Czytaj książkę: «Путешествие в квантовую механику»
© Игорь А. Мерзляков, 2025
ISBN 978-5-4498-1610-8
Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero
1. Введение
Осуществляя работу над очередным изданием, я систематизировал и дополнил материал книги «Путешествие в квантовую механику», исправив бесчисленное количество недочётов и опечаток. Как несложно догадаться, настоящая рукопись была оформлена в виде справочника, чтобы каждый человек, заинтересовавшийся указанным научным трудом, смог рано или поздно сделать оптимальный выбор: напрямую обратиться к любому из представленных ниже параграфов и без лишних усилий почерпнуть из нужной главы необходимую информацию или просто-напросто прочитать весь учебник от начала и до конца. Несомненно, речь в данном пособии пойдёт не столько об истории развития квантовой физики, сколько о направленной на решение тех или иных вырожденных дифференциальных уравнений альтернативной методике. Кстати говоря, в основу проведённого в этой монографии исследования был положен новый подход к решению трёхмерного нестационарного линейного уравнения Шрёдингера, выдвинутый Вашим покорным слугой автором. В течение всего повествования, опираясь на заявленное открытие, мне хочется обобщить те знания о микромире, которые сформулировали учёные XX столетия в своих научных изысканиях.
Предложенная мною теория, скорее всего, является непонятной для большинства людей, не посвящённых в точные дисциплины, однако каждый человек, неизменно стремящийся к знаниям, с чего-то всегда должен начинать собственно сам процесс систематизации всей, казалось бы, разрозненной информации об окружающей нас действительности. Примечательно, что на протяжении первых 3-х десятилетий XX века квантовая механика формировалась как отдельное направление в науке. Конечно, многое удалось сделать, но осталось немало важных вопросов, исследование которых постепенно перешло в новое тысячелетие. В этом пособии мне хотелось бы поднять проблему, связанную с универсализацией квантовой физики. В процессе обучения мы рассмотрим исключительно нерелятивистские явления.
Безусловно, ещё одной причиной для проведения настоящего исследования послужила некоторая надежда на дальнейшее развитие квантовой физики. Однажды Р. Ф. Фейнман сказал: «Посмотрите на мир с другой стороны». Так вот, мне хотелось бы, чтобы в качестве эпилога к книге «Путешествие в квантовую механику» была использована уже давно обросшая популярностью фраза Фейнмана.
Приятного чтения!
2. О фундаментальных законах физики
Во второй главе этой монографии будут рассмотрены 2 концепции, с помощью которых можно сформулировать те или иные предназначенные для описания окружающей нас действительности физические законы. Очевидно, что первая доктрина направлена на исследование дифференциальных соотношений, позволяющих по меньшей мере обобщить почти все материальные явления и процессы, а вторая связана с определением корреляций в заранее известном наборе функций f1 (x1), f2 (x2),…,fN`` (xN``). Последние могут быть найдены в результате экстраполяции округлённых до рациональных значений, относящихся непосредственно к частным аналитическим решениям тех или иных вырожденных дифференциальных уравнений, или получены опытным путём. К слову сказать, достоверность абсолютно любого численного метода, который опирается на анализ экспериментальных данных, изначально просто нельзя не поставить под сомнение. Впрочем, применяя эмпирический подход на практике, в подавляющем большинстве случаев несложно будет обосновать теоретически как минимум не самую малую долю от всех наблюдаемых в линейных или хотя бы в линеаризованных физических системах фундаментальных взаимодействий. Итак, начнём этот раздел с вывода одномерного стационарного линейного уравнения Шрёдингера. Кстати говоря, методика, ориентированная на поиск зависимостей между математическими величинами Ψ, Up (x), M и ħ, присутствующими в указанном дифференциальном уравнении, базируется на человеческой интуиции. Примечательно, что перечисленные мною тезисы в дальнейшем могут помочь исследователям разобраться в самой сути каждого из представленных на Ваш суд научных открытий.
2.1 Вывод уравнения Шрёдингера
В 1924 году французский физик Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновому дуализму приписывается универсальный характер. Исходя из предположения де Бройля, важно констатировать, что всякая материальная частица обладает волновыми свойствами, причём соотношения (2`), (2``), (2```) и (2````), связывающие между собой волновые и корпускулярные характеристики, например, единичного фермиона, остаются точно такими же, как и в случае электромагнитного излучения веществом. Действительно, полную энергию Ep` и импульс P`` абсолютно любой элементарной частицы возможно выразить через частоту излучения ν и через длину волны де Бройля λ соответственно, тогда:
здесь h` – постоянная Планка; k`=2π/λ; ħ=h`/ (2π).
Далее сформулируем закон сохранения энергии для волны де Бройля. Безоговорочно, искомая величина Ep` представляет собой сумму 2-х энергий (кинетической Ek и потенциальной Up (x,y,z)), следовательно:
Вместе с тем
Разумеется, длину волны де Бройля λ удобно выразить через скорость υ (υ=dx/dt), тогда:
Беспрекословно, вывод того или иного линейного нестационарного уравнения Шрёдингера надо производить в трёхмерном аналитическом пространстве C3, но для упрощения расчётов мы будем использовать полярную систему координат. В довершении всего, переходя от действительных чисел к комплексным λ -> -2πiλ и ν -> -ν/ (2πi) (знаки перед исследуемыми переменными -2πiλ и -ν/ (2πi) выбраны отрицательными, поскольку в противном случае (при λ -> 2πiλ, а также при ν -> ν/ (2πi)) соотношение i2 (1/ (2M) (h`/ (2πiλ)) 2+Up (x) -h`ν/ (2πi)) =Cncos (ω`t) +iCnsin (ω`t) просто-напросто потеряет смысл, когда π> ω`> 0, ν> 0, 1> t> 0, Up (x) =const и Cn> 0), перепишем составленный для волны де Бройля закон сохранения энергии в следующем виде:
где M – масса электрона (в дальнейшем лептона или фермиона); T``` – период волны де Бройля; t – время; x – координата; Cn – амплитуда колебаний; ω` – угловая частота; Up (x) – потенциальная энергия.
К тому же
В итоге, ссылаясь на математические преобразования, разобранные выше, найдём тождество:
После чего нам потребуется внести новую величину Ψ под каждый из знаков частных производных ∂/∂t и ∂2/∂x2, тогда:
Так вот, полученное выражение (2.1) называется одномерным нестационарным линейным уравнением Шрёдингера. Теперь, опираясь на отыщенные прежде формулы (2``), (2`````) и (2.1), определим оператор импульса P``, следовательно:
2.2 Эмпирический метод
Обычно с изучением школьной программы почему-то не принято ставить под сомнение справедливость основных положений, позволяющих осуществить вывод фундаментальных законов физики. В этом параграфе мы обобщим сведения о том, как соотносятся между собой некоторая физическая величина F и математически несвязанные выражения f1 (x1),…,fN`` (xN``). Отталкиваясь от постулата о наличии корреляций между искомым параметром F и неравномерно распределёнными вдоль соответствующих осей x1,…,xN`` функциями f1 (x1),…,fN`` (xN``), заданные соотношения f1 (x1),…,fN`` (xN``) надлежит перемножать друг с другом только в том случае, когда последние окажутся независимыми. Иначе говоря, приращение некоторого заранее известного аналитического решения fj (xj), составленного для того или иного вырожденного дифференциального уравнения, по факту будет происходить без взаимного влияния одних действительных значений fj (min (xj)),…,fj (max (xj)) на другие множители f1 (x1),…,fo (xo),…,fN`` (xN``) (o≠j). Итак, запишем тождество (2*) для нахождения алгебраического произведения Пj=1N``fj (xj) γj. Бесспорно, подобранные коэффициенты γ1,…,γN`` будут численно равны вещественным константам (+1 или -1), представляющим из себя степени показательных функций f1 (x1) γ1,…,fN`` (xN``) γN``, тогда:
здесь N`` – общее количество независимых величин f1 (x1),…,fN`` (xN``).
Совершенно ясно, что наглядным примером применения эмпирического подхода на практике является закон Кулона, полученный для силы электростатического взаимодействия 2-х заряженных частиц Fe. Таким образом, следующие выражения (f1 (x1), f2 и f3 (x3)) могут быть сгруппированы друг с другом как несвязанные между собой параметры: f1 (x1) – произведение 2-х взятых по модулю электрических зарядов |q1||q2|; f2 – поправочная постоянная K; f3 (x3) – квадрат расстояния (|r1-r2|) 2 между 2-мя имеющимися в нашем распоряжении материальными частицами, где r1 и r2 – соответственно построенные из начала координат (0,0,0) в точки с зарядами q1 и q2 радиус-векторы.
Хорошо известно, что сила Кулона Fe прямо пропорциональна искомым множителям f1 (x1) и f2 (γ1=γ2=1), но обратно пропорциональна математическому соотношению f3 (x3) (γ3=-1). Наконец, запишем сформулированный для 2-х одно- или разноимённых зарядов q1 и q2 закон Кулона, следовательно:
Помимо этого
Если найденные величины gj (xj) и gj` (xj) окажутся взаимно зависимыми, то справедливым будет равенство:
Кстати говоря, подобранные функции gj (xj) и gj` (xj) могут задаваться более сложным образом, нежели упомянутые ранее степенные выражения f1 (x1) γ1, f2γ2, f3 (x3) γ3. Порой с помощью эмпирического метода нельзя описать тот или иной закон природы, тогда для реализации намеченных целей соискатели обычно составляют либо линейные, либо нелинейные дифференциальные уравнения. Разрешить последние иногда бывает затруднительно, поскольку абсолютно все современные персональные компьютеры имеют недостаточно высокую производительность. В подобных случаях исследователи используют суперкомпьютеры. В дальнейшем мы сконцентрируемся на проблеме поиска общего аналитического решения того или иного вырожденного дифференциального уравнения с частными производными.
3. К вопросу о разрешимости дифференциальных уравнений в частных производных
Конечно, опираясь на методику, которая будет рассмотрена в 3-м разделе этого пособия, можно численно решить практически любое приводящееся к обыкновенному дифференциальное уравнение с частными производными и выявить характерные черты эволюции искомой величины Q`` во времени t.
3.1 Интерполяция и ряды Фурье
Представим набор линейных функций F0, F1,…,FRx/Δx -1 так:
здесь Δx – геометрический размер каждого из интервалов, в которые заключены заранее известные значения переменных F0,…,Fk,…,FRx/Δx -1; k – номер вычислительной операции.
Естественно, что тригонометрический ряд (3*), полученный для совокупности абсолютно всех рациональных и иррациональных значений F (0,0,0),…,F (Rx, Ry, Rz), неравномерно распределённых на отрезках (kΔx, (k+1) Δx), (jΔy, (j+1) Δy) и (χΔz, (χ+1) Δz), примет следующий вид:
где x∈ [0,Rx]; y∈ [0,Ry]; z∈ [0,Rz]; Θ – индекс, идентифицирующий ту или иную ось координат xΘ; RΘ/ΔxΘ∈N.
Далее построим на расположенном ниже графике один из вариантов кусочно-линейной функции F (x), тогда:
Рисунок 3.1 Визуализация кусочно-заданного выражения F (x).
3.2 Общее решение дифференциальных уравнений с частными производными
Обозначим за Q``∈C некоторое аналитическое решение произвольно заданного дифференциального уравнения в частных производных. Отдельно выделим вещественную a*=Re (Q``) и мнимую b*=Im (Q``) части тождества Q``=a*+ib*. Для того чтобы численно решить практически любое вырожденное дифференциальное уравнение с частными производными, необходимо и достаточно найти закон изменения функции Q`` во времени t. Немаловажно отметить, что приведённая ниже теория не является единственной в своём роде. Однако в дальнейшем настоящая концепция позволит нам лучше усвоить материал этой книги. Бесспорно, всякое параболическое дифференциальное уравнение в частных производных возможно преобразовать к общему виду. Итого:
Теперь разложим в ряд Фурье искомое решение Q``, тогда:
Затем рассчитаем частные производные ∂Q``/∂xΛ, ∂2Q``/∂xΛ2,…, ∂sdQ``/∂xΛsd,…,∂max (sd) Q``/∂xΛmax (sd), имеющиеся в составе равенства (3`), следовательно:
здесь sd – порядок дифференцирования, а xΛ – координата.
После чего осуществим интерполяцию непрерывной функции D. Если рассматривается одномерный случай, то каждой точке (пикселю), расположенной на оси D, понадобится поставить в соответствие находящийся на оси xΘ отрезок (kΔxΘ, (k+1) ΔxΘ). А значит, в трёхмерном комплексном пространстве справедливым будет соотношение:
где x∈ [0,Rx]; y∈ [0,Ry]; z∈ [0,Rz].
Далее отыщем частную производную ∂Q``/∂t надлежащего решения Q`` по времени t, тогда:
Совершенно ясно, что формулу (3``) удобно записать в следующем виде:
Помимо этого
Как нетрудно догадаться, математические функции Q0 и Q`` будут тождественно равны друг другу в рамках одной итерации Q0=Q``. Напоследок подставим полученные величины Q1, D и Q`` в уравнение (3**). В силу чего:
Безоговорочно, с каждой новой итерацией по времени t вместо неизвестного выражения Q`` следует использовать найденную ранее функцию Q1, тогда:
Несомненно, расчёт нужно выполнять до тех пор, пока не будет достигнуто условие V`Δt=T*, здесь T* – определяющий границы эволюции искомого отображения Q`` промежуток времени t; V` – общее количество итераций; Δt – шаг по времени t. Неудивительно, что:
Darmowy fragment się skończył.
