Стратегии решения математических задач: Различные подходы к типовым задачам

Задача 1.6

Джимми подбрасывает одновременно две монетки. Он делает это до тех пор, пока хотя бы на одной монетке не выпадет орел (О). На этом игра заканчивается. Какова вероятность того, что в последнем подбрасывании орел выпадет на обеих монетках?

Обычный подход

Первая реакция – это взять две монетки и посмотреть, какими будут результаты после большого числа подбрасываний. Вместе с тем, как и в большинстве вероятностных экспериментов, пространство выборок чаще всего оказывается слишком маленьким, чтобы предсказать результат с приемлемой точностью.

Образцовое решение

Обратимся к стратегии логического рассуждения. При выполнении этого эксперимента все предыдущие подбрасывания монеток не имеют значения. Значение имеет только одно подбрасывание, в результате которого выпадает орел (О). Поэтому ограничимся анализом только этого последнего подбрасывания. Возможными являются четыре варианта:

В трех из этих четырех вариантов выпадает как минимум один орел. Орел не выпадает только в одном варианте – его можно отбросить. Единственный вариант с двумя орлами – это ОО. Таким образом, вероятность составляет

Задача 1.7

У одних пород свиней рождаются поросята с двумя завитками на хвостах, у других пород – с тремя завитками. Фермер поручает своим детям подсчитать, сколько свиней находится в свинарнике. Дети, одержимые математикой, сообщают ему, что количества свиней с двумя завитками и с тремя завитками выражаются простыми числами, а общее количество завитков на хвостах равно 40. Сколько свиней в свинарнике фермера?

Обычный подход

Если взять за x количество свиней с двумя завитками на хвостах, а за y – количество свиней с тремя завитками, то мы получаем уравнение 2x + 3y = 40. Это одно уравнение с двумя неизвестными. Числа здесь сравнительно невелики, поэтому можно попробовать найти ответ путем подстановки различных значений x и y. Вместе с тем, поскольку известно, что x и y простые числа, выбор ограничивается следующими величинами: 19, 17, 13, 11, 7, 5, 3 и 2. В любом случае процесс решения довольно длителен, скучен и громоздок.

Образцовое решение

Если взять за x количество свиней с двумя завитками на хвостах, а за y – количество свиней с тремя завитками, то 2x + 3y = 40, как мы уже говорили. Однако на этот раз пойдем дальше и проанализируем полученное уравнение, опираясь на логику. Поскольку и 40, и 2x − четные числа, четным числом должен быть и y, иначе сумма (40) не будет четной. Поскольку y – простое число, он должен быть равен 2 (это единственное четное простое число), а 3y должно равняться 6. Теперь решим уравнение для x:

2x + 6 = 40,

2x = 34,

x = 17.

У фермера в свинарнике 17 + 2, или 19 свиней.

Задача 1.8

Число называют «специальным», если оно делится на сумму составляющих его цифр. Какое из следующих чисел удовлетворяет этому условию?

11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, 11111111, 111111111.

Обычный подход

Обычно мы подсчитываем сумму цифр в каждом числе и делим число на эту сумму. Например, 11 должно делиться на 1 + 1, или на 2. Но оно не делится на 2, поэтому 11 не является специальным числом. Если действовать таким образом, то нам придется решить восемь небольших задачек.

Образцовое решение

Хотя описанный выше подход в конечном итоге позволяет решить задачу, воспользуемся логическим рассуждением для поиска более изящного решения. Прежде всего, очевидно, что все приведенные числа являются нечетными, поскольку ни одно из них не оканчивается на 2, 4, 6, 8 и 0. Четное количество единиц даст нам четную сумму. Это позволяет отбросить числа с четной суммой единиц: 11, 1111, 111111 и 11111111. Помимо этого, число 11111 не делится на 5, поскольку оно не оканчивается на 0 или 5.

Если проверить число 1111111, то окажется, что оно не делится на 7. В результате у нас остаются всего два числа. Число 111 делится на 3, т. е. на сумму входящих в него цифр (3 × 37). Аналогичным образом число 111111111 делится на 9 (т. е. 9 × 12 345 679). Таким образом, 111 и 111111111 являются двумя «специальными» числами в приведенном числовом ряду.

Задача 1.9

Наименьшее число, которое делится на первые девять целых чисел, равно 2520. Какое наименьшее число будет делиться на первые 13 целых чисел?

Обычный подход

Проще всего найти все множители для первых 13 целых чисел и перемножить их. Это, правда, потребует много времени и утомительных вычислений. Не забывайте, что множители нельзя повторять (например, множитель 8 недопустим, поскольку 4 и 2 уже использовались). Так или иначе, данный метод позволяет в конечном итоге получить правильный ответ, если, конечно, все сделать тщательно и без ошибок.

Образцовое решение

Теперь попробуем порассуждать. Очевидно, что множители от 1 до 9 (первые девять целых чисел) уже использовались для получения произведения, равного 2520. Следовательно, нам нужно рассмотреть только целые числа 10, 11, 12 и 13, поскольку число 2520, задействующее предыдущие целые числа, уже известно. Множители 10 (5 × 2) и 12 (4 × 3) уже использовались. Однако 11 и 13 – это простые числа, которые делятся только сами на себя и на 1. Таким образом, умножив 2520 × 11 × 13, мы определяем, что наименьшее число, которое делится на первые 13 целых чисел, равно 360 360.

Задача 1.10

Ал, Барбара, Кэрол и Дэн сдают экзамен по математике. В целом они правильно ответили на 67 вопросов, и у каждого из них есть как минимум один правильный ответ. Ал дал больше всего правильных ответов. Барбара и Кэрол дали в сумме 43 правильных ответа. Сколько правильных ответов дал Дэн?

Обычный подход

Обычно делают предположение для каждого участника экзамена, проверяют, не нарушаются ли условия задачи, и смотрят, дают ли предположения в сумме 67. Такой подход может дать правильный ответ, однако все очень зависит от удачности предположений.

Образцовое решение

Применим нашу стратегию логического рассуждения. Поскольку Барбара и Кэрол вместе дали 43 правильных ответа, у одной из них таких ответов должно быть, как минимум, 22, а у другой – 21. Так как Ал оказался впереди всех, то с учетом предыдущих предположений в отношении Барбары и Кэрол у него должно быть, как минимум, 23 правильных ответа. Если допустить, что у Ала 23 правильных ответа, у Барбары – 22, а у Кэрол – 21, то в сумме у них будет 23 + 22 + 21 = 66 правильных ответов. Это означает, что Дэн правильно ответил только на один вопрос. Поскольку у всех есть как минимум один правильный ответ, результат 1 для Дэна правилен.

Задача 1.11

Лайза, которая едет на велосипеде по мосту, соединяющему точки A и B, и уже преодолела его длины, слышит, что сзади приближается поезд, движущийся со скоростью 60 км/ч. Она прикидывает расстояния и решает, что впритык сможет избежать столкновения, если поедет в любую сторону (к точке A или точке B) максимально быстро. Какова ее максимальная скорость?

Обычный подход

Поскольку длина моста неизвестна, зададим ее произвольно, выбрав какое-нибудь удобное (хотя, может быть, и нереалистичное) число, скажем, 8 км. Если Лайза поедет назад, к началу моста (точка A), со скоростью y км/ч, то она преодолеет 3 км за часа. За это время поезд пройдет x км от точки A. Данный отрезок времени можно представить, как Это дает нам уравнение: или xy = 180.

Если Лайза поедет к точке B, то аналогичным образом мы получим уравнение или xy + 8y = 300.

Объединив эти два уравнения, мы получим 8y = 300 – 180 = 120, а следовательно, y = 15.

Таким образом, максимальная скорость Лайзы равна 15 км/ч.

Образцовое решение

Стратегия логического рассуждения дает более изящное решение. Раз Лайза впритык успевает доехать до любого конца моста, будем считать, что она едет вперед к точке B. К тому моменту, когда поезд подойдет к точке A, она преодолеет еще пути, т. е. всего длины моста (или его длины). Теперь ей нужно проехать оставшуюся моста за то же самое время, которое требуется поезду, чтобы преодолеть полную длину моста. Таким образом, ее скорость равна скорости поезда, т. е. 15 км/ч.

Задача 1.12

Если S = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + … + 98! + 99! то какая цифра в числе S будет находиться в разряде единиц?

Напомним, что символ n! означает 1 × 2 × 3 × 4 × … × (n – 1) × n.

Обычный подход

Как правило, при решении такой задачи возникает желание определить значение каждого факториала, а затем сложить полученные значения и получить S. Помимо того, что это скучное занятие, оно еще чревато арифметическими ошибками.

Образцовое решение

Если проанализировать числовой ряд, составляющий S, и упростить его, то мы получим следующее:

S = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + … + 98! + 99!

S = 1 + 2 + 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 2 × 3 × 4 × 5 + … + 98! + 99!

S = 1 + 2 + 6 + 24 + 10k, где k – натуральное число.

Мы представили члены числового ряда, начиная с 5! как 10k, поскольку 5! предполагает наличие множителя 10. Любое число, кратное 5! будет кратно 10. Так как 6! кратно 5! а 7! кратно 6! то факториал любого n, превышающего 5, будет кратен 10. Таким образом, в разряде единиц будет находиться 0.

Глава 2
Распознавание закономерности

Одной из чудесных сторон математики является возможность выявления закономерностей в решаемых задачах. Известный математик Уолтер Сойер как-то заметил, что математику вполне можно представить, как процесс поиска закономерностей. Одно из самых распространенных применений математики – предсказание того, что происходит регулярным образом. Например, сколько пшеничных лепешек потребуется для трех человек? А для четырех? Для 10 человек? Для n человек?

Умение распознавать закономерности очень важно для решения задач. Выявив закономерность в результате анализа ряда конкретных примеров, вы можете обобщить ее и превратить в более широкое решение. Например, когда просят назвать следующие два числа в ряду 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, __, __, мы должны проанализировать ряд, чтобы понять, есть ли в числах какая-либо закономерность. В конце концов, если первые три члена это 1, 2, 3, то разве не 4 должно идти за ними? А вот и нет! Мы замечаем, что каждый член после третьего представляет собой сумму трех предшествующих чисел. (Это последовательность типа Фибоначчи.) Иначе говоря, 1 + 2 + 3 = 6, 2 + 3 + 6 = 11, 3 + 6 + 11 = 20 и т. д. Если продолжить ряд таким образом, то следующими двумя числами будут 11 + 20 + 37 = 68 и 20 + 37 + 68 = 125.

Даже маленькие дети пользуются закономерностями. Когда малыши начинают ходить в школу, они учатся считать. Закономерности помогают им вести счет единицами, потом двойками, пятерками и т. д. Если задать второкласснику вопрос, какое число будет следующим в ряду 3, 6, 9, 12, …, он спросит себя: «Сколько мне нужно прибавить к каждому числу, чтобы получить следующее?» Это практически естественное использование стратегии поиска закономерности.

Большинство из нас широко пользуются закономерностями в повседневной жизни. Некоторые из этих «закономерностей» требуют мнемонического подхода. Слово «мнемонический» происходит от древнегреческого слова mnemonikos, означавшего запоминающее устройство. Многие из нас знакомы с мнемоническим правилом запоминания порядка цветов в спектре «Каждый Охотник Желает Знать, Где Сидит Фазан» (красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый). Мы используем закономерности для запоминания кода замка шкафчика в раздевалке спортивного зала, телефонного номера и номерного знака автомобиля. В поисках дома с определенным номером мы почти интуитивно ожидаем увидеть нечетные номера на одной стороне улицы, а четные на другой – простая, но очень ценная закономерность.

Закономерности широко используются полицией. Если происходит серия преступлений, то следователь ищет стиль поведения преступников (modus operandi).

Врач обычно смотрит на характер поведения человека, чтобы определить его заболевание. Имея за плечами опыт лечения болезней, он распознает закономерные проявления недуга.

Эффективность стратегии распознавания закономерностей видна яснее всего на конкретных примерах, особенно когда не очевидно, что эту стратегию можно использовать для решения данной задачи. Допустим, вас просят найти цифру в разряде единиц у числа, представленного как 1323. Наиболее очевидный подход – взять калькулятор и возвести 13 в 23-ю степень. Однако это сложная задача, даже если есть калькулятор, способный воспроизвести количество разрядов такого огромного числа. Вместо этого можно проанализировать результаты возведения числа 13 в степень в порядке возрастания показателя и посмотреть, не образуют ли последние цифры какую-либо закономерность, помогающую дать ответ.

Похоже, при возведении числа 13 в степень последняя цифра образует ряд:

3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, …

Изменения происходят с периодом 4. Таким образом, число 1323 будет иметь ту же цифру в разряде единиц, что и 133, т. е. 7.

Фактически эта задача высвечивает интересный вопрос в отношении закономерностей. Можно ли утверждать, что при возведении всех чисел в степень цифра в разряде единиц изменяется циклически? Некоторые числа можно назвать сразу. Например, 5 в любой степени будет иметь в конце 5 (5, 25, 125, 625, …). Такое свойство чисел очень интересно и ценно для решения задач путем распознавания закономерности. Попробуйте определить закономерность изменения цифры в разряде единиц при возведении в степень других чисел.

Следует, однако, предостеречь читателей. Иногда случается, что закономерность вроде бы есть, но не вполне стабильная. Например, кажется, что любое нечетное число, начиная с 3, можно представить, как сумму 2 в той или иной степени и нечетного числа. При попытке проверить это практически оказывается, что данное «правило» выполняется вплоть до числа 125. Как ни странно, но оно не действительно для следующего нечетного числа 127. Таким образом, применять стратегию распознавания закономерности для решения задач следует с осторожностью. Впрочем, это всего лишь исключение, которое не должно удерживать вас от использования данного метода.

3 = 2⁰ + 2

5 = 2¹ + 3

7 = 2² + 3

9 = 2² + 5

11 = 2³ + 3

13 = 2³ + 5

15 = 2³ + 7

17 = 2² + 13

19 = 2⁴ + 3

и так далее

51 = 2⁵ + 19

и так далее

125 = 2⁶ + 61

127 =?

129 = 2⁵ + 97

131 = 2⁷ + 3.

Перейдем теперь к задачам, которые наиболее эффективно решаются путем распознавания закономерности, особенно когда такая закономерность не очевидна.