Математика рынка
Обслуживание случайных потоков
Александр Берлин
© Александр Берлин, 2017
ISBN 978-5-4485-2545-2
Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero
Список обозначений
A-
относительное (удельное) потребление. Предложенная нагрузка
a – интенсивность нагрузки, поступающей от одного источника
поступивших заявок
– обслуженных заявок
– потерянных заявок
– средняя длина очереди или среднее число задержанных партий товаров
среднее число заявок от одного потребителя в единицу времени
от одной группы индивидуальных потребителей
—
среднее число заявок от одного потребителя в единицу времени
от – посредников (например, агентства по покупке и продаже квартир)
E
i
,
v
(
A
) =
E
i
(
A
)
– вероятность того, что в произвольный момент
времени стационарного режима в полнодоступной группе ёмкостью
v
потребителей, на которую поступает интенсивность партий товаров
A,
создаваемая простейшим потоком товаров, занято
i
потребителей
E
1, v
(
A)
.–
табличные числовые значения для первой формулы Эрланга
E
2, v
(
A)
.– табличные числовые значения для второй формулы Эрланга
р
(γ> 0) –
вероятность того, что время ожидания больше нуля – то есть вероятность очереди
p
задер.
(γ>
t
) –
вероятность ожидания задержанного товара
свыше времени
t
p
(R> r) –
вероятность того, что длина очереди превышает заданную величину r
P
макс
-максимальное потребление
P
реал
–
реальное потребление.
– потери по числу поступивших заявок на поставку товара
– потери по объему товара
P
t
– потери по времени реализации
.
– средняя длительность потребления.
–
средняя длина очереди
поступившего товара
– обслуженного товара
– потерянного товара
A
обсл.
(
t
1
,
t
2
)
= – обслуженное предложение.
a
0б
(t
1
, t
2
)
– обслуженный рынком спрос за промежуток времени (t
1
, t
2
) Yпост.
(t
1
,t
2
) —
поступающее предложение товаров за промежуток времени (
t
1
,
t
2
)
a
пост.
(t
1
, t
2
)
– поступающий на рынок спрос за промежуток времени
(t
1
, t
2
)
a
потер.
(t
1
, t
2
) – потерянный рынком спрос в течение промежутка времени (t
1
, t
2
)
a
внс.
величина нагрузки за время наибольшей нагрузки (ВНС);
a
набл
–
величина нагрузки за время наблюдения
α
-
параметр примитивного потока группы партий в свободном состоянии (формула Энгсета).
β – параметр показательного закона распределения длительности потребления.
η-
пропускная способность групп потребителей
γ –
текущее время ожидания
–
среднее время ожидания по отношению ко всем поступившим вызовам
з
среднее время ожидания по отношению только к задержанным вызовам
λ
s (t)
параметр симметричного потока.
ω
0
(z)
– вероятность отсутствия товаров на промежутке времени длиной z (Поток Пальма).
Введение
Прежде чем начать составлять и преобразовывать формулы. Я хотел бы задать вопрос читателю.
Я хочу продать что-то новое или старое, красивое или безобразное – бриллианты, навоз, идеи, отремонтировать ваш дом. Почему я не могу сосчитать, сколько я смогу продать этого товара в течение месяца дня, года?
Почему возникают кризисы перепроизводства? И при этом, почему столько оптимистов или пессимистов говорят, что всё наладится или рухнет. И я скорее не доверяю им, чем доверяю. Развелось столько пророков в сети Интернет и в газетах. А как прекрасно, если бы все это можно было бы сосчитать рынок. Например, как в механике.
Представьте Вы хотите проехать из Санкт Петербурга в Москву (расстояние 600 км). Вы вспоминаете формулу равномерного движения, рассчитываете, что если вы будете ехать непрерывно и равномерно со скоростью 60 км в час, то это займёт 10 часов.
Давайте будем честными. Вы никогда не будете ехать равномерно и непрерывно. На одном участке Вы будете «лететь», а на другом ехать и никуда не спешить. Вы сделаете на втором часу перерыв в езде. Кроме того, получив этот результат, Вы полетите самолётом. А может, не тронетесь никуда. Так что математика не может за Вас принять решение.
Вывод отсюда парадоксальный, что экономика – это политика. А математика может только сказать, что будет при принятых Вами решениях.
Можно также сказать, что экономика – это психология. Например, известен «очевидный» экономический закон, который широко используется для анализа экономических процессов- это паника при ухудшении каких-то показтелей рынка
Математика не даёт прогнозов. Она только отвечает на Ваши вопросы, что будет в заданных вами обстоятельствах. Один из великих инвесторов 21—22 века Уоррен Баффет, говорил: «Я не делаю прогнозы, я даю оценки. Оценка не то, что прогноз». .
Теперь вопрос! Нельзя ли разработать такие математические методы, которые также как в механике говорили, что будет в заданных обстоятельствах. И если эти обстоятельства возникли можно рассчитать своё поведение и поведение среды.
К какой области математики они должны принадлежать?
Очевидно, что к теории вероятностей.
Труды, которые рассматривают основные вопросы экономики (спрос, предложения, цены и прочее), в основном применяют методы детерминированной математики [Альфред Маршалл, Кейнс
1
1
Кейнс был специалистом по теории вероятностей и написал диссертацию по этому вопросу, но в его основных работах такие методы отсутствуют
].
Экономика широко пользуется методами теории массового обслуживания. Например, для расчета числа кассовых аппаратов, очередей и т. п. При этом наиболее часто используется название «теория очередей».
В этой книге мы покажем, что применение теории случайных потоков к основным процессам на рынке – предложению и потреблению товаров, получению доходов позволяет ответить на большинство вопросов, которые возникают сегодня на практике.
Такой подход позволяет получить очень интересные результаты.
Перечислим эти результаты
:
определена универсальная математическая характеристика товара – относительное потребление и потери (доля непроданных товаров);
представлена математическая модель рынка;
на основе этой модели, показано, что расчеты параметров рынка можно проводить по формулам теории массового обслуживания в частности по формулам Эрланга, Энгсета и др;
согласно формуле Эрланга показана зависимость между спросом и предложением, а также величиной потерь (величиной не проданных товаров);
расчеты по формуле Эрланга показывают, что основное влияние на спрос оказывает предложение (величина поставки), при росте предложения увеличиваются потери (доля непроданных товаров), поэтому наращивания предложения становится нецелесообразным. И как следствие, в зависимости от себестоимости падают доходы;
цена товара влияет на спрос только на начальном этапе, а далее на этапе насыщенного рынка, она играет роль, фактора конкурентной борьбы.
Результаты позволяют:
– проводить оценку перспектив различных бизнесов,
– оценивать величину устанавливаемой цены,
– определять возможные моменты кризисов и их периодичность (циклы Кондратьева) .
В заключение надо сказать, что в книге за основу изложения приняты результаты, полученные моим учителем Борисом Самойловичем Лившицем [
2.1
] и недавно скончавшимся его лучшим учеником Яковом Владимировичем Фидлиным
. .
Их книга Лившиц Б. С., Фидлин Я. В., Харкевич А. Д. Теория телеграфных и телефонных сообщений. М.: Связь, 1971. до сих пор образец по содержанию и строгости и четкости математических доказательств.
Очень большие трудности вызывал у автора вопрос как подробно приводить математические доказательства. Как показал опыт – математические аспекты теории обслуживания случайных потоков известны далеко не всем. Поэтому в книгу включены сведения, позволяющие читателю получить необходимые сведения, не тратя массу времени на обращения к первоисточникам. Для корректности в книге есть много ссылок к первоисточникам.
Для тех, кто активно заинтересуется вопросам применения теории обслуживания случайных потоков, в приложении приведены отдельно книги по теории массового облуживания на русском и английском языке.
Список литературы составлен по разделам:
Теория вероятностей.
Теория массового обслуживания
Экономика
.Справочные материалы из Интернета
Глава 1. Относительное потребление. Единица измерения величины предложения и спроса
1.1.Так что же такое товар?
Начнем с цитаты Кейнса
«Трудности, которые больше всего мешали мне при написании этой книги, и я не мог четко сформулировать свои мысли;
«во-первых, выбор единиц измерения, пригодных для исследования экономической системы в целом; …..»
Далее Кейнс пишет;
«Тот факт, что единицы измерения, которыми обычно
пользуются экономисты, неудовлетворительны, можно проиллюстрировать на следующем примере:
Концепции национального дохода, запаса реального капитала и обще совокупный объем, производимых обществом товаров и услуг представляет собой разнородный комплекс, который, строго говоря, не может быть измерен, за исключением некоторых специальных случаев, когда, например, все элементы одного набора производимых товаров и услуг содержатся в той же пропорции в другом наборе товаров и услуг этого уровня цен.»
В результате Кейнс выбрал в качестве единиц измерения деньги:
«Поэтому, рассматривая теорию занятости, я буду пользоваться только значением совокупных объемов: выраженной в деньгах суммой ценностей».
Для того чтобы дать свое определение единицы измерения товара мы используем очевидное утверждение.
Товар на рынке – это, то, что хотят продать и это то, что хотят купить. Попробуем выразить это в числах.
Обратимся к своему опыту.
Вы любите пирожные? Я Вам их продам. Вы их купите и захотите еще. Я буду продавать все больше и больше. Наконец вы начнёте съедать 10 пирожных в день. А я вам предлагаю еще. Вы говорите: «Хватит!»
Я предлагаю Вам бесплатно по 12 пирожных в день, а Вы неблагодарно твердите «Нет!». Более того, закупив пирожные, Вы еще некоторое время их потребляете, и при этом не покупаете новых.
Что это такое? Это перепроизводство!
Повторим вопрос: Сколько вы можете съесть в день пирожных 10, 12, 15?
Это для математики неважно, но в принципе есть какое-то максимальное количество товара, которое Вы можете потребить в определенный период (в сутки, в месяц в год).
проб