Los problemas de matemática en la práctica didáctica

Entre los múltiples componentes de esta “afectividad”, hay dos puntos que consideramos, dada nuestra experiencia, de extraordinaria importancia:

• la imagen de sí mismo en el quehacer matemático

• la motivación que tengan los alumnos al hacer Matemática.

Existe una amplísima bibliografía sobre cada uno de estos puntos. Por ejemplo, sugerimos la lectura de: Pellerey y Orio (1996) quienes hacen énfasis en este tipo de investigación (más de tres páginas de bibliografía en el contexto internacional); Cornoldi y Caponi (1997) y Zan (1997).

Indudablemente, el componente de la “motivación” tiene un peso relevante en los procesos de aprendizaje. Se puede advertir tal peso en modo epidérmico, hablando con los profesores, pero se advierte aún más como motivo recurrente en las investigaciones de carácter meta cognitivo.

Tal vez convenga, en primera instancia, distinguir entre motivación y volición:

En esta5 perspectiva, la motivación debe ser vista como el proceso mediante el cual se forman nuestras intenciones; es decir, la elaboración de las razones que nos llevan a hacer algo. Mientras que la voluntad es el proceso base en el cual nuestras intenciones se producen; en otras palabras, el querer conseguir concretamente el objetivo expresado por nuestras intenciones (Pellerey, 1993);

pero, refiriéndose a Heckhausen (1990), el mismo Pellerey (1993) afirma:

La motivación es concebida por Heckhausen según una perspectiva un poco restringida y precisa con respecto al concepto global tradicional. En este sentido, Heckhausen considera, de hecho, los procesos que incorporan la expectativa de resultados deseables o no deseables que se derivan de las acciones emprendidas y la percepción de la capacidad de lograr tales resultados por medio de éstas. El proceso se produce en el contexto de la relación entre persona y situación y constituye el primer paso del actuar, en cuanto elaboración cognitiva marcada por componentes afectivos, que insta más o menos fuertemente a una conclusión operativa (tendencia motivacional). El proceso motivacional, aun siendo el primer paso hacia la acción, no incluye la generación de la intención en sí. Es necesario que se desarrolle al menos un acto de consenso interno para transformar la finalidad de una acción en una intención de actuar explícita. Se trata del momento decisivo propiamente dicho, que no está relacionado tanto con el hacer o no algo, sino con hacer algo en este mismo momento, en este contexto preciso. Es entonces cuando se pasa del deseo a la elección.

Por lo tanto, aceptando la posición de Heckhausen, se pude decir que el paso del deseo a la acción no es tan banal e inmediato6: hablar de motivación en general, entonces, resulta un poco vago; se necesita por lo menos un acto decisivo y este acto parece estar fuertemente influenciado por:

• las decisiones personales previas del estudiante

• la capacidad por parte del profesor de crear el contexto propicio.

Solo que el contexto en el cual se desarrolla la Matemática parece estar a menudo ya confeccionado; las expectativas del estudiante y las decisiones previas (del profesor) en este sentido parecen cristalizadas por un modelo matemático ya pre constituido, ya decidido a priori por alguien más o, lo que es aún peor, por la naturaleza misma de la asignatura.

Nos podríamos limitar a pensar en una situación estándar en la que el profesor

• adopta una estrategia para reforzar la motivación intrínseca, haciéndola lo más extrínseca posible; por ejemplo, la estrategia del incentivo (o, en líneas más generales, técnicas para aumentar la autoconfianza)

y, por lo tanto

• favorezca la creación de una motivación interna [el límite de todo esto es que parece casi inevitable recaer en un modelo preconcebido; ver: Franta (1993)].

• O, y es aquí donde entra en juego nuestra experiencia (la cual describiremos más adelante), se necesitaría:

• por un lado, desplazar la expectativa preconcebida en relación con la Matemática (estándar: la de la escuela); se trata sustancialmente de poner en cuestión las viejas convicciones;

• por otro lado, convencer implícitamente (para evitar la demagogia; es decir, basándose en la tarea asignada y no en recomendaciones ni prédicas estériles) que cualquiera está capacitado para construir Matemática (e incluso que la Matemática son un producto construible de manera personal); se trata entonces de elaborar nuevas convicciones;

• en fin, incluir en la evaluación (que frecuentemente es un paso motivacional fuerte para el estudiante) precisamente el fruto de las tareas asignadas, sin dar a la Matemática escolar tradicional un tratamiento diferente, en el momento de la evaluación, al de la Matemática construida sobre la instancia no estándar (de manera que se dé dignidad tanto a la parte estándar como a la no estándar); sustancialmente se trata de una elección de tipo didáctico con el fin de llevar a cabo los primeros dos puntos.

Se trata de crear un contexto emocional positivo que debe ser estable a nivel cognitivo y relacional (ver la experiencia narrada en D’Amore, Giovannoni, 1997).

En resumen, es obvio que la emoción que no se relaciona con hechos contingentes y raros modifica el sistema mismo de convicciones y valores (sobre este punto, ver Pellerery y Orio, 1996): las reacciones emocionales repetidas llevan a asumir comportamientos; nos parece que un resultado positivo se puede obtener si el estudiante está dispuesto a modificar el modelo mismo de expectativa estándar de la Matemática por un modelo no estándar que el profesor le da como alternativa (repetimos: no de manera episódica, sino de manera estable en cuanto al tiempo y a la motivación).

Lo anterior nos lleva necesariamente a una reflexión sobre los comportamientos frente a la Matemática.

Recuerdo aquí los estudios pioneros de Aiken (1970, 1976), en los cuales se distinguieron los momentos cruciales del nacimiento de un comportamiento negativo en relación con la Matemática en la franja escolar que corresponden a los grados de 6 hasta 8 (es decir más o menos alumnos entre los 11 y los 14 años de edad). Aquí se trata de revertir el fenómeno buscando, en la medida de lo posible, comportamientos positivos. Ahora bien, existe un Inventario de comportamientos con relación a la matemática de Sandman (1980) que incluye seis escalas de medida:

• el placer de hacer Matemática

• el valor dado a la Matemática

• la percepción del profesor de Matemática

• la ansiedad con respecto a la Matemática

• el auto concepto en el quehacer matemático

• la motivación para hacer Matemática.

El hecho que los valores mínimos se alcancen en el paso de la primaria a la escuela sucesiva, e incluso que tales valores se vuelvan negativos propiamente entre los grados 6 y 8, además de ser evidente ante los ojos de cualquier profesor e investigador, es confirmado por algunos estudios, por ejemplo los de Anderman y Maehr (1994); lo anterior se adhiere al rechazo, a la aversión, a la motivación negativa, al negarse a creer que la construcción personal de la Matemática es una posibilidad: una especie de autodefensa de un “monstruo” que no se puede controlar de ninguna manera.

El interés investigativo e incluso el interés solo pedagógico en este sentido se debe centrar, más que en los procesos de la enseñanza, en los procesos del aprendizaje; mejor aún, debe centrarse en la relación enseñanza/aprendizaje partiendo de las siguientes convicciones, tal como se presentan en D’Amore y Frabboni (1996):

• el sujeto de la enseñanza de la Matemática no es la Matemática misma sino el alumno y, por lo tanto, la atención del profesor debe estar concentrada en los alumnos que están aprendiendo Matemática; de tal manera, se vuelve vital reconsiderar cada vez y tener siempre presentes todas las implicaciones incluidas en el triángulo de la Didáctica (Chevallard, 1985);

• el aprendizaje no se mide a través de una “cantidad de competencias adquiridas” vagas e indefinidas, se mide sobre todo a partir del placer, el deseo y la disposición a usarlas;

• la motivación intrínseca para aprender se debe mostrar como un objetivo didáctico, no como una condición de inicio (D’Amore, Sandri, 1994);

• en la enseñanza de la Matemática es necesario respetar al individuo; en este punto se sitúa la intención de no forzar aprendizajes vacíos o meramente formales, sino la necesidad de construir el pensamiento matemático, con la colaboración continua y cercana del alumno mismo, inclusive con la intención de dejar en él recuerdos positivos (no solo de orden cognitivo) de la materia (ver Furinghetti, 1993);

• en el proceso aprendizaje/enseñanza de la Matemática hay que considerar como algo prioritario que se debe tener siempre bajo observación la imagen que tanto el profesor como el alumno tienen de la Matemática, la imagen que tiene el alumno de sí mismo cuando hace Matemática y también la imagen que tiene el profesor de sí mismo en el desempeño de su rol.

Nota bibliográfica

Para la redacción de esta sección, hice uso de (Aiken, 1970, 1976; Anderman, Maehr, 1994; Boero, 1986; Bruner, 1961; Chevallard, 1985; Cornoldi, Caponi, 1997; D’Amore, 1994a, 1995a; D’Amore, Frabboni, 1996; D’Amore, Giovannoni, 1997; D’Amore, Martini, 1997b; D’Amore, Oliva, 1994; D’Amore, Sandri, 1994, 1996; Franta, 1993; Furinghetti, 1993; Hadamard, 1993; Hart, 1985; Heckhausen, 1990; Kruteskii, 1976; Kuhl, 1984; Laborde, 1982, 1995; Maier, 1993; Pellerey, 1992; Pellerey, Orio, 1996; Poincaré, 1906, 1914; Sandman, 1980; Zan, 1995, 1997).

De manera particular, sobre la distinción entre motivación y volición ver (D’Amore, 2003; D’Amore, Fandiño Pinilla, 2012; D’Amore, Godino, Arrigo, Fandiño Pinilla, 2003; Fandiño Pinilla, 2006; Pellerey, 1993).

A propósito de la motivación externa al aprendizaje de la Matemática, la educación de la intuición y la superación de los estereotipos escolares puede ser muy fructífero el estudio de las investigaciones de G. B. Saxe; quien, en efecto, hace mucho tiempo estudia situaciones de aprendizaje de la Matemática fuera del mundo escolar y, de tal manera, ha logrado comparar el aprendizaje escolarizado y el no escolarizado, obteniendo resultados interesantísimos. Sugiero (Saxe, 1977, 1979, 1982, 1985). Sobre todo, en lo relacionado con nuestro tema (Saxe, 1988). Para el lector poco familiarizado con las búsquedas bibliográficas (Saxe, 1991).

Un estudio critico – analítico del triángulo de la Didáctica en (D’Amore, Fandiño Pinilla, 2002.

2.4. El contrato didáctico en el laboratorio

Una sección breve para decir solo que: si al menos parte de la actividad escolar de la Matemática se desarrolla en el laboratorio, el contrato didáctico cambia porque cambian la motivación, el interés, el comportamiento y la volición.

Como lo dije anteriormente (con varios ejemplos de “casos”) la figura del profesor que da o promueve problemas es distinta solo si en cambio del ambiente de clase se trabaja en un ambiente distinto, un especifico ambiente de laboratorio, por varios motivos. Esto depende de varios factores, entre los que el “hacer” tiene un rol privilegiado, más que el “escribir” o el “hablar”. Las situaciones problemáticas que se delinean en el laboratorio se relacionan muchas veces con algo que se debe construir, hacer o manejar en la práctica, concretamente; para cuya realización se deben superar no solo obstáculos conceptuales sino también obstáculos prácticos y concretos. La ayuda del profesor (o del “técnico del laboratorio”, cuando existe) es esencial y significativa. La motivación que nace de esta actividad puede ser diferente y muy productiva: al final hay un producto funcional, un objeto que se puede mostrar; no solo un simple resultado o una simple aceptación social, existe la posibilidad de mostrar con orgullo un objeto, algo que funciona y que tiene un sentido.

Lo anterior me lleva consecuentemente al problema de la operatividad:

• en el laboratorio se puede pensar en un reto o en una simulación de la realidad en términos reales;

• en clase, la simulación del laboratorio no logra ser convincente (tan solo como modalidad ficticia); a lo cual yo llamo extrañamiento del ambiente o identificación artificial.

El origen de muchas de las molestias que produce el simple acercamiento a la Matemática es precisamente no querer distinguir lo real de lo ficticio. El mero acercamiento a la formalización de lo real puede generar un rechazo que, paradójicamente (valdría la pena reflexionar) es más acentuado en los estudiantes más “listos”. Cito aquí el caso de una niña de cuarto grado, J.; J. es muy lista en todas las asignaturas, sobre todo en idiomas y en dibujo; la niña demuestra creatividad, sabe hablar y contar historias, comprende los textos inmediatamente, es espontánea y activa; en Matemática es muy rápida, pero no participa activamente en la resolución de ejercicios ni en la ejecución de operaciones. Apenas se acerca a la descripción de una situación problemática, aún más si la situación es real, J. se cierra y no muestra disposición para escuchar, rechaza el contacto con la formalización y manifiesta incomodidad y poca tolerancia.

¿Qué se puede hacer en este caso? No se trata de una manifestación aislada, aún si en este caso se manifiesta de manera macroscópica; hay que “enmascarar” las situaciones problemáticas de carácter matemáticos, lo que puede pasar con:

• decir que se trata de otra cosa, no de Matemática;

• recurrir al laboratorio, donde el lenguaje puede no ser formal (puede estar relacionado con el dibujo u otra labor concreta).

Nota bibliográfica

Para la redacción de esta sección, utilicé (D’Amore, 1990-91; Fischbein, Vergnaud, 1992).

Las referencias bibliográficas generales para todo el capítulo son aquellas relativas al estudio de la relación comunicativa que pasé por alto para no hacer demasiado pesado el texto. Me limito a algunas referencias significativas: (Caroni, Iori, 1989; Argyle, 1974; Coffman, 1971; AA. VV., 1978).

Para el tema de la enseñanza vs. aprendizaje, una visión unitaria de proceso de interacción, ver (Postic, 1979).

Sobre el tema de las interacciones verbales profesor/alumno existen cientos de técnicas diversas, tal y como lo expone el clásico (Ballanti, 1984).

Entre las técnicas de interacción verbal, me parece aún interesante el modelo de Amidon-Hunter (el cual perfecciona sustancialmente el modelo precedente de Flanders), muy complejo y variado; ver (Amidon, Hunter, 1983).

Actualmente, en este campo, es indispensable poner atención a la llamada “interacción no verbal” (examinada en una fase especial por nosotros, la fase en la que los niños de una clase resuelven problemas dados por un experimentador, en presencia tanto de éste como del profesor); ver (Kaes, Anzieu, 1981; Kaes, 1983; AA. VV., 1974; AA. VV., 1985).

5 El autor de este pasaje (Pellerey, 1993) se refiere a los célebres trabajos de Kuhl (1983, 1984) sobre los procesos que preceden la realización de nuestras intenciones.

6 Ciertamente, hay que examinar si no es banal solo el “paso”, o también los dos “polos”: el deseo y la realización. Pero este punto debo pasarlo por alto, dejando en las manos de los más expertos la tarea de continuar.

3. La intuición

3.1. La capacidad de resolver problemas con un golpe de intuición

Cuántas veces, me cuentan los profesores, sucede que un niño que sabe responder, sobre todo de manera oral, a la pregunta de un problema, incluso cuando debe usar dos algoritmos diferentes, no sabe “explicar” cuál fue el procedimiento que ha seguido para resolverlo. Éste no es un fenómeno aislado o reservado a casos particulares: se trata de algo recurrente que es interesante si se quiere estudiar el mecanismo complejo de la resolución de problemas. A menudo el niño es consciente de esta situación, tanto así que no es raro que diga: «El resultado es este: (...), pero no sé cómo lo encontré».

El hecho es que, si se fuerza al niño a dar una explicación del procedimiento que siguió, en condiciones que lo impulsen de manera placentera a hacerlo, se obtienen resultados sorprendentes a primera vista.

Aquí algunos protocolos significativos por motivos diferentes, recogidos en nuestras experiencias en el NRD de Bolonia.

El siguiente es el texto sobre el cual se trabajó:

Ángela tiene que ir de Bolonia a Rímini (120 km) pasando por Faenza (60 km) en autobús; sale a las 8 y viaja a 60 km por hora ¿A qué hora pasa por Faenza?

En el momento en que Ángela pasa por Faenza, Julián sale de Bolonia para ir a Rímini, haciendo el mismo recorrido de Ángela, pero en carro, a 120 km por hora.

¿Quién llega primero a Rímini, Ángela o Julián?

Simona, de quinto grado, responde «9» a la primera pregunta y «Julián» a la segunda. Ante el pedido de explicar el razonamiento, escribe:

Ángela pasa por Faenza a las 9

120+60=180

180:60=3

Julián (borrado después)

180:120=1 r. 6

Si Ángela viaja a 60 km por hora y los kilómetros de Bolonia a Faenza son 60, le tomará una hora.

Roberto, de cuarto grado, responde «9» a la primera pregunta y «Llegan al tiempo» a la segunda. Cuando se le pide explicar el razonamiento, escribe:

Pasa por Faenza a las 9. Llegan a Rímini al mismo tiempo. En la primera respuesta (borrado después) hice 60:6 y me dio 10 y en la segunda respuesta 120:6 y me dio 20.

Dejando de lados otras consideraciones que se pueden hacer sobre estos documentos, creo que es plausible al menos la siguiente: es necesario rendirse y aceptar que de hecho hay niños que saben resolver a los problemas, incluso aquellos complejos, pero que no saben justificar su respuesta (correcta o no). Ciertamente, gran parte de esto depende de una dificultad en el manejo argumentativo del lenguaje (esto entra, por ejemplo, en el complejo mecanismo de aprendizaje argumentativo en Matemática: Fandiño Pinilla, 2008); pero en muchos casos la “explicación” oral o escrita no es más que un simple intento de llenar un vacío, por contrato didáctico («Es lo que el docente espera de mí»).

Lejos de ser magia, o cualquier otra cosa más allá del mundo deductivo matemático, el fenómeno parece entrar también en la parte más creativa de la práctica matemática, por lo menos ciñéndonos a lo que afirma Jules Henri Poincaré en La ciencia y la hipótesis. En el primer capítulo (Sobre la naturaleza del razonamiento matemático), el autor debate la muy difundida tesis (el autor escribió dicho artículo en 1894 y posteriormente lo recoge en una edición de 1906) en la cual se afirma que la creación de la Matemática se da de manera rigurosamente deductiva; es más, muestra con varios ejemplos que no es así. La importancia de los actos puros de intuición precede a la construcción del conocimiento (particularmente con referencia a la Matemática), por lo que Poincaré logra al mismo tiempo ser anti-kantiano y anti-empirista: las proposiciones matemáticas (se discute en particular de la Geometría) no son ni juicios sintéticos a priori, ni juicios sintéticos a posteriori. No puedo ahondar en esta fascinante cuestión, por lo que reenvío al texto mismo (en cuyo prefacio se trata la célebre polémica con Bertrand Russell).

De tal manera que, en la práctica matemática creativa, constructiva, el acto de intuición es preponderante. Si un jugador de ajedrez, en una situación determinada, tuviera que prever en detalle hasta la quinta jugada posible, tendría que examinar y analizar miles y miles de desarrollos posibles en el juego en curso; es por esto que el jugador se limita a un acto de intuición (guiado por la competencia y por la experiencia) en su propia jugada. De la misma manera, el matemático no analiza su proceso desde el punto de vista deductivo, al contrario, da pasos análogos dictados por su intuición.

¿Por qué no se puede esgrimir la misma posición a propósito de la resolución de problemas? Para confirmar esta posibilidad existen aquellos niños de los que se hablaba anteriormente.

Se podría también pensar en exagerar lo que Glaeser llama: los “eureka”.

Según G. Glaeser (1975), en el acto creativo (dentro del cual se debe incluir la resolución de problemas) hay 5 fases que constituyen un proceso heurístico:

• la preparación (aquí, la motivación juega un papel esencial: el profesor favorece el interés del niño proponiéndole o haciendo emerger una situación problemática interesante);

• la incubación (los primeros tentativos de análisis, a veces implícitos, que el niño pone en marcha; por ejemplo, repetir el problema, ponerse en situación y dar una representación al hecho descrito);

• la carpintería7 (es la fase donde suceden las primeras hipótesis tímidas: «Y si (...)» con las cuales el niño entra en contacto con el problema, estudiándolo desde varios ángulos y haciéndolo propio), (incubación y carpintería son dos fases conectadas y no rígidamente divididas);

• la inspiración8 (puede ser el momento final, cuando el niño da la respuesta final, o un caso intermedio, una iluminación significativa en el proceso de resolución; es el momento de actividad máxima, en el cual el niño está más involucrado);

• la prueba y la redacción (actividad explícita, si el profesor ha acostumbrado a los niños a esta fase; o simplemente una revisión mental, rápida, de coherencia entre la solución encontrada y el problema propuesto).

Me gusta poner el acento, en este capítulo dedicado a la intuición, sobre la inspiración o eureka de Glaeser.

Todas las otras fases se pueden adquirir, pero el punto fundamental del proceso de resolución está en el momento en el cual entran en juego varios factores importantes: la motivación, la personalidad, el estilo, la afectividad, la competencia, la asimilación, etc. Por lo tanto, no parece poderse excluir el hecho que se pueda interpretar la postura filosófica de Poincaré, en esta circunstancia, teniendo en cuenta la existencia del fenómeno de la resolución con la incapacidad de rendir cuenta exteriormente de la experiencia interna, con un agigantamiento de esta fase que en algunos niños puede ser tan fuerte y violenta que anule, al menos de manera explícita, otras fases. Vale la pena observar que la fase de preparación es absolutamente necesaria (es el momento de la motivación), la incubación y la carpintería pueden ser del todo interiores (en esta parte juega un papel formidable la experiencia del sujeto), la prueba puede también estar del todo ausente, pero el eureka explota vivamente dominando todo el proceso.

Sea lo que sea, es a la intuición a la cual se puede hacer referencia como punto neurálgico de la resolución de un problema. El hecho que algunos niños hagan referencia a un acto puro de intuición para concentrar un proceso de resolución de problemas de otro modo complejo, parece no tener connotaciones negativas. Es probable que con un proceso más o menos lento de maduración individual, antes o después, con la guía consciente del profesor, el niño descrito en esta sección termine sabiendo hacer explícitos los “pasos lógicos” que lo llevaron a formular la solución. Sin embargo, es necesario decir que la “lógica” de estos pasos es una lógica adulta y que me parece pertinente anotar explícitamente que el profesor no debe perseguir con sus tiempos, con su lógica, con sus modos de actuar, las respuestas esperadas; las respuestas pueden ser personalizadas (en todos los sentidos) para cada niño.

De un niño que no sabe hacer explícito el “razonamiento lógico” que lo ha llevado a la solución (como a veces dice el profesor), no se puede simplemente decir: «No sabe razonar, no tiene lógica», como muchas veces se oye decir. Como hemos visto, la cosa es mucho más compleja y consta de diversos puntos, entre los cuales juega un papel excepcional la capacidad de exteriorizar los propios eureka (aún mejor la pareja: carpintería-eureka, para decirlo a la manera de Glaeser), la capacidad de auto distanciamiento, de dar representaciones externas de los procesos internos y a las situaciones descritas.

3.2. Entonces, ¿qué es la intuición?

Una pregunta de este tipo puede causar burlas: cada uno de nosotros sabe, de manera (…) intuitiva, lo que es la (…) intuición. Pero, cuando se intenta formular una definición, resulta siempre algo decididamente poco (…) intuitivo.

Burlas aparte, el concepto de intuición es uno de los más complejos de toda la Psicología, así que está lejos de cualquier ser humano razonable la idea, la presunción de responder a esta pregunta.

Por lo tanto, me limitaré aquí a dar solo una breve e incompleta presentación de situaciones y posiciones, examinando las que parecen ser las más convincentes, las más cercanas al problema en cuestión (el estudio de las estrategias para la resolución de problemas de Matemática), aquellas que desde hace décadas guían mi grupo de investigación en el estudio de los procesos para la resolución de problemas de Matemática.

De tal manera que advierto inmediatamente que no voy a citar posiciones importantísimas en el discurso general sobre la naturaleza de la intuición humana, si no son pertinentes en el caso específico de la resolución de problemas de Matemática.

La intuición parece ser un conocimiento inmediato, aceptado de manera directa (no solo por ser evidente, sino, sobre todo, porque concuerda con la experiencia, interna y externa, que tiene el sujeto sobre determinado tema), un golpe instantáneo, que dé la impresión que (al menos en esta fase) la prueba (la demostración) no es necesaria.

He intentado condensar, con la ayuda de lo que dice Efraím Fischbein (1985a), las posiciones de los gigantes Descartes, Spinoza, Kant y Bergson, aun si tales posiciones no se parecen entre sí. He incluido también los planteamientos de los seguidores del intuicionismo. El resultado es una descripción de la intuición muy ingenua y fácilmente criticable, que en todo caso es un punto de partida.

Es evidente que hasta ahora he confundido intencionalmente dos acepciones del todo diferentes de la intuición:

• una, para la que se requiere un acto creativo al estilo Poincaré y, creo que se puede afirmar, al estilo de Polya (1945);

• la otra, en la cual se tiene un acto que condensa en un todo único la experiencia y la competencia de casos no siempre análogos a aquellos tratados.

Ahora bien, si es cierto que la primera acepción es sin lugar a dudas la más fascinante, también es cierto que la segunda, dada un poco por descontada, es la que se presenta más frecuentemente en las actividades didácticas usuales, excelentemente descrita, por ejemplo, por Efraim Fischbein (1985a). Aunque lo que diré a continuación puede ser aplicado también a la intuición del primer tipo, es el segundo tipo de intuición el que examinaré más cuidadosamente.

Parece importante el hecho que la intuición se ubique en una dimensión temporal limitada, un hecho que ha sido puesto en evidencia escasamente; una intuición elaborada y larga temporalmente debería tal vez llamarse de manera distinta.

Varios nombres diversos han sido dados a este fenómeno a través del tiempo, con frecuencia con acepciones diferentes. De tal manera que encontramos el insight [propuesto por la Psicología de la Gestalt (iniciada ya a partir de premisas de filósofos alemanes y puesta en evidencia a partir de un famoso estudio de Max Wertheimer de 1912, sobre todo con una publicación de 1920)]. Polanyi (1967) a su vez sugiere que un acto de intuición, fundado en una competencia precedente, no puede ser más que conocimiento tácito o implícito (ya que si fuera explícito no llevaría a un acto de irrupción ni a un golpe instantáneo, sería en cambio un “simple acuerdo” entre lo que se conoce explícitamente y lo que se propone).

Una reseña completa de las diversas posturas requeriría el libro completo; además, no tendría la competencia para hacerlo: por este motivo, como ya lo he dicho, me limito a algunas, solo aquellas que de alguna forma son compartidas o aceptadas al menos parcialmente.

Hay (siguiendo a Fischbein, 1985a) dos categorías fundamentales de la intuición:

• la intuición de anticipación;

• la intuición de aceptación.

La primera es típica del problem solving y es la que más se parece a la categoría delineada por Poincaré y la Gestalt. Fischbein (1985a) la define como una «conjetura preliminar, global y plausible que se hace en el proceso de solución de un problema». Me parece que este tipo de intuición puede ser explícita o implícita y que, de hecho, en lo niños se presenta de tal manera. Por lo tanto, algunos eureka de Glaeser pueden ser considerados fruto de la anticipación. Obviamente, nadie ha dicho que la intuición de anticipación proporcione siempre intuiciones correctas. El texto de un problema, su formulación y los mecanismos que entran en juego son tales y tan diversos que pueden suscitar en los niños intuiciones y anticipaciones incluso contrastantes, algunas correctas y otras no. La fuerza de las emociones puede jugar malas pasadas y llevar a los niños a no reconsiderar el fruto de la intuición, comparándolo con el texto del problema: una actitud muy difusa entre los niños es dar respuestas rápidas a los ejercicios propuestos («Se necesita el signo más» o frases similares). Tal actitud podría estar relacionada con la “explosión” emotiva del acto de intuición de anticipación (y, además, naturalmente, al contrato didáctico).

La intuición de aceptación es más cercana filosóficamente al pensamiento de Descartes, Spinoza y Cantor. Siguiendo a Fischbein (1985a), «Las intuiciones de aceptación son conocimientos (representaciones, interpretaciones, relaciones) que son aceptadas como ciertas y autoevidentes por parte del sujeto que aprende». Su base es doble: