Saber SABER Matemáticas. Guía del maestro

Colección saber SABER

Matemáticas

© Ignacio Abdón Montenegro Aldana

© William Enrique Barraza Burgos

© Cooperativa Editorial Magisterio

www.magisterio.com.co

info@magisterio.com.co

ISBN: 978-958-20-1388-2

Primera edición 2021

Este libro no podrá ser reproducido en todo o en parte por ningún medio sin permiso escrito del editor.

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Prohibida su reproducción total o parcial sin permiso escrito del editor.

saber SABER

Matemáticas

Guía del maestro

Ignacio Abdón Montenegro Aldana

William Enrique Barraza Burgos

Cooperativa Editorial Magisterio

Contenido

Presentación

Unidad 1. Las matemáticas en el desarrollo humano

Naturaleza de las matemáticas

Carácter histórico de las matemáticas

Enfoques epistemológicos

Características de las matemáticas

Aportes de las matemáticas al desarrollo humano

Concepción de desarrollo humano

Desarrollo del pensamiento matemático

Estructura del área

Estructura conceptual

Competencias matemáticas

Relación entre la estructura temática y las competencias

Unidad 2. Didáctica de las matemáticas

Estrategias metodológicas

Estrategias generales

Estrategias específicas

Evaluación de competencias en matemáticas

Sentido de la evaluación en el área

Tipos de evaluación

Medios para la evaluación

Las pruebas como medio de evaluación

Las Pruebas Saber en matemáticas

Actividades de aprendizaje y de evaluación

Educación preescolar

Educación básica

Educación media: grados 10 y 11

Los recursos didácticos

Tipos de recursos

Epílogo

Perfil del docente de matemáticas

Referencias

Presentación

La labor educativa de los docentes busca transformar la cultura, es un conjunto de cambios progresivos y cualitativos orientados a sentir, pensar y actuar de la mejor manera posible. En este sentido, es un proceso de formación integral de la persona y de la sociedad en su conjunto. Para lograrlo, el diseño del currículo que se realiza en las instituciones educativas es el marco de referencia para crear experiencias de aprendizaje que permitan apropiarse del conocimiento y ­desarrollar las competencias de los estudiantes. La estructura y la forma como se plantean esas experiencias y la manera como se evalúa el desempeño de los alumnos son un punto crítico para el éxito o el fracaso escolar.

En este contexto se inscribe el presente libro, cuyo propósito es permitir a los docentes mejorar las bases conceptuales, metodológicas y tecnológicas relacionadas con las matemáticas, para que, a partir de los conocimientos y competencias que exige la sociedad actual en dicha área, les sea posible contribuir de manera significativa a la formación de los estudiantes como personas y a su preparación adecuada para las Pruebas Saber.

En la actualidad las matemáticas son un eje esencial en cualquier grupo humano, pues su propio desarrollo a través de la historia ha contribuido al progreso de las diversas culturas y disciplinas de las ciencias sociales y naturales; por ello es evidente la necesidad de ofrecer a los estudiantes una cultura matemática básica, para que sean ciudadanos bien informados, capaces de leer e interpretar información, de aplicar los conceptos del área a problemas de la vida cotidiana, de abordar comprensivamente los desarrollos de la ciencia y la tecnología, y de conectarse con la vida social como resultado de una dinámica cultural en la que el conocimiento juega un papel preponderante.

Al tiempo, también se trata de obtener buenos resultados en las pruebas nacionales e internacionales, lo cual significa que los profesores desarrollen las competencias matemáticas, planeadas, trabajadas y evaluadas a la luz de los Lineamientos Curriculares (MEN, 1998a), los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas (MEN, 2003) y los Derechos Básicos de Aprendizaje (MEN, 2015). En ese sentido, cabe destacar que los estándares articulan los contenidos con las competencias:

Los estándares de calidad tienen como objeto que todos los niños y jóvenes, independientemente de sus condiciones socioeconómicas y culturales, ­alcancen los objetivos propuestos en el sistema educativo y realicen aprendizajes útiles para su vida y para la sociedad (MEN, 2003).

En consecuencia, El libro del profesor se constituye en una herramienta para reflexionar sobre lo importante y esencial en la enseñanza y el aprendizaje del área. No obstante los múltiples factores asociados, siempre es posible incrementar los resultados académicos, si existe en los maestros la intención de mejorar la acción de enseñanza y lograr mejores aprendizajes.

Las pruebas de evaluación al interior y exterior de la institución son un espejo para que el estudiante vea reflejados sus logros, sus dificultades, sus intereses cognitivos y sus debilidades. Una buena prueba le permite comprender la dinámica de su proceso formativo. Las pruebas que se realizan al interior de la institución educativa permiten valorar al estudiante, el currículo y el desempeño de los docentes.

Las Pruebas Saber son valoraciones externas que parten de parámetros nacionales contemplados en los lineamientos específicos del Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (ICFES), los cuales están basados en los Lineamientos Curriculares y en los Estándares Básicos de Competencias del Ministerio de Educación Nacional (MEN). Así, buscan contribuir al mejoramiento de la calidad de la educación en el país mediante la evaluación de las competencias básicas de los estudiantes y del análisis de los factores que inciden en sus logros (ICFES, 2012, p. 9).

Asumir que una de la metas es contribuir con la mejora de la calidad educativa a través de las competencias, implica reconocer aquellas asociadas a la educación integral y la formación de seres críticos, capaces de reflexionar sobre su quehacer. En este sentido, es importante considerar algunos referentes históricos como los señalados por la Misión de Ciencia, Educación y Desarrollo: “Hay la necesidad de formar personas y grupos competentes para ser ciudadanos integrales en su núcleo familiar, en su cultura y en el planeta” (Aldana, E., et al., 1996). Los profesores de Matemáticas tienen aquí una oportunidad para apoyar este propósito.

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Las matemáticas en el desarrollo humano

Comprender la función de las matemáticas en el desarrollo humano es la columna vertebral que permite a los educadores de esta área otorgar sentido a su labor y ejercerla con calidad y pertinencia. Para lograrlo, en primer lugar es importante dilucidar la naturaleza de esta disciplina, y esto se hará a través de una síntesis histórica, algunos enfoques epistemológicos y una presentación de los rasgos propios de la matemática como ciencia formal.

Un segundo apartado hará evidente la importancia de la educación matemática para el desarrollo cognitivo, social, afectivo y de las demás dimensiones de un ser humano integral. Entendiendo que estos aspectos se relacionan fundamentalmente con el proceso de desarrollo del pensamiento matemático.

En tercer lugar, se presenta la estructura del área en términos de componentes temáticos y las competencias a desarrollar por parte de los estudiantes. Tal estructura temática es la forma sistémica como se organizan los objetos de estudio de la matemática y de los principales problemas que aborda. El estudio de los objetos de la matemática desarrolla en los estudiantes competencias genéricas y específicas, en las cuales se distinguen componentes que los docentes pueden afectar deliberadamente.

Naturaleza de las matemáticas

Las matemáticas son consustanciales a la naturaleza humana, producto de su actividad social y cultural. Comprender de mejor manera esta idea supone recorrer una breve síntesis histórica, algunos enfoques epistemológicos y las características propias de las matemáticas como ciencia formal.

Carácter histórico de las matemáticas

La aparición de las matemáticas como expresión de una forma singular de creación humana implicó la aceptación del conocimiento matemático en relación con experiencias sociales y culturales, propias de momentos históricos particulares. Por lo regular, independientemente de esos períodos de la historia, la producción de diversas formas de conocimiento matemático está ligada a experiencias humanas sensibles o racionales. Así es como este conocimiento surge con un propósito ­esencial: ampliar la aprehensión del mundo y aportar en la construcción de sentido.

En virtud de la experiencia y las relaciones colectivas desarrolladas para la ­apropiación de la naturaleza y del lenguaje, las matemáticas son tan antiguas como la humanidad. La inteligencia primitiva estuvo orientada a las actividades de supervivencia, como la caza, la pesca, la recolección y las acciones complementarias como las luchas tribales, la construcción de armas, herramientas y la adecuación de hábitats como las cavernas.

Figura 1. La matemática como práctica

En este sentido, se ha aceptado a la matemática “práctica” como área ligada a actividades de supervivencia. A través de estas tareas el cerebro humano desarrolló habilidades relacionadas con el cálculo de distancias, la identificación de formas, el manejo del espacio y operaciones rudimentarias de conteo y cálculos de distribución. En la época primitiva la matemática se caracterizó por su énfasis en lo empírico, entendido como la forma en la que el ser humano aprendió un conjunto de nociones y prácticas que contribuyeron a su supervivencia y propiciaron el desarrollo cerebral.

Las matemáticas en la antigüedad

El surgimiento de la escritura hizo posible el registro de operaciones como el conteo y la representación de formas, muchas de las cuales se conservan en el tiempo. La escritura constituyó un avance significativo para la conservación, reproducción y difusión de la información vinculada con el conocimiento matemático. Un recorrido por la historia antigua permite ubicar el surgimiento del pensamiento matemático a partir de dos capacidades eminentemente humanas: “la percepción de la pluralidad, que casi pertenece al campo de la sensibilidad, y el poder de establecer correspondencias, emparejamientos que, sin duda, es propio de la inteligencia” (Caratini, 1970, p. 10).

Tabla 1. La matemática en la antigüedad

Las matemáticas en la Edad Media

El pensamiento de la Edad Media tomó sus fuentes especialmente de la lógica aristotélica y la matemática griega y árabe. La matemática era considerada la ciencia modelo de racionalidad, contrario a la diferencia instaurada por Aristóteles, quien consideraba física y matemáticas áreas bien distintas: Las segundas eran la ciencia de la cantidad abstracta, y las causas del cambio había que buscarlas en las cosas materiales.

En efecto, Aristóteles llama a los fenómenos sujetos al cambio (la densidad, el calor, la luz, distancia, velocidad) cualidades o formas y, en el realismo en que se movía, se preocupó por cuestiones como por qué brillan los planetas, por qué sopla el viento, por qué se forma el arco iris o por qué cae la lluvia mientras el fuego sube, tratando de encontrar un modelo de universo que respondiera a dichas cuestiones (Cotret, 1985, citado en Ruiz, 1998).

Esta estricta demarcación entre la matemática y la física, defendida por el pensamiento aristotélico en la Edad Media, significó un retraso en el desarrollo del pensamiento científico que, para las nociones fundamentales de la matemática y la física, comienza a diseminarse a partir del siglo XIII, cuando la matemática comienza a penetrar progresivamente en el dominio de las ciencias físicas junto con el método experimental.

Sin embargo, en el mundo occidental la Edad Media no solo se caracterizó por el dominio del pensamiento aristotélico; también surgieron nuevos movimientos encabezados, entre otros, por Bruno, Galileo y Copérnico, que enfrentaron el ­pensamiento dominante centrado en una visión teocéntrica de la naturaleza, a pesar de que, como sucedió, muchos nuevos pensadores terminaran en la ­hoguera. Entre tanto, en Medio Oriente las matemáticas tuvieron un desarrollo especial, posiblemente porque la ciencia antigua de los babilonios, griegos y egipcios fue mejor conservada por estas culturas.

Tabla 2. Matemática en la Edad Media

Las matemáticas en el Renacimiento y la época moderna

Como reacción al pensamiento medioeval, entre los siglos XIII y XVI, en ­Occidente iniciaron investigaciones científicas cuyo propósito fue descubrir lo real, lo permanente, lo inteligible tras el mundo cambiante de la experiencia sensible. Aunque no hay consenso universal para determinar con certeza el tiempo que delimita este período histórico, es posible afirmar que la edad moderna coincide con el auge de la idea de progreso, los descubrimientos, la comunicación y el predominio de la razón.

En este contexto, el nacimiento de la Geometría Analítica permitió establecer un puente entre dos áreas diferentes de la Matemática: la Geometría y el Álgebra, pero, especialmente, se destaca que: “el método de coordenadas constituye el fundamento de los otros dos grandes progresos realizados en el siglo XVII: la introducción de la noción de función y el cálculo infinitesimal” (Diudonné, 1989, citado por Ruiz, 1998, p. 80).

Tabla 3. Matemática en el Renacimiento y la época moderna

Las matemáticas en el siglo XIX

El siglo XIX es el período en el cual las matemáticas y las ciencias tuvieron un gran desarrollo y su complejidad llegó a niveles más altos. El genio matemático de Johann Carl Friedrich Gauss, matemático, astrónomo, geodesta y físico alemán, contribuyó significativamente en muchos campos de la ciencia, destacándose su aporte con la teoría de números y el desarrollo de la teoría de grupos a partir de los trabajos de Lagrange, junto a ello el trabajo de Galois amplió el campo del algebra con la teoría de los polinomios que pueden ser resueltos con una fórmula algebraica.

Por otra parte, el matemático alemán Felix Christian Klein (1871) logró demostrar que las geometrías métricas, euclidianas o no euclidianas, se constituyen en casos particulares de la geometría proyectiva; uno de sus aportes más importantes se relaciona con las geometrías según sus grupos de transformaciones (el llamado Programa Erlanger), que posteriormente se aplicó en la solución de ecuaciones diferenciales y en el desarrollo de uno de los campos más prolíferos de las matemáticas: la topología.

Durante este período también resaltan aportes como el de Cantor sobre la teoría de conjuntos y las paradojas identificadas por Bertrand Russell, los cuales incidieron significativamente en nuevas conceptualizaciones sobre este concepto matemático. Al tiempo, se destacan los aportes de Dirichlet (1837), asociados con el sentido moderno de la función continua. En cuanto a la generalidad y el rigor de las funciones, en el siglo XIX ya no se recurre exclusivamente a las formas algebraicas o trascendentes de una función; se generaliza el concepto de curva y: “libera al concepto de función de la exclusividad de la intuición geométrica” (Ruiz, 1998, p. 132); punto reiterado por Desanti cuando afirma que “el nuevo Cálculo dejaría de chocar con los obstáculos del realismo geométrico de la extensión y del realismo aritmético del número natural” (1976, citado por Ruiz, 1998, p. 190).

Tabla 4. Matemática en el siglo XIX

Las matemáticas contemporáneas: siglo XX y XXI

Los desarrollos matemáticos durante el siglo XX y lo corrido del siglo XXI ­superan, por lo menos en cantidad, a todos los realizados durante la historia. Basta con señalar que durante la última década del siglo XX las revistas especializadas de matemáticas publicaron más de 50.000 trabajos de investigación. Las matemáticas no solo han sido las herramientas por excelencia de las ciencias, como lo expresó Newton; en la actualidad son los rieles que sostienen su avance, y esto se expresa desde comienzos del siglo XX: la Teoría de la Relatividad de Einstein no hubiese sido posible sin la Geometría Diferencial Moderna.

Es posible destacar también otros casos que desde el siglo XX son grandes aportes matemáticos, como: la mecánica cuántica de Max Planck y sus sucesores; los modelos atómicos de Rutherford, Bohr, Sommerfeld y Schrödinger; la explicación de la conducta de las partículas subatómicas; así como el descubrimiento de la antimateria y de la energía oscura, que se dio gracias a deducciones matemáticas. Los estudios de Von Neumann condujeron a la creación de las computadoras y los trabajos de Shannon, sobre la teoría matemática de la información y de la comunicación, hicieron posible la teoría de códigos y la transmisión de datos.

Uno de los más representativos avances de la Matemática del siglo XX se produjo en el campo de la Topología (geometría de la membrana de caucho), introducido por Henry Poincaré. El campo de la Teoría de las Probabilidades avanzó de manera significativa a partir de los trabajos de Kolmogorob, con la axiomatización del modelo probabilístico, y de Kiyositó, con la integral estocástica, que permite comprender que casi todos los fenómenos tienen un componente aleatorio.

Por su parte, los estudios de los fenómenos no lineales en los sistemas dinámicos han hecho posible ver la frecuente aparición de términos no lineales en las ecuaciones que regulan la evolución de un proceso concreto; un ejemplo de ello son las ecuaciones de Navier-Stokes, que regulan la dinámica de los fluidos. El estudio de estas constantes no lineales es la base para el análisis de comportamientos con rasgos caóticos. Por último, el siglo XX vio el crecimiento concreto de la lógica como campo de la matemática, impulsada, entre otros, por Turing, Gödel y Von Neumann, concretando avances que han conducido, por ejemplo, al invento del computador, el cual, sin lugar a dudas, ha sido la base para un sinnúmero de avances científicos y para la solución de tareas cotidianas.

Tabla 5. Matemática en el siglo XX

Esta breve síntesis pretende, como ya se ha señalado, brindar algunos ­episodios relevantes de la historia de la matemática, y es posible profundizar en ella a partir de la consulta de autores como Boyer (1992), Bell (1996) y Ruiz (1998). Han quedado sin nombrar la historia de cientos de conceptos y de matemáticos que contribuyeron a su formulación, pero, en últimas, solo se quiere demostrar que: “el conocimiento matemático está conectado con la vida social de los hombres, que se utiliza para tomar decisiones que afectan a la colectividad y que sirve como argumento de justificación” (MEN, 1998, p. 20). Así, la historia misma de la matemática invita a re-conceptualizar la educación matemática, ubicando esta disciplina del conocimiento en contexto con los desarrollos de la ciencia, la tecnología, la sociedad, sus culturas y, por tanto, la vida misma.

Enfoques epistemológicos

La historia da cuenta de diversas proposiciones y discusiones sobre el origen y naturaleza de las matemáticas; es decir, sobre si existen fuera de la mente humana o son una creación de la mente; si son exactas e infalibles o falibles, corregibles, evolutivas y provistas de significado como las demás ciencias.

Así, en 1932 Kurt Gödel, famoso filósofo y matemático austriaco-estadounidense, plantea la cuestión de si las matemáticas son producto de la mente humana o si, por el contrario, existe una serie de realidades matemáticas objetivas, insistiendo en que dichas realidades objetivas se corresponden con todas las proposiciones verdaderas, y en que la matemática subjetiva solo puede ser demostrada en la mente humana. Gödel concluyó que si las matemáticas fuesen enteramente hipótesis que existen solo en la mente, cualquier verdad podría ser demostrada, cosa imposible, y que, si por el contrario, los objetos matemáticos preexisten, entonces la tarea del matemático se reduce a describir dicha verdad.

La discusión planteada es útil para los docentes del área, pues permite comparar los argumentos de uno y otro enfoque para, lejos de adoptar posiciones radicales, procurar el diálogo entre ellos y así enriquecer la propia concepción del área y fortalecer la práctica pedagógica. A continuación se presentan algunos enfoques epistemológicos de esta disciplina formal que también están reseñados en los Lineamientos Curriculares del MEN (2008).

Figura 3. Enfoques de la matemática

Nota. Los enfoques matemáticos oscilan entre la realidad y la idealidad del mundo, existen entre ellos relaciones de complementariedad. Fuente: Elaborado por el autor.

El platonismo

El platonismo es una corriente del pensamiento que considera las matemáticas como un conjunto de verdades independientes del ser humano que ha existido desde siempre. Así, la tarea del matemático es descubrir dichas verdades, ya que en cierto sentido está “sometido” a ellas y debe obedecerlas; por ejemplo, si se traza un triángulo cualquiera, irremediablemente se encontrará que la suma de sus tres ángulos internos es de 180 grados (MEN, 1998a, p. 16).

El pensamiento platónico reconoce que las figuras geométricas, las operaciones y las relaciones aritméticas son misteriosas en muchos sentidos; sus propiedades solo pueden descubrirse a costa de un gran esfuerzo y, a pesar de éste, no es sencillo descubrirlas, pues también implican otras propiedades insospechadas; así, las matemáticas trascienden la mente humana y existen fuera de ella como una “realidad ideal”, independiente de la actividad creadora y de los conocimientos previos.

La postura epistemológica de Platón se evidencia más claramente en el Mito de la Caverna, en el cual un sujeto A no tiene noción de un objeto B porque solo ve sombras; tampoco tiene ideas previas de ese objeto y mucho menos puede experimentar con él (Platón, 1979). Por su parte, el sujeto B se encuentra en peor condición, porque está encadenado y sin posibilidad de darse cuenta de las sombras.

Análisis posteriores, como el de Chevallard (1997), infirieron, a partir de los Diálogos de Platón, que el conocimiento se instala cuando un sujeto A aprehende el objeto B o cuando un sujeto Y, llamado profesor, estimula la aprehensión del objeto por parte del sujeto A. De allí que el conocimiento se origine en la relación de deseo de un sujeto y otros sujetos a través del lenguaje, para que de manera corresponsable tengan noción de algo. Por lo demás, dado un acervo de conocimientos matemáticos, es muy probable que con posteridad se utilice la lógica, la experiencia, el formalismo o las ideas previas (que pueden constituirse en ­obstáculos epistemológicos).

En síntesis, es posible afirmar que el conocimiento es complejo (Morín, 1994), y ello es contrario a las ideas de quienes sostienen que los conocimientos matemáticos (o de otra área) son determinados exclusivamente por la mente humana, la realidad, los sentidos, la razón o la experiencia científica.

El logicismo

La corriente logisista considera que las matemáticas son una rama de la Lógica, independiente, aunque con el mismo origen y método; de esta manera, son un componente de una disciplina universal desde la cual es posible dirigir toda forma de argumentación. El logicismo propone definir los conceptos matemáticos mediante términos lógicos y reducir los teoremas al empleo de deducciones lógicas, así resulta que: “La lógica matemática es una ciencia que es anterior a las demás y que contiene todas las ideas y los principios en que se basan todas las ciencias” (Kurt Gödel, 1906, citado en Dou, 1970, p. 59).