Эта формула распространяется и на другие случаи умножения двузначных чисел с одинаковым числом десятков и когда сумма единиц равна 10. Один из частных случаев этой формулы применяется для вычисления квадратных корней для чисел, оканчивающихся на 5.
В этой главе приведу частный случай этой формулы. О самой формуле напишу более подробно в другой моей книге.
Формула вычисления квадратов, для чисел, оканчивающихся на 5:
Х52=Х* (Х+1) *100+52=Х* (Х+1) 25
Квадраты чисел, оканчивающихся на 5
По сути, если число заканчивается на 5, то нужно число десятков увеличить на 1 и перемножить эти числа, в конце полученного результата дописать 25.
Примеры
1) 152=1* (1+1) *100+52=200+25=225;
2) 252=2* (2+1) *100+52=600+25=625;
3) 752=7*8*100+52=5600+25=5625;
4) 952=9000+25;
5) 1152=11*12*100+25=13225
На практике никакого умножения на 100 не производится. На самом деле сначала пишут результат умножения числа десятков на следующее за ним число и к нему приписывается 25:
852=7225.
Доказательство.
Представим число оканчивающееся на 5 как 10*Х+5, где Х-любое число из натурального ряда (5 пример показывает, что число может быть любым, а не только однозначным).
Тогда
Х52= (10Х+5) * (10Х+5) =100Х2+50Х+50Х+5*5=100Х2+100Х+25=100Х* (Х+1) +25=Х* (Х+1) *100+25=Х* (Х+1) 25
Многие вычислители (ментальные счётчики, фокусники-математики) используют следующую формулу для вычисления чисел из отрезка [25;50].
ХУ2= (ХУ-25) *100+ (50-ХУ) 2
Формула для вычислений квадратов чисел от 25 до 50 включительно
Для использования формулы потребуется хорошее знание квадратов чисел до 25.
Вторая формула применяемая вычислителями, используется для чисел от 50 до 100 включительно:
ХУ2= (ХУ-50) *200+ (100-ХУ) 2
Формула для вычисления квадратов чисел от 50 до 100 включительно
Использование формулы потребует знания квадратов чисел до 50.
Например, для подсчёта квадрата 67, необходимо знание квадрата числа 33=100—67.
Для вычисления квадратов чисел используют всего две формулы из всех формул сокращенного умножения:
(a+b) 2=a2+2*a*b+b2;
(a‒b) 2=a2—2*a*b+b2.
Формулы сокращённого умножения
Формулы сокращенного умножения в школьном курсе используются для подсчета квадратов для чисел близких к круглым.
Например, необходимо подсчитать квадрат числа 41. Тогда по формуле сокращенного умножения легко преобразовать:
412= (40+1) 2=402+2*40*1+12=1600+80+1=1681
392= (40—1) 2=402—2*40*1+12=1600—80+1=1521
Квадрат числа, которое на единицу отстаёт (возрастает) от легковычисляемого квадрата приведены выше. Вычислим квадраты чисел, которые отстают (возрастают) на 2 единицы.
422= (40+2) 2=402+2*40*2+12=1600+160+22=1764
382= (40—2) 2=402—2*40*2+22=1600—160+4=1444
Далее, если число отстаёт (возрастает) на 3 единицы сложность вычислений немного увеличивается:
432= (40+3) 2=402+2*40*3+32=1600+240+9=1849
372= (40—3) 2=402—2*40*3+32=1600—240+9=1369
Если рассматривать числа, которые отстают (возрастают) на 4 единицы, то сложность вычислений по сравнению с другими методами или даже другим выбором «круглого» квадрата очень большая:
442= (40+4) 2=402+2*40*4+42=1600+320+16=1936
362= (40—4) 2=402—2*40*4+42=1600—320+16=1296
Сравните с другими методами:
а) формула квадратов для чисел от 25 до 50
442= (44—25) *100+ (50—44) 2=1900+36=1936
362= (36—25) *100+ (50—36) 2=1100+196=1296;
б) формула сокращенного умножения с выбором другого квадрата
442= (45—1) 2=452—2*45*1+12=2025—90+1=1936
362= (35+1) 2=352+2*35*1+12=1225+70+1=1296
Таким образом можно сделать вывод что формулы сокращенного умножения удобно использовать, если число близко к круглому числу (оканчивающимся на 0 или на 5) на одну единицу. В остальных случаях (числа заканчиваются на цифры 3 и 7) лучше использовать другие формулы для вычислений.