Века сквозь математику, или Как математики раз за разом мир вертели
ТекстКакие книги можно еще почитать.
К главам 11–15 про XVII век.
[39]
А.С. Штерн, Избранные лекции по истории математики. —
опубликованные в ЖЖ А.С.Штерна
(https://dreameranalyst.livejournal.com/) или
(https://imit-omsu.livejournal.com/tag/ИМ%20в%20контексте%20ИК)
/*Не скрою, во многом мои лекции, особенно по 17 веку написаны под большим влиянием лекций моего учителя и наставника, Александра Савельевича Штерна. Его оригинальные тексты можно читать в электронных публикациях. */
[40]
С.Г. Гиндикин, Рассказы о физиках и математиках. – М.: МЦНМО, НМУ, 2001.
/*Совершенно замечательная книжка. Очень хорошо написана, очень живо, увлекательно. Как детектив, а не как научно-популярная литература. Для рассматриваемой эпохи нас интересуют рассказы про Паскаля и Лейбница.*/
[41]
П. Шоню, Цивилизация классической Европы. – Екатеринбург: Уфактория, 2005.
/*Очень хорошая историко-философская вещь. Чтобы понимать историческую обстановку того века.*/
[42]
Б. Спиноза, Этика. – Минск: Харвест, М.: Аст, 2001.
/*Полное название книги "Этика, написанная в геометрическом порядке". Читать (или хотя бы полистать) – очень забавно. Это труд по философии, но тут есть определения, теоремы, доказатальства – все, как мы, математики, любим.*/
[43]
В.Д. Чистяков, Рассказы о математиках. – М.:
Высшая школа,
1966.
/*Эта книжка попроще, чем у Гиндикина, зато математиков там больше. */
[44]
М. Мамардашвили, Картезианские размышления. – М.: Прогресс, Культура, 1993.
/*Отдельная книга про Рене Декарта.*/
[45]
Б. Тарасов, Паскаль. – М.: Молодая гвардия, 1982.
/*Отдельная книга про Блеза Паскаля. */
[46]
В.Н. Арнольд, Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. – М.: Наука, 1989.
/*Совершенно замечательная книжка про изобретение математического анализа. Кто был первым: Ньютон или Лейбниц? В чем заслуги одного, в чем другого и отличился ли еще кто-нибудь? Первая глава посвящена истории вопроса. Читала – и местами смеялась в голос, написано с большой иронией. В продолжении приведены исторические доказательства некоторых теорем. Как их доказывал Ньютон в 17 веке, а не мы сейчас. Тоже очень интересно! – но уже более узкоспециализировано. А первая глава доступна для понимания всеми.*/
[47]
К. Фишер, История новой философии в 10 томах. – М.: АСТ, 2004.
/*Как сформировавшаяся в 17 веке новая философия (которая возникла не без участия наших с вами главных персонажей) повлияла в дальнейшем на весь ход философии.*/
[48]
В.Н. Катасонов, Наука и теология у Лейбница. – «Философские исследования», 1995, N1.
/*Книга про Лейбница.*/
[49]
Г.В. Лейбниц, Письма и эссе о китайской философии и двоичной системе исчисления. – М.: ИФРАН, 2005.
/*А это собранные в одном месте письма и размышления самого Лейбница.*/
[50]
С.И. Вавилов, Исаак Ньютон: 1643–1727. – М.:Наука, 1989.
/*Отдельная книга про Ньютона.*/
[51]
И.С. Дмитриев, Неизвестный Ньютон. Силуэт на фоне эпохи. – СПб: Алетейя, 1999.
/*И еще одна отдельная книга про Ньютона. Не знаю, почему про него больше книг, чем про других. */
[52]
П. Акройд, Исаак Ньютон. Биография. – М.: КоЛибри, АзбукаАттикус, 2011.
/*И да, еще одна книга про Ньютона.*/
[53]
Б. Рассел, История западной философии, в 2 томах. – Новосибирск: Изд-во НГУ, 1994.
/*Бертран Рассел – блестящий математик и философ начала 20 века. В свое время получил Нобелевскую премию по литературе как раз за эти труды по философии! Поэтому написано – блестяще. */
[54]
A.Н. Уайтхед, Избранные вопросы по философии. (особенно статья «Математика и добро», «Наука и современный мир» ) – М.: Прогресс, 1990.
/*Альфред Уайтхед – тоже математик и философ. Во многих трудах они с Расселом были соавторами. Собственно, Бертран Рассел – его ученик. */
[55]
Брахистохрона, или Кривая наименьшего спуска. (видео). – https://youtu.be/ukhLdQx9zFM?si=JNiMJbKVaPOdpPwa
/*Видео про кривую наименьшего спуска, которую в свое время просчитал Ньютон. Попутно становясь изобретателем такого раздела математического анализа, как «вариационное исчисление».*/
/*А вот по этому периоду как раз книг почти бесконечно много. Одной жизни точно не хватит, чтобы прочитать их все. Это вам не Древняя Индия и Древний Китай.*/
Лекция 16
.
Что такое неевклидовы геометрии?
А зайду я издалека. Вначале были «Начала» (см. главу 6). Великая математическая книга, в своем роде "Библия" всех математиков. И в «Началах» Евклид сформулировал пять постулатов.
От всякой точки до всякой точки можно провести отрезок.
Отрезок можно непрерывно продолжать по прямой.
Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
Все прямые углы равны между собой.
Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние ипо одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых
Постулаты – это утверждения, не требующие доказательств, синоним слова аксиомы. (В данном конкретном случае исторически принято применять слово "постулаты" для этих пяти аксиом, на которых строится геометрия). И уже из этих утверждений можно выводить другие (они будут "теоремами" – утверждениями, получившими доказательство). Если возьмем одни аксиомы, получится одна теория (то есть список всевозможных теорем, которые можно вывести из этих аксиом). Если возьмем другие – получится другая. Но тсс! Тогда еще никто не знал, что можно брать другие аксиомы и получать другую теорию. Просто знали, что есть пять вот таких утверждений, которые истинны, и доказывать их не надо. А если взять такие пять утверждений, получается правильная геометрия. Хорошая. Которую можно применять на практике – и все вычисления подтверждаются!
Внимательно посмотрите на эти пять постулатов. Если первые четыре сформулированы очень просто, то пятый явно выбивается из общего ряда. Пятый постулат больше похож на какую-то (даже не очень простую) теорему, а не на постулат! Математики быстро задаются вопросом: а нельзя ли доказать пятый постулат? (и тем самым сделать его теоремой?) То есть, используем первые четыре утверждения – и из них выводим пятое.
Сам Евклид даже достаточно долго в своих «Началах» пытается избежать использования пятого постулата. Первые теоремы он выводит из первых четырех, не трогая этот, особый. Но в конце концов появляется теорема 32: Сумма углов в любом треугольнике равна двум прямым углам (то есть, по-нашему, 180 градусам). Эту теорему доказать без пятого постулата у Евклида не выходит.
Рисунок 16.1: Мауриц Эшер. Рай и ад. (Предел-круг IV)
Сам же Евклид позже доказал, что эта теорема эквивалентна пятому постулату (то есть, если мы берем первые четыре постулата и теорему о сумме углов – то пятый постулат можно доказать, используя эти пять фактов, иначе говоря, пятый постулат можно заменить на эту теорему и все остальные утверждения останутся такими же).
16.1
Эквивалентные формулировки
Итак, мы знаем одно высказывание, эквивалентное пятому постулату.
Греческий философ и математик Прокл (он жил в V веке нашей эры, мы его упоминали в главе про Фалеса) придумал еще одну эквивалентную формулировку вместо пятого постулата (конечно же, он предпринимал попытки его доказать, но у него не вышло). Прямая, не пересекающая данную, сохраняет до нее постоянное расстояние.
Рисунок 16.2: Четырехугольники Альхазена и Омара Хайяма.
Очень серьезно работали над вопросом доказательства пятого постулата арабские математики. У них тоже вышли хорошие эквивалентные формулировки.
Альхазен (X век н.э.): Если у четырехугольника три прямых угла, то и четвертый прямой.
В XI веке очень известный арабский математик (хотя еще более он известен как персидский поэт) Омар Хайям написал трактат "Об истинном смысле параллельных и об известных сомнениях".
Омар Хайям рассматривал (см.рис. 16.2) четырехугольник ABCD такой, что стороны AB и CD у него равны (один отрезок можно наложить на другой и они совпадут), углы в вершинах А и D прямые. Он доказал (опираясь на первые 4 постулата, не используя пятый), что тогда и углы B и С должны быть равны. К чести Хайяма надо сказать, что он не делает ложный вывод о том, что тогда эти углы – прямые.
В конце XVII века итальянец Джироламо Саккери вновь рассматривает четырехугольник Хайяма42. Он доказывает, что если углы B и С прямые – это эквивалентно пятому постулату. Доказывает, что 2 тупых угла создают противоречие (с первыми 4 постулатами).
Немецкий математик Иоганн Ламберт в XVIII веке рассматривает четырехугольник Альхазена43. Заново доказывает, что прямота четвертого угла эквивалентна пятому постулату, а тупизна невозможна.
Оба они (ни Саккери, ни Ламберт) не смогли разобраться со случаем острых углов. Случаи не привели их к противоречию, но никаких выводов эти два математика не сделали.
В том же XVIII веке знаменитый математик Лежандр, пытаясь доказать пятый постулат, получает новую эквивалентную формулировку: Существует треугольник, у которого сумма углов 180 градусов. Понятно, в чем отличие от формулировки Евклида? У Евклида любой треугольник должен иметь сумму 180 градусов, у Лежандра – хотя бы один. Более того, получается, что Лежандр показывает, что если хотя бы у одного треугольника сумма углов 180 градусов – то у всех треугольников она такая же!
В современном мире чаще всего пятый постулат мы используем в формулировке Плейфера (конец XVIII века).
Через точку плоскости, не лежащую на данной прямой можно провести ровно одну прямую, которая не пересекает данную.
Согласитесь, эта формулировка проще и понятнее того, что было в «Началах». Однако же, все равно даже эта упрощенная формулировка не так проста, как первые четыре постулата. Так и хочется ее доказать.
Итак, великие геометры на протяжении двух тысячелетий бились над возможностью доказать пятый постулат. И никому в голову не пришло, что это невозможно. А как можно доказать то, что что-либо доказать невозможно? Вот это и сделал великий русский математик
16.2
Николай Иванович Лобачевский
Самой первой неевклидовой геометрией стала геометрия Лобачевского. Другое ее название – гиперболическая геометрия.
Рисунок 16.3: Николай Иванович Лобачевский, 1792–1856
Николай Иванович и не подозревал, что хочет быть математиком. Поступил в свежеоткрывшийся Казанский университет в надежде стать врачом. Не учиться бы Лобачевскому ни в каком университете – материальное положение семьи не позволяло такой роскоши, отца у Лобачевского не было, мать воспитывала троих сыновей одна – но как раз тогда в Казанском университете открыли программу, по которой можно было оплачивать свое обучение работой на университет (помните, как и у Ньютона!). И Лобачевского, начитанного и умного, взяли работать в библиотеку. В библиотеке университета он продолжал работать почти до тех пор, как стал ректором.
И не бывать бы Лобачевскому математиком, если бы, когда Лобачевский был на втором курсе, не приехал в Казань Иоганн Христианн Мартин Бартельс (в России его звали Мартин Федорович). Бартельс был учителем и другом самого "Короля математики", Гаусса. И был очень харизматичный и очень внимательный учитель. Первая же лекция нового ученого, на которой Бартельс на неплохом русском, но пока еще в смеси с немецким, рассказывал об открытых и свежерешенных проблемах современной математики, так взволновала Лобачевского, что он срочно перевелся из медиков в математики. Значит, судьба!
У Бартельса была интересная манера преподавания: некоторые лекции за него частично читали студенты (которым он предварительно для подготовки к лекциям, конечно, давал или литературу, или собственные записи). Однажды он поручил Лобачевскому (который
был в то время старостой курса) прочитать некую лекцию. И какого же было удивление Бартельса, когда Лобачевский доказал все нужные теоремы абсолютно правильно, но доселе неизвестным способом. Вместо того, чтобы прочитать написанные Бартельсом конспекты, Лобачевский доказывал все теоремы самостоятельно!
Бартельс не раз в своих письмах подчеркивал, что студенты казанского университета были бы на хорошем счету и в Германии, в самых лучших на тот момент университетах в мире.
Забавный факт. В июле 1811 года Лобачевскому (ему тогда было 18 лет) должны были присудить степень бакалавра математики. Но не присудили – в связи с плохим поведением. А в августе того же года ему сразу присудили степень магистра за его научные труды. Лобачевский был блестящим студентом, старостой курса, к лекциям и ко всем предметам относился очень ответственно, что не мешало ему как старосте быть и заводилой всех студенческих проделок. В частности, последней каплей (за что ему и не дали диплом бакалавра) стало то, что он соорудил ракету, запустил ее, тем самым перебудив всех ночных городовых в городе (конечно, ночные городовые ночью должны бдеть, а не спать, но факт остается фактом – все спали!), которые с недосыпа объявили пожарную тревогу, и перебудили всю Казань.
С 19 лет Лобачевский начинает работать в родном университете преподавателем, не оставляя своей должности в библиотеке.
23 февраля 1826 года Лобачевский (ему 34) представляет научному сообществу свою «новую теорию параллельных», эту дату и считают "днем рождения" неевклидовой геометрии. Первые публикации появляются с 1829 года, полная книга под названием «Начала новой геометрии», в которой излагается полностью теория, в 1835 году.
Конечно же, Лобачевский пытался доказать пятый постулат (напомню его формулировку: "Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую параллельную данной"). Но в какой-то момент Лобачевский понимает, что доказать этот факт, может, и нельзя. А как доказать, что какой-то факт доказать нельзя? Надо взять отрицание этого факта и показать, что нет никаких противоречий.
Вот это и делает Лобачевский. Как можно построить отрицание к пятому постулату? Либо предположить, что параллельных вовсе не существует (этот случай Лобачевский рассмотрел, и он противоречит первым четырем постулатам). Либо, вслед за Лобачевским, предположить, что существует не одна, а больше параллельных.
Итак, геометрия Лобачевского также, как и геометрия Евклида, базируется на пяти постулатах. Первые четыре – одинаковые. А вот пятый у Лобачевского другой.
Через точку плоскости, не лежащую на данной прямой можно провести как минимум две прямые, которые не пересекают данную.
Лобачевский делает первое в истории математики утверждение, которое даже и некоторые математики принимают в штыки (а уж обычным людям это утверждение кажется полной ерундой).
Какие есть теоремы в геометрии Лобачевского? Например, такие:
Сумма углов в треугольнике может быть любой больше 0, но меньше π (180 градусов).
Если три угла треугольника равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны (т.е. их можно совместить, "наложив" один на другой; в геометрии Евклида треугольники с равными углами всего лишь подобны).
Пятиугольник может быть прямоугольником (то есть таким многоугольником, у которого все углы прямые, ), а вот четырехугольник – нет.
Когда Лобачевский заявляет о своей геометрии, ее осмеивают, заявляя, что он сумасброд и не надо доказывать, что белое – это черное, а черное – это белое. Никакие теоретические выкладки и "доказательства на кончике пера" не убеждают научную общественность, что в этой геометрии нет каких-то скрытых противоречий.
Хотя, собственно, геометрия Лобачевского вообще ничем не хуже геометрии Евклида. Он берет пять постулатов, и выводит из них какие-нибудь теоремы. Абсолютно то же самое делал Евклид.
Лобачевский всю оставшуюся жизнь мужественно защищает новую геометрию, развивает ее, придумывает новые теоремы. Он доказывает, что евклидова геометрия – предельный случай его геометрии (на малых участках они близки). Если геометрия всей Вселенной – геометрия Лобачевского, то ничего странного в том, что в малых масштабах (в масштабах, которые ученые могли измерить в 19 веке) геометрия Евклида работает.
Рисунок 16.4: Псевдосфера
До конца жизни Лобачевскому не удается убедить всех в своей математике. И буквально через 10 лет после его смерти открывают "псевдосферу" (такую поверхность, в которой действует геометрия Лобачевского).
В начале ХХ века физики пересматривают модель мира. Специальная теория относительности Эйнштейна фактически утверждает, что в нашей Вселенной действуют не законы Евклидовой геометрии, а законы геометрии Лобачевского. Когда строят современные спутники (например, современные спутники GPS), то обязательно уже нужно учитывать поправки на то, что в масштабах Космоса геометрия – не евклидова. Если бы в начале XIX века Лобачевский не изобрел геометрию Лобачевского, к концу XX века у нас бы не было ни GPS, ни много прочих благ, не пользоваться которыми мы уже не в состоянии.
Эта история, история Лобачевского, доказывает всему миру, что не важно, знаем ли мы сейчас применение нашей математики. Если наука правильная, она когда-нибудь сама найдет себе применение. Конечно, Лобачевский не знал ответ на вопрос: "А где применяются ваши теоремы? А что можно сделать с помощью ваших теорем?" Тогда они не применялись нигде. Чистая наука, без примеси прикладной, Пифагору бы понравилось.
Конечно, занимался Лобачевский не только своей геометрией (к 34 годам, когда он ее представил, он был уже именитый ученый, через год его назначили ректором Казанского университета; еще через пару лет ему пожаловали наследственное дворянское звание за его научные заслуги). Много у него работ по математическому анализу, посвященных тригонометрическим рядам, много работ по астрономии и механике (механика – раздел на стыке математики и теоретической физики; математики эту область считают разделом математики, а физики – разделом физики); есть работы и по алгебре, и по теории вероятностей, и по теории чисел. Но основной своей миссией Лобачевский видел развитие науки в России (и во всем мире, конечно). Не просто придумывать теоремы, а вовлекать в этот процесс все новых и новых людей, распространять знания. Именно поэтому он никогда не был ученым-затворником, всегда был учителем, брал учеников, читал лекции.
Можно привести и такой эпизод из его жизни. В одном из магазинов, куда захаживал Лобачевский, был мальчик-приказчик, за которым Лобачевский заметил, что мальчик постоянно что-то считает: оказалось, что парнишка самостоятельно изучает арифметику по книгам, и что вот хозяева магазина в Германии (где он родился) отправили его в Россию, у него нет никого из родных. Лобачевский поговорил с хозяином магазина, и забрал мальчика в гимназию, где тот учился очень хорошо (Лобачевский следил за его успехами). Позже гимназист закончил и Казанский университет и превратился в блестящего знаменитого физика. Это был Иосиф Больцани. И таких историй в жизни Лобачевского было много. Он на самом деле видел себя Учителем – и был им, распространял знания, позволял талантам раскрываться, искать дорогу.
Именно под руководством Лобачевского Казанский университет становится не просто провинциальным русским университетом, "одним из", а встает на одну ступеньку с университетами Москвы и Петербурга. В 1836 году император Николай I посещает университет и присваивает Лобачевскому титул потомственного дворянина.
Однако же, именно настойчивая борьба за свою новую геометрию, стоит Лобачевскому его места ректора. Особенно его новая геометрия не нравится академику и выдающемуся математику Остроградскому, академику, который живет в столице и лоббирует отстранение Лобачевского (этого лже-ученого, по мнению Остроградского) от должности.
Без университета, Лобачевский практически теряет смысл жизни, его здоровье начинает стремительно ухудшаться. Но он до конца жизни не прекращает заниматься новой геометрией, публиковать труды – что, впрочем, только закрепляет в некоторых кругах за ним славу безумного ученого.
/*К сожалению, в этой ситуации математическое сообщество повело себя по отношению к Лобачевскому очень некрасиво. Показало свою закостенелость, и закрытость к новым идеям, чего никак нельзя, на мой взгляд, ожидать от математиков. Возможно, именно благодаря Лобачевскому и этой трагической истории, сейчас математики гораздо сильнее открыты к новым идеям. На самом деле, по моему опыту участия в научных математических конференциях, такой ситуации как с Лобачевским, сейчас практически не может случиться. */
16.3
Модели геометрии Лобачевского
Примерно через 10 лет после смерти Лобачевского, наконец, появляются ученые, которые "легализовали" его геометрию. Которые показали всем скептикам, что она – настоящая.
Первой моделью геометрии Лобачевского стала поверхность псевдосфера. (См. рисунок 16.4.) Итальянский математик Бельтрами открыл то, что на этой поверхности (к тому времени известной) действует геометрия Лобачевского.
Что значит "на поверхности действует геометрия"? Самое главное: надо договориться, что такое "прямые", если перед нами какая-то искривленная поверхность. Прямые – это кратчайшие пути (на рисунке 16.4 они отмечены тонкими линиями). Если мы берем какую-то поверхность в пространстве, и на ней две точки А и В, то "отрезком" (отрезком прямой) мы будем называть такой путь по поверхности от точки А до точки В, который займет минимальное время. Таким образом на самом деле можно построить много различных геометрий (что позже и сделал Риман).
Другой вариант построения "модели геометрии" предложил Феликс Клейн (еще один блестящий математик и геометр, о котором тоже можно много интересного рассказать). Так вот, смысл следующий. Представьте себе, что весь мир – это плоский диск (см. рис.16.5). Но чем дальше мы удаляемся от центра этого диска, тем труднее становится идти (Клейн выписал конкретную формулу, что значит "труднее идти").
Рисунок 16.5: Модель Клейна геометрии Лобачевского.
Грубо говоря, чтобы вам сориентироваться, что происходит. Скажем, вы стартуете из центра ровно по направлению к границе. На первый километр пути вы потратили 1 минуту. За следующую минуту вы сможете пройти всего лишь пол километра (помните, чем дальше от центра, тем труднее идти). За следующую минуту – еще вдвое меньше, четверть. Когда вы достигните границы круга радиусом 2 километра? Никогда. С вашей точки зрения граница-окружность находится бесконечно далеко. Логично, что расстояния придется измерять не километрами (которые в каждой точке значат разное), а временем. Итак, в такой модели прямые (кратчайшие, а точнее, быстрейшие) это по-прежнему отрезки. Но очевидно видно, что к одной прямой через любую точку вне ее может быть бесконечно много параллельных (см.рис.16.5).
Были еще и другие модели – но про них я уже не буду рассказывать, чтобы никого окончательно не запутать. А кому интересно – можно почитать в хорошей математической книжке, посвященной геометрии Лобачевского. Например, [60].
Естественно, когда математики построили эти модели, стало очевидно, что раз на них выполнены постулаты Лобачевского, в этих постулатах нет внутреннего противоречия.
Через 10 лет после смерти Лобачевского, когда после открытии первой модели гиперболической геометрии отпали последние сомнения в ее истинности и все скептики были посрамлены, сразу же обнаружилось, что не только Лобачевский придумал эту геометрию. Ее же придумали примерно в те же годы венгр Янош Бойяи и немец Карл Гаусс. Но где же они были раньше?
На рисунке в самом начале этой главы ("Рай и Ад" Маурица Эшера) показан как раз пример рисунка в геометрии Лобачевского. Все Ангелы на рисунке – одинакового размера (чем дальше от центра тем идти "тяжелее", помните?).
Эта и ещё 2 книги за 34,99 zł