Ingeniería económica

2.1 FACTORES DE PAGO ÚNICO (F/P y P/F)
2.1.1 Futuro dado un presente (F/P)

Es el factor de cálculo fundamental más importante de la ingeniería económica. Determina la cantidad futura de un valor presente P a una tasa de interés efectiva i % en n periodos. En consecuencia, determina el valor futuro de un valor presente (factor de capitalización).

La fórmula a utilizar tiene estas características.

Ejemplo 2.1

Carlos invierte en una cuenta de ahorros bancario el monto de US$ 3000 durante medio año. Si la tasa de interés efectiva anual es del orden del 19,72 %, ¿cuánto recibirá Carlos después de medio año? (Asumir 360 días/año.)

Solución

Se tiene los siguientes datos:

P = 3000;

n = 0,5 años;

i % = 19,72 %.

Utilizando la fórmula, podemos calcular que el importe F será:

F = 3000 × (1 + 19,72 %)^½ = US$ 3282,5.

Sin embargo, este resultado se puede obtener también con la función –VF, la cual devuelve el valor futuro de una inversión.

En el presente ejemplo:

Tasa = 19,72 %

Nper = 0,5 periodos

Pago = 0. (Este dato se utiliza si existen cuotas iguales.)

Va = 3000

Reemplazando en Excel

2.1.2 Presente dado un futuro (P/F)

Es traer un valor futuro al presente. También se le llama factor de actualización.

La fórmula a utilizar es la siguiente.

Fórmula original	Notación simplificada	Nombre del factor
	= F(P/F, i %, n)	Presente dado un futuro

Ejemplo 2.2

El señor Carlos Tumé decide ahorrar en el banco cierta cantidad de dólares, con la finalidad de que al finalizar el quinto año tenga US$ 3000. Sabiendo que el banco paga un interés mensual de 0,5 %, se solicita calcular la cantidad que tiene que depositar.

Solución

Para este ejemplo se debe tener en cuenta que si el banco paga una tasa mensual, los periodos de pago deben ser mensuales: n = 60 meses.

Reemplazando en la fórmula, se tiene:

P = US$ 2224,12.

Sin embargo, este resultado se puede obtener utilizando la función en Excel –VA, la que devuelve al presente el valor futuro de una inversión.

En el presente ejemplo tenemos:

Tasa = 0,5 % mensual;

Nper = 60 meses;

Pago = 0. (Este dato se utiliza si existen cuotas iguales.)

Vf = 3000

Reemplazando en Excel, se tiene:

Ejemplo 2.3.

Se requiere saber cuánto debe depositar el señor Flores en una cuenta que paga una tasa de interés anual de 8 %, con la finalidad de obtener US$ 10 700 dentro de tres años.

Solución

Utilizando la fórmula en Excel, debe depositar US$ 8494.

2.2 FACTORES DE RECUPERACIÓN Y ACTUALIZACIÓN DE UNA SERIE UNIFORME (A/P y P/A)

Se define una serie uniforme como un flujo ininterrumpido de cuotas, cada cuota debe tener el mismo valor en todos los periodos. La cuota está compuesta por capital amortizado y el interés respectivo.

Los flujos de una serie uniforme, llamada también anualidad –aunque en realidad depende del periodo diario, mensual o trimestral–, se muestran a continuación.

2.2.1 Recuperación del capital de una serie uniforme (A/P)

Permite obtener el valor cuota A o la serie uniforme de un valor presente. Cada cuota A está compuesta de amortización del capital (pago de alguna parte de la deuda) y del interés respectivo.

La fórmula a utilizar es esta:

Fórmula original	Notación simplificada	Nombre del factor
	= P(A/P, i %, n)	Pago uniforme dado un presente

Ejemplo 2.4

Un auto valorizado en US$ 9000 se vende 35 % al contado y el saldo pagadero en cuotas iguales mensuales durante dos años. ¿Cuál es la cuota mensual si la tasa de interés es del 15 % efectiva anual?

Solución

Convirtiendo a tasa mensual, dado que se pagan cuotas mensuales.

Tasa efectiva mensual = (1 + 15 %)^1/12 – 1 = 1,17 % mensual

n = 24 meses (dado que las cuotas son mensuales, se pagará en dos años).

Aplicando la fórmula, se tiene:

Es decir, se pagarán 24 cuotas de US$ 281,04 (24 mensualidades de US$ 281,04). Sin embargo, este resultado se puede obtener utilizando la función en Excel: –pago, el cual da como resultado la cuota a pagar.

En el presente ejemplo:

Tasa = 1,17 % mensual

Nper = 24 meses

Va = 5850

Reemplazando en Excel.

Los US$ 281,04 corresponden al valor de la cuota o pago uniforme A, el mismo que contempla amortización de capital e intereses. En la medida que se paguen más cuotas, el interés va disminuyendo y el pago de la deuda se incrementa, lo que lleva a que el saldo de la deuda sea menor en cada cuota.

Con los datos anteriores podemos expresar el cronograma de pagos respectivo. La presentación de cronogramas de pago se estudiará con minuciosidad en el capítulo 7.

Pasos para realizar el cronograma:

• Definir el número de cuotas.

• Calcular el valor de la cuota.

• Indicar la deuda inicial del periodo y calcular el interés por cada cuota.

El interés se calcula multiplicando la tasa de interés por el saldo inicial de dicho periodo.

Para esta primera cuota el interés es de US$ 68,53.

• Calcular el importe de la amortización de la deuda.

La amortización de la deuda se calcula por diferencia, sabiendo que el valor de la cuota es igual a:

valor de cuota = amortización de deuda + interés.

• Calcular el saldo de la deuda por periodo.

El saldo de la deuda es la diferencia de lo que se debía al inicio del periodo menos la amortización pagada en dicho periodo.

Para el presente ejemplo: luego de pagar la primera cuota, se debe:

US$ 5850 – US$ 212,5 = US$ 5637,5.

• El procedimiento se repite sabiendo que la deuda inicial del siguiente periodo es el saldo final del periodo previo.

Para el presente ejemplo, la deuda inicial del periodo 2 es US$ 5637,5.

El Excel permite copiar las fórmulas hasta el último periodo de pago. No olvidar que en algunos casos se deben fijar (inmovilizar) las celdas, para que el valor quede fijo en la fórmula; esto se hace con la función F4, que muestra la celda con el símbolo del dólar.

Con una simple operación de copiar/pegar, podemos tener el cronograma de pagos. Para asegurar que nuestro cronograma se realice correctamente, el saldo final de la última cuota debe ser 0.

Asimismo, el total de lo amortizado en los n periodos debe ser el valor de la deuda total.

2.2.2 Actualización de un capital de una serie uniforme (P/A)

Permite obtener el valor actual P de un pago uniforme (al periodo anterior). Es decir, si se trae a valor presente los flujos del año 1 al año 10, se traslada al momento 0. Sin embargo, si se actualizan los flujos del año 4 al año 10, se traen al año 3. Esto sucede para la actualización de un pago uniforme y la actualización del gradiente.

La fórmula a utilizar es la siguiente.

Fórmula original	Notación simplificada	Nombre del factor
	= A(P/A, i %, n)	Presente dado un pago uniforme

Ejemplo 2.5

Una persona desea solicitar un préstamo para comprarse un auto nuevo, a pagar en cuotas mensuales de US$ 500 durante 3 años. Sabiendo que el banco cobra una TEA de 12 %, ¿cuál es el importe máximo que el banco le podría prestar para cumplir con la cuota indicada?

Solución

Valor del préstamo = ?

A = US$ 500 mensual

Pero las cuotas son mensuales, se debe considerar una tasa mensual:

Aplicando la fórmula, se tiene:

Es decir, el banco puede prestar hoy la cantidad de US$ 15 187,38, para que la persona pague como máximo durante 3 años cuotas mensuales de US$ 500. Sin embargo, este resultado se puede obtener utilizando la función en Excel: –VA, que actualiza el importe de los pagos uniformes.

Para este ejemplo:

Tasa = 0,95 % mensual

Nper = 36 meses

A = 500

Reemplazando en Excel, se tiene:

La diferencia entre la función –VA de actualización de un valor futuro y la actualización de un pago uniforme es la forma como se ingresan los datos en Excel.

Por ejemplo: traer a valor presente un valor futuro de 1000, considerando una tasa de 10 % anual y un periodo de 4 años.

Por ejemplo: traer a valor presente cuatro pagos uniformes de 1000, considerando una tasa de 10 % anual y un periodo de 4 años.

2.3 FACTORES DE AMORTIZACIÓN Y CAPITALIZACIÓN DE UNA SERIE UNIFORME (A/F y F/A)
2.3.1 Amortización de un capital de una serie uniforme (A/F)

Permite obtener el valor uniforme (A) de un valor futuro (F).

La fórmula a utilizar se muestra en el recuadro.

Fórmula original	Notación simplificada	Nombre del factor
	= F(A/F, i %, n)	Pago uniforme dado un futuro

Ejemplo 2.6

El señor Suárez desea tener dentro de 5 años la cantidad de S/. 30 000 para el pago de los estudios universitarios de su hija. Para tal efecto, desea ahorrar mensualmente una cantidad constante en un banco que le paga por sus ahorros una tasa efectiva mensual de 2 %. El Sr. Suárez desea saber cuál debe ser el importe mensual que debe ahorrar para obtener la cantidad necesaria.

Solución

Valor final necesario: S/. 30 000

Plazo = 5 años

Tasa efectiva mensual = 2 % mensual

Dado que los ahorros son mensuales, n debe ser mensual. Es decir, n = 60 meses.

No se puede convertir la tasa efectiva mensual a anual y considerar n = 5 años, debido a que no es lo mismo pagar 12 cuotas en un año (1 cada mes) que una sola cuota al final del año. Esto debido al “valor del dinero en el tiempo”.

n = 60 meses (dado que las cuotas son mensuales).

Aplicando la fórmula, se tiene:

Es decir, ahorrará durante 60 meses la cantidad mensual de S/. 263,04. Sin embargo, este resultado se puede obtener utilizando la función en Excel: –pago, considerando el valor futuro y no el valor actual como se vio en el punto 2.2.1.

En el presente ejemplo:

Tasa = 2 % mensual

Nper = 60 meses

Vf = 30 000

Reemplazando en Excel

2.3.2 Capitalización de una serie uniforme (F/A)

Permite obtener el valor futuro (F) dado un pago uniforme (A). Es decir, si se lleva a valor futuro los flujos del año 1 al año 10, se llevan al año 10, pero si se capitalizan los flujos del año 2 al año 6, se está capitalizando al año 6, con n = 5 años. Esto sucede para la capitalización de un pago uniforme y la capitalización de un gradiente.

La fórmula a utilizar es la siguiente:

Fórmula original	Notación simplificada	Nombre del factor
	= A(F/A, i %, n)	Futuro dado un pago uniforme

Ejemplo 2.7

Una persona deposita S/. 1000 mensuales durante 8 años, comenzando el próximo año. ¿Cuánto tendrá ahorrado al final de los 8 años, al 14 % anual?

Solución

Valor anual ahorrado: S/. 1000

Plazo = 8 años

Tasa efectiva anual = 14 %

Dado que los ahorros son anuales, n debe ser anual, y la tasa, anual.

Aplicando la fórmula, se tiene:

Es decir, al ahorrar durante 8 años la cantidad de S/. 1000, tendrá S/. 13 232,76 al final del año 8. Sin embargo, este resultado se puede obtener utilizando la función en Excel: – vf.

En el presente ejemplo:

Tasa = 14 % anual

Nper = 8 años

A = S/. 1000

Reemplazando en Excel.

2.4 FACTORES DE GRADIENTE ARITMÉTICO (P/G, F/G y A/G)

Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. El gradiente puede ser positivo o negativo.

2.4.1 Valor presente de una gradiente (P/G)

Se basa en el traslado a valor actual de un flujo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Por ejemplo, si se trae a valor presente el gradiente cuyos flujos empiezan en el año 1 hasta el año 10, los flujos se están actualizando al momento 0 con n = 10 años. Sin embargo, si se actualizan los flujos del gradiente que empiezan en el año 4 hasta el año 10, se actualizan al año 3, considerando n = 7 años. Esto se aplica para actualizar un pago uniforme y un gradiente.

La fórmula a utilizar es la siguiente:

Fórmula original	Notación simplificada	Nombre del factor
	= G(P/G, i %, n)	Presente dado un gradiente

Ejemplo 2.8

Usted necesita ahorrar en un banco que le ofrece una tasa de 3 % anual, con la finalidad de pagar durante los siguientes tres años el costo de mantenimiento de su vehículo. Se sabe que el primer año el mantenimiento le costará S/. 1000 y que tendrá un incremento anual de S/. 300. ¿Cuánto deberá depositar hoy para cubrir el costo de dicho mantenimiento?

Solución

En el presente ejemplo:

Tasa = 3 % anual

n = 3 años

G = 300

Para graficar el siguiente ejemplo.

Lo que se pide es traer a valor presente el gradiente.

Usando la fórmula, se tiene:

P = S/. 831,86

Sin embargo, falta traer a valor presente la anualidad de 1000, dado que lo único que se ha traído a valor presente es el gradiente.

Valor presente de una anualidad de 1000, para un interés de 3 % durante 3 años. Según la fórmula del capítulo 2.2.2, se tiene: P = 2828,61.

La respuesta es la suma del valor presente del pago uniforme más el valor presente de la gradiente.

De esta forma, valor presente = S/. 3660,48.

2.4.2 Valor futuro dado un gradiente (F/G)

Es llevar a valor futuro un flujo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. La fórmula a utilizar es la siguiente.

Fórmula original	Notación simplificada	Nombre del factor
	= G(F/G, i %, n)	Futuro dado un gradiente

2.4.3 Pago uniforme dado un gradiente (A/G)

Es llevar a un valor uniforme un flujo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. La fórmula a utilizar es la siguiente.

Fórmula original	Notación simplificada	Nombre del factor
	= G(A/G, i %, n)	Pago uniforme dado un gradiente

2.5 DIAGRAMA DE FLUJO DE EFECTIVO

El flujo de efectivo muestra las entradas y salidas de dinero que se dan en un intervalo de tiempo.

Pueden ser:

• Flujo de efectivo positivo: entrada de dinero;

• Flujo de efectivo negativo: salida de dinero;

• Flujo de efectivo neto: entradas menos salidas de dinero.

El diagrama de flujo de efectivo corresponde a la representación gráfica de los flujos de efectivo que ocurren en una escala de tiempo.

Con la finalidad de una mejor visualización del dinero en el tiempo, se recomienda trazar el diagrama de los flujos de efectivo como se mostrará en ejercicios posteriores.

Se debe tener en cuenta que estas fórmulas son a tasa vencida, por lo que cualquier flujo de efectivo a inicios del año n se puede considerar flujo de fin de año (n – 1). En el ejemplo anterior, un flujo de efectivo de inicio del año 2 representa un flujo de efectivo de fines del año 1.