El mundo es un pañuelo

CAPÍTULO 2

EL COLECCIONISTA DE NÚMEROS

Para coleccionista raro, el matemático Neil Sloane, que desde hace casi 50 años caza sucesiones de números. Su colección alcanza ya más de 100.000 especímenes.

Todos conocemos a alguien, si no a nosotros mismos, que colecciona sellos o monedas, etiquetas de botellas de vino o posavasos, cajas de música o de cerillas... Pero, ¿conoce a alguien que coleccione sucesiones de números? El matemático Neil Sloane lo hace desde los años sesenta y su colección, denominada Enciclopedia electrónica de sucesiones enteras, o más brevemente OEIS (acrónimo de su nombre en inglés: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences), que contiene más de cien mil sucesiones, es la más completa del mundo.

SUCESIONES

Siguiendo con el tema de la búsqueda de los patrones, déjenme ahora que haga este libro interactivo poniéndolo a usted, lector, a prueba como buscador de patrones. Si hace tiempo que acabó la escuela y el instituto, probablemente no recuerde qué es una sucesión de números. Aunque, si últimamente ha realizado algún psicotécnico para acceder a un trabajo, seguro que se ha vuelto a encontrar con ellas. En estas pruebas nos enfrentamos a cuestiones de la siguiente guisa: ¿Qué numero continúa la sucesión: 1, 4, 9, 16, 25? Se trata de la sucesión de cuadrados perfectos: 1², 2², 3², 4², 5². Luego el número que nos piden es: 6² = 36.

Como explica Fernando Blasco en su reciente y genial libro Matemagia:

Una sucesión numérica es un conjunto (infinito) de números puestos de forma ordenada, en correspondencia con los números naturales, que son los que utilizamos habitualmente: 1, 2, 3, 4...

O sea, que a cada número natural n una sucesión le asigna un número a(n). A veces es fácil expresar el término general de una sucesión. El término número n de la sucesión de los cuadrados perfectos es: a(n) = n². Otras veces es más complicado. Por ejemplo, ¿qué término sigue en la sucesión 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12? Esta sucesión es la «complementaria» de los cuadrados perfectos. Es decir, es la sucesión de números que no son cuadrados perfectos. La expresión de su término general es más complicada: a(n) = n + [1/2 + √n] que, traducido, nos dice que para conocer el término n, debemos extraer la raíz cuadrada de n, sumarle 1/2 y quedarnos con la parte entera del número resultante (eso significan los corchetes) y finalmente sumar el resultado a n. Por ejemplo, el término 5 de la sucesión es: a(5) = 5 + [1/2 +√5] = 5 + [2,736...] = 5 + 2 = 7. Astuto, ¿verdad?

En Matemagia, el profesor Blasco nos presenta una de las sucesiones más famosas de todos los tiempos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... ¿Sabe el lector cuál es el siguiente término? Tóme-se su tiempo para adivinarlo y compruebe a renglón seguido si acertó.

OEIS

Supongamos que después de darle vueltas ha sido incapaz de encontrar la solución. Puede recurrir entonces a oeis. En la página web <www.research.att.com/~njas/sequences/> se encuentra la colección de Sloane. Allí podemos escribir los términos de la sucesión e inmediatamente recibimos la respuesta: se trata de la sucesión de Fibonacci. Nos explica con una fórmula cómo se genera: para obtener un número de la sucesión (excepto los dos primeros) basta con sumar los dos anteriores. Observe que 21 = 13 + 8, que 13 = 8 + 5, etc. De modo que la respuesta es: 13 + 21 = 34. En ecuaciones: a(n) = a(n-1) + a(n-2), con a(0) = 0, a(1) = 1. oeis nos ofrece en este caso una lista con los 39 primeros términos, la posibilidad de representarlos gráficamente o incluso de... ¡escucharlos convirtiéndolos en música! También nos muestra una gran cantidad de comentarios sobre la aparición de los números de Fibonacci en multitud de problemas matemáticos, una enorme cantidad de referencias bibliográficas y enlaces, otras fórmulas menos conocidas para generarlos, cómo hacerlo en algunos programas de cálculo simbólico como Mathematica o Maple, o en pseudocódigo para que lo programemos nosotros mismos. De hecho, oeis es más fino, nos propone como primera solución los números de Fibonacci, pero nos ofrece hasta 22 soluciones distintas que coinciden en los nueve términos introducidos.

OEIS nos permite no sólo introducir los números de una sucesión, sino palabras clave de nuestro interés. Por ejemplo, si escribimos spanish («español») nos da 25 resultados. Uno de ellos es la sucesión: 3, 3, 4, 6, 5, 4, 5, 4, 5, 4... Se trata de otra sucesión clásica en matemáticas recreativas. De alguna manera esta sucesión está relacionada con «español». ¿Adivina el lector cuál es el siguiente término? (Solución al final en la caja 1: Uno, dos, tres...).

Introduciendo palabras nos damos cuenta de que oeis es también una fuente de información sobre temas científicos de toda índole. Por ejemplo, si introducimos la palabra planet («planeta») podemos encontrar las secuencias de los períodos de rotación o los diámetros de los planetas del Sistema Solar. Introduciendo la palabra carbón (el «átomo de carbono») obtenemos un montón de información sobre química orgánica. Si probamos con la palabra fractal nos aparecen ¡282 resulta-dos! ¿Qué será una sucesión fractal? Aquí tiene uno de los ejemplos más famosos: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0... ¿Es capaz de deducir cómo se forma? (Solución en la caja 2: Sucesiones fractales).

Probemos con una palabra menos «científica». Escribamos lazy («perezoso»). Sorprendentemente nos aparece la sucesión llamada del hostelero perezoso. Sus primeros términos son: 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56. Le adelantamos que enumera el máximo número de trozos (no necesariamente iguales) que podemos obtener de una pizza circular con n cortes rectos de cuchillo. Ahora ya nos hacemos una idea de a qué se debe su estrambótico título. ¿Sabría el lector encontrar el término general? (Solución en la caja 3: Pizzas y pasteles).

Visto lo visto, oeis no es sólo una página de referencia para investigadores, sino también una herramienta para educadores y una fuente inagotable de matemáticas recreativas para curiosos insaciables.

Para acabar, déjenos proponerle una última cuestión: el llamado problema 3n + 1. Tome un número entero positivo cualquiera al que llamaremos x_o. Entonces, (1) si el número escogido es impar multiplíquelo por 3 y súmele 1. Y (2) si, por el contrario, es par, divídalo entre 2. De esta manera conseguirá el número x1 sobre el que debe repetir el proceso y así sucesivamente. Veamos un ejemplo. Comencemos tomando x_o=1. Como es impar, lo multiplicamos por 3 y le sumamos 1. Eso nos proporciona x₁= 4. Como es par, lo dividimos entre 2. Eso nos proporciona x₂=2 que, como es par, debemos dividir de nuevo entre 2 y obtenemos x₃=1. Observemos que volvemos a tener el valor 1. De modo que la sucesión se repetirá periódicamente: 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1... La pregunta, aún no resuelta por nadie, es: partamos de donde partamos, ¿acabaremos siempre en el ciclo 1, 4, 2? A pesar de la aparente inocencia de este problema, su solución ha resistido el ataque de los matemáticos hasta el momento. En los sesenta, Shizuo Kakutani comentaba al respecto:

Durante un mes, toda Yale estuvo trabajando en él, sin resultado. Fenómeno similar se produjo al mencionar, yo, el problema en la Universidad de Chicago. Incluso llegó a decirse, en broma, que el problema formaba parte de una conjura para entorpecer la investigación matemática en Estados Unidos.

Si quiere explorar este problema con ayuda de Neil Sloane escriba «3n+1 problem» o hailstone numbers («números granizo») en la página de OEIS, quizá usted tenga más suerte.

CAJA 1: UNO, DOS, TRES, CUATRO...

Esta caja tiene como título lo que se podría llamar una suce-sión de palabras. Podemos «codificar» numéricamente esta sucesión de tal modo que a cada palabra le hagamos corresponder el número de letras que posee. Así, el título de esta caja se convertiría en 3, 3, 4, 6..., y ahora es fácil adivinar el siguiente número que nos pedían.

Éste es un ejemplo clásico de «sucesiones en lenguaje». Podemos ahora hacer lo mismo en portugués o en inglés. ¿Serán parecidas a la española? Es de esperar que lenguas con una raíz común, como el español y el portugués, lenguas románicas, tengan sucesiones numéricas «uno, dos, tres, cuatro...» estadísticamente parecidas. Y que estén relativamente «alejadas» del inglés o el danés, por ejemplo. ¿Podemos utilizar esta medida para recrear un árbol evolutivo de las lenguas?

CAJA 2: SUCESIONES FRACTALES

OEIS nos dice que la sucesión propuesta se denomina Sucesión de Thue-Morse, en honor a dos de sus creadores/descubridores. Nos enseña a generarla: partiendo de 0 o 1 debemos aplicar reiteradamente las siguientes reglas de sustitución: 0 → 01 y 1 → 10. De modo que si comenzamos por 0, obtendremos primero: 01. Aplicando de nuevo las reglas, obtendremos: 0110. Después: 01101001. Y así sucesivamente. El método técnicamente, y de forma muy acertada, se denomina inflación: después de n aplicaciones de las reglas dispondremos de una secuencia de 2ⁿ términos. oeis explica también que la sucesión de Thue-Morse aparece en temas tan alejados entre sí como el ajedrez, la teoría del caos o la lingüística combinatoria.Thue-Morse es una sucesión fractal, autosemejante. De forma genérica, una sucesión fractal es aquella que se contiene a sí misma como subsecuencia («el todo está en las partes»). Visto en nuestra serie, si eliminamos por ejemplo los términos pares de una secuencia de 2ⁿ términos, habremos eliminado la mitad. Nos quedarán 2^n-1 términos. Pero no cualesquiera, sino justamente los 2^n-1 términos iniciales. Por ejemplo, los primeros 16 términos son: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0. Si eliminamos los términos pares (señalados en negrita), nos queda: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1. ¡Que son justamente los 8 primeros! Explore ésta y otras sorprendentes sucesiones fractales en oeis escribiendo «fractal» en la entrada.

CAJA 3: PIZZAS Y PASTELES

Seguidamente hemos dibujado cómo obtener los cuatro primeros números del hostelero perezoso. Con un corte, el máximo de trozos posibles es obviamente 2. La estrategia para maximizar con dos cortes es que ambos se crucen entre sí. De ese modo obtenemos 4 trozos. Con un corte más, conseguiremos maximizar los trozos si cortamos de modo que crucemos sobre los dos cortes anteriores en puntos distintos... Y ésa parece ser la estrategia: dispuestos los n-1 cortes que maximizan, obtendremos la solución para n haciendo que el nuevo corte se cruce con los otros n-1 en puntos distintos.

En ecuaciones, podemos escribir: a(n) = a(n-1) + n que con algo de matemáticas se convierte en: a(n) = n (n +1) / 2 + 1.

Tal vez, el lector, como yo, aprendió qué eran las fracciones cortando tartas en la pizarra. Existe un problema emparentado con el hostelero perezoso, pero en vez de pizza usa pastel: se trata de encontrar el máximo número de trozos con n cortes en un pastel. Observe que ahora disponemos de una dimensión extra: la altura del pastel. Los primeros números pastel son: 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, 299 que como puede observar crecen mucho más rápido que los del hostelero perezoso. ¿Puede hallar en este caso el término general? Una pista: ahora para el pastel puede conseguir trozos íntegramente del «interior», que no contengan ni partes de la superficie, ni de las bases, ni de la superficie lateral. Y si no se sale, ya sabe: ayúdese con OEIS.

Foresta degli elementi, cuadro de Tobia Ravà. Este pintor italiano es heredero de la antigua escuela pitagórica, fi ltrada a través de la tradición hebrea de la Gematría, donde «todo es número». Su obra plasma ese pensamiento en imágenes. Puede disfrutar de todas las ilustraciones de este ensayo y muchas más en su página web: <www.tobiarava.com>.

CAPÍTULO 3

VIDEOITERANDO, VIDEOITERANDO, EL CAOS SE VA ALCANZANDO

¿Qué ocurre si enfocamos una cámara a la pantalla de un televisor que está emitiendo justamente las imágenes que capta la propia cámara? Descubra una ruta televisiva hacia el caos determinista.

En la naturaleza abundan formas y estructuras complejas. Esta imagen es un ejemplo cotidiano. Al contemplar un árbol no advertimos cómo crece, pero su estructura nos sugiere algún mecanismo de desarrollo en ramificaciones sucesivas. Tras su forma intuimos un proceso de generación.

Los cristales de nieve que cubren este árbol no están vivos, pero también «crecen». La forma de los copos de nieve no nos sugiere, en este caso, reglas de crecimiento tan obvias. ¿Serán terriblemente complicadas? Hoy, gracias al estudio de los sistemas complejos, sabemos que no necesariamente. Quizá el mayor impacto de esta nueva visión científica en la corriente general del conocimiento haya sido demostrar qué patrones complejos pueden ser generados por procesos simples.

La intención de este pequeño ensayo es mostrar uno de los procesos simples más comunes capaces de generar complejidad: la iteración, que ilustraremos a partir de unos sencillos experimentos al alcance del lector.

ITERACIÓN

Antes de abordar el experimento propiamente dicho jugaremos con una calculadora para dejar clara la idea de iteración. Introduzca un número en su calculadora y extraiga su raíz cuadrada. Vuelva a extraer al resultado la raíz cuadrada. Hágalo sucesivamente. Está realizando un proceso iterativo. ¿Acaba el proceso en algún valor que no cambia? ¿Siempre e independientemente del número inicial? Observe que, al resultado de aplicar una operación, le volvemos a aplicar la misma operación: estamos iterando. En un proceso iterativo se dispone de una entrada –en este caso un número–, una regla dinámica que nos dice cómo se transforma la entrada –extraer la raíz cuadrada– y una salida –el resultado–. Lo que hace que el proceso se convierta en una iteración es que la salida se reinyecta en el paso siguiente como entrada, cerrando el proceso en un bucle de repetición infinita. Matemáticamente podemos expresar esta iteración como:

x_n+1= (x_n)^1/2

donde x_n es el valor en el paso n-ésimo.

Nuestro sencillo experimento con la calculadora nos muestra que siempre que comencemos con un número x₀ mayor o igual a 1, la iteración sucesiva acabará en 1. Y si el número x₀ se encuentra entre 0 y 1 acabará en 0. Pero no todas las iteraciones producen resultados tan sencillos como en este caso de la raíz cuadrada. De hecho, una iteración aparentemente tan inocente como: x_n+1= r x_n (1 - x_n), donde r se fija con un valor entre 1 y 4, fue piedra fundamental en el estudio del caos determinista. La logística, que es el nombre que recibe la iteración anterior, muestra una riqueza de comportamientos dinámicos inusitada en función del valor que tomemos para el valor r.

Observemos que la iteración con la calculadora es en realidad un proceso simbólico. Son ecuaciones sencillas que generan cadenas de números. ¿Podemos construir un proceso iterativo físico, digamos, de forma tan sencilla?

VIDEORRETROALIMENTACIÓN

El término iteración suele usarse en matemáticas, los ingenie-ros prefieren utilizar la palabra retroalimentación (feed-back) pa-ra referirse al mismo. Vamos a crear un sencillo circuito de re-troalimentación. Necesitamos simplemente una cámara de vídeo y un televisor.

Conecte la salida de una cámara de vídeo a la entrada de señal de un televisor. De esa manera las imágenes recogidas por la cámara serán vistas en la pantalla. ¿Qué ocurre si apuntamos la cámara a la propia pantalla del televisor? La imagen que aparece en el televisor es capturada por la cámara, que la devuelve de nuevo al televisor, que vuelve a ser capturada por la cámara, que... ¡Estamos iterando la imagen! En nuestra calculadora conseguíamos iterar un paso cada vez que apretábamos el botón de raíz cuadrada. Con este experimento conseguimos 25 iteraciones por segundo y sin tan siquiera mover un dedo. Y además obtenemos imágenes físicas y no cadenas simbólicas.

¿Qué observaremos mediante este sencillo montaje? Si situamos la cámara a larga distancia obtendremos una secuencia de pantallas dentro de pantallas en una sucesión que se aleja. En la fotografía puede observar uno de estos efectos conseguido con un astuto giro de la cámara.

El proceso de retroalimentación puede describirse como una reducción de la imagen hacia un punto interior de la pantalla. Si acercamos la cámara lo suficiente como para que desde su visor de cámara sólo observemos pantalla, observaremos lo contrario. La imagen se expandirá. Para conseguir imágenes que le resultarán hipnóticas, baje el brillo del televisor y ponga alto el contraste. Apague la luz de la habitación y ajuste ahora el zoom de la cámara de modo que la pantalla del televisor quede perfectamente encuadrada sin que aparezca el marco de éste. Es decir, nos encontramos en la región ni demasiado lejos para que la imagen se contraiga, ni demasiado cerca para que la imagen se expanda. En este sencillo sistema puede modificar muchas variables como el zoom, el foco, el ángulo con que encaramos la pantalla del televisor, etc.

Al igual que en nuestra calculadora podíamos comenzar a partir de un número x0 cualquiera (excepto negativos) como condición inicial, en nuestro experimento podemos utilizar un sinfín de objetos como imagen inicial. Pruebe a mover una vela o un mechero encendidos entre la cámara y el televisor para obtener resultados semejantes al de las siguientes fotografías.

CLASIFICANDO LOS RESULTADOS

Después de experimentar un rato observará que los patrones espaciales se pueden clasificar en cuatro clases según su evolución en el tiempo:

1. La pantalla se vuelve totalmente blanca o se fija una mancha de luz estable. Este resultado es, en lenguaje de los sistemas dinámicos, un punto fijo.

2. Aparece una mancha de luz pulsante (estado estacionario periódico).

3. Asistimos a una frenética aparición y desaparición de manchas de luz sin orden ni concierto (caos determinista).

4. Nuestra pantalla exhibe un patrón organizado o complejo de manchas, de reminiscencias orgánicas, que parecen crecer, decrecer y evolucionar (dinámica compleja o auto-organizada).

Sin duda las imágenes más interesantes corresponden a esta cuarta categoría. Aquí tiene algunos ejemplos:

SIMULAR PARA ENTENDER

Los experimentos con videorretroalimentación se remontan al nacimiento de la televisión. Muchos artistas se han mostrado interesados en sus posibilidades estéticas. Si ha experimentado con el sistema habrá observado que el efecto de algunos controles sobre el resultado final es relativamente fácil de entender. Sin embargo, el de otros es endemoniadamente difícil. Fue el físico J. P. Crutchfield («Space-time dynamics in video feedback», Physica 10D, 1984, pp. 229-245) quien primero estudió teóricamente el sistema. Crutchfield propone un modelo matemático para emular lo que ocurre en nuestro experimento con vídeo y televisor. Asume que una imagen se describe como una matriz dos dimensional que puede ser rotada o magnificada. Para iterar una imagen se acopla cada píxel de la matriz con sus píxeles vecinos de manera especificada por el valor del foco, se rota la imagen de manera especificada por el án-gulo escogido y se magnifica por el valor z del zoom, los tres parámetros regulables del modelo. El proceso viene descrito por una ecuación de iteración semejante a las que expusimos al comienzo del ensayo, pero, como el lector puede suponer, matemáticamente mucho más compleja.

Para iterar la ecuación, Crutchfield utilizó un ordenador. De esta manera determinó que existían dos tipos básicos de comportamientos dependientes del valor del zoom. Cuando el zoom era menor que 1 los puntos de luz en la imagen, se obtenían patrones en espiral hacia el centro. Cuando el zoom es mayor que 1 los puntos de luz se magnifican hacia el exterior, formando en algunos casos espirales con estructura autosimilar, fractal. La siguiente tabla muestra una clasificación de los resultados:

PARA SEGUIR EXPLORANDO

Si dispone de una cámara acoplada a su ordenador, una típica web-cam, puede construir igualmente el circuito de retroalimentación que hemos descrito. Y además, con un poco de pericia informática podrá medir la intensidad luminosa de los patrones dinámicos que genere. En la gráfica que acompaña a este texto presentamos el resultado de la variación de intensidad con el tiempo. Las primeras gráficas muestran el comportamiento de una mancha pulsante periódica. Al variar convenientemente las variables del sistema se observan cambios en el período. En concreto, la quinta, sexta y séptima líneas muestran un período de duración doble. Así que al variar los parámetros de forma continua, el período se va doblando una y otra vez, hasta que alcanzamos el comportamiento de la octava gráfica, que no muestra periodicidad: hemos alcanzado el caos determinista. El sistema de videoiteración exhibe lo que los físicos y matemáticos denominan cascada de bifurcaciones. Un comportamiento que estaba presente, de manera simbólica, en la ecuación logística que presentamos al comienzo del ensayo y con la que se suele enseñar en la mayor parte de cursos sobre sistemas dinámicos esta ruta hacia el caos. La sencilla ecuación logística nos desvela un patrón dinámico oculto en muchos sistemas del mundo físico real, un patrón universal.