Czytaj książkę: «Elementos. Libros I-IV.»

INTRODUCCIÓN GENERAL
I. «EUCLIDES », UN NOMBRE PARA LA GEOMETRÍA

A mediados del siglo pasado, Augustus de Morgan se hacía eco de una creencia común cuando aseguraba que no hay un sistema de geometría digno de tal nombre que se aparte sustancialmente del plan trazado en los Elementos. Hoy ya no podemos compartir esta opinión. Pero tenemos tan buenos motivos como los que había entonces para maravillarnos. No suele ocurrir que un solo tratado funde de una vez por todas una disciplina científica; aún es más extraño que además represente por más de veinte siglos el espejo y la norma del rigor en ésa y otras ciencias de la misma familia. Se diría que la historia de las fundaciones, pródiga de suyo en gestas y milagros, sólo conoce como mucho un caso así: la fundación de la geometría y del llamado «método axiomático» con los Elementos de Euclides. Por ello, quizás, los empeñados en buscarle algún término de comparación acuden a la mitología: el tópico más recordado a este propósito es el nacimiento de Atenea, en la plenitud de sus armas y atributos, de la cabeza de Zeus. Pero ni siquiera la retórica de un parto tan singular haría plena justicia al acontecimiento, pues, para colmo, el autor de los Elementos estuvo lejos de ser un dios resplandeciente; Euclides fue —a juzgar por lo poco que sabemos— un oscuro profesor.

Los visos de milagro de los Elementos tienen mucho que ver, desde luego, con la escasez de noticias sobre los precedentes matemáticos del tratado y con la absoluta falta de información sobre las circunstancias que rodearon su composición por parte de Euclides. Sólo sabemos que, en el curso del siglo III a. C., los Elementos vuelven ociosa cualquier obra anterior de análoga factura en geometría; representan el tratado «elemental» por antonomasia. Luego, con el paso del tiempo, las señas de identidad del propio Euclides se van reduciendo a ésta: «ho stoikheiotés = el autor de los Elementos, el “elementador”» (vid., por ej., Elías, Comentarios a las Categorías de Aristóteles 251, 18). Su nombre no tardará en convertirse en el epónimo que hoy nos es familiar: un nombre para la geometría. Eliano, un polígrafo de los siglos II -III , ya afirmaba en un tratado sobre los animales [Perì dsóon idiótetos ] que «las arañas pueden trazar un círculo sin necesitar nada de Euclides», i.e. sin necesidad de conocimientos geométricos. Aún es más explícita la confesión de E. M. Forster a la hora de presentar a Euclides en su célebre guía de Alejandría: «Nada sabemos de él: a decir verdad, hoy lo consideramos como una rama del saber más que como un hombre» (Alejandría. Historia y Guía, 1961³ , Sec. I E, i).

Cabe pensar, entonces, que la fortuna institucional misma del tratado no sólo hizo que se perdiera el rastro de otros Elementos anteriores, sino que veló para siempre el rostro de su autor. La cuestión de si los Elementos de Euclides ocultan su pasado, es un asunto polémico y delicado. Lo que nadie discute es el desvanecimiento de quien los escribió.

1. Oscuro autor, incierto personaje

Sobre la vida —no ya los milagros— del propio Euclides, sólo parece haber dos referencias relativamente dignas de crédito. Una: fue más joven que los discípulos de Platón (muerto en el 347), mayor que Arquímedes (nacido hacia el 287), coetáneo del instaurador de la dinastía tolemaica, Tolemeo Sóter (367/6-283). Y dos: enseñó o formó escuela en Alejandría.

Una indicación sobre el momento que toca vivir a Euclides se encuentra al final del resumen histórico de Proclo (Comentarios al libro I de los Elementos de Euclides 68, 6-23). Según Proclo: «vivió en tiempos del primer Tolemeo, pues Arquímedes, que vino inmediatamente después, menciona a Euclides» (68, 12-14). Este juicio no se justifica por la alusión a los Elementos I, 2, que aparece en Sobre la esfera y el cilindro de Arquímedes, pues seguramente se trata de una interpolación; pero casa perfectamente con la observación de un autor bastante próximo, Ateneo —siglo II a. C.—, quien apunta en el Banquete de los sofistas (VI 250) que Euclides había sido un «comensal [parásitos]» de Tolemeo I; cuadra también con las distancias que el tratado guarda a veces, en la demostración de resultados anteriormente conocidos, respecto de ciertas pruebas reseñadas por Aristóteles y respecto de algunas contribuciones debidas a los matemáticos anteriores más o menos relacionados con la Academia de Platón (Teeteto, Eudoxo, Menecmo) ¹ Precisamente, en el pasaje antes citado, Proclo introduce a Euclides con estos términos:

No mucho más joven (que Hermótimo de Colofón y Filipo de Medma, discípulos de Platón) es Euclides, quien compiló los elementos poniendo en orden varios teoremas de Eudoxo, perfeccionando muchos resultados de Teeteto y dando así mismo pruebas incontestables de aquello que sus predecesores sólo habían probado con escaso rigor (Com. 68, 6-12).

Esta apreciación viene corroborada por otras fuentes. A Teeteto se le reconocían ciertos progresos en el estudio sistemático de las magnitudes inconmensurables iniciado por Teodoro (Platón, Teeteto 147c-148b); pues bien, en un comentario sobre el libro X de los Elementos atribuido a Pappo, Euclides es alabado por dar criterios seguros para la conmensurabilidad y la inconmensurabilidad en general, precisar algunas nociones y distinciones en este sentido, establecer varias clases de magnitudes irracionales y mostrar con claridad su campo de aplicación. Eudoxo había sido celebrado por su contribución a una teoría general de la proporción; pues bien, el escolio 3.° al libro V de los Elementos, que sienta las bases de esa teoría, declara:

Algunos dicen que este libro es descubrimiento de Eudoxo, coetáneo de Platón… Pero la disposición del libro en punto a los elementos y al orden de consecuencia de los teoremas es reconocida por todos como obra de Euclides (Stamatis, ed. cit., V (1977), pág. 213).

Por otra parte, sabemos que Euclides toma en sus Fenómenos ciertas proposiciones de Sobre la esfera en movimiento de Autólico —sin mencionar la fuente—; Autólico fue maestro de Arcesilao, nacido hacia 315; aunque no disponemos de más datos, es probable que Autólico, a su vez, se moviera entre la 2.^a mitad del siglo IV y el 1.^er tercio del siglo III . En fin, las fechas del reinado de Tolemeo (304-285/3) son las mejor documentadas; tal vez sea un privilegio del que funda una dinastía frente a quien se limita a fundar un cuerpo de conocimientos.

La segunda referencia, acerca de la enseñanza de Euclides en Alejandría, procede de Pappo (Colección VII 35): cuenta que Apolonio de Perge había frecuentado durante algún tiempo —en torno a 250— a los discípulos de Euclides en Alejandría. La existencia y el peso de esta escuela alejandrina están fuera de dudas. Hay señales del celo de algunos miembros por asegurar una especie de ortodoxia euclídea tanto en el cultivo de la matemática elemental como en la investigación avanzada; ni los talentos mejor dotados y más innovadores de la época (Conón, Arquímedes, Apolonio) dejaron de plegarse a la pronta institucionalización alejandrina de ciertos supuestos y métodos de la prueba matemática consagrados por los Elementos.

En suma: si redondeamos las fechas de que disponemos, podemos estimar que Euclides alcanzó su madurez en torno al año 300 a. C. Es hacia entonces cuando, por convención, se suelen fechar los Elementos ² .

Con el curso del tiempo, Euclides deviene un personaje de historias y leyendas, a veces presa de malentendidos. Las historias de los polígrafos griegos tienden a moralizar en un severo tono neoplatónico. Según Estobeo (Extractos, preceptos, consejos II 31, 114), en cierta ocasión uno de sus oyentes, nada más escuchar la demostración del primer teorema, se había apresurado a preguntar por la ganancia que podía obtener de cosas de ese género; Euclides, volviéndose hacia un sirviente, habría ordenado: «Dale 3 óbolos, pues necesita sacar provecho de lo que aprende». También se decía que, en otra ocasión, Tolemeo Sóter —a quien podemos suponer harto ocupado en asuntos de otro tipo— se había interesado, cortésmente quizá, por una vía de acceso al conocimiento geométrico menos fatigosa, más rápida y llana que la de los Elementos; la respuesta atribuida a Euclides habría sido algo seca y cortante: «No hay camino de reyes en geometría», réplica que el propio Estobeo prefiere poner en boca de Menecmo y ante Alejandro Magno (ibid. II 31, 115). Algunos matemáticos de ayer (G. H. Hardy) y de hoy (E. C. Zeeman) todavía consideran a Euclides como un digno y envarado colega de otra universidad. Esta impresión no se compadece con la que sugiere Pappo cuando alaba su talante comprensivo y afable [eumenés ] (Col. VII 35). Pero un viejo profesor de matemáticas, al que pintan celoso de su rigor y su pureza, puede tener achaques de impaciencia como los referidos en esas dos anécdotas más edificantes que ciertas. Bien: sea así, si así os parece.

Los polígrafos árabes imaginaron leyendas más audaces: Euclides había sido hijo de Naucrates, nieto de Zenarco —y tal vez de Berenice—; había nacido en Tiro y residido en Damasco, pero sin renegar de su linaje y sus hábitos griegos; por lo demás, en los Elementos no había hecho sino refundir el trabajo anterior de un tal Apolonio, carpintero por más señas (Casiri, Bibliotheca Arabico-Hispana Esculiarensis I 339).

La hora de los malentendidos llegó, en fin, con los comentadores y los editores postmedievales y renacentistas. Algunos dieron al autor de los Elementos la falsa identidad de Euclides de Mégara, un filósofo socrático coetáneo de Platón; la confusión, tal vez nacida de Valerio Máximo (Sobre dichos y hechos memorables VIII 12) en tiempos de Tiberio, se generalizó a través de las ediciones impresas de los Elementos entre 1482 y 1566, hasta ser disipada por Commandino (1572) y por Clavio (1574). Otra especie común en el siglo XVI fue considerar únicamente los enunciados de problemas y teoremas como propios de Euclides, mientras se adjudicaban las pruebas —la expositio o el commentum de estas proposiciones— a Teón, el editor alejandrino de los Elementos en el siglo IV . Este desmembramiento del cuerpo de los Elementos prosperó con ediciones influyentes, como la de Zamberti (bajo el elocuente título: Euclidis megarensis philosophi… elementorum libros XIII cum expositione Theonis insignis mathematici, Venecia, 1505) o la de Lefèvre (Euclidis Megarensis … libri XV, Campani… in eosdem commentariorum libri XV. Theonis … in tredecim priores commentationum libri XIII, París, 1516); al final, dio lugar a la impresión de manuales que sólo recogían los enunciados de las proposiciones euclídeas (e. g., Roma, 1545; París, 1557). Por otro lado, la adaptación escolar y la divulgación de una base geométrica y aritmética que la cultura de la época hacía necesaria, invitaban a una actitud análoga de selección: a entresacar de los Elementos ciertos principios, en particular definiciones, y determinadas proposiciones a cuyo enunciado seguían las pruebas más sumarias e intuitivas disponibles. De hecho, amparándose en el valor cultural o en los servicios instructivos de la geometría (en nuestro país, por ejemplo, podían comprender desde «la educación de nobles» hasta «la fortificación militar»), no pocos tratados de matemática aplicada de los siglos XVII y XVIII seguirán practicando esta suerte de selección o despojo de Euclides con premeditación y alevosía.

Por lo demás, la neblina que envuelve a nuestro personaje sigue dando que hablar en nuestros días. Hay quien ha imaginado que la única salida a la incertidumbre creada por su cronología imprecisa y por la índole un tanto heterogénea de los Elementos, es plantear una especie de «cuestión euclídea». ¿No serán «Euclides» un nombre colectivo y los Elementos obra de una escuela? ³ Imposible no es. Pero tampoco parece una salida razonable: no tiene la menor base documental y nos metería en dificultades mayores que las que pretende salvar.

2. Obras

Euclides escribió por lo menos una decena de obras. Hoy disponemos de dos: los Elementos [Στοιχεĩα] y los Datos [Δεδομένα]. La segunda bien podría ser un texto auxiliar, complementario de la primera; tiene que ver con los libros I-VI y con la práctica del análisis geométrico como vía de resolución de problemas: en el supuesto de que ciertas partes de una figura estén dadas (por lo que se refiere a su magnitud, posición, etc.), muestra la manera de determinar otras partes de la figura en el mismo respecto. Tenemos recensiones de otras dos. Una es Fenómenos [Φαινόμενα], ampliamente comentada por Pappo (Col. VI 104-130); se trata de una obra de astronomía teórica compuesta sobre la base de la geometría esférica —cuyo estudio tenía menos arraigo tradicional que el de la geometría plana de los Elementos —; introduce una noción absoluta de horizonte frente al sentido relativo que antes había tenido horídson en Aristóteles y Autólico. La otra es Óptica [’Oπτικά] (Pappo, Col. VI 80-103; Proclo, Com. 69, 2), un tratado acerca de la perspectiva y la visión directa — por oposición a la geometría de los rayos reflejados, la catóptrica, o de los rayos refractados, la dióptrica—, marginado seguramente por las mayores luces de la Óptica de Tolemeo (aparecida a mediados del siglo II ); conservamos, con todo, una recensión del editor alejandrino Teón y otra versión anterior, editadas por Heiberg-Menge (Euclidis opera omnia, VII, 1895); formula por vez primera el principio de la propagación rectilínea de la luz. Para las demás obras de Euclides contamos con referencias más o menos cumplidas. De Sobre divisiones de figuras [Περì διαιρέσεων βιβλίον] (Proclo, Com. 69, 4) hay una versión árabe; la reconstrucción moderna de R. C. Archibald (1915) se beneficia también de una sección recogida en Practica geometriae de Leonardo de Pisa (1220). Pero no quedan restos de los Porismas [Πορίσματα] (Pappo, Col. VII 14; Proclo, Com. 301, 22-26); ésta ha sido una grave pérdida, pues allí Euclides abordaba al parecer cuestiones de matemática superior de un tipo y un alcance que hoy no estamos en condiciones de precisar ⁴ . Sobre cónicas debió de ser una obra en cuatro libros sobre las secciones cónicas de la que sólo indirectamente da noticia Pappo (Col. VII 30); Apolonio, en el prefacio del libro I de sus Cónicas, se limita a aludir al trabajo de Euclides en este campo sin mayores referencias; es posible que en tiempos de Pappo, entre finales del siglo III y principios del IV , ya se hubiera perdido sustituida por el gran tratado de Apolonio. Los dos libros de Sobre superficies [Tόποι πρòς επιφανείᾳ] (Pappo, Col. VII 3) estudiaban conos, cilindros, esferas y posiblemente otras construcciones sobre superficies de sólidos en revolución, tal vez en la línea desarrollada luego en Sobre conoides y esferoides de Arquímedes. Un tratado de paternidad euclídea harto dudosa discurriría sobre Catóptrica [Kατοπτρικά] (está mencionado en Proclo: Com. 69, 2); naturalmente se ocuparía de espejos; la compilación hoy conservada bajo este título se considera obra de Teón, nuestro activo y casi inevitable mediador con la obra de Euclides. Algo más fiables son los indicios de unos Elementos de música [Aἱ κατά μυσικήν στοιχειώσεις] (Proclo, Com. 69, 3; Marino, prefacio de los Comentarios sobre los Datos de Euclides, recogidos en Heiberg-Menge, VIII 454, 19); pero la llamada Sectio Canonis, que ha solido endosarse al propio Euclides, no es al parecer sino un estudio de intervalos compuesto a partir de extractos de algún original euclídeo; y la otra parte que se suponía integrante de esos Elementos, una Introducción a la armonía [εισαγωγἠ άρμονική], hoy suele reconocerse como contribución de Cleónides, discípulo de Aristóxeno. Por último, Proclo (Com. 69, 27-70, 18) se hace eco de un escrito Sobre paralogismos [Ψευδάρια] que abundaba en casos y ejercicios prácticos dirigidos a formar y depurar el razonamiento del alevín de matemático; Miguel de Éfeso, en sus comentarios a las Refutaciones Sofísticas de Aristóteles, lo titula Pseudo-graphemata; no llegó a ser conocido por los comentadores árabes de Euclides.

Las fuentes árabes atribuyen a Euclides algunos tratados mecánicos (Sobre lo ligero y lo pesado [Περί κούφων καἰ βαρέων], Sobre la palanca [Περἰ Zυγού]). Creo que lo más que cabe aventurar en este sentido es la posible existencia de una mecánica geométrica, inspirada en consideraciones ajenas a la dinámica de Aristóteles y anterior o, al menos, relativamente primitiva en comparación con la estática de Arquímedes. Dicho en otras palabras: Sobre la palanca podría ser quizás una muestra de que, ya antes de Arquímedes, la mecánica aristotélica no era la única posible. Pero las referencias de que disponemos sobre todo esto se limitan a ser compatibles con lo que hubiera podido hacer Euclides de haber hecho efectivamente algo al respecto ⁵ .

3. Los «Elementos»

La fama de Euclides descansa, según es bien sabido, en la rara fortuna de su tratado de elementos matemáticos. «Los Elementos contienen una guía incontestable y perfecta de la exposición científica misma en materia de geometría», sentencia Proclo al final de su breve catálogo de las obras euclídeas (Com. 70, 16-18). Este juicio resume la opinión del mundo cultural helenístico y, con ligeras modulaciones, se ha mantenido prácticamente vigente hasta bien avanzado el siglo XIX . Algunas opiniones modernas son incluso mucho más exageradas: Peyrard, en 1819, aún recuerda a propósito de esta obra: «M. Legendre … me repetía a menudo que la geometría era una lengua muerta después de Euclides» (ed. cit. de J. Itard (1966), prefacio, Pág. 1).

Los Elementos, en la presente versión, son un conjunto de 132 definiciones, 5 postulados, 5 nociones comunes o axiomas y unas 465 proposiciones distribuidas en 13 libros. Entre los comentadores árabes se extendió la creencia de que el tratado incluía además otros dos libros, el XIV y el XV, que venían a complementar el estudio de los sólidos regulares del libro XIII. Pero el supuesto libro XIV es seguramente obra de Hypsicles, un matemático alejandrino, quizás discípulo del propio Euclides. Y el presunto libro XV es un producto mucho más tardío y de inferior calidad aún que el anterior; hay quienes lo atribuyen a Damaskios (siglo VI ), discípulo de Isidoro de Mileto —uno de los arquitectos de la Basílica de Santa Sofía—.

A pesar de su común identificación con la geometría, el tratado comprende diversos campos temáticos de la matemática elemental y emplea métodos variados. Entre esos cuerpos figuran la teoría de la geometría plana (libros I-IV) y la geometría del espacio (XI-XIII), la teoría generalizada de la proporción (V-VI), la teoría aritmética (VII-IX); el libro X es un tanto singular y, en sustancia, ofrece una conceptualización precisa de la inconmensurabilidad y una clasificación prolija de las variedades de rectas irracionales. Dentro de estas teorías, puede haber así mismo algunos núcleos de singular relieve, e.g., la concepción de las paralelas —en el marco de la geometría— o el estudio de los primos relativos —en el marco de la aritmética—. Por lo que concierne a los métodos utilizados, los más relevantes podrían ser el procedimiento elemental de construcción por «reglas y compás», el procedimiento de aplicación de áreas —conocido entre algunos intérpretes modernos por la denominación equívoca de «álgebra geométrica»—, y un proceder demostrativo fundado en el principio de continuidad (libro V, definición 4) y en el lema de bisección (libro X, Prop. 1) —que, a su vez, se ha visto tildado de «método de exhausción», por obra y gracia de la matemática renacentista—. Pero, por encima de todo, lo que tradicionalmente ha llamado más la atención de los comentadores y observadores methodologically minded es la portada «axiomática» de los Elementos —el conjunto de definiciones, postulados y nociones comunes—, con la que se abre el libro I y a la que se supone el pórtico de la gloria de la geometría euclídea.

Más adelante, volveremos sobre todos estos ingredientes teóricos y metódicos del contenido de los Elementos. Ahora no estará de más detenerse a considerar brevemente el lugar y el sentido de la composición de Euclides dentro de la antigua tradición matemática griega de este tipo de tratados.