Czytaj książkę: «Fundamentos de matemática»

Conjuntos numéricos

Los conjuntos numéricos a lo largo de la historia

Aunque hoy nos es muy familiar el concepto de número, este fue elaborado muy lentamente a través de los tiempos.

En el siglo XXII a. de C para poder realizar importantes obras, los babilonios tuvieron que desarrollar un sistema de numeración útil, el mismo era de base 60 (a diferencia del actual, que es de base 10).

Los chinos también conocían las fracciones, y sabían reducir a común denominador. Llamaban «hijo» al numerador, y «madre» al denominador.

La escuela pitagórica (siglo V a. de C.) descubrió que solo con los números naturales y las fracciones no podían realizarse todas las medidas posibles. Existían pares de segmentos, como la diagonal y el lado de un cuadrado, cuyo cociente de longitudes no es una fracción y llamaron a tal razón «alogos» o irracional. Hacia el año 500, en la India se plasmaron los orígenes de nuestro sistema de numeración, aceptaron las soluciones negativas de las ecuaciones, al tiempo que admitían como números las raíces de otros números que no podían ser expresados mediante números racionales.

Durante el siglo XVI, se popularizó el uso de la barra horizontal para separar los términos de una fracción, se solucionaban algunos problemas y surgían otros como por ejemplo resolver ecuaciones de segundo grado y otras de grado mayor. Empezaron a encontrarse expresiones como la raíz cuadrada de números negativos que no se sabían interpretar, de aquí surge un nuevo tipo de números, que denominaron ficticios, como solución a las raíces cuadradas de números negativos.

El problema de los números irracionales no se resolvió por completo hasta el siglo XVII, cuando Fermat, matemático francés que puede ser considerado el padre de la moderna teoría de números, demostró que expresiones como raíz cuadrada de 3 no eran números racionales.

Solo quedaba por resolver el problema de las raíces negativas; y esto ocurrió en 1777, cuando Euler dio a la raíz cuadrada de –1 el nombre de i (imaginario) y en 1799, Gauss acabó de resolver el problema al demostrar que las soluciones de cualquier ecuación algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecía a un conjunto de números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos de un número «ordinario» (hoy lo llamamos número real), más un múltiplo de la raíz cuadrada de –1, llamado unidad imaginaria.

Extracto tomado de ECURED (2014) Conjuntos numéricos (consulta: 20 de enero) (http://www.ecured.cu/index.php/Conjuntos_num%C3%A9ricos)

Objetivos

• Definir los conjuntos numéricos.

• Distinguir las diferencias que existen entre un número racional e irracional, o entre un número real y complejo.

Introducción

Un número es una idea que expresa una cantidad, ya sea por medio de una palabra o de un símbolo y recibe el nombre de numeral.

A lo largo de la historia, cada civilización adoptó un sistema de numeración propio. En la actualidad aún se usa el de numeración romana, que se desarrolló en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Es un sistema de numeración no posicional en el que se usan letras mayúsculas como símbolos para representar cantidades:

I: uno

V: cinco

X: diez

L: cincuenta C: cien

D: quinientos M: mil

Actualmente, el sistema universalmente aceptado (excepto algunas culturas) es el Sistema de Numeración Decimal en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez 10, por lo que se compone de las cifras cero (0), uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes.

Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas cada una relacionada con la otra y es más completa y con mayores posibilidades en sus operaciones.

Gráfico 1.1 Tipos de conjuntos numéricos

1. Números naturales

DEFINICIÓN: son los que usamos para contar u ordenar los elementos de un conjunto no vacío.

SIMBÓLICAMENTE: N = {1; 2; 3; …; n; n + 1}

Están ordenados en forma creciente, lo que nos permite representarlos sobre una recta del siguiente modo:

Actividad 1.1:

• ¿Se puede afirmar que todo número natural tiene un antecesor? ¿Por qué? Ejemplifique.

• ¿Se puede afirmar que todo número natural tiene un sucesor? ¿Por qué? Ejemplifique.

2. Números enteros

Para solucionar el problema que se presenta al restar números naturales donde el minuendo es igual o menor al sustraendo, se agrega el número cero y los números opuestos a los naturales.

De ese modo 3 – 3 = 0 (cero) y 3 – 7 = – 4 (opuesto de 4).

DEFINICIÓN: el conjunto de los Números Enteros está formado por la unión de los Naturales, el cero y los opuestos de los Números Naturales.

SIMBÓLICAMENTE: Z = {…–3, –2, –1,0,1,2,3,…}

En general si a es un entero, se dice que, – a es el opuesto de a.

Los números enteros permiten representar nuevos tipos de cantidades (como los saldos acreedores o deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las alturas sobre o bajo el nivel del mar o temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la planta baja, etcétera).

Nota: al conjunto ₀ = {0; 1; 2; 3;…} que como se ve tiene como elementos al cero y a los números naturales se le denomina conjunto de los números cardinales.

Operaciones en Z

La suma y el producto de números enteros es siempre otro número entero.

Ejemplos:

3 + 7 = 10

3 + (–7) = –4

(–3) + 7 = 4

(–3) + (–7) = –10

3.7 = 21

3. (–7) = –21

(–3). 7=–21

(–3). (–7) = 21

La diferencia a – b es considerada como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

a – b = a + (–b), donde a es el minuendo y b es el sustraendo.

Ejemplos:

3 – 7 = 3 + (–7) = –4

3 – (–7) = 3 + 7 = 10

(–3) – 7 = (–3) + (–7) = –10

(–3) – (–7) = (–3) + 7 = 4 ≠ 3 + 7 = 10

La división entre números enteros nos arroja como resultados dos números enteros llamados cociente y resto.

Si denotamos con a al dividendo, con b al divisor, con q al cociente y con r al resto, se tendrá que al dividir a entre b, el cociente q indica las veces que b está contenido en a, pudiendo quedar un resto r, positivo o nulo. Esto se expresa con la siguiente igualdad: a = q. b + r, 0 ≤ r ≤ |b|.

La división a:b es la operación que representa la acción de repartir a elementos de un conjunto en b partes iguales, quedando en muchos casos un residuo no nulo. En todos los casos q y r son únicos.

Ejemplos:

1. Al repartir 32 caramelos entre 3 hermanitos, a cada uno les tocan 10 caramelos y sobrarán 2. Simbólicamente se tendrá: 32 = 3 · 10 + 2.

2. Si se quiere repartir una deuda de $ 45 en 8 personas, a cada una le corresponderá pagar $ 6 quedando un dinero a favor de $ 3. Esto se expresa formalmente diciendo que la división de –45 entre 8 arroja un cociente – 6 y resto 3 pues – 45 = 8 · (– 6) + 3.

Actividad 1.2:

Complete:

• La suma de dos números enteros da siempre un número ........................................

Anote dos ejemplos: ........................................

• La multiplicación de dos números enteros da siempre un número ........................................

Anote dos ejemplos: ........................................

3. Números racionales

¡Dividir es repartir en partes iguales!

Un grupo de 6 amigos juega a las cartas con un mazo de 52 cartas.

El juego consiste en repartir todas las cartas y dejar el resto en el centro de la mesa. ¿Cuántas cartas le corresponden a cada uno? ¿Cuántas cartas quedan en el centro?

¡Tú puedes deducir la respuesta!

DEFINICIÓN: son los que se pueden escribir como el cociente de dos enteros. Se pueden expresar como fracción.

EN SÍMBOLOS:

Los números racionales representan partes de un todo.

También, los números racionales, se caracterizan por su expresión decimal:

Las partes sombreadas de los siguientes objetos están representadas por números racionales.

Observe que:

Entonces «Todos los enteros son racionales». Es decir

Notación decimal

Todo número racional puede expresarse en notación decimal ya sea exacta o infinita periódica.

Cada número racional expresado en notación decimal está compuesto de dos partes:

es un conjunto denso

Entre dos números racionales hay infinitos números racionales. Esta afirmación podría justificarse sencillamente si tenemos en cuenta que la suma de racionales es siempre otro racional, el promedio será otro racional y estará comprendido entre ellos.

Podríamos continuar indefinidamente el procedimiento de promediar dos números racionales, encontrando siempre que hay otro racional entre dos racionales, por más próximos que estén. Por ello decimos que Q es un conjunto denso.

Actividad 1.3:

Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.

1.

( )

2.

( )

3.

( )

4.

( )

4. Números irracionales

Todos los números racionales están representados por puntos sobre la recta numérica, pero ¿todos los puntos de la recta son representaciones de números racionales? La respuesta es NO. Existen otros números que junto a los números racionales completan a la recta numérica: los números irracionales.

DEFINICIÓN: Los números irracionales son los que no se pueden expresar como fracción. En símbolos:

I = {x / x no se puede expresar como fracción

Convertidos a la notación decimal son números con infinitas cifras no periódicas.

SIMBÓLICAMENTE:

Ejemplos:

Los siguientes son números irracionales famosos. Están redondeados en la quinta cifra decimal, con lo cual se obtiene un valor aproximado bastante aceptable.

a. El número PI: = π ≈ 3,14159

b. El número e ≈ 2,71828

c. El número de oro:

d. Raíces no exactas como son:

PI (π): es la relación que existe entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia. Quiere decir que si divides el perímetro por el diámetro de cualquier circunferencia resulta el número π.

El número π tiene un valor de: 3,14159265…

Este número es de los más utilizados en matemáticas, física e ingeniería porque la circunferencia es un elemento muy común.

Ubicación exacta de

Con ayuda del Teorema de Pitágoras podemos ubicar de manera exacta el número . Si construimos un triángulo rectángulo de catetos unitarios, la hipotenusa mide . Luego, con ayuda de un compás trasladamos la medida de la hipotenusa a la recta real.

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.

Una operación en I es una manera de asociar a cada par de números irracionales, otro número irracional bien determinado. Las operaciones que se definen en este conjunto son la suma, la resta, la multiplicación, el cociente y la extracción de raíces (exceptuando la radicación de números negativos de índice par).

Las operaciones de suma, diferencia, producto, cociente y potenciación de números irracionales no siempre arrojan como resultado a otro irracional. Algunas veces los resultados son racionales.

5. Números reales

DEFINICIÓN: el conjunto de los números reales surge de la unión de los números racionales y de los irracionales. Se denota como Comprende a todos los sistemas numéricos anteriores.

Se habla del orden en los números reales a través de la propiedad de tricotomía afirmando que dados n y m dos números reales, entonces se tiene exactamente una de las tres posibilidades:

Al igual que en los conjuntos , , e I, los números reales se pueden representar en una recta, solo que en este caso no hay puntos discretos, sino se trata de una recta continua:

La recta sobre la cual se representa a los números racionales e irracionales se llama recta real. A cada punto de esta recta se le asocia un único número real llamado coordenada o abscisa del punto y, recíprocamente, a cada punto de esa recta se le vincula un único número para que sea su coordenada. Si esta doble asignación se hace de manera que puntos distintos tengan coordenadas distintas y cada número sea coordenada de algún punto, se ha obtenido una correspondencia biunívoca entre la recta y el conjunto de los números reales. Esta asignación se denomina Sistema de Coordenadas Unidimensional.

En general, dado un punto P cualquiera en la recta, al número real a se le llama coordenada o abscisa de P y se denota por P(a), que se lee: punto P de coordenada a.

Ejemplo:

Ubiquemos de forma aproximada los siguientes números en la recta real:

Solución

En forma de coordenadas, los números toman la forma:

Que en la recta real están localizados así:

Una operación en es una manera de asociar a cada par de números reales, otro número real bien determinado. Las operaciones que se definen en este conjunto son la suma, la multiplicación (la resta se considera como la suma de números de diferente signo y la división como la multiplicación de un número por el recíproco de otro, siempre cuando el segundo no sea cero), la radicación de números positivos y la radicación de índice impar de números negativos. Es decir, las operaciones que se definen en este conjunto son todas excepto dos:

• La división entre cero.

• La extracción de raíces de índice par de números negativos.

Propiedades Básicas

Potenciación

Si a es un número real y n es un número natural, entonces decimos que aⁿ se obtiene multiplicando n veces el factor a, es decir:

Ejemplo:

a⁶ = a. a. a. a. a. a. a

Decimos entonces que aⁿ es una potencia que tiene a como base y n como exponente. Extendemos la definición para exponentes enteros definiendo, para a ≠ 0;

Actividad 1.4:

Indique si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:

a. 2⁸ = 2². 2⁶ = 2⁵. 2³

( )

b. (8+3)² = 8² + 3²

( )

c. (8.3)² = 8² + 3²

( )

d. (2³)² = 3⁵

( )

e. (2³)² = 2⁶

( )

f. – 3² = (–3)⁶

( )

g. 5⁴ = 4⁵

( )

h.

( )

i. 5^–2 = –10

( )

La actividad anterior ejemplifica algunas de las siguientes propiedades de la potencia: Sean a, b números reales distintos de 0 y sean m, n números enteros.

Propiedades de la Potencia
Distributiva con respecto al producto	(a · b)m = am · bm
Distributiva con respecto a la división
Producto de potencias de igual base	an am = an + m
División de potencias de igual base
Potencia de potencia	(an)m = an.m

Observación:

Como se apreció en el ejercicio anterior, la potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta.

• ¿Qué sucede si a un número negativo lo elevamos a una potencia par? ¿Cuál es el signo del resultado?

• ¿Existe alguna potencia de 5 que dé como resultado un número negativo? ¿Por qué?

Radicación

Para los enteros positivos n, ya se ha definido la n-ésima potencia de b, a saber, bⁿ. Ahora, vamos a utilizar la ecuación a = bⁿ para definir la n–ésima raíz de a.

En general, la raíz cuadrada de a se define como sigue. A veces recibe el nombre de raíz cuadrada principal de a