Пиксель. История одной точки

Всё на свете музыка

Великая идея Фурье заключается в следующем: весь мир – это музыка, все состоит из волн.

Это музыкальное озарение привело к появлению радио, что, пожалуй, неудивительно. Оно же привело и к появлению телевидения. Фактически среди его многочисленных потомков – все медиатехнологии, все различные медиа, которые слились во время Великой цифровой конвергенции. Короче говоря, великая идея Фурье завоевала мир и породила все громы и молнии современных средств массовой информации.

Вообще, эта идея распространена гораздо шире и выходит далеко за пределы медиа. Едва ли найдется какая-либо отрасль науки и техники, не затронутая ею. Электричество и магнетизм, оптика, дифракция рентгеновских лучей, теория вероятностей, анализ землетрясений и квантовая механика… Список можно продолжать и продолжать. Не будет преувеличением сказать, что Фурье изменил наше понимание мира.

Имена Исаака Ньютона и Альберта Эйнштейна хорошо известны даже гуманитариям. Закон всемирного тяготения первого и теория относительности второго получили международное признание еще при их жизни. Но памяти о Фурье на протяжении последних 200 лет не давали угаснуть только физики и инженеры. Они знали о его заслугах и чествовали Фурье как отца-основателя почти всех современных технологий. Их достижения в различных отраслях демонстрировали величие и универсальность идеи Фурье о волновой природе мира.

Самому Фурье принадлежит только первый, но крайне важный шаг. Он первым сформулировал эту идею математически и проверил ее экспериментально. Хотя он посадил лишь семя теории, из которого взойдут тысячи решений во многих отраслях науки, сам же он взрастил только первый такой цветок – описание теплового потока в твердых телах.

Столь неромантичная специализация – веская причина для запоздалого признания. Он стал «знаменитым Фурье» из Академии наук благодаря своей теории теплопроводности. Звучит менее поэтично, чем идея Эйнштейна о том, что гравитация – это искривление пространства-времени.

И все же великая идея Фурье гораздо более фундаментальна для современного опыта, чем теории Эйнштейна. Она, констатирующая музыкальную природу мира, так же прекрасна, как и концепция искривления пространства-времени, а еще – более доступна для понимания. У нее нет причин прятаться под непроницаемым покровом высшей математики.

Пришло время изменить оценку, данную Виктором Гюго, и воздать должное как самому великому человеку, так и его великой идее. Вездесущая современная технология Цифрового Света – то, что нужно, чтобы наконец оценить по заслугам Жан-Батиста Жозефа Фурье.

Жажда бессмертия

Жан-Жозеф Фурье родился 21 марта 1768 года в семье портного, в древнем провинциальном городе Осер, расположенном примерно в ста милях к юго-востоку от Парижа. Ему не исполнилось и десяти лет, когда родители умерли, оставив сиротами пятнадцать своих детей. Во Франции витало предчувствие Революции, а на американском континенте уже год как существовала новая страна, и ее посол Бенджамин Франклин очаровал Париж енотовой шапкой и кокетливыми манерами.

Видимо, в сироте Фурье было что-то особенное, потому что добрые люди из Осера позаботились, чтобы талантливый ребенок получил хорошее образование. Его пристроили в школу, которой руководил Жозеф Палле, некогда обучавший музыке Жан-Жака Руссо. Увы, нет никаких свидетельств, обладал ли музыкальными талантами человек, открывший музыку мира.

Затем Фурье там же, в Осере, поступил в Королевскую военную школу (на всю Францию насчитывалось всего 11 отделений этой школы). В этом ему снова помогли местные жители. В военных школах упор делался на естествознание и математику. Фурье особенно – даже маниакально – увлекала математика.

В 13 лет он собирал свечные огарки, чтобы после отбоя освещать шкаф-чулан, где до рассвета просиживал над математическими книгами. Душное и холодное убежище подорвало его здоровье на всю оставшуюся жизнь. Возможно, именно этот шкаф пробудил в нем особый интерес к проблеме теплопроводности.

Ночные самостоятельные занятия при свечах вскоре принесли плоды. Он получил школьную награду по математике, что стало началом его научной карьеры и в конечном итоге обессмертило его имя. Также он получил поощрение в области риторики, что подтолкнуло его к участию в политической жизни и заставило рано осознать свою смертность. Ораторские таланты чуть не погубили его прежде, чем успели развиться математические способности.

Сначала опасность не выглядела очевидной. Дальнейшее обучение в военной школе подразумевало армейскую карьеру, но Фурье так и не стал военнослужащим. Он был слишком слаб здоровьем и увлечен математикой. Поэтому, завершив обучение, Фурье нашел прибежище в церкви. Он стал послушником в аббатстве Святого Бенедикта на Луаре и преподавал математику другим послушникам. Тогда же он принял церковное имя Жан-Батист, которое использовал и в дальнейшем.

Фурье удалился в монастырь накануне Французской революции. Несколько сохранившихся писем показывают, что он смутно осознавал происходящее и в целом оставался к нему равнодушен. Гораздо сильнее Фурье беспокоился о своей будущей славе и недавно законченном сочинении по алгебре. «Вчера мне исполнился 21 год, – с горечью писал он в марте 1789 года. – В этом возрасте у Ньютона уже были претензии на бессмертие».

В сентябре он пишет еще одно письмо, где оплакивает судьбу своего алгебраического сочинения. Между двумя этими письмами началась Великая французская революция. Но в сентябрьском письме нет никаких упоминаний о ее бурных событиях.

Тем не менее после этого личный мир Фурье начал меняться. В декабре он представил перед Академией наук в Париже доклад об «алгебраических уравнениях» – вероятно, то самое сочинение, о судьбе которого он так сильно беспокоился.

Он покинул аббатство, так и не принеся обетов. Впрочем, вскоре революционное правительство вообще подавило монашеские ордена.

И все же следующие три года Фурье не проявлял революционного пыла. Вместо этого он преподавал математику в Осере. Он даже не подписал петицию революционного Народного общества Осера к Национальному конвенту в Париже с требованием суда над королем Людовиком XVI.

Однако в начале 1793 года, всего через месяц после казни монарха, мы уже слышим голос Гражданина Фурье.

 
Блаженством было быть живым к тому рассвету,
Но молодым быть было настоящим раем.
 

– Уильям Вордсворт. «Прелюдия» (пер. Т. Становой)

Заря Французской революции, как известно, привела Вордсворта в восторг, и молодой Фурье, хотя и принял ее запоздало, испытывал похожие чувства. Свои ощущения он выразил менее искусно, чем поэт: «Можно представить себе ту возвышенную надежду, которая появилась у нас на установление правительства, свободного от королей и попов». Но страсть его была столь же сильна: «Я немедленно влюбился в это дело, по моему мнению, величайшее и прекраснейшее из всех, за которые бралась какая-либо нация».

Фурье быстро перешел от восторженных слов к непосредственному участию в политике. В феврале 1793 года он выступил с пламенной дебютной речью перед революционной коммуной в Осере, предложив план по набору местных рекрутов для армии Республики. Народное общество поддержало идею Фурье и пригласило его присоединиться к Комитету революционного надзора. Пламя Террора разгоралось все сильнее: десятки тысяч врагов государства расстались с жизнью на гильотине. Фурье благоразумно принял «приглашение».

Но наивный Фурье – совсем новичок – сразу совершил ошибку, поскольку выбрал максимально неудачное время для прихода в политику. Его блестящие способности к риторике вскоре привели к серьезным неприятностям. Он неблагоразумно использовал свое красноречие, чтобы спасти от казни трех жителей Орлеана. Неблагоразумие заключалось в том, что их включил в список своих врагов Робеспьер, управлявший машиной Террора.

Революционеры тут же освободили Фурье от всех полномочий за пределами Осера. Разочарованный, что не смог послужить делу Республики, он отправился в Париж и добился встречи с самим Робеспьером, чтобы оправдаться. Смелый поступок привел к обратному результату. Попытки помочь орлеанским узникам обеспечили ему место в списке главных врагов Робеспьера. В соответствии с извращенной логикой Революции и несмотря на протесты поддерживавших его граждан Осера, Фурье стал жертвой того самого Террора, которому пытался служить. 17 июля 1794 года его арестовали и бросили в тюрьму. Фактически это означало смертный приговор.

«Я испытал все возможные виды преследований и неудач, – писал он. – Никто из моих противников не подвергался большей опасности, и я единственным из наших соотечественников оказался обречен на неминуемую смерть».

Следующей остановкой, всего через несколько дней, должен был стать Революционный трибунал в Париже, который без особых разбирательств отправил бы Фурье на гильотину. У него имелись веские причины испытывать страх. Он не мог знать, что всего через десять дней – 27 июля, или 9 термидора (по французскому революционному календарю) – Робеспьер падет. Тот, кто требовал больше отрубленных голов и не довольствовался никаким результатом (снова цитируя Вордсворта), сам оказался на гильотине. К счастью для будущего науки и, в частности, для пикселя, отрубленная голова Робеспьера спасла голову Фурье.

Волна

Можно ли было в работе по алгебре 1789 года – той самой, что отвлекла внимание Фурье от Революции, – усмотреть черты будущего великого ученого? Содержались ли в ней предпосылки его великой идеи? Несомненно, работая над ней, он отточил свои математические навыки и достиг, как это называют специалисты, «математической зрелости». Но, к сожалению, о ней практически ничего не известно.

Также неизвестно, когда Фурье впервые использовал концепцию волны, фундаментальную форму, лежащую в основе его великой идеи. Мы знаем лишь, что в 1807 году он изложил ее в работе «О распространении тепла в твердом теле». Волну можно получить, преобразовав идеальную окружность, так что это революционная форма. И она элегантна в своей простоте. Так что у пикселя благородное происхождение.

Чтобы получить наглядное представление о волнах Фурье, давайте начнем с окружности (рис. 1.1). Нам поможет старомодный циферблат аналоговых часов. Кончик секундной стрелки раз за разом пробегает по окружности, отсчитывая одну минуту за другой. Нижнее изображение отличается от верхнего на три секунды.

Большая точка вычерчивает волну. Здесь неплохо бы поместить анимированную картинку, но, поскольку в книге это невозможно, просто представьте, что с течением времени точка движется вправо, как показано стрелкой на оси. Каждому делению на циферблате соответствует аналогичная отметка на оси времени. Теперь представьте, что большая точка связана с кончиком секундной стрелки эластичной линией. С течением времени точка смещается вправо, а проделанный ей путь и есть волна.

Здесь важно понять, как выглядит волна и насколько тесно она связана с равномерным движением по окружности. Детали этой тесной связи не так важны, как само интуитивное понимание, но еще несколько подробностей помогут лучше уяснить и запомнить все это.

Рассмотрим осевую линию на циферблате – линию, соединяющую отметки на 9 часов и 3 часа. Большая точка всегда отмечает текущую высоту кончика секундной стрелки над или под этой линией. В момент, изображенный на верхней иллюстрации (он выбран произвольно), большая точка преодолела уже двадцать три позиции, потому что с начала фиксации прошло двадцать три секунды. С очередным движением секундной стрелки большая точка переместится в следующую позицию на волне. А еще через две секунды мы получим нижнюю иллюстрацию. Так что по мере того, как секундная стрелка снова и снова обегает по кругу циферблат, ее кончик – а точнее, прикрепленная к нему большая точка – движется по волнистой траектории вверх и вниз, вверх и вниз…

Секундная стрелка делает полный оборот за минуту, поэтому волна, нарисованная большой точкой, бесконечно движется вправо. Так же бесконечно она простирается влево. Волна на рисунке, по-видимому, начинается ровно в 12:01 – тоже совершенно случайный выбор, – но подразумевается, что часы вели отсчет времени и раньше, поэтому рисовать волну влево можно, насколько хватит терпения.

Волна на рисунке – это одна из волн Фурье. Сами волны – не его изобретение, но его идея лежит в основе их использования. Эти волны – элементы его музыки. Математики называют такую особенно изящную волну синусоидальной. Поскольку это единственный вид волн, который нам нужен, далее я буду называть его просто волной.

Рис. 1.1

Все, что касается волн Фурье, очень просто, красиво, изящно… идеально. У ученых и инженеров есть официальный термин для систем уравнений, которые Фурье использовал для описания теплового потока в твердом теле, применимый также для его великой музыкальной идеи вообще. Они описывают это как гармонию или «систему гармонических уравнений».

Волны окружают нас всегда и везде. Напряжение электрического тока в любой розетке нашего дома или офиса описывается волной. Из-за этого он даже называется переменным током. Обычно он создается при помощи ротора, вращающегося в постоянном магнитном поле, например на гидроэлектростанции, где ротор приводится в действие потоком воды на плотине. Вращение ротора преобразуется в волну – в переменный ток. В электрическом моторе происходит обратный процесс: волнообразный переменный ток поступает на клеммы электродвигателя, который снова преобразует его во вращательное механическое движение. Так, электрический вентилятор, получив волну изнутри, превращает ее во вращение лопастей снаружи.

Еще одну хорошо знакомую синусоидальную волну можно найти в мире средств массовой информации. Это цифры в названии вашей любимой FM-радиостанции. Мне нравится слушать KCSM Jazz 91,1 выходящую в эфир из Сан-Франциско. Цифра 91,1 обозначает, какая волна выделена для вещания этой радиостанции. Они описывают электромагнитную волну, которую станция использует, чтобы донести свою музыку до радиослушателей.

Хотя все волны Фурье имеют одинаковую форму, они отличаются двумя характеристиками – насколько быстро (это называется частотой) и насколько сильно (это называется амплитудой) происходят колебания. Вернемся к рисунку с часами. Как часто расположены гребни волны, оставленные секундной стрелкой? Она делает один оборот в минуту, так что собственная частота этой волны – один полный волновой цикл в минуту. Цикл – правильное слово. По мере того как секундная стрелка делает полный оборот по циферблату, красная точка, прикрепленная к ее кончику, нарисует полный цикл волны на шкале времени. За один полный оборот получается один волновой цикл.

Кончик минутной стрелки изобразит такую же кривую, но более медленно. Волна минутной стрелки вздымается только один раз в час. Ее частота – один цикл в час, что в шестьдесят раз медленнее, чем у секундной стрелки. Третья волна – волна часовой стрелки. Она имеет самую низкую частоту из трех – один цикл за 12 часов.

Цифра в названии радиостанции KCSM Jazz 91,1 – частота (в миллионах циклов в секунду) радиоволны, которую использует эта станция. А к каждой электрической розетке подведен переменный ток с частотой волны 60 (в США) или 50 (в России и большинстве стран Европы) циклов в секунду.

Волны от секундной, минутной и часовой стрелок отличаются не только частотой, но и амплитудой. Я нарисовал минутную стрелку чуть короче, чем секундную, поэтому гребни ее волн будут немного ниже. Поскольку максимальная высота гребня волны равна ее амплитуде, амплитуда волн минутной стрелки ниже, чем у волн секундной. Часовая стрелка еще короче, поэтому амплитуда ее волны – самая низкая из трех.

Для теории Фурье волна может иметь любую частоту и любую амплитуду, если это синусоидальная волна – развертка окружности. На примере часов мы рассмотрели создание трех таких волн, а рисунок 1.2 показывает еще три изящных по форме синусоидальных волны, отличающихся друг от друга только количеством колебаний и высотой, то есть частотой и амплитудой. Все они имеют одинаковую форму точно так же, например, как и все треугольники. Фигура, чтобы мы назвали ее треугольником, должна иметь три стороны, а волне, чтобы называться волной, достаточно быть разверткой окружности.

Рис. 1.2

Отметим еще одну особенность волн на этом рисунке: по левому краю изображения выровнены разные точки их цикла. Верхняя волна начинается с пика, средняя – с максимального спада, а нижняя – с точки между ними. Если вы сдвинете любую из них влево или вправо, ее частота и амплитуда останутся прежними, но изменится положение относительно других волн. Это важно, потому что для вычислений Фурье нам придется складывать волны. Мы получим разные результаты, если волны будут выровнены по-разному.

Для описания положения волны мы используем слово фаза. Фазы луны отлично описывают, на каком этапе цикла находится луна: полнолуние или новолуние, растущая или убывающая луна между ними. Волна циклична, поэтому у нее тоже есть фазы. На левом краю рисунка 1.2 верхняя волна находится в фазе полнолуния, а средняя – новолуния. Нижняя же волна только начинает убывать. Изменение начальной фазы сдвигает всю волну влево или вправо. Но обратите внимание, что если вы переместите ее на полный цикл, то снова получите исходную волну. Их невозможно будет отличить друг от друга. Таким образом, указания одного места в одном цикле – то есть значения фазы – достаточно, чтобы указать положение всей волны. Для целей Фурье волна может находиться в любой фазе.

Теперь мы можем осознать значимость замечательной идеи Фурье: большую часть информации об окружающем мире – включая все, что мы можем видеть или слышать, а также многое другое – можно описать как сумму таких волн, и больше ничего. Частоты Фурье – это частоты волн из такого описания. Их гармония – это музыка мира. Эта идея поражает масштабностью и противоречит нашей бытовой интуиции, поэтому ее сложно понять и принять. Давайте начнем с музыки – знакомой физической реальности, которая поможет доступнее раскрыть глубочайшую идею Фурье.

Звуки

Музыка состоит из волн разных частот – и только из них. Конечно же, их называют звуковыми волнами. Струны скрипки вибрируют с разной частотой; то же самое происходит и с фортепиано. По сравнению с неторопливой секундной стрелкой, вращающейся с частотой один цикл в минуту, любая нота на фортепиано – звуковая волна демонической скорости от колебания струны, вибрирующей с частотой 262 цикла в секунду. Кларнет или флейта звучат на определенных частотах, как и каждая из труб органа. Лирико-колоратурное сопрано поет на более высокой частоте, чем альт, и гораздо выше, чем баритон или бас. Мы говорим, что сопрано поет выше, а не на большей частоте, только из-за особенностей восприятия музыки нашим мозгом. Физика создания звука здесь точно такая же. Аккорд – это, по сути, несколько волн – скажем, три или четыре, – воспроизведенных одновременно или, как мы говорим, сложенных вместе. Хор состоит из множества голосов разной высоты, а оркестр – из множества инструментов с разной частотой, от контрабаса до флейты-пикколо.

Нарастание громкости от пианиссимо до фортиссимо отражает амплитуду звуковых волн. Чем выше амплитуда, тем громче звук. Массивная труба органа – с педалью, выжатой до пола, – сотрясает собор ужасом гласа Господня. Сильнее ударьте по клавише пианино или увеличьте громкость радио, и амплитуда звуковых волн возрастет. Неудивительно, что именно усилитель – это важнейший компонент радио или стереосистемы.

Идея Фурье кажется естественной, когда вы описываете музыку, но сила этой идеи полностью осознается, только если понять, что из звуковых волн состоят все звуки, а не только музыка. Имеется в виду вообще все, что мы слышим, от низкочастотного грохота до пронзительного свиста. И даже больше – ведь, как известно, собаки слышат более высокие частоты, чем мы. Для нас главное в великой идее Фурье заключается в том, что любой звук состоит из звуковых волн различных частот, которые складываются друг с другом, а потом интерпретируются нашими ушами и мозгом как «Весна священная» Стравинского, как голос любимого ребенка или шум строительной площадки.

На рисунке 1.3 в виде волн Фурье с различной частотой и амплитудой изображено слово «yes» (ось времени направлена вправо). Часть «y» содержит самые низкие частоты и самые высокие амплитуды – это ударная часть слова. Для части «е» в середине характерны самые низкие амплитуды и смешанные частоты. А шипение «s» отличается низкими амплитудами и самыми высокими частотами.

Звуковые волны на самом деле состоят из ритмичных сжатий воздуха или, иначе говоря, волн давления. Возьмем для примера низкочастотный динамик в вашей акустической системе – вы сразу ощутите его вибрацию на громких басовых тонах. Легко вообразить, как его быстро движущаяся мембрана сотрясает воздух перед собой. Пульсации распространяются от поверхности низкочастотного динамика, так сказать, подталкиваются им. Более громкий звук соответствует более сильной вибрации и – соответственно – более интенсивному воздействию на воздух.

Мы можем непосредственно ощутить эти волны давления. Представьте лоурайдер, который медленно едет по бульвару Креншоу в Лос-Анджелесе, а от музыки из его мощного бумбокса содрогаются оконные стекла ближайших домов.

Рис. 1.3

Очень громкая низкочастотная звуковая волна, сталкиваясь с препятствием, преобразует волны давления в физические вибрации, как будто трясется сама земля. Но на самом деле эти сотрясающие землю волны точно такие же, как и те, что проникают нам в уши и заставляют наши барабанные перепонки вибрировать в унисон с низкочастотным динамиком, бумбоксом или басовой трубой органа. Затем хитроумная система из маленьких косточек – с восхитительными названиями «молоточек», «наковальня» и «стремечко» – передает эти вибрации во внутреннее ухо, где тысячи крошечных волосковых клеток реагируют на определенные частоты. Они передают информацию о частоте вибрации напрямую в мозг.

Нормальный человеческий слух может различать все частоты от 20 до 20 000 циклов в секунду. В научной литературе принято обозначать «циклы в секунду» наименованием «герц» (сокращенно Гц), но я – для наглядности – буду использовать более длинную фразу. Есть и другие звуки, недоступные человеческому уху, например ультразвуковой свист, который собака слышит, а мы нет.

Но что представляют собой те волны, которые мы воспринимаем зрением, – те, что приведут нас к пикселям? На каких частотах вибрирует зрение?