En el modelo lineal de Cournot con productos homogéneos, el índice de Herfindahl es una medida apropiada del poder de mercado, pues captura el margen de ganancia promedio en equilibrio.

3.3 Competencia en precios vs. competencia en cantidades

Si juntamos los resultados de las dos secciones anteriores, observamos marcadas diferencias entre las competencias en precios y cantidades. En efecto, consideremos un mercado con demanda lineal, es decir, Q(p) = a − p. Supongamos que en este mercado operan dos empresas y que tienen los mismos costos marginales de producción constantes c₁ = c₂ = c. En el modelo de Bertrand, bajo fijación simultánea de precios, tenemos que p₁ < p₂ implica π₂ = 0 y π₁ = (p₁ − c)(a − p₁), y lo contrario para p₁ > p₂. En p₁ = p₂, con la regla de desempate según la cual cada empresa atrae la mitad de la demanda, π₁ = (1/2)(p₁ − c)(a − p₁) y π₂ = (1/2)(p₂ − c) (a − p₂). El equilibrio de Bertrand es entonces p₁ = p₂ = c. La producción en este mercado es igual a la producción en un mercado perfectamente competitivo, y los beneficios de las empresas son cero, Ahora, contrastemos estos resultados con los obtenidos bajo competencia de Cournot. En este caso, fijando b = 1 y n = 2 en la expresión (3.7), encontramos fácilmente que Entonces, los competidores de Cournot producen menos que los competidores de Bertrand. Como resultado, el margen de ganancia es positivo, y las empresas obtienen beneficios de equilibrio positivos,

Lección 3.9 En el caso del producto homogéneo, el precio es más alto, la cantidad es menor y los beneficios son mayores bajo competencia en cantidades que bajo competencia en precios.

En el resto de esta sección, queremos refinar la afirmación anterior mediante una comparación más profunda entre la competencia en precios y en cantidades. Primero, relajaremos una de los supuestos del modelo de Bertrand, y supondremos, de forma más realista, que las empresas pueden enfrentar capacidades limitadas de producción. En este marco, mostraremos que la competencia en cantidades puede simularse mediante un modelo de dos etapas donde las empresas escogen su capacidad de producción y luego fijan el precio. Segundo, compararemos directamente la competencia en precios y en cantidades en un modelo unificado de diferenciación del producto. Finalmente, trataremos de identificar características de la industria que nos permitan decidir si la competencia en precios o en cantidades es la forma más apropiada de modelarla.

3.3.1 Capacidad limitada y competencia en precios

El modelo de Bertrand afirma que las empresas pueden satisfacer cualquier demanda a costos marginales constantes. Esto quiere decir que no tienen restricciones de capacidad. Para una gran parte de la producción industrial el supuesto de costos unitarios constantes (o incluso decrecientes) puede ser un supuesto adecuado. Sin embargo, esto solamente es válido mientras la capacidad no se utilice del todo. Aumentar la producción más allá de los límites de la capacidad con frecuencia es prohibitivamente costoso, de manera que, a corto plazo, una empresa debe respetar esas decisiones de capacidad. Edgeworth (1897) fue el primero en realizar esta crítica al modelo de Bertrand. Un ejemplo concreto relacionado con las ventas al por menor es que estos los vendedores minoristas deben ordenar los productos con suficiente anterioridad; después deben respetar los límites de capacidad al momento de fijar los precios.^[18] El caso 3.3 proporciona otro ejemplo.

Caso 3.3 Cuando las decisiones sobre la capacidad condicionan las decisiones sobre el precio en la industria de alquiler de DVD por correo

Recuerde el caso de la industria de alquiler de DVD por correo que describimos en la introducción.^[19] Mencionamos que, en cualquier momento, la demanda de películas nuevas es mayor que la demanda de películas que salieron, por ejemplo, seis meses o un año atrás. Para satisfacer esta demanda más elevada, empresas como Netflix o Blockbuster deberían mantener un inventario extra de copias de las últimas películas. Sin embargo, estas copias también son más costosas. Esto ha llevado a que las empresas desarrollen una interfaz para el usuario y esquemas de precios para direccionar a los suscriptores a que alquilen películas viejas y no nuevas. Esto muestra que la decisión sobre las capacidades costosas precede y condiciona las decisiones sobre precios. Un argumento similar nos permite entender por qué los vuelos son mucho más caros alrededor de Navidad: más gente quiere viajar en esa época del año, pero la capacidad es fija (es decir, en todos los aviones hay un número fijo de sillas y los aeropuertos pueden recibir un número determinado de vuelos por día). También se entiende por qué la industria de transporte aéreo de pasajeros ha inventado la práctica de “la administración de los rendimientos (o ingresos)”, que es una forma de discriminación de precios (ver Parte IV) adaptada a situaciones con capacidades fijas, pero demanda fluctuante (por ejemplo, el transporte aéreo, la hotelería o el alquiler de automóviles). El principio subyacente de la administración de los rendimientos puede resumirse de la siguiente forma: fijar el precio exacto, para vender el producto exacto, al cliente exacto, en el momento justo. De nuevo, las decisiones sobre capacidad y precio están vinculadas estrechamente.

Para aproximarnos a estos mercados, consideramos que las empresas pueden pre-comprometerse con una capacidad de producción, antes de entrar a competir en precios. Veremos que, bajo un número de supuestos, este modelo de capacidad-después-precios conduce al mismo resultado que el modelo de Cournot de competencia en cantidades. También discutiremos lo que ocurre cuando se relajan estos supuestos.

El modelo

Para establecer este resultado, estudiamos el siguiente juego de dos etapas:^[20] en la primera etapa, las empresas determinan las capacidades simultáneamente; en la etapa 2, las empresas fijan los precios pi simultánemente. Suponemos que el costo marginal de la capacidad es c y que se incurre en él en la primera etapa; luego, una vez instalada la capacidad, el costo marginal de producción en la segunda etapa es cero. Bajo estas condiciones, caracterizamos el equilibrio perfecto en subjuegos. Esto implica que, en la etapa 1, las empresas son conscientes de que su decisión sobre la capacidad puede afectar los precios de equilibrio. Las empresas no solamente conocen su propia decisión sobre su capacidad, sino que también suponemos que observan la decisión de los competidores sobre su capacidad. Para muchos productos industriales, este es un supuesto apropiado dado que los tamaños de las fábricas son conocidos. Este supuesto puede ser más problemático en el caso de los minoristas, aunque es apropiado en algunos casos. Por ejemplo, si se piensa en un mercado campesino local, los vendedores pueden observar fácilmente las restricciones de capacidad de los competidores.

Al permitir que existan restricciones de capacidad, es bastante posible que una empresa fije un precio tan bajo que la cantidad demandada a ese precio exceda su oferta. Esto implica que algunos consumidores se quedarán sin producto. Supongamos que hay una segunda empresa en el mercado que ofrece el producto a un precio más alto. ¿Quién obtendrá el producto al precio más bajo y quién no? En este momento debemos realizar supuestos sobre el esquema de racionamiento. Suponemos que hay racionamiento eficiente, esto es, que los consumidores dispuestos a pagar más obtienen primero el producto. Podemos proporcionar dos justificaciones para este esquema de racionamiento. Si hay racionamiento, los productos se asignarán de acuerdo con el orden en la fila. Supongamos que cada consumidor demanda 0 o 1 unidades. Entonces, los consumidores con mayor disposición a pagar estarán de primeros en la fila. De modo alternativo, independientemente de la forma en que se asigna un producto que tiene exceso de demanda, puede haber mercados secundarios que funcionan sin costos; entonces, los consumidores con mayor disposición a pagar les revenderán a los consumidores con una alta disposición a pagar. Por lo tanto, los consumidores con una alta disposición a pagar nunca se quedarán sin producto.^[21]

La figura 3.4 ilustra el racionamiento eficiente. El consumidor con la mayor disposición a pagar compra la primera unidad, el segundo consumidor con la siguiente disposición más alta compra la siguiente unidad, y así sucesivamente. Así, si la empresa 1 tiene una capacidad de unidades, estas unidades se les venden a los consumidores con la mayor disposición a pagar. Si p₁ < p₂ es tal que la cantidad es insuficiente para satisfacer a todos los consumidores, de modo que entonces algunos consumidores no obtendrán el producto y habrá una demanda residual positiva para la empresa 2 (este no será el caso en el modelo de Bertrand puro, pues en él la capacidad nunca es vinculante).

Figura 3.4 Racionamiento eficiente con capacidades limitadas

Primero queremos analizar el juego de fijación de precios para capacidades dadas. Antes de hacerlo, conviene observar que una empresa nunca fija una capacidad muy grande pues la capacidad es costosa. Para ser precisos, una empresa nunca fijará una capacidad tal que sus ingresos sean menores que los costos, independientemente de la decisión de sus competidores. Tomando la demanda lineal Q(p) = a – p, los ingresos máximos de una empresa son maxq q(a – q) = a²/4; la cantidad entonces es q = a/2. En la etapa 1, los costos tienen que ser menores que los ingresos máximos, Por lo tanto, la decisión para escoger la capacidad que maximiza los beneficios debe satisfacer

Ahora analizamos la etapa de fijación de precios para capacidades que satisfacen la desigualdad anterior. Si la empresa 1 ofrece el producto a un precio más bajo, la empresa 2 enfrenta la siguiente demanda residual para el producto 2:

Por lo tanto, para p₁ < p₂, los beneficios son

Ahora queremos probar que el equilibrio en la segunda etapa del juego es tal que ambas empresas fijan el precio que despeja el mercado: (efectivamente este precio despeja el mercado dado que iguala oferta y demanda, esto es, la capacidad total). Este resultado es válido siempre y cuando el parámetro de demanda a no sea demasiado grande; en particular, imponemos la siguiente condición:

Para probar este resultado, procedemos de la siguiente manera: suponiendo que p₁ = p^*, necesitamos mostrar que p₂ = p^* es una mejor respuesta; esto es, la empresa 2 no puede obtener beneficios más altos al fijar un precio más bajo o más alto que p^*. Primero, resulta fácil ver que fijar un precio más bajo, p₂ < p^*, no es una desviación rentable. En efecto, a p₁ = p₂ = p^* la empresa 2 vende toda su capacidad Al bajar su precio, la empresa 2 aumentaría la demanda para su producto, pero no podría satisfacer esta demanda adicional porque su capacidad está restringida. Por lo tanto, la empresa 2 vendería la misma cantidad que antes, pero a un precio más bajo, lo que disminuiría sus beneficios.

Segundo, sabiendo que la empresa 1 tiene una restricción de capacidad, la empresa 2 podría determinar que le resulta rentable aumentar su precio (p₂ > p^*). En efecto, debido a la capacidad limitada de la empresa 1, la empresa 2 puede vender un volumen positivo a un precio por encima de p₁. Este caso requiere en examen más cuidadoso que el anterior. Recuerde que las empresas han incurrido en el costo marginal c al instalar su capacidad en la primera etapa. Por lo tanto, en la segunda etapa maximizan sus ingresos (dado que el costo marginal de producción es cero). Siempre y cuando p₁ < p₂, los ingresos de la empresa 2 son

Tenemos que mostrar que el equilibrio propuesto p^* está ubicado a la derecha del máximo de esta función de ingresos (como se ilustra en la figura 3.5). Si esto es válido, hemos completado la prueba, porque aumentar el precio más allá de p^* disminuye los beneficios, lo que quiere decir que tal desviación no es rentable. El máximo de la función de ingresos es igual a Entonces,

Invocando (3.9), sabemos que Por lo tanto, se cumple necesariamente si

Lo que está garantizado por la condición (C1). Por lo tanto, no es rentable fijar p₂ > p^*, lo que completa nuestra prueba.

Figura 3.5 Fijar p₂ > p* no es una desviación rentable

Ahora podemos insertar estos precios de equilibrio de la etapa 2 en las funciones de beneficios, para obtener las funciones reducidas de beneficios para la etapa uno, que solamente dependen de las capacidades:

Vemos que, si reinterpretamos las capacidades como cantidades, la función objetivo es la misma que en el modelo de Cournot, donde las empresas no fijan los precios, sino que, para cualquier cantidad, el precio despeja el mercado.

Lección 3.10 En el juego capacidad-después-precio con racionamiento eficiente para el consumidor (y con demanda lineal y costos marginales constantes), las capacidades escogidas son iguales a las de un mercado de Cournot estándar.

Discusión

Debemos enfatizar que la Lección 3.10 se obtiene bajo una restricción paramétrica y para una regla de racionamiento particular. ¿Qué pasa si relajamos esos supuestos? Note primero que la clave para que el resultado previo sea válido es que la empresa i no tenga incentivos para aumentar su precio por encima de p^* cuando la empresa j fija pj = p^*.^[22] Bajo la regla de racionamiento eficiente, vimos que a la empresa i, ignorando su restricción de capacidad, le gustaría fijar La empresa i tendrá capacidad suficiente para satisfacer la demanda residual a ese precio si Como vimos antes, la restricción paramétrica que impusimos excluye esta posibilidad. En particular, esta restricción garantiza que las empresas no instalen capacidades superiores a a/3 (de hecho, para a < (4/3)c, el límite superior a las capacidades rentables, a²/(4c), está por debajo de a/3). Note que a/3 es justamente la producción de las empresas en el equilibrio de Cournot sin costos de producción. Entonces, podemos generalizar nuestro resultado previo afirmando que, bajo racionamiento eficiente, p₁ = p₂ = p^* es el único equilibrio de la segunda etapa cuando la capacidad de cada empresa es menor o igual a su mejor respuesta de Cournot a la capacidad de la otra empresa. Por fuera de esta región de capacidad (que es posible al relajar la restricción paramétrica, por ejemplo, para a > (4/3) c), no existe un equilibrio en estrategias puras en la etapa 2: los únicos equilibrios son en estrategias mixtas donde las empresas aleatorizan los precios sobre un intervalo común de precios. Sin embargo, puede mostrarse que las decisiones sobre la capacidad en la primera etapa siguen correspondiendo al equilibrio en cantidades de Cournot.^[23]

Consideremos ahora una regla alternativa de racionamiento. Edgeworth (1897) propuso asignar las unidades más baratas del producto aleatoriamente entre los consumidores. Bajo esta regla de racionamiento proporcional, todos los consumidores tienen la misma probabilidad de quedarse sin producto.^[24] Bajo esta regla, el precio más alto cobrado siempre será el precio de monopolio pm. En efecto, ignorando su restricción de capacidad, la empresa i maximiza α pi Q(pi), donde α es la fracción esperada de consumidores que atiende la empresa i. Si pm < p^*, entonces la empresa i no tiene capacidad suficiente para satisfacer la demanda residual en pm y decide entonces fijar pi = p^*. Dado que pm = a/2, la última condición equivale a que es más exigente que la condición correspondiente que obtuvimos bajo la regla de racionamiento eficiente (en realidad, las capacidades lo suficientemente cercanas al límite superior dado por (3.9) violan esta condición dado que a > c implica que a²/(2c) > a/2). Para capacidades por fuera de esta región, de nuevo, los únicos equilibrios son en estrategias mixtas. Aquí, por lo general, resulta difícil derivar estas estrategias mixtas. Sin embargo, es posible mostrar que, bajo racionamiento proporcional, el equilibrio tiende a ser más competitivo que el de Cournot.^[25]

3.3.2 Productos diferenciados: Cournot vs. Bertrand

Mientrs que el propósito del modelo anterior era mostrar que la competencia en cantidades puede representarse mediante un modelo con competencia en precios en la última etapa, el propósito del presente modelo es comparar la competitividad entre la competencia en precios y en cantidades. Como se indicó en la Lección 3.9, los resultados son obvios en el caso del producto homogéneo: la competencia en cantidades lleva a precios más altos, menores cantidades y beneficios más altos que la competencia en precios. Los resultados son menos obvios una vez permitimos la diferenciación de productos. Consideremos un modelo de duopolio simple donde las empresas tienen costos marginales constantes c₁ y c₂, respectivamente.^[26] Para obtener la demanda lineal, supongamos que hay un gran número de consumidores idénticos con una función lineal-cuadrática de utilidad. En particular, supongamos que la función de utilidad toma la forma

donde q₀ es el bien compuesto de Hicks con un precio normalizado a 1.^[27] Aquí, suponemos que b > | d |, lo que implica que los productos están diferenciados. Los consumidores maximizan su utilidad U(q₀, q₁, q₂,)sujeta a la restricción presupuestal y = q₀ + p₁q₁ + p₂q₂. Esto da lugar a las siguientes funciones de demanda inversa:

Para precios estrictamente positivos y cero en otro caso. Los bienes son sustitutos si d > 0, son independientes si d = 0 y son complementos si d < 0. La proporción d/b puede interpretarse como una medida inversa del grado de diferenciación del producto. Va desde −1, cuando los productos son complementos perfectos, hasta 1, cuando son sustitutos perfectos; un valor de cero significa que los productos son independientes. Este sistema de dos ecuaciones puede invertirse (para –1 < d/b < 1) para obtener funciones de demanda directa. Sean ã = a/(b + d), Las funciones de demanda toman la forma

para cantidades estrictamente positivas y cero de otro modo. Bajo competencia en cantidades, la empresa i maximiza (a – bqi – dqj ci) qi tomando qj como dado. Bajo competencia en precios, la empresa i maximiza tomando pj como dado.

Debemos resaltar una diferencia importante entre la competencia en cantidades y en precios, que tiene que ver con la forma de las funciones de mejor respuesta. Para ver esto, tomemos el caso de los productos sustituibles (esto es, d > 0). Bajo competencia en cantidades, la mejor respuesta tiene pendiente descendente en qj: qi (qj) = (a – dqj – ci)/(2b). Esto es, frente a un incremento en la cantidad de la empresa j, la empresa i reacciona reduciendo su propia cantidad. Las decisiones estratégicas se mueven en direcciones opuestas y, como lo definiremos más en general más adelante, puede decirse que las cantidades son sustitutos estratégicos. Esto confirma lo que observamos antes en el duopolio de Cournot con sustitutos perfectos (es decir, para d = 1). Lo opuesto es válido bajo competencia en precios. La mejor respuesta bajo competencia en precios tiene pendiente ascendente en Aquí, la empresa i, al enfrentar un incremento en el precio de la empresa j, reacciona aumentando su propio precio. En este caso, las decisiones estratégicas se mueven en la misma dirección, lo que significa que los precios con complementos estratégicos. Esto es lo mismo que observamos en la sección 3.1 cuando analizamos el modelo estándar de Bertrand y el modelo de Hotelling.

Note que en presencia de productos complementarios (esto es, para d < 0), los resultados anteriores se invierten: las funciones de mejor respuesta tienen pendiente ascendente bajo competencia en cantidades y descendente bajo competencia en precios, lo que significa que, en este caso, las cantidades son complementos estratégicos, mientras que los precios son sustitutos estratégicos. Es cierto que esta terminología puede producir cierta confusión, pero ya debería haber quedado claro que los conceptos de sustituibilidad y complementariedad estratégicas tienen que ver con la dirección de las reacciones estratégicas, y no con los vínculos de la demanda entre los productos. En realidad, como lo veremos más adelante, estos conceptos van mucho más allá de la competencia en precios y cantidades en la medida en que pueden aplicarse a cualquier tipo de interacción estratégica.

Ahora comparamos el equilibrio bajo competencia en precios y cantidades. Para simplificar la exposición, supongamos que los costos marginales son simétricos e iguales a cero. Algunos cálculos establecen que los precios y cantidades de equilibrio bajo competencia en cantidades son mientras que los precios y las cantidades de equilibrio bajo competencia en precios son Para comparar precios y cantidades, podemos reescribir como Entonces

Lección 3.11 La competencia en precios siempre conduce a menores precios y mayores cantidades que la competencia en cantidades. Por lo tanto, el precio como variable estratégica da lugar a un resultado más competitivo que la cantidad como variable estratégica.

Para entender este resultado, observe la pendiente de la función de demanda percibida en los dos casos. Bajo competencia en precios, la función de demanda percibida es con una pendiente (en valor absoluto) de Bajo competencia en cantidades, la función de demanda percibida es qi = a – (1/b)pi – (d/b)qj, con pendiente (en valor absoluto) de 1/b. Se verifica fácilmente que b/(b² – d²) > 1/b, lo que significa que una empresa percibe una elasticidad de la demanda más alta cuando toma como fijo el precio de su rival antes que su cantidad. Se sigue que las empresas fijan precios menores bajo competencia en precios que bajo competencia en cantidades.

También observamos que la diferencia en los precios depende del grado de diferenciación del producto d/b. Entre más diferenciados estén los productos, menor será la diferencia entre los precios. A medida que los productos se vuelven independientes, d/b → 0, la diferencia de precios tiende a cero, puesto que en ambos contextos las dos empresas tienden a comportarse como monopolistas. Como las empresas producen muy poco desde un punto de vista social, se prefiere la competencia en precios a la competencia en cantidades. Sin embargo, la comparación de los beneficios es menos clara. Depende del signo de d. Si los productos son sustitutos, de modo que d > 0, entonces desde el punto de vista de las empresas la competencia en cantidades resulta mejor que la competencia en precios. Si los productos son complementos, de modo que d < 0, entonces la competencia en precios les resulta mejor.