Геометрические построения на плоскости

Построение отрезков и прямых

Задание 1. Построить отрезок равный данному.

Решение. На прямой отмечаем точку А – начало отрезка. Затем раствором циркуля, равным данному отрезку на прямой из точки А откладываем отрезок АВ, равный данному.

Задание 2. Разделить отрезок пополам.

Решение. Пусть дан отрезок АВ:

Из точек А и В проводим дуги радиусом большим половины длины отрезка:

Соединяем точки пересечения дуг. Точка пересечения с отрезком АВ делит данный отрезок пополам:

Подобным образом строится серединный перпендикуляр к отрезку.

Задание 3. Разделить данный отрезок на данное число равных частей.

Решение. Проводим прямую, параллельную данному отрезку АВ.

На прямой откладываем нужное число равных отрезков.

Через крайние точки и точки А и В проводим прямые и получаем точку О.

Через точку О и остальные точки проводим прямые, которые и отсекают на отрезке АВ равные части.

Эту задачу можно решить другим способом.

Через любой конец отрезка AB под произвольным углом к нему (лучше острым) проводим прямую AC. С помощью циркуля от точки A на прямой AC откладываем нужно число равных отрезков. Последнюю точку D соединяем с точкой B, а через остальные точки проводим прямые, параллельные прямой BD, до пересечения их с отрезком AB. Точки пересечения разделят отрезок AB на нужные равные части.

Задание 4. Разделить данный отрезок на части, пропорциональные данным величинам.

Решение. Проводим прямую, параллельную данному отрезку АВ.

На прямой откладываем отрезки, пропорциональные данным величинам.

Через крайние точки и точки А и В проводим прямые и получаем точку О.

Через точку О и остальные точки проводим прямые, которые и отсекают на отрезке АВ пропорциональные части.

Задание 5. Построить перпендикуляр к прямой MN в данной ее точке А.

Решение. Пусть дана прямая MN и точка А лежащая на этой прямой.

Из произвольной точки О, не лежащей на прямой, проводим окружность радиусом ОА. Через вторую точку В пересечения окружности с прямой проводим диаметр ВС. Конец диаметра С соединяем с точкой А.

СА – искомый перпендикуляр.

Задание 6. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной.

Решение. Возможны два случая:

1. Пусть даны прямая а и точка А, не лежащая на прямой а:

Из точки А проводим дугу, так чтобы она пересекала прямую а в двух точках: