Математическое мышление

Глава 4. Формирование математического мышления: гибкий подход к работе с числами

Малыши любят математику. Дайте детям набор кубиков – и они будут ставить эти детальки друг на друга и располагать в определенном порядке, с интересом наблюдая, как грани выстраиваются в одну линию. Дети смотрят на небо и восхищаются тем, как птицы летят клином. Посчитайте какие-нибудь предметы с маленьким ребенком, затем переставьте их и снова сосчитайте – ребенок придет в восторг от того, что количество предметов не изменилось. Предложите ребенку расставить цветные кубики по какой-нибудь схеме – и он с удовольствием будет создавать повторяющиеся рисунки (самое математическое из всех действий). Кит Девлин написал ряд книг, в которых убедительно доказывается, что математика у нас в крови и всем нам свойственно математическое мышление (см., например, Devlin, 2006). Мы хотим видеть закономерности мира и понимать ритмы Вселенной. Но радость и восторг детей перед математикой быстро уступает место страху и неприязни, как только они начинают изучать ее в школе и их знакомят с набором формальных методов, которые они должны просто принять и запомнить.

В Финляндии, стране с самыми высокими результатами тестов PISA, дети изучают формальные математические методы только после семи лет. В США, Великобритании и некоторых других странах эти методы начинают изучать гораздо раньше. К семи годам дети здесь уже знакомы с алгоритмами сложения, вычитания, умножения и деления чисел, и их заставляют учить таблицу умножения. Младшеклассники приходят в замешательство: все это не имеет для них смысла. Любознательность, которая была свойственна им ранее, угасает и уступает место твердой убежденности в том, что суть математики сводится к инструкциям и правилам.

Главное, что мы можем дать своим ученикам, – стимулировать их к тому, чтобы они играли с числами и фигурами, размышляя, какие закономерности и идеи можно в них выявить. В предыдущей книге (Boaler, 2015a) я рассказала историю Сары Флэннери, которая получила звание «Молодой ученый года» за разработку нового математического алгоритма. В своей автобиографии Сара рассказывает о том, как развивала математическое мышление, начав с решения головоломок в доме своего отца, а также о том, что эти головоломки дали ей больше, чем школьный курс математики (Flannery, 2002). Успешные математики придерживаются подхода к этой науке и к пониманию ее концепций, который отличает их от менее успешных пользователей. Они стремятся понять ее и размышлять о ней, уверены в том, что они могут понять ее смысл. Успешные пользователи математики ищут закономерности и соотношения, анализируют связи. Они опираются на математическое мышление, понимая, что это наука о развитии, стремятся изучать и анализировать новые концепции. Нам необходимо прививать такое мышление ученикам с самого начала их взаимодействия с математикой.

Результаты исследований подтвердили важность мышления роста – убежденности в том, что ваш интеллект развивается и чем больше вы учитесь, тем умнее становитесь. Но чтобы исключить неудачи с математикой, необходимо, чтобы у учеников были установки на рост в отношении себя в сочетании с установками на рост в отношении математики и их роли в связи с этим. Детям необходимо воспринимать математику как концептуальную, развивающую дисциплину, которую необходимо осмыслить. Когда ученики воспринимают математику как последовательность коротких вопросов и фиксированного набора методов, они не могут понять, в чем ее смысл для их личностного роста и обучения. Когда ученики воспринимают математику как мир неизведанного, по которому они могут свободно путешествовать, задавая вопросы и анализируя взаимосвязи, они понимают, что их задача – размышлять, осмысливать происходящее и развиваться. И это значит, что у них есть математическое мышление.

Себастьян Трун, генеральный директор образовательной компании Udacity и исследователь из Стэнфордского университета, обладает математическим мышлением. Я начала работать с ним два года назад. Сначала я знала его как преподавателя информатики и человека, который изобрел беспилотный автомобиль, организовал первый курс MOOC и возглавлял группы по разработке Google Glass и Google Maps. Позже Себастьян перешел от ведения очень успешного онлайн-курса, который прошли 160 тысяч человек, к созданию компании дистанционного обучения Udacity. Мое сотрудничество с ним началось тогда, когда он попросил у меня совета по поводу курсов Udacity. Себастьян – пользователь математики высокого уровня, его многочисленные достижения известны во всем мире. Он написал ряд книг по математике, которые настолько сложны, что от них, как говорит он сам, «из головы может пойти дым». Но мало кто в курсе, что он много размышляет о подходах к пониманию и изучению математики. Когда я беседовала с Себастьяном о моем онлайн-курсе («Как изучать математику») для учителей и родителей, он рассказал, какую роль играет интуиция в освоении математики, решении проблем и осмыслении различных ситуаций. Он поведал, как в процессе создания роботов для Смитсоновского института возникла проблема. Дети и другие посетители института создавали фоновый шум, который дезориентировал роботов. Членам его команды пришлось разработать новые математические способы решения этой проблемы. В итоге Себастьян решил проблему интуитивно. Он рассказал, как сначала было найдено математическое решение, которое имело для него смысл на интуитивном уровне, после чего оно было доказано с помощью математических методов. Себастьян настаивает, что в математике нельзя двигаться дальше, если что-то не имеет смысла на интуитивном уровне. В рамках моего онлайн-курса он советует не работать с формулами или методами, которых дети не понимают, и «просто остановиться», если эти методы не имеют для них смысла.

Как же развивать у учеников математическое мышление, чтобы они были готовы изучать предмет на основе осмысления и интуиции? До начала учебы в школе это простая задача. Достаточно предлагать детям играть с головоломками, фигурами и числами, анализируя взаимосвязи между ними. Но в начальной школе действует система, в которой дети с раннего возраста обязаны изучать много математических методов: правила сложения, вычитания, деления и умножения. Именно тогда ученики отклоняются от математического мышления и у них формируется фиксированное, процедурное мышление. И крайне важно, чтобы учителя и родители представили детям математику как гибкую концептуальную дисциплину, суть которой сводится к размышлениям и осмыслению. Начало работы с числами – лучший пример двух типов мышления, которое мы можем сформировать у своих учеников: один тип отрицательный и приводит к неудаче, а другой положительный и ведет к успеху.

Чувство числа

Эдди Грей и Дэвид Толл – британские исследователи, работавшие с учениками в возрасте от семи до тринадцати лет, которых учителя отнесли к числу слабых, середнячков и сильных (Gray & Tall, 1994). Всем им дали задачи с числами, например на сложение или вычитание. Исследователи обнаружили важное различие между слабыми и сильными учениками. Сильные решали задачи с помощью так называемого чувства числа – их работа носила гибкий и концептуальный характер. Слабые не использовали его и старались вспомнить и применить стандартный метод, даже если это трудно. Например, когда ученикам давали такие задачи, как 21 – 6, сильные ученики упрощали задание, сведя его к вычислению 20 – 5, а слабые по единице отнимали 6 от 21, что непросто и часто ведет к ошибкам. После подробного изучения стратегий, которые использовали ученики, исследователи пришли к выводу, что различие между сильными и слабыми состоит не в том, что последние хуже знают математику, а в том, что они иначе взаимодействуют с ней. Вместо того чтобы чувствовать числа, они упорно придерживались формальных схем, которые ранее выучили, и применяли их очень точно, не отказываясь от них даже тогда, когда в них не было смысла. Они не использовали гибкий подход к работе с числами – может быть, потому, что им с самого начала внушили, что нужно запоминать методы и факты о числах, а не гибко взаимодействовать с ними (Boaler, 2015). Исследователи отметили еще один важный момент: слабые ученики выбирают более трудные пути. Гораздо легче вычесть 5 из 20, чем начать с 21 и отсчитывать в обратном порядке. К несчастью для слабых учеников, их часто относят к числу тех, кто с трудом справляется с математикой, поэтому им дают больше заданий на закрепление материала, усиливая их убежденность в том, что успешное изучение математики сводится к запоминанию, а не пониманию и осмыслению. Таких детей направляют по гибельному пути; в итоге они плохо справляются с математикой на протяжении всей жизни.

Математическое мышление подразумевает активный подход к познанию, при котором ученики видят свою задачу в понимании и осмыслении материала. Чувство числа отражает глубокое понимание математики, и оно формируется при применении математического мышления, суть которого – в наполнении чисел и количества смыслом. Нужно развивать чувство числа у учеников – не только потому, что это основа высшей математики (Feikes & Schwingendorf, 2008), но и потому, что оно помогает сформировать математическое мышление, и знание способов развития одного способствует развитию другого.

На рисунке 4.1 стрелками обозначены методы, которые необходимо изучить, а в ячейках отражены изучаемые концепции. В нижнем левом углу представлен метод счета. Когда ученики учатся считать, они запоминают порядок и названия чисел, но у них формируется и концепция числа – представление о нем. В самом начале обучения сложению ученики осваивают метод «продолжение счета». Он используется, когда заданы два числа (например, 15 и 4). В этом случае вы осваиваете сложение так: сначала считаете до 15, а затем продолжаете счет – 16–17–18–19. Изучая метод продолжения, ученики усваивают понятие суммы. Речь не о методе сложения, а о самой идее. На следующем этапе можно научиться складывать группы чисел, например три числа 4. Когда ученики осваивают этот навык, у них формируется концепция произведения. Здесь снова речь не о методе (в данном случае умножения), а об идее. Концепции числа, суммы и произведения требуют глубоких размышлений. Изучение методов, например сложения и умножения, должно быть не самоцелью, а элементом концептуального понимания чисел, суммы и произведения, а также их соотношения

Рис. 4.1. Математические методы и концепции

Источник: Gray & Tall, 1994.

Когда мы занимаемся математикой, в нашем мозге происходит процесс сжатия. Когда вы изучаете область, о которой ничего не знаете, она занимает много места в вашем мозге: ведь вам нужно напряженно размышлять, как это работает и как разные концепции соотносятся друг с другом. Но математические понятия, которые вы изучили ранее и хорошо знаете (например, сложение), занимают в мозге небольшое пространство. Вы можете использовать эти знания, даже не задумываясь. Процесс сжатия происходит потому, что головной мозг – крайне сложный орган, контролирующий много разных процессов, и в любой момент он может сосредоточиться только на нескольких несжатых концепциях. Те же, которые вы хорошо знаете, сжимаются и архивируются. Уильям Терстон, выдающийся математик, получивший Филдсовскую премию, так описывает процесс сжатия.

Математика поразительно легко поддается сжатию: вы можете долго и напряженно трудиться, шаг за шагом прорабатывая один процесс или идею с нескольких точек зрения. Но как только вы по-настоящему поймете нечто и сможете увидеть это как единое целое, скорее всего, произойдет очень сильное ментальное сжатие. Вы можете отправить эту информацию в архив, а при необходимости быстро и полностью восстановить и использовать ее всего лишь за один шаг в рамках другого ментального процесса. Озарение, которым сопровождается такое сжатие, – одна из истинных радостей математики (Thurston, 1990).

Многие ученики не считают, что математика дарит «истинную радость» – отчасти потому, что в их мозге сжатия не происходит. Мозг способен сжимать только концепции, но не правила и методы. Следовательно, у учеников, которые не мыслят концептуально, а воспринимают математику как список правил, подлежащих запоминанию, сжатия не происходит, и их мозг не может упорядочивать концепции и архивировать их, а пытается хранить длинные списки методов и правил. Именно поэтому важно воспитать концептуальный подход к математике – основу математического мышления.

Как насчет фактов?

Многие убеждены, что невозможно постоянно размышлять над математикой на концептуальном уровне, поскольку существует много фактов (например, 8 × 4 = 32), которые надо запомнить. Однако все факты можно осваивать и запоминать в рамках концептуального подхода. К сожалению, большинство учителей и родителей считают, что некоторые области математики основаны на фактах (например, о числах) и их необходимо бездумно оттачивать и быстро заучивать. Но такой подход в первые годы в школе вредит ученикам, заставляя их думать, что преуспевать в математике – значит быстро вспоминать факты, и мешает им развивать математическое мышление.

Сами математические факты – лишь небольшая часть науки, и их лучше изучать путем применения чисел разными способами и в разных ситуациях. К сожалению, часто математические факты рассматриваются по отдельности и у учеников создается впечатление, будто это суть дисциплины и, что еще хуже, умение быстро восстанавливать такие факты в памяти – признак хорошего ученика. Обе эти идеи ошибочны, их нельзя внушать ученикам. Ведь именно они приводят к появлению разочаровавшихся учеников, боящихся математики.

Я росла в Англии в прогрессивную эпоху, когда начальные школы были ориентированы на развитие цельной личности, поэтому мне не приходилось учить наизусть таблицы сложения, вычитания и умножения. Я никогда не заучивала факты, но могу быстро сгенерировать любой из них, поскольку у меня есть чувство числа и я освоила эффективные способы анализа числовых комбинаций. Отказ от заучивания никогда не был сдерживающим фактором для меня. И я стала профессором математики, поскольку у меня есть чувство числа, овладеть которым для учеников гораздо важнее, чем запомнить факты. Процесс формирования этого чувства сводится к изучению математических фактов вместе с глубоким пониманием чисел и их соотношений.

Примерно у трети учеников страх перед математикой возникает после того, как они начинают сдавать тесты с ограничением времени (Boaler, 2014c). Сайен Бейлок и ее коллеги изучали мозг участников исследования с помощью МРТ и пришли к выводу, что математические факты хранятся в кратковременной памяти. Но когда ученики находятся в состоянии стресса (например, если им приходится отвечать на вопросы в условиях ограничения времени), кратковременная память блокируется и ученики не могут получить доступ к математическим фактам, которые они знают (Beilock, 2011). Когда ученики осознают, что не могут эффективно выполнять тесты с ограничением времени, они начинают тревожиться и теряют уверенность в своих математических способностях. Блокировка кратковременной памяти и связанная с этим тревога особенно распространены среди сильных учеников и девочек. По самым скромным оценкам, минимум треть учеников испытывает очень сильный стресс во время тестов с ограничением времени, причем независимо от своей успеваемости или уровня благосостояния. Если мы постоянно подвергаем учеников такому испытанию, можно считать их потерянными для математики.

Уже установлено, что страх перед математикой испытывают даже пятилетние дети, а тесты с ограничением времени – основная причина этого деструктивного состояния, которое частенько остается у человека на всю жизнь. На своих курсах в Стэнфордском университете я сталкиваюсь со многими студентами, которые испытали психологическую травму в связи с математикой, хотя и добились самых серьезных успехов в учебе. Когда я спрашиваю их, что вызвало у них такое отвращение к математике, многие говорят о том, что именно тесты во втором или третьем классе привели их к выводу, что математика не для них. Некоторые из этих студентов, особенно девушки, рассказывают, что им необходимо было все глубоко понимать (достойная цель). Но когда тесты с ограничением времени стали неотъемлемой частью уроков математики, у них возникло ощущение, что глубокое понимание не ценится или не требуется. Возможно, эти студенты выполняли другую, более важную работу на уроках математики, сосредоточившись на осмыслении и понимании, а тесты на скорость вызывают такие сильные эмоции, что ученики приходят к выводу, будто способность быстро запоминать факты – сама суть математики. Это очень печально. Последствия сосредоточения на запоминании и проведении тестов проявляются в том, что многие бросают математику, и сейчас в этой науке возник кризис (см. www.youcubed.org). Когда в пять лет моя дочь начала изучать таблицу умножения и сдавать тесты, она приходила домой в слезах. Это совсем не те эмоции, которые должны ассоциироваться с математикой, но если мы и впредь будем требовать от детей вспомнить математические факты за ограниченное время, мы не сможем ликвидировать тревогу и неприязнь к математике (Silva & White, 2013).

Что же сделать, чтобы помочь ученикам усвоить математические факты без тестов? Лучший способ стимулировать изучение фактов и формирование математического мышления – предлагать ученикам концептуальные задания, которые помогут им исследовать и понимать числа и факты о них. Исследователи головного мозга проанализировали поведение учеников, изучающих математику двумя способами. Один подход состоял в использовании стратегий. Например, чтобы запомнить, сколько будет 17 × 8, можно вычислить 17 × 10 (170) и вычесть из результата 17 × 2 (34). Другой способ – просто запомнить факт (17 × 8 = 136). Ученые пришли к выводу, что эти подходы подразумевают использование разных путей в головном мозге, и оба этих пути можно использовать всю жизнь. Но важнее другое: по данным того же исследования, ученики, которые использовали стратегии, добивались гораздо более высоких результатов по сравнению с теми, кто запоминал факты; они отвечали на вопросы теста с такой же скоростью и демонстрировали более правильный переход к новым задачам. Ученые пришли к выводу, что автоматизм следует вырабатывать за счет понимания соотношений между числами, которое достигается в процессе размышлений над числовыми стратегиями (Delazer et al., 2005).

В ходе другого важного исследования было установлено, что обучение эффективнее всего тогда, когда мы используем разные пути в головном мозге (Park & Brannon, 2013). Левое полушарие отвечает за обработку фактической и технической информации; правое – визуальной и пространственной. Ученые пришли к выводу, что изучение математики и результаты носят оптимальный характер, когда полушария мозга обмениваются информацией (Park & Brannon, 2013). Также выяснилось, что при работе над арифметическими задачами, например на вычитание, лучшие результаты получили ученики с самыми сильными связями между полушариями мозга. Это крайне важно для изучения математики. Получается, изучение формальной абстрактной математики, как в школьной учебной программе, более эффективно, когда дети используют визуальное и интуитивное математическое мышление.

В статье YouCubed «Свободное владение математикой без страха», которая оказалась в центре внимания ряда крупных новостных СМИ, мы представили все эти факты и задания, которые учителя и родители могут использовать, чтобы создать условия для формирования этих важных связей в головном мозге. Одна из математических игр, которую мы включили в статью, сразу после публикации стала очень популярной и распространилась с помощью твитов по всему миру.

Участвует несколько учеников. Каждый получает лист бумаги, на котором изображена матрица из 100 пустых ячеек. Первый игрок бросает два игральных кубика и использует выпавшие числа для построения массива в своей матрице из 100 ячеек. Участник может разместить этот массив на любом участке матрицы, но задача в том, чтобы максимально заполнить ее. Зарисовав массив ячеек в своей матрице, игрок записывает числовое выражение, описывающее его. Игра заканчивается, когда после бросания костей ни один игрок не может внести соответствующий массив ячеек в матрицу (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Насколько близко к 100?

В этой игре ученики изучают числовые факты, например значение 2 × 12, но не это главное. Они размышляют над смыслом числовых фактов и над тем, что представляет собой 2 × 12 в визуальном и пространственном виде.

Есть еще одна игра, стимулирующая формирование сильных связей в головном мозге. В ней применяется совсем иной подход к математическим карточкам, который часто вредит детям, как в случае флеш-карточек, ориентированных на зубрежку и высокую скорость запоминания. Цель игры в том, чтобы подобрать карточки с одинаковыми ответами, представленными разными способами, без временных ограничений. Учителя раскладывают карточки на столе и предлагают ученикам по очереди выбирать как можно больше карточек с одинаковыми ответами (представленными в любом виде).

Например, числа 9 и 4 могут быть представлены в виде матрицы, группы предметов (костяшек домино и т. п.) и числового выражения. Подбирая карточки, ученик должен объяснить, почему он решил, что разные на вид карточки эквивалентны. Такое задание также помогает понять суть умножения на визуальном и пространственном уровне, что стимулирует формирование связей в мозге ученика и позволяет ему повторить математические факты. Чтобы усложнить задание, игру можно проводить с карточками, повернутыми лицевой стороной вниз, превратив ее в игру на запоминание. Полный набор карточек есть здесь: http://www.youcubed.org/wp-content/uploads/2015/03/FluencyWithoutFear-2015.pdf (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Математические карточки

Источник: www.youcubed.org.

Такие задания развивают чувство числа и математическое мышление, способствуют формированию новых связей между полушариями головного мозга. Полная противоположность этому подходу – фокус на зубрежке и скорости. Чем больше мы акцентируем внимание учеников на запоминании, тем меньше они стараются задумываться над числами и взаимосвязями между ними, зато развивают и используют чувство числа (Boaler, 2015). Некоторым запоминание математических фактов дается нелегко. Это можно только приветствовать – как свидетельство многообразия жизни и людей.

Представьте себе, как было бы ужасно, если бы учителя проводили тесты на знание математических фактов, а все ученики давали одинаковые ответы с одинаковой скоростью, будто роботы. В ходе одного из последних исследований ученые изучали мозг детей в то время, когда те запоминали математические факты; оказалось что некоторые запоминают факты гораздо лучше других. Это неудивительно: многие считают, что это характерно для более сильных или более умных учеников. Но исследователи обнаружили, что эти дети не относятся к числу сильных, не обладают тем, что исследователи описали как более высокий уровень математических способностей, или более высоким показателем IQ (Supekar et al., 2013). Единственное различие касалось области мозга под названием гиппокамп, которая отвечает за запоминание фактов. Он, как и другие области головного мозга, может увеличиваться в объеме в любом возрасте, как показывают результаты исследования с участием лондонских водителей такси Black Cab (Woollett & Maguire, 2011). Но разные ученики всегда будут запоминать факты с разной скоростью, и их математические способности тут ни при чем.

Рассказ учительницы о психологической травме в связи с запоминанием математических фактов

Во время последнего семинара по профессиональному развитию, который я проводила с учителями из Калифорнии, я рассказала, что в детстве не учила таблицу умножения наизусть. Я отметила, что это никогда не сдерживало меня в жизни, хотя я каждый день занимаюсь математикой. Когда я рассказала об этом перед аудиторией учителей, четыре женщины расплакались. Во время обеда одна из этих учительниц рассказала мне, всхлипывая, что мои слова изменили для нее всё. В детстве у нее были трудности с заучиванием таблицы умножения, и ее отец дал ей понять, что она в каком-то смысле неполноценна. Эта учительница всю свою жизнь считала, что с ней что-то не так. Она рассказала мне, что директор школы присутствовал на ее занятиях и она боялась, что ее «неполноценность» будет обнаружена. Акцент на тестах с ограничением времени и запоминании математических фактов причинил вред очень многим людям.

Чтобы успешно изучать язык и литературу, читать и понимать прозу или поэзию, необходимо запоминать значение множества слов. Но ни один ученик, изучающий язык и литературу, не скажет и не подумает, что весь процесс сводится к быстрому запоминанию слов и их восстановлению в памяти. Ведь мы изучаем слова, используя их во множестве разных ситуаций: когда разговариваем, читаем и пишем. Учителя-словесники не заставляют детей запоминать сотни лексических единиц и не проверяют их в условиях ограничений времени. Все дисциплины требуют запоминания тех или иных фактов, но математика – единственный предмет, преподаватели которого убеждены в необходимости тестов с ограничением времени. Почему так? У нас есть результаты исследований, подтверждающие, что ученики могут гораздо эффективнее усваивать математические факты в рамках увлекательных занятий; пора с их помощью избавить учеников от страха математики.

Насколько важна практика в математике?

Когда я предъявляю родителям и учителям доказательства того, что детям нужно заниматься математикой на концептуальном и визуальном уровнях, некоторые спрашивают: «Разве не нужно много практиковаться?» Под практикой при этом подразумеваются многие страницы отдельных заданий по математике. Нужна ли ученикам практика по математике и в каком виде – вопрос интересный. Мы знаем, что процесс обучения сопровождается возбуждением синапсов, а чтобы в мозге произошли структурные изменения, нужно не единожды рассматривать идеи и глубоко изучать их. Но что это значит? Математические концепции действительно важно рассматривать неоднократно, но снова и снова «отрабатывать» методы бесполезно. Когда вы изучаете новую концепцию, стоит закрепить ее, и лучший способ сделать это – использовать ее разными способами. Мы вредим ученикам, когда формулируем самый простой вариант концепции и даем 40 заданий, в которых используется только он. Листы с письменными заданиями, в которых многократно повторяется одна и та же концепция, отталкивают учеников от математики; в них нет нужды, поскольку они не учат применять концепцию в разных ситуациях.

В своем бестселлере «Гении и аутсайдеры»^[11] Малкольм Гладуэлл развивает идею о том, что для достижения высокого уровня мастерства в любой области нужны примерно 10 тысяч часов практики. Гладуэлл описывает достижения знаменитых музыкантов, шахматистов и спортсменов, отмечая при этом один важный момент. Многие считают, что такие люди, как Бетховен, гениальны от рождения. А Гладуэлл показывает, что они долго и упорно трудятся, чтобы добиться серьезных результатов, и обладают мышлением роста, которое помогает им в работе. К сожалению, многие люди, с которыми я беседовала, интерпретируют идею Гладуэлла так, будто ученики могут овладеть математикой на высоком уровне после 10 тысяч часов бездумной практики. Это неверно. Овладение математикой требует работы в истинном математическом смысле. Нам не нужно, чтобы ученики снова и снова отрабатывали один и тот же метод. Это не математика; такой подход не дает знания идей, концепций и взаимосвязей, позволяющего овладеть наукой на высоком уровне. В эти 10 тысяч часов необходимо изучать математику в целом, анализируя ее концепции и связи, решая задачи, делая умозаключения и связывая разные методы воедино.

Авторы большинства учебников в США используют стандартный подход, когда необходимо выделить методы, свести их к простейшей форме, а затем отрабатывать. Это создает ряд проблем. Во-первых, изучение отдельных методов вызывает скуку; многие дети теряют интерес к математике, когда им кажется, что их роль состоит в пассивном принятии конкретного метода (Boaler & Greeno, 2000) и его многократном повторении. Во-вторых, в большинстве практических заданий показан самый простой и обособленный вариант метода, поэтому ученики не имеют ни малейшего представления о том, когда и как еще они могут применить его.

Примеры концепций в учебниках тоже не показательны: составители пособий всегда выбирают самый простой вариант. В примере 4.1 приведены ответы учеников на математические вопросы в ходе научных исследований, а также отмечен характер проблемы, вызванной традиционной постановкой вопросов в учебниках.

ПРИМЕР 4.1

Ученикам в возрасте 11 лет показали следующий рисунок и задали вопрос: прямая a параллельна прямой c?

Большинство учеников дали ответ: «Нет, потому что между ними находится прямая b». Причина в том, что понятие параллельности почти всегда иллюстрируют рисунком с двумя прямыми.

Затем учеников попросили назвать следующую фигуру.

Большинство не смогли этого сделать. На рисунке изображен шестиугольник (многоугольник с шестью сторонами), но шестиугольники почти всегда показывают в таком виде.

Это не отражает в полной мере концепцию шестиугольника.

Более половины учеников восьми лет не воспринимают представленные ниже фигуры как прямой угол, треугольник, квадрат и параллельные прямые…

Незнакомые изображения геометрических концепций

…поскольку им всегда показывают самый простой вариант. Вот знакомые изображения, которые ученики ожидают увидеть.

Знакомые изображения геометрических концепций

Итак, более половины учеников, принимавших участие в исследовании, не смогли правильно назвать фигуры. И вот что это значит: когда в учебниках приводится только самый простой вариант идеи, ученики не могут узнать, в чем состоит ее суть. Дети не смогли правильно опознать разные объекты, поскольку авторы учебников неизменно приводят «идеальные примеры». Когда ученики изучают какое-то понятие, вместо идеальных примеров целесообразно предлагать им разные, чтобы некоторые из них едва отвечали этому определению, а некоторые вообще не соответствовали ему.

Учителя математики должны также давать достаточно широкое определение той концепции, которую изучают ученики, и иногда это лучше всего сделать с помощью правдоподобных, но ложных примеров. В процессе изучения определения часто полезно приводить как примеры, отвечающие ему, так и не отвечающие ему, а не идеальные варианты. Например, когда ученики изучают птиц, стоит напомнить им о летучих мышах и предложить подумать, почему они не относятся к птицам, а не рассматривать все больше изображений воробьев, ворон и других птиц.