Относительность: для старших школьников и младших студентов

Ответ. Частота вращения равна ω = v/R.

В рассмотренном примере проявился сложный характер движения, характеризуемый наличием двух независимых составляющих: вращательного и поступательного. Частота вращения ω пропорциональна скорости v и обратно пропорциональна радиусу виража R . Попутно заметим, что в реальности приходится сталкиваться с автомобилями разных размеров, массы. Как это сказывается на скорости вращения? Может ли инициировать вращение ряд инцидентов: столкновения с препятствиями и другими машинами, состояние шин, дорожного полотна. Выносим эти вопросы на самостоятельное изучение.

Может ли лед сжигать?

Относительными могут быть не только скорость и покой различных объектов, но также и иные характеристики движения, в частности кинетическая энергия. Чтобы продемонстрировать это утверждение, рассмотрим следующую задачу.

Задача 7. Может ли энергия, заключенная в куске холодного льда, испепелить огромный район Земли?

Ответ. Астрономы утверждают, «да!» Известно, что в 1908 году упал Тунгусский метеорит. Результаты падения иллюстрируют рис.7 а,б.

1) 

2) 

Рис. 1.7. Эпицентр взрыва в настоящее время (а) и фотография экспедиции 1927-го года Леонида Кулика на Подкаменную Тунгуску (б), http://www.planetsecret.ru/tungusskij-meteorit-zagadki-i-tajny/

Астрономы говорят, что Тунгусское небесное тело состояло в основном из замороженного льда, то есть являлось кометой. На поверхность подобного объекта можно было бы безопасно посадить космический зонд. Однако при столкновении метеорита и Земли внезапно проявилась огромная кинетическая энергия их относительного движения. Метеорит превратился в огромное огненное облако. Эта замороженная, «безопасная» вода произвела испепеляющий взрыв, мощность которого оказалась выше, чем у сотен и даже тысяч атомных бомб! Таким образом, кинетическая энергия небесных тел – относительна. Для космического зонда, севшего на его поверхность она неощутима, а для планеты, на которую упадет пришелец – катастрофически велика.

Воробей-убийца

Задача 8. Может ли порхающий в воздухе воробей пробить стальной лист?

Ответ. Оказывается, может. Действительно, на аэродромах существует подобная острая проблема. Птица может повредить летящий самолет, благодаря сложению их скоростей. Таким образом, импульс тела – величина относительная. На рис.8 изображен результат подобного столкновения, произошедшего в Международном аэропорту Денвера, США 31 июля 2013 года. Согласно данным сайта birdstrike.org, столкновения с птицами наносят ущерб гражданской и военной авиации США на сумму свыше 600 миллионов долларов ежегодно. В частности, в Бразилии, за год фиксируют более 500 столкновений пассажирских самолетов с птицами.

Рис. 8. Фото Боинга 737 после столкновения с птицей, http://novostey.com/auto/news425847.html

Сложные движения

Задача 9. Может ли свободно движущееся тело, например, снаряд, «облететь» препятствие?

Ответ. Подобная ситуация реализуется в артиллерии, при движении снаряда по «навесной» криволинейной траектории, в частности при использовании мортир, минометов и подствольных гранатометов. Схема движения снаряда, поражающего скрытую цель, представлена на рис.8.

В рассматриваемом случае движение тела – сложное. Оно состоит из суперпозиции (сложения) двух движений – равномерного по горизонтали и ускоренного по вертикали. Однако следует заметить, что такое движение возможно лишь в вертикальной плоскости. По горизонтальной плоскости такие траектории осуществимы лишь при использовании дополнительной вынуждающей силы. В настоящее время разрабатываются «умные» пули, меняющие траекторию движения по заданной программе.

Рис.9. Штриховая линия – траектория движения снаряда.

Дорожно-транспортные иллюзии

Задача 10. Легковой автомобиль обгоняет грузовой и при этом «подрезает» его. Схема движения изображена на рис.9. Произойдет ли ДТП? Насколько будут серьезны последствия? Скорость легкового автомобиля v_легк = 70 км/час, грузового составляет v_груз = 60 км/час. Руль при обгоне был повернут на угол α = 30 градусов.

Решение. На рис.9а изображена схема движения автомобилей, как она выглядит для внешнего наблюдателя, например, для сотрудника ГИБДД. Объекты двигаются с большой скоростью по сходящимся траекториям и пересекающимся, представленным на рисунке пунктирными линиями. Однако пересечение линий еще не означает реального столкновения. Ведь к моменту, когда грузовик пересечет траекторию движения легковушки, она может уже проскочить вперед или, наоборот, отстать и пропустить грузового монстра.

Однозначное решение задачи осложняется тем, что двигаются сразу два тела. Задач значительно упростится, если одно из тел покоится. Оказывается, принцип относительности позволяет это сделать. Ведь движение – относительно. Применим один из стандартных приемов кинематики относительного движения. Перейдем к системе отсчета, связанной с легковым автомобилем. В этой системе легковая машина покоится, а движется только грузовик.

Рис.10. Обгон грузового автомобиля легковой машиной; а – схема движения для внешнего наблюдателя, б – векторное вычитание скоростей, в – картина столкновения в системе отсчета, связанной легковым автомобилем.

Чтобы выполнить такую операцию, необходимо прейти в такую систему отсчета, в которой из скоростей всех тел вычитается скорость автомобиля v_легк. Вычитание можно произвести графически, так, как изображено на рис. «в». Направление и величину новой скорости относительного движения можно найти, произведя векторное вычитание v_отн = v_груз – v_легк , изображенное на рис. 9б. В результате приходим к картине движения, представленной на схеме 9в. На нем легковушка покоится, а движется лишь грузовик. Видно, что новая, «относительная», траектория грузовика пересекает силуэт его соседа. Столкновение произойдет! Левая точка переднего бампера грузового должна ударить в заднюю часть правого крыла легкового автомобиля.

Проведенные математические вычисления можно заменить видеорегистратором или просто пассажиром, сидящим в легковой машине. Они бы зафиксировали, что если отвлечься от окружающих дорогу предметов, то будет казаться, что кабина легкового автомобиля и все его содержимое покоятся, а грузовик приближается сбоку, слегка отставая и «целясь» в корму.

Ответ. Легковой автомобиль ожидает существенный ремонт кузовной части, грузовик лишится фары.

Движется ли Солнце по небу?

Перейдем к следующей задаче. На рис.11 изображена фотография заходящего Солнца. А все-таки, что движется – Солнце, или Земля? Обсудим этот вопрос.

Рис.11. Бога Ра везут. Фото автора (И.Н. Сачкова)

Вопрос 11. Правильно ли говорить: «утром солнце встает, а вечером – уходит за горизонт»? Ведь известно, что это Земля вращается вокруг своей оси и движется вокруг Солнца? Решил ли Коперник этот вопрос окончательно?

Обсуждение. На рис.12 изображены портреты двух великих людей. Они оба были очень хорошими математиками и механиками. Но на поставленный выше вопрос они дали бы взаимоисключающие ответы. Первый из ученых – Клавдий Птолемей, живший в 100 –170 гг. и работавший в знаменитом Александрийском Мусейоне. Он создал теорию, согласно которой Солнце вращается вокруг Земли.

Второй – Николай Коперник, 1473-1543 гг., государственный деятель Германии и Польши. Согласно его теории огромная Земля движется, как кораблик, вокруг солнечного диска.

Рис.11. Портреты двух великих астрономов; сверху – Клавдий Птолемей, создавший теорию вращения Солнца и планет вокруг Земли; снизу – Николай Коперник, предложивший схему вращения Земли и ее движения вокруг Солнца

Так кто же прав?

Обсуждение проблемы мы сделаем попозже. Там имеются нюансы. Но принципиальный ответ можно сделать уже сейчас. Любое движение относительно, можно считать, что Земля покоится, а можно утверждать, что летит вокруг Солнца. Так говорит закон относительности. А закон всегда есть закон!

Речь идет о важнейшей проблеме 17-го столетия. Из-за ее трактовки церковь сожгла на костре Джордано Бруно, замучила и сделала инвалидом Галилея. Лишь заступничество тогдашнего государя, герцога Лоренцо Медичи, спасло жизнь великому ученому. Проблему иллюстрирует

рис. 1.12, на котором сопоставлены две схемы. На верхней из них Солнце и Луна вращаются вокруг неподвижной Земли. Эта модель называется «геоцентрической». Ее разработал и усовершенствовал великий ученый античности, Клавдий Птолемей примерно в 100 – 170 гг. На нижней части рисунка представлен и схема, согласно которой Земля вращается и вместе с Луной движется вокруг Солнца. Эту теорию представил. Николай Коперник.

С точки зрения принципа относительности движения – обе схемы равноправны. Однако имеется один дополнительный фактор, который влияет на признание теории истинной. Дело в том, что теории должны еще быть связаны с другими теориями так, чтобы не противоречить им. Ситуация подобна детской игре – собрать картинку из кусочков, «пазлов».

В частности, любое положение кинематики не должно противоречить ни одному положению динамики или теории сохранения энергии.

Теория Птолемея противоречит и теории гравитации, и динамике Ньютона, и законам сохранения момента вращения. Оказывается, что не может тяжелое Солнце вращаться вокруг легкой Земли. Ну и, конечно, полеты космических кораблей окончательно делают правым Коперника.

Существует еще несколько доказательств правильности теории вращения Земли. Они заключены в эффектах закручивания атмосферных и океанических течений. Кроме того, известна общая особенность: если река течет с севера на юг в северном полушарии, то ее правый берег – крутой, а левый – пологий. Однако эти особенности требуют отдельного рассмотрения и выходят за рамки настоящей брошюры.

Необходимо сделать некоторые оговорки. Мы не учли некоторые эффекты, связанные с возникновением движения по виражу.

Кроме того, Они связаны с действием второго закона Ньютона и особенностями действия закона сохранения энергии. Они выходят за рамки настоящей брошюры. Интересны также следующие вопросы будут обсуждаться позднее, в следующих разделах книги.

При рассмотрении представленного Следует сделать ряд Обсуждение ряда подобных вопросов вынесено в раздел «Семинары и самостоятельные решения».

Как эти факторы влияют на обсуждаемый эффект. Заметим попутно, что скорость вращения не зависит от размеров и массы автомобиля, поскольку эти величины не вошли в формулу для ω.

Помимо движения по виражу, опасное вращение автомобиля может инициироваться состоянием шин и столкновением с другим автомобилем. Иллюстрацией служат задачи, вынесенные на самостоятельное решение.

Задача1.7. На вращающейся платформе находятся три детали. Внезапно они теряют сцепление с опорой. Опишите дальнейшее движение деталей.

Решение. До потери сцепления все три детали совершают вращение вместе с платформой. Угловые скорости их вращений одинаковы. В то же время поступательные скорости центров деталей – различны. Скорость равна нулю для детали в центре диска и максимальна – для третьей детали.

Вывод: деталь 1 будет вращаться, а центр ее останется на месте. Детали 2 и 3 будут двигаться параллельно касательной к ободу, вращаясь против часовой стрелки. Траектории и длины перемещений отражены пунктирными линиями.

Можно показать также, что расстояния, на которые отбросит детали, характеризуются формулой: длина перемещения равна S = 2 π r t / T, где r – расстояние от центра детали до оси вращения, t – время полета детали, T – период вращения платформы.

Ответ. То есть, чем дальше от центра диска находится деталь, тем выше ее поступательная скорость. При этом скорость вращения – одинаковая, не зависит от радиуса.

Рис. 1.7. Поведение деталей на вращающемся диске до (а) и после (б) потери сцепления, пунктир – траектории центров тяжести

Попутно заметим, что эти принципы, кажущиеся теперь очевидными, привели к множеству трагедий на рубеже 16-го – 17-го веков. Дело в том, что тогда решался важнейший вопрос естествознания. «Что движется? Солнце вокруг Земли, или Земля вокруг Солнца?». В те времена за неудачный ответ на него вполне могли сжечь на костре. Дело в том, что в тогдашней кинематике речь шла фактически об устройстве Мира, об авторитете Библии. Но об этом поговорим попозже. Отметим лишь, что потребовалось почти сто лет, чтобы эти правила утвердились в умах ученых! Почему так долго? Решим ряд следующих задач, которые иллюстрируют некоторые странности действия этого простого принципа.