Czytaj książkę: «Iniciación al estudio didáctico del Álgebra»

Introducción general

En este libro nos proponemos un estudio sobre la problemática didáctica del álgebra escolar. Sobre parte de esa problemática.

Si consideramos en conjunto el sistema profesores y alumnos, encontramos instalada en estos tiempos una fuerte tensión a propósito de este campo:

 Para los profesores, el álgebra representa la herramienta por excelencia de la matemática; se podría decir que los profesores se forman en una matemática algebrizada.

 Del lado de los alumnos, el álgebra se presenta como una fuente inagotable de pérdida de sentido y de dificultades operatorias muy difíciles de superar.

Los que miran la escuela secundaria “desde afuera” señalan –y reclaman al respecto– que muy pocos alumnos alcanzan a tener algún grado de destreza en el trabajo algebraico.

Los profesores no encuentran el modo de lograr que esas destrezas sean adquiridas por la clase. Las enseñanzas que despliegan y los aprendizajes que proponen quedan muchas veces atrapados en esa búsqueda de destreza, y el sentido de lo que se aprende queda oculto para la mayoría de los alumnos.

Éste es un libro para los profesores comprometidos con un aprendizaje de sus alumnos basado en la construcción de sentido del trabajo matemático. Pretende ser una herramienta de estudio que acompañe una revisita a determinados aspectos de la problemática del álgebra escolar. Y es también una invitación a profundizar en la fundamentación y el análisis de una propuesta de enseñanza para las entradas al álgebra.

Cuando pensamos el álgebra, a propósito del aprendizaje escolar, la concebimos como un conjunto de prácticas asociadas a un espacio de problemas que se constituyen a partir de un conjunto de conceptos con sus propiedades. Prácticas que se inscriben –y se escriben– en un determinado lenguaje simbólico, con leyes de tratamiento específicas que rigen la configuración de un conjunto de técnicas. Todos estos elementos complejos –problemas, objetos, propiedades, lenguaje simbólico, leyes de transformación de las escrituras, técnicas de resolución– producen un “entramado” que configura el trabajo algebraico.

Identificamos ciertos rasgos esenciales en este trabajo que lo ubican en el corazón de la actividad matemática: el tratamiento de lo general, la exploración, formulación y validación de conjeturas sobre propiedades aritméticas, la posibilidad de resolver problemas geométricos via un tratamiento algebraico, la puesta en juego de una coordinación entre diferentes registros de representación semiótica.

Hay quienes afirman que estos aspectos del trabajo algebraico son muy difíciles de instalar en la escuela porque necesitan de una destreza operatoria previa que los alumnos no poseen.

Por el contrario, nosotros sostenemos que es a través de estas prácticas que se va comprendiendo el sentido de la operatoria algebraica y, a medida que éste va siendo atrapado, permite la adquisición de herramientas de control que son imprescindibles para lograr autonomía en el desempeño de los estudiantes. La interrelación entre la actividad modelizadora del álgebra y el aprendizaje y el manejo de las técnicas constituye un punto clave en el dominio del álgebra.

Considerando este libro como introductorio al estudio de esta compleja problemática, acotamos nuestro objeto a las primeras enseñanzas, a los primeros abordajes del álgebra en la escuela (por esa sana tradición de “empezar por el principio”). Incluimos en nuestro recorte una dimensión de análisis históricoepistemológica, por considerarla valiosa para el análisis didáctico. El libro está organizado en dos capítulos.

En el capítulo 1 la Historia de la Matemática será la protagonista. Esperamos que con su lectura se comprenda por qué incluimos esta dimensión más epistemológica en nuestro estudio didáctico.

La intención del capítulo 2 es analizar una vía de entrada al trabajo algebraico que se apoya en las ideas de fórmula, de variable y de generalización. En este capítulo también incluimos una discusión en torno a los malentendidos que suelen producirse cuando los alumnos enfrentan muy tempranamente el objeto “ecuación”.

Este escrito se nutre de una experiencia de trabajo de más de diez años en diferentes ambientes: los inicios fundacionales de una investigación sobre el desarrollo del álgebra escolar, llevado adelante en conjunto con Mabel Panizza y Patricia Sadovsky; el trabajo con el equipo de Matemática de la Secretaría de

Educación del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires en la formulación de programas para la escuela media;1 los estimulantes desafíos que me ha planteado la instancia de formación de futuros profesores de matemática;2 .las v oces de tantos profesores, con los que he trabajado en muchísimos talleres y cursos referidos a estos temas.

Y se nutre también de los resultados de las investigaciones de varios especialistas que, trabajando desde diferentes marcos teóricos, han puesto su foco en el álgebra escolar.

Desde distintos lugares del mundo se acreditan las dificultades con las que se enfrentan los alumnos cuando son acercados a las primeras herramientas algebraicas.

En respuesta a estas dificultades reiteradas, se suele proponer –de una manera más o menos explícita– una simplificación de los objetos y una algoritmización de las prácticas.

Habría otra opción, apoyada en la intención de hacerse cargo de la complejidad: apuntar a la construcción de sentido como respuesta a las dificultades. Es la opción que intentamos presentar en este libro, como una invitación a volver a pensar de qué se trata el aprendizaje del álgebra.

Capítulo 1 Incursiones en la historia del Álgebra

Introducción

Queremos comenzar este capítulo con una reflexión acerca del papel del análisis históricoepistemológico en el estudio didáctico de un determinado campo3 .

Es nuestra hipótesis que el conocimiento de los “caminos” de la historia, con sus marchas y contramarchas, con sus momentos de ruptura, con sus retrocesos y sus baches, representa una vía de acceso a mayores niveles de complejidad acerca de la naturaleza de los objetos que se están estudiando. Podríamos decir que ensancha nuestras concepciones epistemológicas, ayudándonos a desnaturalizar nuestra manera actual de tratar los problemas.

Desde el punto de vista de un profesor, la comprensión de otros modos de trabajo puede servir de inspiración para planear un proyecto de enseñanza que recupere para el aula viejos sentidos de los objetos.

Es necesario sin embargo alertar sobre la utilización ingenua de la historia de la matemática en la enseñanza y trascender la postura según la cual la historia serviría para proveer buenas “motivaciones para el aula”4 . Las condiciones en la historia que hicieron posible el planteo de problemas y de preguntas, son de alguna manera irreproducibles escolarmente si se piensa la construcción de conocimientos (en la historia y en la escuela) como una construcción social5 . Esto nos lleva a ser cautelosos en el aprovechamiento de los “ejemplos” históricos en la enseñanza.

Y al principio fue la geometría...

Cuando pensamos en el trabajo matemático de la escuela media, solemos identificar y diferenciar tres regiones bien asentadas en la tradición escolar: aritmética, álgebra y geometría. Al aproximar nuestra mirada para estudiarlas, se revelan como una red en la cual los tres polos se cruzan y se enriquecen mutuamente.

Para comprender mejor las filiaciones y las rupturas entre el álgebra y las otras regiones, vamos a comenzar por explorar estas relaciones en diferentes momentos de la historia de la matemática. Recorreremos distintos tramos de sus raíces, de sus nublados principios, fundamentalmente en lo que hace a su relación cambiante y fundadora con la geometría, así como el trabajo que ambas permiten desplegar para la resolución de problemas aritméticos.

La tablillas de la Mesopotamia y sus ecuaciones cuadráticas, el trabajo numéricogeométrico de la escuela pitagórica y la geometría sintética de Euclides serán discutidos y puestos en contraste con nuestras prácticas actuales algebraicas. Señalaremos también brevemente las sucesivas marcas dejadas por el trabajo de Diofanto, de Al-Kowarismi, de Viéte y de Descartes.

Vamos a organizar nuestro estudio en torno a 6 “paradas”

(que necesariamente dejarán a fuera otros muchos momentos que deberán ser estudiados si uno quiere atrapar la totalidad de la historia del álgebra). El objetivo de estas paradas, y de esta mirada, es el de reconectarnos con diferentes formas de trabajo que involucran sentidos más o menos perdidos de los objetos y del trabajo algebraicos.

Primera parada: Los procedimientos de resolución en la antigua Babilonia

Los pueblos de la Mesopotamia son los autores de los textos más antiguos de matemática que conocemos en la actualidad. Se trata de tablillas de arcilla talladas con signos cuneiformes que se empleaban como textos de enseñanza y para contabilidad. Algunas de ellas datan del año 3300 antes de Cristo.

En estas tablillas se encuentra una gran variedad de problemas aritméticos referidos a diferentes contextos y enunciados en lenguaje coloquial. A continuación del enunciado se presenta un procedimiento de resolución, también escrito en lenguaje coloquial. No se incluyen explicaciones ni validaciones acerca de los procedimientos que se presentan. Cada problema está resuelto para valores numéricos específicos de los datos, y los resultados también son números particulares. En las tabillas, el mismo tipo de problema es presentado con distintas colecciones de datos, en una organización sistemática que permite comprender el algoritmo para poder aplicarlo a cualquier colección de datos dada. La generalidad es atrapada a través de una variedad de ejemplos.

Vamos a detenernos a estudiar un problema cuadrático de una tablilla del año 1600 a.C. aproximadamente6 . Presentamos primeº-ramente el enunciado textual y su procedimiento de resolución con los valores numéricos con los que se presenta en la tablilla. “He sumado la superficie y mi lado de cuadrado: 45. Pondrás 1, la wasitum. Fraccionarás la mitad de 1 (:30). Multiplicarás 30 y 30 (:15). Agregarás 15 a 45: 1. 1 es (su) raíz cuadrada. Restarás el 30 que has multiplicado de 1 (:30). 30 es el lado del cuadrado.”

Los Babilonios trabajaban con un sistema de numeración posicional en base sesenta; eso hace más dificultosa la lectura de este ejemplo. Su reescritura en sistema decimal sería:

La lectura del enunciado de este problema –con todas las limitaciones que nos impone recortar este solo enunciado de la totalidad de la producción matemática y de otras producciones culturales de esta civilización– nos plantea un interrogante: ¿Cómo se pueden sumar un cuadrado (superficie) y un lado (longitud)? ¿Qué sentido podría tener?

que es exactamente la fórmula que actualmente conocemos para hallar la única solución positiva de una ecuación de segundo grado con el coeficiente c negativo y coeficiente a=1. Podemos asegurar entonces que el procedimiento empleado es correcto7.

Ahora bien, además de nuestra traducción del algoritmo a la fórmula general que conocemos, podemos pensar en una apoyatura geométrica ocultada en la presentación algorítmica. El contexto del problema invita a ello. Esta interpretación del procedimiento de resolución resulta muy atractiva y es asumida en los textos actuales de Historia de la Matemática.

Pensemos entonces en un cuadrado de lado x. Una manera de poder sumarle (numéricamente) un lado es considerando ese lado como uno de los lados de un rectángulo cuyo otro lado mide 1, la unidad, la wasitum. Esto permite considerar una superficie de medida x.1 que se agrega a la del cuadrado. “He sumado el cuadrado y mi lado...” produciría entonces una figura como la siguiente:

cuya superficie total se sabe que es igual a 3/4y donde hay que hallar el valor del lado x. Para ello se comienza partiendo el rectángulo en dos rectángulos de igual área y reacomodándolos. La figura 1 se trasforma en esta otra, de la misma superficie:

Luego se completa la figura 2 hasta obtener un cuadrado, para lo cual hay que agregar un cuadradito de lado 1/2

Debe quedar claro que este lenguaje simbólico no formaba parte del universo matemático de los babilonios. Y que no consideramos esto como una falta. Nuestra intención al presentar este análogo algebraico de la completación geométrica de cuadrados es mostrar claramente las raíces geométricas de una técnica que solemos aprender (y enseñar), justificándola desde la manipulación simbólica de las expresiones (completamos un cuadrado en términos numéricoalgebraicos).

Para un alumno que está aprendiendo, ¿podría la interpretación geométrica dar otro espesor al sentido de esta técnica?

En la tablilla también está resuelto el caso b < 0. Veamos un problema, al que presentamos directamente con las medidas expresadas en nuestro sistema decimal:

El enunciado del problema dice que la figura sombreada tiene como medida (superficie) 870.

Proponemos al lector el ejercicio de seguir el algoritmo de la resolución babilónico en su interpretación geométrica y escribir en lenguaje algebraico este procedimiento en forma general para el caso de ecuaciones con coeficientes b y c negativos.

En los dos ejemplos que presentamos, la solución que se obtiene para el problema es un solo número, aunque se trata de problemas cuadráticos, ¿qué pasa con la otra solución?, ¿cómo se explica que no aparezca?

La multiplicación como operación geométrica

Nos interesa reflexionar sobre la posibilidad de aprovechar didácticamente el siguiente hecho, presente en la interpretación del procedimiento que hemos mostrado: la consideración geométrica del producto de dos números (dos segmentos) como el área del rectángulo que queda determinado por esos lados (su área considerada tanto como magnitud como numéricamente)8.

Esta consideración geométrica de la operación “producto” atraviesa la matemática desde la Antigüedad hasta Descartes (siglo XVII) y lleva a considerar solamente sumas que refieran a objetos de la misma “dimensión”: no puedo sumar (el área de) un cuadrado con (la longitud de) un segmento, pero sí (el área de) un cuadrado con (el área de) un rectángulo. Es lo que se conoce como principio de homogeneidad, que gobernará el trabajo algebraico desde sus orígenes hasta el gran salto que se produce con la geometría cartesiana.

En los ejemplos que acabamos de estudiar, la incorporación de la unidad, la wasitum, permite de algún modo flexibilizar esta imposición. Por ejemplo, una expresión como “el cubo de lado a más dos veces el cuadrado de lado b” se puede tomar en cuenta si uno considera el 2 como 2 veces la wasitum, y entonces “2 veces el cuadrado de lado b” pasa a representar un cuerpo con volumen que puede agregarse al cubo de lado a.

Como veremos más adelante, éste es un tratamiento muy diferente del que se encuentra en el trabajo matemático de Euclides en los Elementos: allí las áreas y longitudes son consideradas magnitudes, y no números, porque no se trabaja con unidades. El principio de homogeneidad de las dimensiones seguirá plenamente vigente, y no se encontrará ningún teorema donde se sumen cuadrados con segmentos. Estos son los asuntos que discutiremos en nuestra tercera “parada”.

El papel de las figuras

Vale la pena detenerse para reflexionar sobre el estatuto de las figuras 1, 2 y 3, que hemos presentado como interpretación del texto del procedimiento9. Son esquemas que permiten considerar en forma conjunta tanto los datos del problema como aquello que se quiere hallar; todos ellos encuentran un lugar en estos dibujos, con un indiscutible parentesco a la escritura de una ecuación. En este esquema no se guarda –ni podría guardarse hasta no tener resuelto el problema– la relación real entre estas magnitudes (datos e incógnitas). De hecho, al dibujar en una misma línea x y 1/2, el valor de x quedaría determinado de entrada. Entonces la resolución numérica se apoya en estas figuras para guiarse en el cálculo, pero no se operan sobre ella transformaciones –a partir de los datos– que permitan obtener en el dibujo los objetos buscados, como es el caso en una construcción geométrica. La figura aquí jugaría un papel similar al que juegan las figuras de análisis10 en las construcciones.

¿Álgebra o no?

Varios historiadores y matemáticos hablan de un álgebra babilónica (álgebra sin símbolos), ya que identifican allí los típicos problemas de ecuaciones con valores numéricos para los datos y números que hay que hallar. Hay, por otro lado, quienes dicen que el álgebra se caracteriza por la presencia de un cierto lenguaje simbólico y, al estar ausente en este trabajo temprano, no le otorgan la categoría de trabajo algebraico.

Decidir si hay o no álgebra cuando aún no hay lenguaje simbólico reduce el problema a una cuestión de nombre de las cosas y revela la arbitrariedad de cualquier posición que se tome.

Examinemos una vez más el tratamiento que hacen los babilónicos: es netamente numérico y las interpretaciones más modernas ven allí una resolución con fuerte apoyatura geométrica. ¿En qué sentido podríamos hablar de álgebra?

Esta pregunta nos remite a una más general: ¿Qué es lo que permite diferenciar un problema aritmético de uno algebraico o uno geométrico? ¿Es el problema mismo que se plantea o es el tratamiento que se hace para su resolución lo que determina su ubicación en el campo del álgebra?

Sería más bien la interacción de un problema con el conjunto de herramientas de quien lo enfrenta –y la disponibilidad que tiene de las mismas– lo que haría factible un tipo de solución más geométrica o más algebraica.

En ese sentido, podríamos decir que los babilónicos resolvían problemas que hoy ubicamos en el dominio del álgebra y lo hacían con métodos geométricos, de “cortar y pegar” y completar. Sin embargo, el tratamiento algebraico que conocemos actualmente para esos problemas tiene reminiscencias muy fuertes de estas técnicas de cortar, pegar y completar. Eso nos da derecho a colocarlos en la historia del álgebra.

El universo griego

“En menos de cuatro siglos, de Thales de Mileto a Euclides de Alejandría, lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales de ciudades y de escuelas, en economía y religión, siempre obstinados en contradecir al otro, hijos de la tierra contra amigos de las formas, o pensadores de lo mutable contra filósofos de la eternidad, construyeron juntos, de forma fulminante e inesperada, un imperio invisible y único, cuya grandeza perdura hasta nuestros días, una constitución sin parangón en la historia, en la que aun trabajamos con los mismos gestos que ellos, y sin abandonarla con el pretexto de la confusión de nuestras lenguas, ni siquiera cuando nuestros odios aumentan. ¿La humanidad formó alguna vez otro acuerdo equivalente? Este insólito logro se llama ‘matemática’.”

Serre (1989).

Hay tres zonas de este universo en las que nos interesa detenernos.

La primera de ellas, el grupo Pitágoras, nos introduce en un trabajo bien diferente del que acabamos de transitar. No se trata de longitudes o áreas que puedan corresponder a magnitudes continuas, sino de un trabajo centrado en los números naturales.

En la segunda zona encontramos a Euclides y su desarrollo sintético de la geometría. Dentro de este gran universo de objetos y relaciones, centraremos nuestra reflexión en dos aspectos: el tratamiento general de leyes para las operaciones con magnitudes continuas (áreas y longitudes) y la posibilidad de reinterpretar variados problemas geométricos –y su resolución– en términos de nuestros actuales desarrollos algebraicos.

Por último, pondremos nuestra atención en Diofanto y en su conceptualización del arithmo, una cantidad no conocida con la que se puede operar.

Segunda parada: La numerosidad de los pitagóricos

Pitágoras (580-500 a. C.), contemporáneo de Buda, de Confucio y de Lao-Tse, lidera la conformación de una comunidad cerrada, religiosa y política que pregona principios éticos como la austeridad, el coraje y la disciplina colectiva, y se opone al poder y a la opulencia. Los pitagóricos buscan una visión global del mundo y la construyen a partir del número: el número como elemento constitutivo de la materia.

Los desarrollos de esta escuela se encuentran en el origen de la conformación de la aritmética clásica: los números son los naturales11, concebidos como colección de unidades. El 1 no es exactamente un número, es la “monade”, la unidad de base de la colección que representa cualquier número. El considerar los números como colecciones de unidades, y sobre la base de una posición filosóficamente materialista, los lleva a acomodar estas colecciones en configuraciones geométricas y a aprovechar las diferentes disposiciones espaciales de las colecciones para estudiar propiedades de los números12. En ese contexto aparecen números triangulares, cuadrados, rectangulares, pentagonales, piramidales y cúbicos (un mismo número puede aparecer perfectamente en la clase de dos o más configuraciones diferentes). Por ejemplo, el 3 y el 6 son números triangulares, el 6 es rectangular y el 9 es un ejemplo de número cuadrado:

Cada colección de números que comparten una misma configuración geométrica puede ser estudiada a partir de un análisis que se realiza teniendo en cuenta la geometría de un ejemplo13. Se obtienen así propiedades que resultan comunes a todos estos números. Este tipo de trabajo permite también encontrar relaciones entre las distintas colecciones de números.

Por ejemplo, números cuadrados serán aquellos cuyas unidades pueden agruparse de manera de obtener una configuración cuadrada. Son los números que ahora denominamos “cuadrados perfectos”, por ser cuadrados de un número natural. La disposición de sus unidades en una grilla cuadrada hace visibles regularidades de estos números, como la relación de recurrencia entre dos consecutivos:

Lo genérico del ejemplo nos permite afirmar que si a un número cuadrado le sumamos el doble del lado más 1, obtenemos el siguiente número cuadrado.

Nuestro actual sistema algebraico de representación permite expresar lo anterior con la fórmula n2+ (2n+1) = (n+1)2 (*), fórmula que tiene una validación inmediata si uno desarrolla el cuadrado de la derecha.

Aprovechemos un poco más el ejemplo anterior. Considerando sucesivamente los números impares hasta el cuarto, se obtiene el cuadrado de lado cuatro:

Del mismo modo, cualquier número cuadrado n puede pensarse como la suma de todos los números impares desde el 1 hasta el nésimo número impar. Esto se puede expresar con la fórmula:

En la actualidad, para validar esta fórmula nos valemos del principio de inducción y de la relación que describimos en (*). Un trabajo similar es realizado con otras configuraciones. El estudio de los números triangulares –que resultan de sumar una cierta cantidad de números consecutivos, partiendo del 1– lleva a tener en cuenta una relación fundamental: podemos acomodar dos números triangulares iguales para configurar un rectángulo con una unidad de diferencia entre sus lados:

El ejemplo revela que si sumamos dos veces el número triangular de “base” 4 obtenemos un rectángulo de 4 x 5, y lo mismo pasaría para números triangulares de cualquier tamaño.

Entonces, se puede afirmar que la suma de los números consecutivos desde el uno hasta cierto número n es igual a la mitad del producto de ese número por el consecutivo de n.

Es nuestra conocida fórmula: 1 + 2 + 3 + 4 +... + n = n (n + 1) / 2. Hay otras maneras más o menos informales de validarla14, y una demostración rigurosa puede darse apelando al principio de inducción.

La pregunta que nos hacemos en el plano didáctico es si la sola destreza algebraica y el dominio de las leyes de transformación nos hubieran permitido producir estas fórmulas, más allá de validarlas. ¿No es posible pensar en un trabajo sobre las configuraciones geométricas como fuente de visualización que permita llegar a la formulación de conjeturas y a la validación de las mismas? Sería otra manera de aportar sentido a algunas fórmulas algebraicas.

Por ejemplo, un trabajo como el anterior podría llevar a estudiar la relación entre números cuadrados y triangulares, o las diferencias de cuadrados. Mostramos a continuación algunas afirmaciones cuya formulación y validación pueden apoyarse en las configuraciones geométricas que resultan del acomodamiento de unidades, a la manera de los pitagóricos:

 “la suma de dos impares consecutivos es siempre una diferencia de cuadrados”15

la configuración geométrica “muestra” de qué cuadrados se trata, la manipulación algebraica valida la conjetura.

 “la suma de dos triangulares consecutivos es igual a un cuadrado”:

¿Cómo puede validarse algebraicamente esta fórmula?

 “la suma de ocho números triangulares iguales, más una unidad, da un número cuadrado”16

Dejamos como ejercicio para el lector la “acomodación geométrica” de esta última afirmación, así como también la escritura de una fórmula que exprese esta propiedad y su comprobación via tratamiento algebraico.

Tercera parada: Euclides y la geometría de las magnitudes

Conocemos a Euclides a través de la monumental obra matemática que constituye su tratado Elementos. Se trata de un compendio del conocimiento matemático de la antigüedad.

Son trece libros apasionantes, organizados deductivamente a partir de cinco postulados –a modo de axiomas– y algunas nociones comunes. Un trabajo admirable de ingeniería lógica donde cada propiedad nueva se valida apoyándose en los axiomas o en una o varias propiedades anteriormente demostradas. Muchos de los conocimientos desarrollados en los Elementos persisten en los saberes escolares del siglo XX, más de dos mil años después.

Cada libro está formado por una secuencia de proposiciones con enunciado y demostración. Los enunciados son de carácter general y están escritos en lenguaje coloquial. En las demostraciones, los datos genéricos de los enunciados, que corresponden a distintos objetos geométricos (puntos, lados, ángulos, figuras, etc.), suelen nombrarse con letras.

Encontramos dos grandes categorías de proposiciones que podríamos diferenciar dándoles los nombres de “teoremas” y “problemas”.

Los teoremas se refieren a propiedades generales de los objetos geométricos y de las magnitudes asociadas a ellos (áreas o longitudes). Se ofrece siempre una demostración rigurosa de aquello que se enuncia.