Ingeniería económica

1.3.2 Interés nominal e interés efectivo
Interés nominal

La tasa de interés nominal es una tasa expresada en un solo periodo de tiempo y no considera la capitalización. Se basa en la tasa de interés simple.

En la conversión de la tasa nominal de un periodo a otro, dado que no consideramos capitalización, la conversión se hará mediante una multiplicación simple.

Tasa nominal₂ = tasa nominal₁ × n

Ejemplo 1.6

Si la tasa nominal semestral es 8 %, ¿cuánto será la tasa nominal anual?

Solución

Para pasarlo a anual, debemos calcular n. Si queremos pasar de semestral a anual, entonces sabemos que un año tiene dos semestres, por lo que el número de periodos sería 2. De esta manera, utilizamos la fórmula antes mencionada.

Tasa nominal anual = tasa nominal semestral × 2

Tasa nominal anual = 8 % × 2 = 16 %

Para calcular n se debe tener en cuenta los n periodos que presenta el periodo solicitado. Es decir:

• Si se quiere obtener la tasa anual y tenemos la tasa semestral, n sería 2.

• Si se busca la tasa anual y tenemos la tasa trimestral, n sería 4.

• Si se quiere calcular la tasa trimestral y tenemos la mensual, n sería 3.

• Si se quiere obtener la tasa trimestral y tenemos la tasa anual, n sería

• Si se busca la tasa diaria y tenemos la tasa anual, n sería

Ejemplo 1.7

Si la tasa nominal anual es 16 %, ¿cuánto será la tasa nominal trimestral?

Solución

Tasa nominal trimestral = tasa nominal anual ×

Esto debido a que un año tiene cuatro trimestres.

Por tanto, la tasa nominal trimestral = 4 %.

Interés efectivo

La tasa de interés efectiva es la tasa aplicable a cierto periodo de tiempo, pero considera la capitalización. Se basa en la tasa de interés compuesta. Debido a que consideramos la capitalización, la conversión se hará mediante la siguiente fórmula:

tasa efectiva₂ = (1 + tasa efectiva₁)ⁿ – 1

Ejemplo 1.8

Si la tasa efectiva semestral es 8 %, ¿cuánto será la tasa efectiva anual?

Solución

En este caso n = 2, y aplicamos la fórmula.

Tasa efectiva₂ = (1 + tasa efectiva₁)ⁿ – 1

Tasa efectiva anual = (1 + tasa efectiva semestral)² – 1

Tasa efectiva anual = (1 + 8 %)² – 1 = 16,64 %

Ejemplo 1.9

Si la tasa efectiva anual es 16 %, ¿cuál será la tasa efectiva trimestral?

Solución

Tasa efectiva trimestral = (1 + 16 %)^1/4 – 1 = 3,78 %

Ejemplo 1.10

Un cliente ahorrista requiere que usted le ayude a calcular la tasa de interés efectiva anual, asumiendo que la tasa de interés que paga el Banco Mi Perú es 1,2 % efectiva mensual.

Solución

1.3.3 Relación entre la tasa nominal y la efectiva

La tasa nominal no se utiliza en las fórmulas de matemática financiera, pero es una forma de expresar la tasa efectiva.

Se sabe que:

Donde ^ es el símbolo de potencia.

1.3.3.1 Método para pasar de una tasa nominal a una efectiva

Para hallar una tasa efectiva a partir de una tasa nominal, debemos dividir la tasa nominal entre el número de periodos de capitalización respectivo.

De esta forma:

El método también se puede desarrollar a través de Excel. En este caso se presenta la función INT.EFECTIVO; si se conoce la tasa nominal y los periodos de capitalización, se devuelve la tasa efectiva:

INT.EFECTIVO(tasa_nominal;num_per_año).

Esta función permite obtener la tasa de interés efectiva en el “mismo periodo” de la tasa de interés nominal. Es decir, si se utiliza la función INT.EFECTIVO y se ingresa como dato la tasa nominal anual, el resultado será la tasa de interés efectiva anual. En este caso los periodos de capitalización serán los considerados en 1 año.

Si se ingresa como dato la tasa nominal semestral, el resultado será la tasa de interés efectiva semestral. En este caso los periodos de capitalización serán los considerados en un semestre.

Ejemplo 1.11

Convertir una tasa de 12 % nominal anual capitalizable mensualmente a una tasa efectiva.

Solución

Si se utiliza la función INT.EFECTIVO, dará como resultado el interés efectivo anual si se ingresa la tasa de interés nominal anual.

Ejemplo 1.12

Convertir una tasa de 8 % nominal semestral, capitalizable trimestralmente a tasa efectiva.

Solución

i % = 8,00 % nominal semestral, capitalizable trimestralmente

1 semestre tiene: 2 trimestres

i % efectiva trimestral = 4,00 % =

Si se utiliza la función INT.EFECTIVO, dará como resultado el interés efectivo semestral si se ingresa la tasa de interés nominal semestral.

Ejemplo 1.13

Convertir una tasa de 8 % nominal semestral, capitalizable quin cenalmente a tasa efectiva.

Solución

i % = 8,00 % nominal semestral, capitalizable quincenalmente

1 semestre tiene: 12 quincenas =

i % efectiva quincenal = 0,67 %

Si se utiliza la función INT.EFECTIVO, dará como resultado el interés efectivo semestral si se ingresa la tasa de interés nominal semestral y el periodo de capitalización quincenal.

1.3.3.2 ¿Cómo pasar de una tasa efectiva a una nominal?

El Excel facilita el cálculo de la tasa nominal considerando la tasa efectiva y el número de periodos de capitalización. Lo permite mediante la función:

=TASA.NOMINAL (tasa_efect; num_per_año).

Esta función permite obtener la tasa de interés nominal en el “mismo periodo” de la tasa de interés efectiva. Es decir, si se utiliza la función TASA.NOMINAL y se ingresa como dato la tasa efectiva anual, el resultado será la tasa de interés nominal anual. En este caso, los periodos de capitalización serán los considerados en 1 año.

Si se ingresa como dato la tasa efectiva semestral, el resultado será la tasa de interés nominal semestral. En este caso, los periodos de capitalización serán los considerados en un semestre.

Ejemplo 1.14

Calcular la tasa nominal anual capitalizable mensualmente para una tasa efectiva anual de 18 %.

Solución

Según lo anterior, los periodos de capitalización en un año son 12, dado que 1 año tiene 12 meses

Ejemplo 1.15

Calcular la tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente para una tasa efectiva anual de 18 %.

Solución

Dado que los datos deben tener la misma periodicidad del resultado, la tasa efectiva anual debe convertirse a efectiva semestral para utilizar la función Tasa.nominal.

Tasa efectiva semestral = (1 + 18 %)^(1/2) –1 = 8,63 %

La tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente se calculará:

=Tasa.nominal(8,63%;2) = 8,45%.

Tome en cuenta que el 8,63 % incluye sus respectivos decimales.

1.3.4 Tasas equivalentes y proporcionales
1.3.4.1 Tasas equivalentes

Se dice que dos tasas son equivalentes cuando operan en condiciones diferentes y dan el mismo resultado efectivo. Es decir, se trata de tasas que con diferente periodicidad, producen el mismo interés efectivo anual; normalmente se considera un año, pero puede compararse en otro periodo.

Ejemplo 1.16

Calcular las tasas equivalentes a la TEA de 24 %.

Solución

Una tasa efectiva de 1,81 % mensual es equivalente a una tasa de 5,53 % efectiva trimestral, porque si se anualiza ambas tasas, dan idéntico resultado: 24 %. Lo mismo sucede con las otras tasas calculadas para el ejemplo 1.16. Es decir, una tasa de 0,06 % diaria es equivalente a una tasa de 11,36 % efectiva semestral o a una tasa de 1,81 % efectiva mensual.

1.3.4.2 Tasas proporcionales

Se dice que dos tasas son proporcionales si la tasa nominal subperiódica es igual a la tasa nominal dividida entre el número de periodos.

Ejemplo 1.17

Calcular las tasas proporcionales a la tasa nominal semestral de 12 %.

Solución

Es decir, una tasa nominal de 2 % mensual es proporcional a una tasa nominal trimestral de 6 % y proporcional a una tasa nominal semestral de 12 %.

1.3.5 Tasa real

Tasa de interés que considera el índice inflacionario. Esto significa que toma en cuenta la pérdida de valor del dinero a causa de la inflación.

La relación entre la tasa corriente y real se obtiene de la siguiente fórmula, que se verá con detalle en el capítulo 10.

Ejemplo 1.18

Calcular la tasa real sabiendo que un banco ofrece una tasa corriente de 12 % al año y el índice inflacionario anual se estima en 5 %.

Solución

Reemplazando:

PROBLEMAS RESUELTOS

1. ¿En cuánto tiempo se duplica una cantidad de dinero al 5 % de tasa de interés simple?

Solución

Llamemos a una cantidad de dinero: P.

Tasa de interés: 5 %

Periodos: n

Se utiliza la fórmula F = P + I y la fórmula de interés simple.

I = P × i % × n.

P + I = 2P

P + (P × i % × n) = 2P

P (1 + i % × n) = 2P

(1 + i % × n) = 2

Despejando P:

P = 20 periodos.

2. ¿En cuánto tiempo se duplica una cantidad de dinero al 5 % de tasa de interés compuesto?

Solución

Llamemos a una cantidad de dinero: P.

Tasa de interés: 5 %

Periodos: n

Utilizando la fórmula F = P + I y la fórmula de interés compuesto.

I = P × [(1 + i)ⁿ– 1]

P + P × [(1 + i)ⁿ– 1] = 2P

P × (1 + i)ⁿ= 2P

(1 + i)ⁿ= 2

1,05ⁿ= 2

Despejamos utilizando logaritmo de 2 en base 1,05. Nos da:

n = 14,2 periodos.

También se puede utilizar la función log en Excel.

Para el presente ejemplo: log(2;1,05) = 14,2 periodos

3. Asumiendo que la tasa de interés efectiva anual es 13 % capitalizable cada año, ¿cuál es la cantidad mínima de dinero que tendría que invertir por un periodo de tres años para ganar S/. 750 de interés?

Solución

Llamemos a una cantidad de dinero: P.

Tasa de interés efectiva: 13 % anual

I = S/. 750

n: 3 años

Utilizando la fórmula de I.

I = P × [ (1 + i)ⁿ– 1 ]

I = P × [(1 + 13 %)³– 1] = S/. 750

Despejando P = S/. 1693,4.

Se requiere invertir S/. 1693,4 para obtener S/. 750 de interés luego de un año.

4. Usted quiere obtener S/. 51 000 de utilidad, con una rentabilidad de 2,5 % efectiva mensual. Si se considera que los años tienen 360 días, ¿cuánto tiempo deberá invertir?

a) 2 años

b) 9 trimestres

c) 148 días

Solución

Llamemos P a una cantidad de dinero.

Tasa de interés efectiva: 2,5 % mensual

I = S/. 51 000

Utilizando la siguiente fórmula de I = P × [ (1 + i)ⁿ – 1 ].

a) Periodo: 2 años

Como la tasa es mensual, n debe representar los 2 años, es decir,

n = 24 meses.

Utilizando la fórmula de I.

I = P × [(1 + i)ⁿ- 1]

I = P × [(1 + 2,5 %)²⁴ – 1] = S/. 51 000

P = S/. 63 062,15

b) Periodo: 9 trimestres

Como la tasa es mensual, n debe representar los 9 trimestres. Esto significa que: n = 27 meses.

Utilizando la fórmula de I.

I = P × [(1 + i)ⁿ– 1]

I = P × [(1 + 2,5 %)²⁷ – 1] = S/. 51 000

P = S/. 53 808,82

c) Periodo: 148 días

Como la tasa es mensual, n debe representar los 148 días, es decir, debe responder a la pregunta: ¿cuántos meses hay en 148 días?

Utilizando la fórmula de I.

I = P × [(1 + i)ⁿ– 1]

I = P × [(1 + 2,5 %)^(148/30) – 1] = S/. 51 000

P = S/. 393 678,75

5. ¿Cuál es la tasa nominal trimestral capitalizable mensualmente si la tasa efectiva bimestral es 2 %?

Solución

Se pasa la tasa efectiva bimestral a tasa efectiva trimestral.

Tasa de interés efectiva trimestral = (1 + 2 %)^(3/2) – 1 = 3,01 %

Para hallar la tasa nominal trimestral se utilizará la función tasa.nominal.

=TASA.NOMINAL(3,01%;3) = 2,99%

Son tres periodos de capitalización, dado que en un trimestre hay tres meses.

6. Hallar la tasa efectiva anual sabiendo que la tasa nominal es 7 % semestral capitalizable quincenalmente.

Solución

Utilizando la función Int.efectivo e ingresando como dato la tasa nominal semestral, se hallará la tasa efectiva semestral.

=INT.EFECTIVO(7%;12) = 7,23%

Se calcula la TEA:

TEA = (1 + 7,23 %)² – 1 = 14,98 %

En este capítulo se tratan los siguientes temas:

• Factores de pago único (F/P y P/F)

• Factores de recuperación y actualización de una serie uniforme (A/P y P/A)

• Factores de amortización y capitalización de una serie uniforme (A/F y F/A)

• Factores de gradiente aritmético (P/G, F/G y A/G)

• Diagrama de flujo de efectivo

• Funciones de Excel utillizadas en matemática financiera

En el capítulo 1 se definió la tasa de interés, la misma que es necesaria para entender cómo esta, sumada al tiempo, afecta al dinero. Este capítulo explica el factor de pago único, base de los diversos factores de cálculo, que muestra que un valor hoy es diferente a un valor futuro luego de n periodos, debido al interés generado.

Detrás de este factor único se tienen diversos factores de cálculo, considerados factores claves de la ingeniería económica, ya que incluyen una serie de flujos constantes denominada serie uniforme.

Este capítulo se basa en la matemática financiera, es decir, en cálculos financieros en diferentes momentos del tiempo, trabajando con tasa capitalizada, que es una tasa de interés compuesta.

La matemática financiera se basa en fórmulas financieras. Con la finalidad de trabajar de manera más rápida estas fórmulas, las funciones de la hoja de cálculo son de suma importancia en el desarrollo de este tipo de casos.

Objetivos del capítulo:

• Entender el valor del dinero en el tiempo.

• Comprender los diversos factores de cálculo de la ingeniería económica.

• Utilizar los factores de pago único.

• Comprender el significado de una serie uniforme.

• Emplear los factores de recuperación y actualización de una serie uniforme.

• Emplear los factores de amortización y capitalización de una serie uniforme.

• Entender el significado de un gradiente aritmético y emplear sus factores.

• Utilizar los diagramas de flujo en problemas que incluyan factores de cálculo.

• Emplear las funciones de Excel como herramientas para resolver problemas que incluyan los factores de cálculo, resolver problemas de cálculo de variables como tasa de interés y número de periodos.

Los factores de cálculo son aquellas fórmulas con función específica que permiten determinar el valor presente, el valor futuro, el pago constante o el gradiente respectivo, con la finalidad de evaluar casos de inversión o financiamiento.

Los factores de equivalencia financiera se presentan a continuación.

1. Factor P y factor F

El factor P se refiere a un valor considerado en el tiempo presente y el factor F a un valor considerado en algún tiempo futuro dentro del diagrama de flujo de efectivo.

2. Factor A

El factor A se refiere a un valor constante que se repite n periodos de tiempo dentro del diagrama de flujo de efectivo.

El factor A cuando n es infinito se trata como perpetuidad, donde P = A/i %.

3. Factor G

El gradiente aritmético corresponde al flujo constante de incremento o disminución de cierta cantidad de dinero.