Czytaj książkę: «Didáctica de la geometría: el modelo Van Hiele»

I

El modelo de enseñanza y aprendizaje de Van Hiele

1.El modelo de enseñanza y aprendizaje de Van Hieley

1.1Geometría: una recuperación necesaria

Cuenta Vitruvio (De architectura, 1^er. siglo adJ) que Arístipo, filósofo socrático, fue lanzado por un naufragio a las costas de la isla de Rodas. Al apercibirse de las figuras geométricas dibujadas sobre la arena, se volvió hacia sus compañeros exclamando: “¡Debemos conservar la esperanza, porque en esto veo obra de hombres!”.

No es extraña la cita si se entiende que históricamente la Geometría, ese producto refinado de la actividad inteligente de los hombres que aspira a ser la única representación posible de la realidad, ha ocupado el lugar de honor en el dominio de las Matemáticas y aun de todas las ciencias. ¿Cómo no va a ser objeto de admiración la primera entre las ciencias que logra organizar todo el saber acumulado, codificarlo, elaborar un sistema axiomático y unos mecanismos de razonamiento que controlen y vivifiquen la imaginación creadora? Euclides fecit. Sus “Elementos”, considerados arquetipo de presentación rigurosa, han sido durante siglos referencia obligada para la enseñanza de la Geometría, y ésta, “prima donna” de los programas escolares.

Pero todo eso ya es historia. El lugar de privilegio dejó de ser tal a partir de los movimientos de reformas curriculares en los años sesenta, y a ellos convendría hacer referencia.

Distintos factores, de orden externo e interno, favorecen la eclosión de las “matemáticas modernas” en la enseñanza. Curiosamente, la O.E.C.E. (organismo de carácter económico precursor de la O.C.D.E.) crea en 1958 la Agencia del Personal Científico y Técnico, uno de cuyos objetivos es “hacer más eficaz la enseñanza de las ciencias y las matemáticas”. ¿A qué es debido? En octubre de 1957 la URSS lanza el primer Sputnik y en el mundo occidental cunde la inquietud por su retraso tecnológico. Tras el periodo de reconstrucción económica de postguerra, la expansión y la modernización industrial se hacen ineludibles. Y una sociedad que se enfrenta a un nuevo modelo de desarrollo económico que inevitablemente conllevará una profunda transformación social, debe abordar la renovación de su sistema escolar. Ello origina, de un lado, la generalización de la obligatoriedad de la enseñanza con la consiguiente necesaria adecuación de los métodos pedagógicos concebidos hasta entonces para la formación de élites; de otro, la orientación masiva de los estudiantes de secundaria hacia los estudios técnicos. Así, la reforma de las matemáticas –consideradas como la base de una cultura general enfocada hacia la ciencia y la técnica– se inscribe en una política de formación al servicio de la modernización económica.

Paralelamente, la pujanza del desarrollo interno de las matemáticas a lo largo del siglo XX propicia la apertura de un progresivo abismo entre los contenidos de los programas de secundaria y la enseñanza universitaria que únicamente es posible salvar introduciendo profundas reformas en aquéllos.

Es en este contexto que Dieudonné lanza su célebre ¡Abajo Euclides!, y la sonora exclamación se convierte en banderín de enganche de la modernidad.

Los reformadores trabajan alrededor de tres ideas claves: “las matemáticas lo impregnan todo”, “hay que enseñar las matemáticas de nuestro tiempo”, “hay que reformar los métodos pedagógicos”. Hijos de Bourbaki, se adscriben a las corrientes formalistas que priorizan la enseñanza axiomática, estructural de las matemáticas, que conciben éstas como sistema de símbolos, como lenguaje por oposición a conjunto de conocimientos, a pensamiento (Lévy-Leblond). Y siendo lenguaje abstracto y universal, susceptible de ser aplicado a realidades concretas muy diversas. Indudablemente esta última cualidad hace que las “matemáticas modernas” sean presentadas como las matemáticas útiles que demanda un momento socio-económico que requiere individuos formados de un modo polivalente fácilmente adaptables a las necesidades de un mercado de trabajo dinámico.

Apoyándose en Piaget, los reformadores, preconizan la pedagogía activa, abierta, pero olvidan que Piaget muestra que el motor del desarrollo intelectual del niño es la actividad y no el lenguaje. El niño se transforma a sí mismo transformando su entorno por una acción real (manipulación) o interiorizada (“operación”). La práctica docente de los reformadores engendra una extraña pedagogía en la que el alumno en vez de construir nociones matemáticas transferibles a otras situaciones, se contenta con traducir la situación a un lenguaje matemático y su actividad se reduce a la manipulación de símbolos. El ansia desmesurada por instalar al alumno en la abstracción, en la “matemática viva”, ha hecho que, en secundaria, la aptitud para razonar rigurosamente sobre objetos matemáticos de los que se ignora el sentido haya sido cultivada como virtud.

Por otra parte, las matemáticas modernas, las “matemáticas para todos” soñadas como “forjadoras de hombres libres” y propiciadoras de la democratización de la enseñanza (ver prólogo de Godement en su Curso de Álgebra) se han convertido en el elemento clave de selección social. Paradoja comprensible en una sociedad que mantiene en aparente armonía los opuestos de la contradicción “democracia-jerarquía”.

En lo que respecta a Geometría, si bien los reformadores parten, también aquí, de encomiables intenciones: “...deshacerse de esa geometría tradicional pseudoaxiomática, pretenciosamente deductiva que parte de definiciones engañosas y llega a través de demostraciones poco convincentes a teoremas triviales o mal formulados…” (utilizando pala-bras de Freudental), lo sucedido en la práctica es que el desprecio hacia la utilización de figuras ha llevado al extremo de abandonar cualquier tipo de experiencia visual y constructiva, extirpando toda posibilidad de estímulo de la intuición. En definitiva, la Geometría, concebida como el aprendizaje de la organización y aprehensión del espacio, ha desaparecido de los programas de secundaria (ver Anexo 1).

En estos momentos en que los vientos de reforma vuelven a estar, justificadamente, a la orden del día, sigue abierta la polémica acerca de qué enseñar y cómo hacerlo. Y sigue abierta fundamentalmente en Geometría (culpable ella por su propia complejidad y riqueza). Ya no es habitual encontrar defensores de posiciones extremas: nadie opta por regresar a metodologías pretéritas y se afirma unánimemente la necesidad de reparar “perversiones” pasadas rehabilitando la posición de la Geometría en los currícula de Matemáticas.

Si enseñar significa, en esencia, iniciar a una actividad, enseñar matemáticas no puede consistir en mostrar al alumno un producto acabado, estático. Situar al alumno en el interior de un edificio bello, armoniosamente estructurado, y mostrarle cuáles son los mecanismos que le permitirán su recorrido y cuáles los recursos que le permitirán la verificación de la corrección o incorrección de sus acciones, puede resultar un ejercicio hermoso de contemplación estética, pero si toda comprensión real supone necesariamente la reinvención por parte del sujeto del objeto de su estudio, bien poco habremos conseguido. Matematizar, organizar matemáticamente una cierta materia y sistematizar los conocimientos progresivamente construidos, va más allá de lo verbal; implica la acción comprensiva, la experimentación, el recurso a la intuición y a la inducción, en definitiva, la creación.

Los Van Hiele, partiendo de la consideración de las matemáticas como actividad y del proceso de aprendizaje como proceso de reinvención, han formulado su teoría caracterizando una jerarquía de niveles cuyo tránsito ordenado facilita una didáctica posible.

En nuestras clases de Geometría podemos observar cómo los alumnos tienen dificultades para definir formas geométricas que habitualmente reconocen, o son incapaces de relacionar unas formas geométricas con otras a partir de sus propiedades, o se muestran perplejos al enfrentarse a demostraciones de algo que les resulta evidente. Estos y otros comportamientos vienen a reflejar lo que los Van Hiele llaman nivel de madurez geométrica del alumno.

En el año 1957, los profesores holandeses, Dina y Pierre Marie Van Hiele, leen sus tesis doctorales, completadas simultáneamente, en la Universidad de Utrech. De ellas surge el modelo al que dan nombre. Dina murió al poco tiempo, siendo Pierre Marie el encargado de clarificar, mejorar y avanzar la teoría. Sin embargo –con la excepción de la Unión Soviética, donde el currículum de geometría fue revisado en los años sesenta para ajustarse al modelo Van Hiele– pasaron muchos años hasta que empezó a ser considerado. En Estados Unidos se habla de él en los años setenta gracias a los trabajos de Izaak Wirzup (1976). En Holanda, Hans Freudenthal hace referencia al modelo en su libro “Mathematics as an Educational Task” (1973).

El modelo compara el aprendizaje con un proceso inductivo y propone cinco niveles de conocimiento en Geometría que habitualmente se enumeran como: 0 o Visualización; 1 o Análisis; 2 o Deducción informal; 3 o Deducción formal; 4 o Rigor. Los Van Hiele afirman que sólo el respeto a la jerarquía de niveles posibilita un aprendizaje correcto. Los estudiantes progresan a través de los niveles en el orden en que se citan. Si un nivel no ha sido suficientemente consolidado antes de proceder a la instrucción en el nivel siguiente, el alumno trabajará únicamente, en el nivel más alto, de modo algorítmico.

1.2Componentes del modelo

1.2.1Los niveles de razonamiento

La descripción que aquí se expone está tomada directamente de la que utilizan Shaughnessy y Burger en “Mathenatics Teacher” 1985.

Nivel 0: Visualización

En este nivel, una figura geométrica es vista como un todo desprovisto de componentes o atributos. Las descripciones reflejan experiencias puramente visuales, hasta el punto de que un alumno de este nivel, a la pregunta de por qué una figura es un rectángulo, responderá diciendo que porque se parece a una puerta o a una ventana (p. ej.). Un alumno en este nivel puede aprender vocabulario geométrico, puede identificar formas geométricas determinadas de entre un conjunto de ellas y, dada una figura, puede reproducirla.

Nivel 1: Análisis

El alumno analiza de un modo informal las propiedades de las figuras percibidas mediante procesos de observación y experimentación. Empiezan a establecerse las propiedades esenciales de los conceptos aunque todavía el alumno es incapaz de ver relaciones entre propiedades y entre figuras. Tampoco es capaz de elaborar o entender definiciones. En este nivel un alumno diría, por ejemplo, que “un rectángulo es una figura geométrica con cuatro lados, cuatro ángulos, lados opuestos paralelos, ángulos iguales, ….”, es decir, aportaría toda una retahila de propiedades.

Nivel 2: Deducción informal (Ordenación)

El alumno ordena lógicamente las propiedades de los conceptos, empieza a construir definiciones abstractas y puede distinguir entre necesidad y suficiencia de un conjunto de propiedades en la determinación de un concepto. En este nivel puede seguir y dar argumentos informales, pero no comprende el significado de la deducción o el papel de los axiomas. Puede seguir demostraciones formales pero no puede entender cómo construir una demostración partiendo de premisas diferentes.

Nivel 3: Deducción formal

El alumno razona formalmente dentro del contexto de un sistema matemático con términos indefinidos, axiomas, un sistema lógico subyacente, definiciones y teoremas. En este nivel un alumno es capaz de construir, no ya memorizar, demostraciones. Se puede estudiar la posibilidad de que una demostración se desarrolle siguiendo más de una secuencia de proposiciones. Se entiende la interacción entre condición necesaria y suficiente.

Nivel 4: Rigor

El alumno puede comparar sistemas basados en axiomáticas diferentes y puede estudiar distintas geometrías en ausencia de modelos concretos. Este nivel es prácticamente inalcanzable por un estudiante de secundaria. Por ello la mayoría de los trabajos de investigación se centran en los tres primeros. El propio Pierre Marie Van Hiele reconoce su interés casi exclusivo por los tres primeros niveles.

1.2.2Las fases del aprendizaje

Los Van Hiele aseguran que el progreso a través de los niveles depende más de la instrucción previamente recibida que de la edad o madurez intelectual del alumno. Esta aseveración está sobradamente probada por sus propias investigaciones y las de los psicólogos soviéticos. Nosotros hemos podido constatarlo sometiendo a tests similares al que se expone en el Anexo 1 a alumnos de Formación Profesional y de Reforma y concluyendo de los resultados que las deficiencias detectadas son similares a las de alumnos universitarios.