Века сквозь математику, или Как математики раз за разом мир вертели

10.2

Перспектива

Если первая половина главы про Эпоху Возрождения посвящена чисто математическому открытию (и до сих пор можно сомневаться, имеет ли приложение где-либо "в жизни" умение решать кубические уравнения не численно, а формулой), то вторая половинка главы будет посвящена Теории Перспективы – а это, скажу по секрету, совсем наоборот. Это открытие, конечно, но открытие не математическое! Вся необходимая математика возникла еще во времена Евклида. Но тогда не понимали, как ее применять – и не применяли. Так что же такое эта самая "Теория перспективы", причем тут математика, и, если это не математика, то что?

Давайте сравним картины⁹, которые начали писать после XV века, со средневековыми (в те времена это будут в основном иконы: русские, европейские, византийские – но это не страшно; кстати, если мы берем русскую или византийскую икону, то их можно брать даже позже XVI века, открытие Теории Перспективы, перевернувшее итальянскую, а вместе с ней и всю европейскую, живопись, до Православной церкви еще долго не доходило). Возьмите что-нибудь и сравните. «Рождение Венеры»¹⁰ Боттичелли с «Троицей»¹¹ Андрея Рублева, например. Или «Собор двенадцати апостолов»¹² (икона 14 века анонимного художника) с «Тайной вечерей»¹³ Тинторетто. Или же две картины на один сюжет «Первый Вселенский собор» 16 и 19 века (см.рис.10.5).

Рисунок 10.5: Картины «Первый Вселенский собор»

М.Дамаскина (XVI век) и В.Сурикова (XIX век).

Что бросается в глаза? Картины художников позднего Возрождения (и позже) выглядят реалистичнее, правдоподобнее средневековых икон. Картины Нового Времени выглядят как кусочек жизни. Может быть, до фотореализма им еще далеко, но почти. Я ни в коем случае не хочу сказать, что картины красивее икон. Вовсе нет. Даже орнамент, где о реалистичности не может идти речи, может быть красив сочетанием линий, красок. А реализм, безусловно, может быть уродлив и некрасив. Но вот эта "реалистичность" – очевидна. Или, можно сказать, наоборот, нереалистичность старых икон (картин) бросается в глаза. Человек вдалеке может быть того же размера, что человек вблизи. У дома могут быть видны одновременно три стены, человеческие фигуры неестественны, не похожи на живые. Что же произошло? Откуда к XVI веку в живописи появляется реалистичность?

Во-первых, в XV веке начали задумываться о том, что художнику надо знать анатомию. Так, у Микельанджело или Рафаэля уже анатомически правильно прорисованы мышцы, кости и прочие части человеческого тела. Пропорции соблюдены (голова не больше остального туловища) и так далее. Второе (и безусловно, в изобразительном искусстве тоже важное открытие): художники наконец нашли правильные цвета. Нашли тот оттенок зеленого, который соответствует листве, и именно тот оттенок голубого, который соответствует небу. Это не условно-голубое (а поэтому небо) и не условно-зеленое (а поэтому трава). Это трава, а поэтому оно вот такое зеленое; а это небо – и поэтому оно именно вот такое голубое.

Рисунок 10.6: Прямая линейная перспектива. Мануэль Висенте.

Но нас, конечно же, интересует третья (и самая уважаемая среди искусствоведов) причина этой художественной революции, которую можно сформулировать так: художники научились изображать предметы на холсте так, чтобы их пропорции соответствовали тем пропорциям, которые воспринимались бы глазом, будь это изображение реальным. И дело не только в том, что близкие предметы больше, а далекие меньше (это только первый шаг к правдоподобию, но не его гарантия) – нам важно не качественное, а количественное соотношение этих "больше/меньше". Должен существовать какой-то принцип, который гарантирует правильность этого соотношения. Этот принцип называется «Принцип прямой перспективы».

Приблизительно принцип перспективы гласит следующее. Предметы на плоскости должны быть изображены так, чтобы все параллельные прямые (по которым скользит наш взгляд) сходились в одной (достаточно удаленной) точке на холсте или даже за пределами холста. Если параллельных направлений несколько, то точки схода должны лежать на одной прямой, которая называется "горизонтом" (горизонт – параллелен горизонтальной стороне картины). Ой, проще нарисовать, чем объяснять словами.

Рисунок 10.7: Принцип прямой перспективы.

Подобный рисунок (см.рис.10.7) встречается в книге Альберти «О живописи» (1435 г). Мы понимаем, что на таком "клетчатом листе" стороны квадратов параллельны – поэтому они пересекаются в одной точке. Диагонали квадратов тоже параллельны – и тоже пересекаются в одной точке. Если мы теперь выделим еще какие-либо параллельные линии (например, другие диагонали) – они все пересекутся в одной точке и эта точка будет лежать на линии горизонта.

На старых картинах (до XV века) про этот принцип перспективы и не видно. В начале XV века мы замечаем, что художники уже понимают этот принцип и строят перспективу (пусть и немного на глазок, и линии хоть и идут примерно в одну точку, все же не сходятся четко в одной точке). Уже к началу XVI века все картины построены очень четко в соответствии с этим принципом.

Возьмите картику «Христос и грешница»¹⁴ Тинторетто. На ней – ярко выраженные линии, которые должны быть параллельны. Попробуйте приложить к ним линейку – и действительно, все параллельные линии сходятся в одной точке.

На официальном сайте музея картины «Тайная вечеря»¹⁵ Леонардо да Винчи [38] есть разбор картины, в том числе нарисованы перспективные прямые с точкой схода.

/*Обратите внимание, что принцип прямой перспективы не только делает картину более правильной, но одновременно делает ее намного более выразительной. Обычно если на картине прослеживается одна точка схода явных прямых – это смысловой центр картины. Человеческий взгляд, скользя по прямым, постоянно натыкается на этот центр. Так, на картине "Тайная вечеря", центр не мог быть ни в каком другом месте, кроме как на Иисусе Христе.*/

С точки зрения геометрической оптики принцип прямой перспективы выглядит более чем естественно. И с точки зрения такой области математики, как "Проективная геометрия" – тоже. Но и геометрическую оптику, и проективную геометрию выдумали позже! Проективная геометрия как раз рождается из принципа перспективы примерно в начале XVII века. (Математика появляется из изобразительного искусства, которое в свою очередь, чтобы развиться до таких высот, как развилось, вынуждено было прибегнуть к помощи математики).

Автор "Принципа прямой перспективы" – Леон Батиста Альберти (1404 – 1472 гг.). Леон Батиста Альберти – был типичным "человеком Возрождения" и занимался всем подряд. И верховой ездой, и музыкой, образование он получил в области юриспруденции, но оставил ее ради занятий физикой, математикой. И главное – живописью и архитектурой (прославился он больше всего именно как архитектор, и во Флоренции и по сей день можно восхищаться зданиями, построенными по его проектам). Ну, в общем, этот самый Альберти придумал, что зрение – это как лучи, испускаемые глазом. Соответственно, лучи из глаза расходятся как бы по пирамиде или по конусу (вершина которого в глазе, а основанием может служить лист бумаги, будущая картина). "Принцип прямой перспективы" Леон Батиста Альберти излагает в трактате "О живописи", и хотя он постоянно цитирует Евклида, вообще говоря, математика процесса построения правильного перспективного объекта – не очень ясна.

Еще одно важное имя в "теории перспективы" – Пьеро дела Франческа (1420 – 1492 гг.), в молодости бывший одним из известнейших художников своего времени, но к старости (когда зрение он начал терять) обратившийся к математике (про одного из его учеников – математика Луку Пачоли – мы уже упоминали). Новое у Пьеро дела Франчески – пропорциональное изображение отрезков и ломаных. Возьмем правильный пятиугольник. Если мы его нарисуем как правильный пятиугольник, он получится не лежащим (на полу, например), а висящим в воздухе (параллельно плоскости картины). В своей книге Франческа приводит примеры, как такое рисовать. Мы понимаем, что должно получиться в итоге. Но не понимаем, как этого добиться. На самом деле, четкого ясного ответа не дают ни Альберти, ни дела Франческа. Они считают это особым талантом художника. А вот кто дает правильный ответ, раскрывает тему от начала и до конца – это Альбрехт Дюрер.

Альбрехт Дюрер рано проявил талант художника и в 13 лет его отдали в ученики к известному живописцу Вольгемуту, где он овладевает не только живописью, но и гравюрой, резкой по дереву и т.д. После обучения он отправляется в странствие по Европе (начиная, ясное дело, с германских государств – их тогда было очень много; как в сказках можно было от дворца одного короля за день-два пешком доходить до дворца соседнего королевства). В странствиях он знакомится с трудами Евклида, Пачоли, Альберти – и находит мечту всей своей жизни. Он хочет сделать так, чтобы живопись, изобразительное искусство были основанны на математике. И пишет большой трактат «Четыре книги о пропорциях», как раз о математике в живописи. Трактат был очень сложный, художники его не понимали, Дюрер отредактировал трактат, сделав его ближе к народу (убрав много сложной математики, изложив все проще) – и это стало очень известное его «Руководство к измерению циркулем и линейкой», где он практически закладывает полностью основы такой науки как "начертательная геометрия", и которое читали все (приличные) художники того времени. А кроме того, это стало одной из самых первых книг по математике на немецком языке.

Ремарка в сторону. Художники считают Дюрера художником (увлекающимся какими-то там чиселками), математики – математиком (увлекающимся какими-то там красками и кисточками). Но совершенно непреложный факт в том, что он писал картины, изображая на них кучу математических объектов, некоторые из объектов – выдумывал сам. Например, больше всего математики ценят его картину «Меланхолия» (см. рис.10.8).

В правом верхнем углу картины изображен магический квадрат, построенный Дюрером¹⁶, но есть и много других математических объектов. Попробуйте их самостоятельно поискать.

И вот что еще точно совершенно бесспорно: Дюрер писал книги по математике (содержащие его собственные изобретения), где много размышлял об искусстве, снабжая их иллюстрациями собственного изготовления. Так что, судите сами, кем он был: математиком или художником.

Рисунок 10.8: А.Дюрер. Меланхолия

Итак: Дюрер формулирует принципы перспективного изображения. Руководствуясь этими принципами, позже возникает еще одна забавная штука в искусстве – анаморфоз. Художники рисуют на своих картинах изображения, которые при прямом взгляде на картину выглядят как попало, но если посмотреть под определенным углом – складываются в определенное изображение. Самым известным примером считается картина Ганса Гольбейна «Послы»¹⁷ (надо обратить внимание на непонятное пятно в ногах у послов, и взглянуть на него под углом – на самом деле, это череп).

А сейчас по всему миру есть целые музеи картин (плоских картин, конечно же), которые с определенной точки зрения выглядят (и фотографируются) как кусочек реальности.

Какие книги можно еще почитать.

К главе 10 про Эпоху Возрождения.

[32]

С.Г. Гиндикин, Рассказы о физиках и математиках. – М.: МЦНМО, НМУ, 2001.

/*Совершенно невероятно-замечательная книжка про интересных ученых. Написано очень захватывающе, хотя физико-математические подробности не урезаны. Конкретно, к Эпохе Возрождения относится рассказ про Кардано.*/

[33]

А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер, Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. – М.: Мир, 1986.

/*Симпатичная книжка по истории математики.*/

[34]

В. Прасолов, История математики. —

Книга в процессе написания.

https://vvprasolov.livejournal.com/67259.html

/*Всеобъемлющий труд по истории математики. В процессе написания.*/

[35]

Я. Буркхардт, Культура Возрождения в Италии. – М.: Юристъ,

1996.

/*Не по истории математики, но чтобы понимать культуру (и бескультурие) Эпохи Возрождения. Читать – очень интересно. И развенчано много мифов.*/

[36]

В.Н. Лазарев, Начало раннего Возрождения в итальянском искусстве. – М.: Искусство, 1979.

/*То же. Не по истории математики. Но по истории искусств, что в Эпоху Возрождения очень живо перекликается с историей всех наук.*/

[37]

Р. Манкевич, История математики от счетных палочек до бессчетных вселенных. – М.:Ломоносовъ, 2011.

/*Для этой главы в книге нас интересует кусочек про Альбрехта Дюрера и вообще про перспективу.*/

[38]

Разбор картины «Тайная вечеря» Леонардо да Винчи. —

Тайная

вечеря

/*Тут полный разбор картины на итальянском языке. Но слава Яндекс-транслейт – все понятно. Нас интересует показанная перспектива на картине. Это можно понять без слов.*/

Лекция 11

.

Математический взрыв XVII века

Для того, чтобы погрузиться в историческую атмосферу XVII века, я всегда рекомендую студентам представить себя внутри книги «Три мушкетера»: дуэли, короли, интриги, страсти, войны и честь. Ну, конечно же, это если говорить грубо. И пока мы еще не слова не сказали о математике.

XVII век – очень особенный век для математики. Его называют веком математического взрыва. Математика в это столетие развивалась настолько буйно и настолько взрывообразно, как никогда ранее и никогда позже. Даже в Древней Греции, в которой математику возводили чуть ли не в ранг официальной религии, и во времена которой, безусловно, были заложены все основы математики в общем, такого развития не было. Кроме буйного и невероятного развития, XVII век особенный, потому что именно тогда математика выплескивается за свои собственные рамки, и проникает во всю культуру вообще. В литературу, в изобразительное искусство, в философию… Ну, и причина еще одна, которая перекликается с буйным ростом и развитием: именно в XVII веке закладываются начала разных математических наук, разных отраслей математики: появляется математический анализ, теория вероятностей, аналитическая геометрия, проективная геометрия (без которой позже не могла бы возникнуть геометрия неевклидова), и прочее, и прочее.

И, безусловно, в XVII веке возникает целая плеяда ученых-математиков. Если за целое тысячелетие Средних веков по пальцам можно сосчитать математиков, вписавших свое имя в историю науки, то в одном только XVII веке их насчитывается больше! Мы отдельно поговорим про Декарта, Паскаля, Лейбница и Ньютона в следующих главах. Пристально посмотрим на их жизнь и творчество. Но и кроме них нельзя не упомянуть множество имен.

Рисунок 11.1: Пьер Ферма (1601 – 1665 гг.)

Например, красавец-мужчина, отец пятерых детей, советник парламента в Тулузе, полиглот, свободно владеющий латынью, греческим, итальянским и испанским (до такой степени, что и стихи писал на этих языках) – и блестящий математик, один из самых известных математиков всех времен – Пьер Ферма (рис.11.1).

/*Пьер Ферма чуть ли не единственный великий математик 17го века, проживший жизнь в счастливом браке. Остальные великие той эпохи все почему-то были в личной жизни, к сожалению, очень несчастными людьми.*/

Пьер Ферма занимался самой разнообразной математикой. В его переписке с Паскалем закладываются основы теории вероятностей. Он считается одним из основоположников аналитической геометрии (сразу за Декартом). Много работал он и над математическим анализом. Занимался также и механикой, и проективной геометрией. Среди его работ – множество крайне интересных фактов из теории чисел. Среди прочих: Малая и Большая теоремы его имени. Малая теорема Ферма была доказана самим же Ферма, после передоказана множеством самых разнообразных методов и вообще известна всем (и применима всеми), кто хоть чуть-чуть занимается математикой. А вот с его Великой Теоремой (которой он и остался знаменит даже вне математических кругов¹⁸) сложнее.

Ферма читал труды древнегреческого ученого Диофанта. И на полях записал: "Я нашел преинтереснейший факт. Не бывает чисел¹⁹, таких, что , если n > 2. Но поля здесь настолько малы, что доказательство этого факта у меня тут не влезло". Факт, в общем-то понятный даже 7-класснику. Если n = 2, то бывают такие числа, что a² + b² = c², они называются "пифагоровы тройки" и изучались математиками еще задолго до появления Пифагора на свет. Самая известная из пифагоровых троек 3-4-5 (3²+4²=5²). И таких пифагоровых троек бесконечно много. А вот если степень больше 2 – таких чисел не бывает. Два куба в сумме не дают третий куб, две четвертых степени не могут дать четвертую степень и т.д. Факт понятный-то понятный, но как его доказать? Ферма сам считал, что доказательство ему известно (возможно, только для случая кубов, но это не точно). Однако же, у математических потомков ушло больше 350 лет на доказательство этой теоремы!²⁰ Во многом, в течении следующих трех с половиной веков развитие математики в той или иной степени было обусловлено попытками решить, доказать (или опровергнуть) Великую Теорему Ферма.

Работы Ферма дошли до нас, потомков, благодаря его сыну, который после смерти опубликовал всю его научную переписку, а также – «Комментарии к Диофанту» (на полях трудов Диофанта Ферма записывал разные пришедшие ему в голову (обычно, математические) вещи, не только Великую теорему).

Рисунок 11.2: Христиан Гюйгенс (1629 – 1695 гг.)

Или, вот, например, механик, физик, математик, астроном и изобретатель – Христиан Гюйгенс. Кто-то будет утверждать, что основной его вклад в историю математики в том, что он научил математике такого гения как Лейбниц (и да, это уже само по себе не мало!) Но на самом деле, именно он еще и основоположник теоретической механики, он же внес большой вклад в теорию вероятностей, в геометрию (и это не считая молекулярную физику, астрономию и часовое дело!), он же открыл кольца Сатурна и изобрел маятниковые часы. (Кстати, сам Гюйгенс увлекся математикой, потому что его отец был другом Декарта. /*Вообще, когда начинаешь разбираться кто из математиков у кого учился и с кем общался иногда такая Санта-Барбара начинается!*/)

Если бы эта книга просто рассказывала про историю математики, то мы должны были бы как минимум по нескольку страниц посвятить и блестящему Жерару Дезаргу, и остроумному Эвенджелисте Торричелли, никак нельзя было бы обойти вниманием ни Якоба Бернулли (другие Бернулли тоже выдающиеся, но были позже), ни Абрахама Муавра, ни Мишеля Ролля, а Кеплера и Галилея я чуть позже еще упомяну, и десятки, десятки других математиков XVII века обязательно занимают свое место в истории математики. Однако же, именно упомянутые четверо (Декарт, Паскаль, Ньютон, Лейбниц), вероятно, больше других изменили не только математику, но и окружающий их мир. А ведь именно про это я пытаюсь рассказывать. Не про математику, которая варилась в своем котле, а про математику и математиков, без которых окружающий нас сейчас мир не был бы таким, какой он есть.

Принципиальное отличие века XVII от всего Средневековья состоит в том, что в этом веке не просто решались задачи и доказывались теоремы (хотя уже это само по себе – хорошие, нужные вещи). В XVII веке складывались математические концепции, появлялись новые математические дисциплины, разрабатывались принципиально новые математические методы, сложилось представление о структуре математической науки вообще.

Какие же отрасли математики возникают в XVII веке? Математический анализ, аналитическая геометрия, математическая логика, теория многочленов и теория чисел – если приглядеться, это список математических дисциплин первого курса всех матфаков!^{21 22}. В XVII же веке появляется и развивается теоретическая механика, теория вероятностей, вариационный анализ, и теории еще всякого по мелочи.

Таким образом, такая большая часть книги посвящается XVII веку во-первых, из-за того, что именно тогда происходит много чего в математике. А во-вторых (и, возможно, в-главных), в XVII веке практически любая область культуры (философия, поэзия, изобразительное искусство, театр и т.д.) пропитана математикой. В умных книжках авторы это называют "математикоцентричность культуры".

Ни в какую другую эпоху математика не занимала в культуре такого важного места (даже в Древней Греции!)

А для того, чтобы проиллюстрировать эту мысль, обратимся к философии. Как ни странно, но список величайших философов XVII века, очень сильно совпадает со списком величайших же математиков. Декарт, Паскаль, Лейбниц – безусловно, в этом списке. И вот кого нет в списке математиков – нет блестящего философа и мыслителя Бенедикта Спинозы. Спиноза был отлично образован в области математики, дружил с Гюйгенсом, вращался в математических и околоматематических кругах²³, использовал математические знания для изготовления стекол для оптических приборов (чем и зарабатывал на жизнь), но математиком (и даже физиком) все же никогда не был, математических текстов не писал. Главный труд Спинозы – это его «Этика». А знаете ли вы ее полное называние? «Этика, доказанная в геометрическом порядке»! И что же мы видим, читая «Этику»? Она устроена действительно "в геометрическом порядка", т.е. в точности так, как «Начала» Евклида (кто забыл – см. главу 6)! Каждая глава начинается со списка определений, аксиом и постулатов, потом начинают излагаться теоремы. К каждой теореме обязательно есть доказательство (которые выглядят вполне стандартно "из теоремы 5 следует это и это; из теоремы 12 это, и поэтому получаем вот это") и "схолия" (пояснение, комментарий). Собственно, схолии намного интереснее, и как раз служат, чтобы убедить читателя. Написаны красиво, красочно и нередко апеллируют, к математическим аналогиям. Например, чтобы проиллюстрировать то, что «все идеи в мире содержатся в идее Бога, но не эквивалентны ему» Спиноза сравнивает Бога с кругом и хордами внутри него. Внутри круга есть хорды, но даже все множество хорд – не есть круг. Красиво!