Czytaj książkę: «Вероятность по шагам. 20 моделей и 40 задач с решениями»

Перед началом

Сначала опыт, потом дробь

На столе лежит коробка с жетонами. Слово «случайно» кажется достаточным: не смотрим, тянем, считаем. Но если маленькие жетоны чаще проваливаются на дно, одинаковых шансов может не быть. В учебной задаче мы не проверяем настоящую коробку. Мы договариваемся о модели: например, каждый из восьми отдельных жетонов имеет шанс 1/8 оказаться выбранным. Именно эта договорённость позволяет считать дальше.

В этой книге вопрос «как выбирают?» важнее вопроса «какую формулу применить?». Выбрать сначала папку, а затем файл — не то же самое, что выбрать один файл из общего списка. Извлечь два предмета с возвращением — не то же самое, что убрать первый в сторону. Изменённое правило создаёт другой опыт, даже когда слова «папка», «файл» и «предмет» остаются прежними.

Цель практикума — научиться переводить короткое условие в прозрачную конечную модель. Вы сможете выписать исходы, проверить их равновозможность, выделить нужные исходы и объяснить ответ словами. Мы не будем угадывать, что произойдёт завтра, по трём вчерашним наблюдениям. Вероятность описывает модель опыта, а не обещает исход отдельного повторения.

Небольшой словарь и арифметическая опора

Исход — полный результат выбранного опыта. Если вытягивают два жетона по очереди, исход удобно записывать парой: сначала такой-то, затем такой-то. Событие — набор исходов, которые подходят под вопрос. Например, «оба жетона мятные» обычно объединяет несколько разных пар отдельных жетонов.

Запись 3/8 означает три восьмых. Чтобы получить процент, умножьте дробь на 100: 3/8 = 0,375 = 37,5%. Если дробь не даёт короткую десятичную запись, оставьте её точной. В решениях дробь — основной ответ; округление не должно менять сравнение вероятностей.

Дробь сокращают, деля числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число: 6/16 = 3/8. При умножении перемножают числители и знаменатели: (3/5) × (2/4) = 6/20 = 3/10. Для сложения сначала нужен общий знаменатель: 1/4 + 1/2 = 1/4 + 2/4 = 3/4. Если эти действия пока трудны, полезно повторить их перед задачами.

Когда все отдельные исходы равновозможны, вероятность события равна числу подходящих исходов, делённому на число всех исходов. Но наличие двух названий, например «мятный» и «серый», ещё не означает шанс 1/2 для каждого цвета. Три мятных жетона и пять серых — восемь отдельных исходов, а не два равновозможных цвета.

Запись P(A) читается как «вероятность события A», P(A|B) — как «вероятность A при условии, что B произошло». Вертикальная черта не обозначает деление. Конкретная формула для такого пересчёта будет разобрана в задачах. В скобках (a, b) порядок важен, если a относится к первому выбору, а b — ко второму.

Как работать с двумя задачами в каждой модели

Всего здесь сорок задач: двадцать основных и двадцать дополнительных упражнений. Глава сначала вводит один приём и задаёт основной опыт. Попробуйте записать модель до открытия подсказки. Если ход не находится, прочитайте первую подсказку; вторая подводит ближе к вычислению. Обе подсказки и решения находятся отдельно, чтобы ответ не был виден сразу после условия.

Затем решите дополнительное упражнение. Его данные полностью указаны: не переносите количество жетонов или способ выбора из основной задачи по памяти. Иногда изменяется только число предметов, иногда — существенная деталь опыта. Полное решение упражнения находится в той же ответной главе после разбора основной задачи.

Сравнивайте с ключом не только последнюю дробь. Правильное число может получиться из двух ошибок, которые случайно компенсировались. Проверьте, какие исходы вы считали, где использовали равные шансы, учли ли порядок и не пересчитали ли один вариант дважды. Если ваш способ другой, он допустим, когда описывает тот же опыт и не теряет исходы.

Для занятий достаточно бумаги и карандаша; калькулятор необязателен. Программный код для решения не нужен. Внутренние ссылки ведут к подсказкам, решениям и обратно. Если конкретная читалка не поддерживает переходы, используйте оглавление и совпадающие номера глав и ответов.

Карта книги

Модели 1–4 учат выбирать исходы: отдельные предметы, двухступенчатый выбор, упорядоченные пары и объединение событий. Модели 5–10 посвящены последовательному извлечению, дополнению события, строкам, перестановкам и выбору группы без учёта порядка. Все нужные приёмы подсчёта объясняются на малых числах.

Модели 11–15 показывают, что делает новая информация: меняется знаменатель, направление вопроса имеет значение, а независимость нельзя определять по бытовому впечатлению. Модели 16–19 переходят от события к числу — максимуму, количеству меток, наличию соседней пары и числу проверок до остановки. Модель 20 отделяет наблюдаемую частоту от вероятности, заданной в условии.

Главы связаны последовательностью идей, но не выдуманным сюжетом на сто страниц. Если ошибка повторяется, вернитесь к модели, где впервые появился нужный приём. Сложность последних глав связана главным образом с выбором пространства исходов, а не с большими вычислениями.

Двадцать моделей: условия и упражнения

Модель 1. Один выбор: что считать исходом

Приём: Равновероятные отдельные предметы и событие как набор исходов.

Разберём идею

Вероятностную задачу удобно начинать не с дроби, а с вопроса: какой результат одного опыта мы будем записывать? Если выбирают один жетон, подробный результат — именно этот жетон, а не только его цвет. Несколько разных жетонов могут давать один и тот же цвет. Поэтому два возможных названия цвета ещё не означают, что у каждого цвета вероятность 1/2. Размеры групп становятся видны только после выбора достаточно подробных исходов.

Для конечного набора равновероятных исходов вероятность события равна числу подходящих исходов, делённому на общее число исходов. Равновероятность здесь является условием модели: каждый отдельный предмет имеет одинаковый шанс быть выбранным. Событие объединяет все результаты, при которых выполнено интересующее нас условие. Сначала обоснуйте равные шансы отдельных исходов, затем считайте их; одна лишь возможность перечислить результаты ещё не даёт права делить их количества.

Основная задача 1

В непрозрачном мешочке лежат 8 одинаковых по размеру и форме жетонов. У каждого свой номер от 1 до 8, поэтому жетоны различимы. Жетоны 1, 2 и 3 мятного цвета, остальные пять — серые. По условию один жетон выбирают равномерно: вероятность выбора каждого из восьми номеров равна 1/8. После выбора опыт заканчивается.

Какова вероятность того, что выбранный жетон окажется мятным?

Подсказки к основной задаче 1

Решение основной задачи 1

Самостоятельное упражнение 1

В другом мешочке 12 одинаковых по форме, но индивидуально пронумерованных жетонов. Пять жетонов фиолетовые, остальные семь белые. Один из двенадцати номеров выбирают равномерно и извлекают соответствующий жетон. Найдите вероятность фиолетового цвета.

Решение упражнения 1

Модель 2. Два уровня выбора: равные папки не равны файлам

Приём: Дерево выбора и вероятности путей при неодинаковых размерах групп.

Разберём идею

Случайный выбор нередко устроен в несколько шагов: сначала выбирают группу, затем предмет внутри неё. Даже если каждый шаг равномерный среди доступных на нём вариантов, итоговые предметы не обязательно равновероятны. Маленькая группа делит свою долю вероятности между немногими предметами, а большая — между многими. Поэтому слова «выбрали случайный файл» недостаточно: нужно знать весь протокол, ведущий к файлу.

Путь из двух шагов получает вероятность первого шага, умноженную на вероятность второго при уже выбранной ветви. Здесь не требуется называть шаги независимыми: набор доступных файлов как раз зависит от папки. Можно представить, что половину единичной полоски отдали одной папке, половину другой, а затем каждую половину разрезали на столько равных частей, сколько файлов в соответствующей папке. Длины конечных частей и будут вероятностями файлов.

Основная задача 2

В папке A находятся два разных файла A1 и A2. В папке B находятся шесть других разных файлов B1, B2, B3, B4, B5 и B6. Сначала равномерно выбирают одну из двух папок. Затем, только внутри выбранной папки, равномерно выбирают один файл. Файл A1 заранее объявлен целевым.

Для сравнения рассмотрим другой протокол: все восемь файлов помещают в один список и равномерно выбирают один элемент этого списка.

Какова вероятность выбрать A1 в первом протоколе? Какова она при равномерном выборе из общего списка?

Подсказки к основной задаче 2

Решение основной задачи 2

Самостоятельное упражнение 2

В папках C, D и E лежат соответственно 3, 5 и 4 индивидуально различимых файла; общих файлов у папок нет. Сначала равномерно выбирают одну из трёх папок, затем равномерно один файл в ней. Найдите вероятность заранее указанного файла D2. Сравните её с вероятностью D2 при равномерном выборе из общего списка всех файлов.

Решение упражнения 2

Модель 3. Два числа: порядок важен даже для суммы

Приём: Декартово произведение исходов независимых опытов.

Разберём идею

Когда опыт состоит из первого и второго выбора, естественный подробный исход — упорядоченная пара. В паре (2, 4) сначала получено 2, затем 4; в паре (4, 2) последовательность другая. Даже если вопрос касается только суммы и эти пары дают одинаковое значение, объединять их до подсчёта опасно. Одна сумма может получаться несколькими способами, другая — единственным, поэтому сами суммы обычно не равновероятны.

Независимость означает, что знание результата первого выбора не меняет распределение второго. Если каждый раз равномерно выбирают из четырёх чисел и выборы независимы, у любого первого числа есть четыре одинаково возможных продолжения. Всего получается 4 × 4 пар, каждая с вероятностью 1/4 × 1/4. Такое пространство удобно рисовать таблицей: строки задают первое число, столбцы второе, а каждая клетка соответствует одному исходу.

Основная задача 3

Есть два отдельных набора по четыре одинаковые карточки с числами 1, 2, 3 и 4. Из каждого набора равномерно выбирают одну карточку. Выборы независимы по условию. Записывают сначала число из первого набора, затем число из второго; карточки после опыта ни на что больше не влияют.

Какова вероятность того, что сумма двух выбранных чисел не меньше 6?

Подсказки к основной задаче 3

Решение основной задачи 3

Самостоятельное упражнение 3

Из двух отдельных наборов карточек 1, 2, 3, 4, 5 независимо и равномерно выбирают по одной карточке. Первая и вторая позиции различаются. Найдите вероятность того, что сумма выбранных чисел не больше 4.

Решение упражнения 3

Модель 4. Слово «или»: как не посчитать пересечение дважды

Приём: Объединение двух событий и включающее «или».

Разберём идею

В математическом условии «выполнено A или B» обычно означает: выполнено хотя бы одно из двух условий, а возможно, оба сразу. Такое «или» называют включающим. События могут пересекаться — иметь общие исходы. Если сначала посчитать все исходы A, затем все исходы B и сложить количества, общая часть будет учтена дважды, хотя в объединении каждый исход должен находиться ровно один раз.

Для двух событий исправление простое: из суммы их вероятностей вычитают вероятность пересечения. При равновероятных исходах то же действие можно выполнить с количествами: число в A плюс число в B минус число в обоих событиях. Есть и другой способ — сразу составить единый список без повторов. Два метода полезно сравнить: согласие результатов помогает обнаружить пропущенную границу, например число, которое равно порогу, а не превосходит его.

Основная задача 4

На столе лежат 12 одинаковых с обратной стороны карточек с разными числами от 1 до 12. Выбирают одну карточку равномерно среди всех двенадцати. Под словом «или» в этой задаче понимается включающее «или»: карточка подходит, если выполнено хотя бы одно условие, в том числе оба сразу.

Какова вероятность выбрать чётное число или число, строго большее 9?

Подсказки к основной задаче 4

Решение основной задачи 4

Самостоятельное упражнение 4

Одну из 15 карточек с разными числами от 1 до 15 выбирают равномерно. Карточка подходит, если её число делится на 3 или не меньше 13; «или» включающее. Найдите вероятность подходящей карточки.

Решение упражнения 4