Los problemas de matemática en la práctica didáctica

Agradecimientos

Doy las gracias a Martha Fandiño por la presencia constante y las críticas constructivas que fueron necesarias durante la escritura de este trabajo tan complejo, que a menudo excedió mis competencias y me obligó entonces a enfrentarme a una persona de plena confianza, del más alto nivel cultural y crítico. Y para ayudar a escribir este libro en español.

Doy las gracias a la traductora de esta obra, Diana Rocío Pérez Blanco.

Doy las gracias a Gianfranco Arrigo por su asistencia técnica en la creación de las imágenes, las figuras y los esquemas que ha creado con experiencia y amistad.

Nota bibliográfica

Indicaciones bibliográficas ulteriores sobre los laboratorios, además de las ya citadas (D’Amore, 1988a, 1988b, 1990-91; Caldelli, D’Amore, 1986; D’Amore, Marazzani, 2011).

Sugiero al lector interesado en la investigación dos lecturas, si es posible, preliminares (Boero, 1986; Boero, Ferrari, 1988). La rica bibliografía allí contenida será de gran ayuda para quien tenga intenciones de entrar a fondo en este campo de estudio.

Sugiero la lectura de (Pellerey, 1991a, 1991b).

Están también los “clásicos” del problem solving, el primero entre todos George Polya que citaré varias veces en este libro y sobre cuyo trabajo equivocadamente interpretado como didáctico discutiré muy críticamente al final del libro; entre todos los autores posibles, sugiero (Aebli, 1961; Lester, Garofalo, 1982; Schoenfeld, 1987a) porque su visión ha influido y no poco sobre las diversas elecciones descritas en este libro, aunque no siempre serán citados de manera explícita.

Recuerdo también el libro (Cofman, 1990).

Sobre la “didáctica a manera de espiral” tengo en mente el famoso modelo de Bruner (1962).

Hoy, en el 2020, frente a la posibilidad de sacar a la luz una nueva edición muy ampliada y muy enriquecida, tendré el deber de revisar algunas posiciones, de tomar en cuenta nuevas contribuciones que señalaré cada vez que lo considere necesario. Por ejemplo, citaré tesis y estudios publicados entre el ya lejano 1993 y el actual 2020. Pero lo haré de manera oportuna y específica a su debido tiempo.

Permanece el firme deseo de presentar esta obra que recoje los estudios sobre este delicado e interesantísimo problema didáctico, pero que no sea solo teórico (para investigadores en Didáctica de la Matemática), sino una fuente de rica estimulación concreta para los profesores de la escuela primaria, sobre todo, en su quehacer cotidiano.

Vale la pena recordar aquí la formidable aventura del Proyecto MaSE, sobre la cual he escrito tantas veces y que, por su magnitud histórica en el ámbito nacional italiano, obtuvo un lugar también en una famosa Enciclopedia, como lo he dicho anteriormente. Para la lista completa de los ejemplares, se puede consultar la bibliografía final (D’Amore, 1986-1993).

En tiempos mucho más recientes, dados los rápidos y fantásticos progresos de la Didáctica de la Matemática, con Martha Isabel Fandiño Pinilla y Silvia Sbaragli hemos concebido un nuevo megaproyecto dirigido a profesores de la escuela primaria, llevado a cabo por la casa editorial Pitagora de Bolonia, Matemática en la escuela primaria, recorridos para aprender (D’Amore, Fandiño Pinilla, Sbaragli, 2011). En la bibliografía se retoma la lista completa de libros de diversos autores.

1 El Proyecto Ma.S.E. constaba de 12 volúmenes y tuvo un éxito fulgurante en los años 90 en Italia, entre los profesores de la escuela primaria; el éxito fue tal, que el proyecto terminó con una amplia voz en la Enciclopedia Pedagógica (2002) dirigida por Mauro Laeng, Brescia: La Scuola Editrice, páginas 1228-1230.

2 Unos años después decidí de graduarme también en filosofía ya que me di cuenta de necesitar bases filosóficas para mi trabajo de investigador en didáctica de la matemática. La idea era de incluir lo que necesita de pedagogía, filosofía y psicología al interior de la didáctica de la matemática, así que esta, al final sea autónoma y completa. Como hoy es.

3 He publicado mucho desde un punto de vista teórico sobre las actividades de laboratorio de matemática, también a propósito de la teoría de las situaciones de Guy Brousseau, por lo tanto al interior de teorías didácticas fundamentales, desde 1986 (como se sustrae de la lista de publicaciones que aparece en www.dm.unibo.it/rsddm).

1. Problemas, ejercicios y aprendizaje

1.1. Problemas y ejercicios

Consideremos la siguiente conjetura:

Cada número par mayor de 2 es la suma de dos números primos.

Verifiquemos: 14 es 11+3; 26 es 13+13; 80 es 7+73; (...) Por cuantas verificaciones se hagan, con números pares grandes o pequeños, con un poco de paciencia se encuentra una pareja de adendas primos que cumplen dicha condición.

¿Es éste un problema?

Una primera respuesta ingenua de un profesor de primaria fue: «No, no es un problema porque no hay una pregunta». Quien piensa esto o bien deja de leer este libro o lo debe leer con mucha atención. No hay una pregunta explícita, pero se trata de un problema, claro está.

Se trata de:

• demostrar esta afirmación (y entonces la conjetura se vuelve un teorema, es decir una afirmación verdadera en cuanto demostrada); o en cambio

• encontrar un ejemplo que contradiga la afirmación, o sea “exhibir” un número n par mayor de 2 y demostrar que no existen dos números primos cuya suma sea n.

Se resuelve el problema en uno u otro caso4.

Otra conjetura:

Estamos en una clase de 18 alumnos y queremos ir de excursión viajando en un autobús que cuesta 250.000 pesos; sin embargo, 2 de nosotros no pueden pagar. Si los 16 restantes contribuyen con 40.000 pesos cada uno, lo podremos hacer.

También en este caso la pregunta es implícita: ¿Es cierto o no que lo podremos hacer?

Esta vez es fácil transformar la conjetura y darle un valor de verdad: basta con hacer una multiplicación y verificar. ¿Se trata de un problema? No hay pregunta explícita, pero hay una situación que pone de presente una cuestión que hay que resolver. Podríamos llamarla “situación problemática”.

Aún otro ejemplo:

Juanito va al mercado con 600 pesos, compra huevos a 30 pesos cada uno y gasta todo. Regresando, rompe 3. ¿Cuántos huevos lleva a casa?

He ahí todos los ingredientes en el lugar preciso para obtener lo que en la escuela se llama problema: datos numéricos, una situación ficticia aun cuando comprensible e imaginable, una sugerencia semántica sobre las operaciones necesarias. Un verdadero y típico problema escolar. También con datos inútiles.

Sugiero una clasificación banal pero útil y muy difundida, entre

• problemas

• ejercicios.

Tanto los problemas como los ejercicios implican situaciones problemáticas causadas por varios factores: la propuesta del profesor (más o menos motivada), el test, la situación real y efectiva en la cual se encuentran el alumno o la clase, (…) Pero los ejercicios se pueden resolver utilizando reglas ya obtenidas, o en vía de consolidación y que, por lo tanto, entran en las categorías: refuerzo o evaluación inmediata. En cambio, los problemas involucran el uso de más reglas (algunas deben ser explicitadas precisamente en el momento) o una sucesión de operaciones cuya elección es un acto estratégico, a veces creativo, del alumno mismo.

Se entiende bien que las anteriores no son definiciones propiamente dichas: hay casos límite que se pueden interpretar en las dos posiciones. A mi modo de ver, se trata de un comportamiento que juega con los roles relacionales profesor-alumno, más que de una verdadera línea divisoria.

Tanto así que una situación problemática puede dar lugar a un problema o ejercicio según la situación didáctica. Veamos un ejemplo: se entrega un objeto circular plano (por ejemplo, la tapa de una olla) y se pide al alumno evaluar la longitud del contorno (una circunferencia).

En el primer año de primaria éste es un problema; en el grado octavo es (debería ser) un ejercicio.

Entran en juego también una serie de factores anexos:

• la motivación, como veremos más profundamente en el Capítulo 2, por la cual la distinción ejercicio/problema puede depender del comportamiento, de factores emocionales o emotivos, del rol que tiene la ejercitación en clase, del contrato que se ha venido creando, etc.;

• la mayor o menor cercanía de las situaciones problemáticas propuestas con la realidad. Me explico mejor. Usualmente los ejercicios de tipo escolar son del todo ficticios. Aquel Juanito que va al mercado con 600 pesos para comprar los huevos y que luego rompe 3, no existe y ningún niño de la clase se identifica con él: la situación es creíble, pero ficticia, nunca vivida. En cambio, un gasto para la excursión dividido entre 16 puede ser verdaderamente una situación problemática vivida en la realidad, a tener en cuenta para solicitar el análisis matemático. Se trata de decir correctamente los términos de la cuestión verbalmente (oral o escrito), hacerse una imagen mental, hacer que cada niño tenga un modelo matemático de la cuestión y, luego, pasar a la solución concreta: cuánto dinero debe pedir cada uno a sus padres para participar en la excursión.

No es necesario que la situación problemática sea experimentada en primera persona, la cosa es más sutil. En una clase de tercer año de primaria en la periferia de Bolonia, durante el segundo cuadrimestre, a instancia de ciertos discursos, se propuso el asunto de evaluar los gastos asumidos por la dirección didáctica en un año por concepto de energía eléctrica y calefacción. La situación problemática podría haberse considerado ficticia al principio, pero luego, mientras se procedió con el estudio de los recibos, la entrevista a un conserje, la visita a la empresa del gas, etc., la situación se enriqueció con la experiencia directa que la transformó de ficticia a real y concreta.

Decía que la motivación juega un rol no secundario: en un grupo interesado, la construcción de la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, (...), relacionada, en la historia y en las circunstancias, al aumento ideal de la población de las parejas de conejos de cría, sí es ficticia (porque en la realidad ninguno cría conejos en la ciudad y muchos niños nunca han visto un conejo real), pero con tal vínculo emotivo (el contexto se vivió con gran vivacidad) se convirtió en problema: cada uno quería dar su contribución personal que iba más allá de la simple operación aritmética (todo saben que cada número de la sucesión es la suma de los dos precedentes).

Queda aclarar, pero no es trivial, qué es la situación problemática en relación con el problema.

Apropósito de esto, tenemos más de una interpretación; escojo, por ahora, dos:

• la de Boero (1986), según la cual la situación problemática es «el significado del texto» (mientras que el texto es «un sistema de signos» que la codifica);

• la de Borasi (1984), según la cual la situación problemática es «el contexto en el cual el problema propuesto tiene sentido».

Propongo una definición más amplia, en alternativa:

la situación problemática es el sistema de las competencias reales en las cuales se puede imaginar todo aquello descrito en un texto y su significado (semántica), dentro de la experiencia del niño individual (el sistema es específico para el problema dado).

Con esta definición, la situación problemática recuperaría aspectos semánticos, pragmáticos y experienciales.

El lector debe aceptar el hecho que en esta materia no encontrará definiciones precisas, como en Matemática; aquí se delinean tesis y conceptos en la manera más detallada posible, llevando al examen de la propia idea, no demostraciones o pruebas irrefutablemente unívocas, sino solicitudes traídas desde la experiencia personal de estudiosos o investigadores de la Didáctica de la Matemática.

Llegaré a proponer varios modelos relacionados con la resolución de problemas. Pero es muy temprano; para poder describirlos necesito de otros materiales.

Aquí quiero todavía recordar la importancia que cobra, tanto en la resolución de los ejercicios como (y aún más) en la de los problemas, la formalización del lenguaje común en términos matemáticos. Una vez el texto es bien entendido y se hace una imagen mental (personal), puede ser útil (y, de hecho, en la mayoría de los casos lo es) “matematizar” la situación. Muy a menudo, esto implica la traducción del lenguaje común al lenguaje matemático.

Por ejemplo, en el ejercicio de los huevos que compró Juanito, la solución es, formalmente: 600:30–3. En el caso de la conjetura de los números pares, se trata de demostrar que:

(∀x)(x=2n /\ n>1)→[(∃y)(∃z)(x=y+z) /\ (∀h)(∀k) (¬∃m)(m≠l /\ m≠y /\ y=mh) /\ (¬∃p)(p≠l /\ p≠z /\ z=pk)] [x, y, n, z, h, k, m, p ∈ N]

La primera formulación aparece en términos aritméticos muy elementales; la segunda en términos de formalización lógica, un poco más compleja.

Pero entonces ¿Qué es un problema? ¿Existe una definición?

No puedo más que recordar (por ahora) la célebre frase de uno de los más conocidos estudiosos de la resolución de problemas matemáticos, George Polya (1945):

Resolver problemas significa encontrar un camino para salir de una dificultad, un camino para reaccionar ante un obstáculo, para lograr un fin que no sea alcanzable inmediatamente. Resolver problemas es una empresa específica de la inteligencia y la inteligencia es el don específico del género humano: resolver problemas se puede considerar la actividad más característica del género humano.

Propongo también la afirmación de Karl Duncker (1945), quien evidencia exclusivamente el objetivo:

Surge un problema cuando un ser viviente tiene una meta, pero no sabe cómo alcanzarla.

[Una colección de respuestas a la pregunta «¿Qué es un problema?» se encuentra en Ferri (1989)].

Como se ve, no hay definiciones sino precisiones, puntualizaciones, clarificaciones: no hay problema si no hay una situación problemática que cree una pregunta, cuya la respuesta sea, por alguna razón, causa de dificultad.

Nota bibliográfica

Para la redacción de esta sección, además de los textos ya citados, hice uso también de (Antiseri, 1985; Borasi, 1984, 1986a; Duncker, 1969; Polya, 1954; Petter, 1985; Aebli, 1961).

1.2. Resolución de problemas, formación de conceptos y “teoremas en acto”

Con ese título, esta sección requeriría un libro por sí sola; empezaré a tratar esta problemática aquí para después retomarla varias veces más adelante, de manera más o menos explícita y refiriendo textos oportunos.

En una didáctica moderna, no se requiere un comportamiento pasivo por parte del alumno: «Haz esto y esto en una situación de este tipo»; en cambio, se requiere y se favorece un conocimiento activo que se transforme en “saber qué hacer” (lo podemos llamar “eficiencia”). Todos están sustancialmente de acuerdo con el hecho que la solución de problemas y el saber escoger cómo comportarse en situaciones problemáticas son una manera excelente de formar conceptos. Pero, concretamente, es muy difícil establecer lo que esto significa verdaderamente.

Debemos a Gérard Vergnaud (1985a) un muy buen intento por explicar este punto y en él me inspiro para lo que sigue.

Es bien sabido que, para explicar el modelo de desarrollo mental de los niños, Jean Piaget recurre a varios esquemas, entre los cuales recuerdo el esquema de “permanencia del objeto”. Sus experimentos son famosos; por ejemplo, moviendo de manera evidente de un lugar A a un lugar B un objeto escondido en ambos casos (por ejemplo, A debajo de un tapete y B debajo de una toalla), durante cierto período de tiempo, un niño muy pequeño seguirá buscando el objeto en el punto del cual fue movido. El niño solo entiende lentamente lo que es una especie de principio general de permanencia; tal permanencia, por ejemplo, tendrá que ver, más adelante, con el valor cardinal de un número, cantidad, longitud, amplitud, masa, (…) Al lado de la permanencia de un objeto, se considera la invariabilidad de ciertas relaciones de tipo más abstracto y, por lo tanto, capaces de constituir una conquista más tardía. Por ejemplo, la relación “ser hijo de” que es bien comprendida por el niño si la pareja ordenada es (yo; mi papá), y es rechazada a largo plazo si la pareja se vuelve (mi papá; mi abuelo). Tal permanencia de las relaciones (que se llama “invariante relacional”) es, por así decirlo, la base de la comprensión de los verdaderos “teoremas”, por ejemplo:

Si A es menor que B y B es menor que C, entonces A es menor que C.

Aunque se haya comprendido plenamente que «A es menor que B» y que «B es menor que C», permanece el hecho que la afirmación «A es menor que C» puede ser reconocida haciendo la prueba (comparando, donde sea posible, A y C), o “deduciéndola” de las dos primeras. Sabemos que se trata de la propiedad transitiva de la relación de orden “es menor que”: si se verifica de la primera forma (heurística) no es más que entrar en contacto con una invariante relacional; pero si se “deduce” de la segunda forma (lógica), entonces se puede hablar de un teorema en acto, como propone Vergnaud.

Un buen ejemplo que he oído usar de Vergnaud mismo en una escuela de verano es el de un niño que debe decidir cuántos puestos organizar en la mesa para los invitados; algunos invitados están dentro de la casa (a), otros están en el jardín (b); los puestos en la mesa deben ser entonces a+b. Se trata de un teorema en acto: el niño ha aplicado una regla de la cardinalidad:

card (X U Y) = card X + card Y

cuáles que sean los conjuntos X y Y con X∩Y=∅.

Es claro que la toma de conciencia de tales teoremas en acto constituye una formación genuina de conceptos y que la situación más natural para hacer emerger tales teoremas en acto es la resolución de problemas (mejor si son concretos).

Por ende, se trata, entre otras cosas, de una manera activa y deductiva de ver la resolución de problemas.

Nota bibliográfica

Para la redacción de esta sección, he usado (Furth, Wachs, 1977; Petter, 1984; Vergnaud, 1981a, 1985a, 1990a, 1990b).

Para una crítica a la posición descrita por Piaget, ver (Donaldson, McGarrigle, 1974; Freudenthal, 1973; McGarrigle, Grieve, Hughes, 1978).

Para un estudio detallado y moderno sobre la diferencia entre ejercicio y problema y sobre el aprendizaje estratégico en un contexto teórico más amplio (Fandiño Pinilla, 2008).

1.3. Problem solving y problem posing

En este proceder a manera de espiral, encuentro la necesidad de contraponer dos problemáticas aparentemente opuestas, las del título de la sección.

Ya he hecho notar como uno de los impulsos para aprender es la motivación y la gratificación (placer ‘interno’, es decir satisfacción interna, o el reconocimiento social de ser considerado un buen solucionador de problemas). Por tanto, aparte de la motivación, la actividad de la resolución de problemas puede con razón ser considerada una extensión del aprendizaje de reglas o de maneras de comportarse o de obtención de ejemplos y estrategias, etc.

Tal proceso, difícil de definir, en su mayoría se desarrolla dentro del alumno que lo resuelve, aun cuando las sugerencias que llegan al sujeto que está resolviendo el problema sean notables (facilidades, sugerencias, etc.) bajo la forma de varios tipos de comunicación (verbal o no).

Por muy importante que sea la aplicación de reglas (normas, experiencias, […]) precedentes, vale la pena resaltar que el proceso resolutivo genera también y sobre todo un nuevo aprendizaje. Es cierto que, en primera instancia, aquel que resuelve intenta aplicar reglas (normas, experiencias, […]) precedentes (mejor aún si fueron exitosas); pero también es cierto que, si la situación problemática es oportuna, el sujeto podría no encontrar simplemente una solución análoga o idéntica a una precedente. En cambio, puede encontrar una combinación particular de reglas (normas, experiencias, […]) del todo nueva que enriquecerá el campo de la experiencia y a la cual se puede recurrir en el futuro. En fin, una frase en la que creo firmemente: resolviendo un problema, el sujeto aprende.

En este sentido, el modelo de referencia al que nos aferramos no tiene importancia, si es el de Dewey (1910) o en cambio el primero o el último de Gagné (1962, 1976); la cuestión es muy general y puede funcionar en todos los casos.

Por ahora, podemos llamar a esta serie de fragmentos “estrategias de resolución de problemas”:

• exploración de las reglas (normas, experiencias, [...]) ya conocidas y ya aplicadas;

• descarte de cada una;

• análisis de la situación desde varios puntos de vista;

• construcción de una regla completamente nueva, obtenida de la “dosificación” en manera oportuna de reglas (normas, experiencias, […]) usadas precedentemente;

• verificación de la capacidad de resolver el problema con la regla nueva.

Esta es la razón por la cual Gagné subraya la exigencia que «la expresión problem solving sea usada en general para referirse a problemas nuevos» (nosotros diremos: a verdaderos problemas y no a ejercicios). Él ejemplifica, entre estos, los siguientes: parquear el carro en un lugar permitido y cercano al lugar de trabajo; entender por qué suceden las fases lunares; describir un comportamiento indolente mediante las acciones de un personaje; (…) El hecho que la resolución induzca al pensamiento nos hace hablar de problem solving productivo (precisamente porque se produce un efecto).

Finalizados estos ejemplos, por así decirlo, de la vida real, Gagné (1976) pasa a problemas más cercanos a la praxis escolar, explicando bien la diferencia que hemos indicado mediante la dicotomía problema/ejercicio, pero lo ejemplifica también mediante juegos de cambios de lugar de fósforos, lo que ha sido analizado en modo particular desde un punto de vista psicológico por George Katona (1967). En este estudio, Katona sugiere una sucesión de métodos usados para hacer que los sujetos resuelvan problemas-juego con fósforos:

• hacer los movimientos precisos frente a los ojos del sujeto examinado, haciendo que este último recuerde los movimientos exactos;

• exponer verbalmente las propiedades “matemáticas” de los fósforos en cuestión, notando cómo los fósforos con “funciones” dobles deben ser movidos para tener una función “simple” o haciendo desaparecer por completo las figuras para hacer reconstruir la estructura deseada, con los vínculos deseados;

• proceder al descubrimiento guiado (ésta es la denominación usada): sin enunciar las reglas, proceder paso a paso, ilustrando los cambios producidos, dejando vacíos en la figura original.

Esta sucesión no es casual; según Katona el primer método lleva a un aumento banal de las capacidades; el segundo es mucho mejor; pero solo el tercero, en el cual el sujeto mismo descubre la regla, lleva a poseer satisfactoriamente la competencia. La enunciación verbal de la regla, que sin dudas produce efectos positivos, ayuda a muchos sujetos, pero no a otros. Haber descubierto por sí mismo la regla a aplicar, aún en contextos limitados, produce conocimientos y competencias en todos. Gagné (1973) ilustra otros ejemplos, además de aquel de Katona, entre los que se encuentra el experimento del péndulo de N. R. F. Maier, el cual describiré en breve.

Los resultados de tales experimentos se pueden condensar de la siguiente manera: se produce un efecto positivo en el sujeto que resuelve si se dice exactamente la naturaleza de la actuación (performance) que de él se espera; incluso si no se hace explícitamente, se puede dar una guía en cuanto a la elección de reglas (normas, experiencias, […]) que son útiles para escoger la estrategia, mediante la formulación del problema.

Toda la actividad y la atención del problem solving radican en la resolución.

De otra naturaleza, pero siempre dentro de la misma problemática, es la actividad del problem posing. Esta actividad involucra dos maneras diferentes, pero estrechamente interconectadas, de actuar:

• la creación de un problema basado en la reflexión relativa a un tema de examen;

• la propuesta de las preguntas que analizan situaciones “limítrofes” (externas pero cercanas) a un problema de examen.

Los autores del texto que volvió famoso el problem posing, S. I. Brown y M. I. Walter (1988), distinguen dos modos de actuar diferentes:

• hacer o hacerse preguntas

• preguntarse siempre «¿Y si (...) ?», o «¿Y si no (...) ?»

lo cual da muy buena cuenta de la cuestión.

Una reducción didáctica trivial del problem posing es la actividad consistente en hacer que los alumnos inventen los problemas: ésta ha sido ampliamente estudiada en la investigación en Didáctica de la Matemática y tendremos ocasión de entrar en detalles. Pero el problem posing, en su formulación más general y genuina, debe llevar a nuevos problemas, si bien generados a partir de aquellos presentes en situaciones anteriores. Este tipo de actividad lleva a generar un descubrimiento y en este sentido, a mi modo de ver, se asemeja mucho al que los estudiosos del problem solving han resaltado.

Dado que tendré que retomar este argumento en la siguiente sección, me limitaré a presentar este boceto a manera de resumen.

Experimento del péndulo de Maier del 1930, (Gagné, 1973).

El sujeto examinado es conducido a una habitación de 5 m por 6 m aproximadamente, en la que hay una mesa de trabajo. El sujeto tiene a su disposición tablillas, pedazos de hilo, tiza y abrazaderas. El problema es descrito en estos términos: construya dos péndulos, de manera que cada uno, oscilando y teniendo en cada extremidad una tiza, marque un punto establecido sobre el piso.

Para ilustrar mejor el problema, he aquí la representación de una buena solución proporcionada por sujetos sometidos a la prueba.

Con algunos sujetos, Maier usó la estrategia de recordar problemas precedentes que, en este caso, son, por decirlo así, sub problemas:

• cómo se hace una plomada, teniendo a disposición hilo, abrazaderas y tiza;

• cómo hacer un poste largo, teniendo a disposición dos postes cortos y una abrazadera;

• cómo anclar al techo un objeto prensado entre dos postes.

Maier hizo sugerencias sobre la resolución presentando otro problema: el problema sería más simple si existiese una puntilla y se pudiera clavar un poste al techo. El experimento de Maier mostró cómo las instrucciones adicionales, que permiten recordar soluciones parciales precedentes, llevaron a los sujetos a la resolución del problema con mayor frecuencia, en comparación con aquellos que escuchaban solo el enunciado del problema sin ayudas adicionales. La sugerencia sobre la puntilla (que Maier llamó “dirección”), favorecía más la probabilidad de resolución.

Nota bibliográfica

Para la redacción de esta sección, utilicé (Dewey, 1910; Aebli, 1961; Katona, 1967; Gagné, 1973; Brown, Walter, 1988).

1.4. Problem solving, problem posing y descubrimiento

Empezamos con un ejemplo:

Dados dos triángulos equiláteros, encuentre un tercero, cuya área sea igual a la adición de las áreas de los otros dos. (Tomado de: Brown, Walter, 1988, p. 157).

Dentro del espíritu del problem posing, en cada intento por resolver el problema propuesto se cumple un análisis preliminar. Cada alumno tiene su propia reacción. Se puede notar que faltan datos y por lo tanto preguntar cuál es la naturaleza de la pregunta; ¿Cuál(es) de la(s) propiedad(es) de los triángulos entra(n) en juego?, ¿se espera una solución geométrica (un dibujo), o una numérica? Es claro que cada solucionador puede escoger la estrategia más adecuada de acuerdo con su propio “estilo”. Por ejemplo, un alumno puede decidir que va a estudiar un caso particular con los triángulos dados, uno de lado 3 y el otro de lado 7 y proceder de tal manera, haciendo un dibujo y recortando pedazos de cartulina (el cálculo sugerido por los autores no es, ciertamente, adecuado para niños de escuela primaria, pero quiero resaltar un espíritu independiente de estas contingencias) o usando un software geométrico a este propósito. Sin embargo, pero, aunque se haya encontrado una solución (aproximada), ¿qué sucede si se cambian los datos inventados, 3 y 7?

Lo que quiero subrayar aquí es que el problem posing es una forma de ubicarse dentro del problem solving y que, por ende, las dos problemáticas no son opuestas, sino bastante cercanas. “Plantear un problema” es solo una manera de comprenderlo mejor, de analizarlo mejor; hacerse preguntas que parecerían (…) rebotar la solicitud, puede significar entrar en mayor confianza con el problema.

Por tanto, si se llega a la resolución del problema, el problem posing tiene un efecto a posteriori, porque las preguntas sobre el problema y sobre la solución proporcionada no cesan: ¿se podría hacer de otra manera?, ¿se podría usar otro dato?, ¿hay una manera general de resolver esta cuestión?, ¿alguien ha inventado este método?, ¿cuándo y por qué se planteó este problema? (…) En una situación simétrica se plantea el efecto a priori que es sustancialmente el análisis de todos los detalles del problema antes de proceder con la solución.

En definitiva, el problem posing se ubica dentro de la amplia problemática del problem solving y no se limita a ser simplemente interpretado como un “hacer que los niños inventen problemas”, actividad que, entre otras cosas, es significativa si se conduce de manera motivada y prudente.

A mi modo de ver, dentro de los ejemplos dados por los Autores citados, es pertinente hablar del célebre caso del niño Gauss, muy famoso en las escuelas italianas: