Moda, wiara i fantazja we współczesnej fizyce Wszechświata

Tekst
0
Recenzje
Przeczytaj fragment
Oznacz jako przeczytane
Jak czytać książkę po zakupie
Czcionka:Mniejsze АаWiększe Aa

Rys. 1-28: Każda stabilna cząstka o masie m jest precyzyjnym kwantowo-mechanicznym zegarem o częstotliwości ν = mc2/h.

Kiedy Einstein dowiedział się o pomysłowej propozycji Weyla, bardzo go ona zaintrygowała. Zwrócił jednak uwagę na fakt, że z fizycznego punktu widzenia teoria ta ma poważną wadę – masa cząstki wyznacza bowiem w jednoznaczny sposób miarę czasu wzdłuż jej linii świata. Wynika to z połączenia (Rys. 1-28) kwantowo-mechanicznego równania Maxa Plancka

E =

z Einsteinowskim

E = mc2 .

E oznacza tu energię cząstki (w jej własnym układzie spoczynkowym), m jej masę (spoczynkową), zaś ν to częstotliwość (czyli częstość, z jaką dana cząstka „tyka”) wynikająca z elementarnych praw mechaniki kwantowej (zob. §2.2), zaś h i c to, kolejno, stała Plancka i prędkość światła w próżni. Po połączeniu tych równań, (= E) = mc2, widzimy, że każdej cząstce zostaje jednoznacznie przypisana określona częstotliwość, będąca wprost proporcjonalna do masy:

ν = m · c2/h ,

gdzie wielkość c2/h jest uniwersalną stałą. Masa każdej stabilnej cząstki, poprzez wynikającą z niej częstotliwość, wyznacza więc ściśle tempo „tykania” zegara.

W propozycji Weyla tempo żadnego zegara nie jest ustalone i zależy od historii danej cząstki. Wynika więc z tego, że również i masa cząstki musiałaby zależeć od jej historii. W szczególności, dla podanego wyżej przypadku, jeśli dwa elektrony uznamy za identyczne cząstki (czego faktycznie wymaga teoria kwantowa) w zdarzeniu P, to prawdopodobnie po ich spotkaniu się w zdarzeniu Q, do którego dotarły innymi trajektoriami, ich masy będą się różnić, a więc nie będą już cząstkami identycznymi! Jest to wynik całkowicie sprzeczny z powszechnie uznanymi zasadami mechaniki kwantowej, zgodnie z którymi reguły mające zastosowanie do cząstek identycznych znacząco różnią się od reguł stosujących się do cząstek nieidentycznych (zob. §1.14).

Zdawało się więc, że propozycja Weyla jest nie do zaakceptowania ze względu na naruszanie podstawowych zasad mechaniki kwantowej. Za sprawą niezwykłego splotu okoliczności ostatecznie to sama teoria kwantowa uratowała model Weyla, gdy została ostatecznie sformułowana około 1930 r. (głównie dzięki pracom Diraca [1920] i von Neumanna [1932], ale również samego Weyla [1927]). Jak się o tym przekonamy w rozdziale 2 (zob. §2.5 i §2.6), kwantowy opis cząstek dokonuje się przy użyciu liczb zespolonych (§A.9). Opisałem już wcześniej, w §1.4, kluczową rolę liczb zespolonych jako współczynników (wielkości w i z) w kwantowo-mechanicznej zasadzie superpozycji. Później (§2.5) przekonamy się, że gdy pomnoży się te współczynniki przez tę samą liczbę zespoloną u o jednostkowym module (tj. |u| = = 1, tak że u leży na okręgu jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej, zob. §A.10 i Rys. A-13), to sytuacja fizyczna nie ulega zmianie. Zauważmy, że po zastosowaniu wzoru Eulera (zob. §A.10) tego typu liczbę zespoloną o jednostkowym module u można zawsze zapisać jako

u = e = cos θ + i sin θ ,

gdzie θ to kąt (mierzony w radianach, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) pomiędzy prostą łączącą początek układu współrzędnych z u a dodatnią częścią osi rzeczywistej płaszczyzny zespolonej (Rys. A-13 w §A.10).

W kontekście mechaniki kwantowej zespolony mnożnik o jednostkowym module zwykle określa się jako fazę (lub kąt fazowy) i w formalizmie kwantowym nie jest on bezpośrednio obserwowalny (zob. §2.5). Subtelną zmianą, która przekształca pomysłową i przy tym niezwykłą ideę Weyla w kluczową cegiełkę współczesnej fizyki, jest zastąpienie rzeczywistego dodatniego czynnika skali – określanego jako cechowaniezespoloną fazą mechaniki kwantowej. Ze względów historycznych w opisie tej procedury utrzymał się termin cechowanie, choć być może bardziej odpowiednim określeniem dla zmodyfikowanej w ten sposób teorii Weyla byłoby: teoria fazowa, a zamiast o koneksji cechowania powinniśmy mówić o koneksji fazowej. Na obecnym etapie tego typu zmiana terminologiczna mogłaby jednak wprowadzić raczej chaos niż porządek.

Mówiąc ściśle, występująca w teorii Weyla faza nie jest tym samym, co (uniwersalna) faza w formalizmie kwantowym; różnią się one o czynnik wynikający z ładunku elektrycznego danej cząstki. Zasadniczą właściwością, na której opiera się teoria Weyla, jest obecność w niej tak zwanej ciągłej grupy symetrii (zob. §A.7, ostatni akapit) dla każdego zdarzenia P w czasoprzestrzeni. W pierwotnej teorii Weyla grupa symetrii składała się ze wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych, co pozwalało na skalowanie cechowania. Owe potencjalne czynniki liczbowe to po prostu dodatnie liczby rzeczywiste, oznaczane przez matematyków symbolem ℝ+, stąd związaną z nimi grupę symetrii określa się czasem jako grupę multiplikatywną ℝ+. W późniejszej wersji teorii Weyla, mającej bardziej bezpośrednie znaczenie fizyczne, elementami grupy są obroty na płaszczyźnie zespolonej (bez odbić) – grupę taką określa się jako SO(2) lub U(1), zaś jej elementami są liczby zespolone e o module jednostkowym, reprezentujące różne kąty obrotu okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej Wessela, gdzie ów okrąg o promieniu jednostkowym oznaczam po prostu jako S1.

Można zauważyć (w sprawie tego zapisu zob. również ostatni akapit §A.7, gdzie jest też mowa o pojęciu grupy), że litera „O” w „SO(2)” pochodzi od słowa „ortogonalny” (ang. orthogonal), co oznacza w praktyce, że mamy do czynienia z grupą obrotów (tj. transformacji zachowujących ortogonalność, tj. własność kątów prostych, co w przypadku obrotów w 2 wymiarach zapisuje się jako „SO(2)”). Litera „S” pochodzi zaś od słowa „specjalny” (ang. special), co oznacza, że wykluczone są odbicia. Litera „U” w zapisie „U(1)” pochodzi natomiast od słowa „unitarny” (ang. unitary) – czyli: zachowujący jednostkową normę (ang. unit norm) wektorów na płaszczyźnie zespolonej – co odnosi się do obrotów w przestrzeni zespolonej, o których będzie mowa w §2.5–§2.8. Jakiejkolwiek terminologii byśmy nie używali, mowa tu po prostu o obrotach, bez odbić, zwykłego okręgu S1.

Zauważmy następnie, że pojęcie koneksji Weyla nie stosuje się po prostu do rozmaitości czasoprzestrzennej 𝓜, skoro okrąg S1 nie jest w rzeczywistości częścią czasoprzestrzeni. S1 odnosi się raczej do pewnej abstrakcyjnej przestrzeni mającej związek z mechaniką kwantową. Wciąż można jednak myśleć o S1 jako o obiekcie pełniącym pewną rolę geometryczną, a mianowicie jako włókno wiązki 𝓑, której przestrzenią bazową jest rozmaitość czasoprzestrzenna 𝓜. Geometria ta jest zilustrowana na Rys. 1-29. Włóknami są okręgi S1, ale na ilustracji tej widać, że najlepiej jest myśleć o nich jak o okręgach jednostkowych na płaszczyznach zespolonych Wessela (§A.10). (Pojęcie wiązki wyjaśniam w §A.7.) Weylowska koncepcja koneksji cechowania ma faktycznie charakter geometryczny, jednak nie nadaje ona struktury bezpośrednio czasoprzestrzeni; wynikająca z niej struktura jest nadawana wiązce 𝓑, która jest 5-rozmaitością blisko związaną z 4-rozmaitością czasoprzestrzenną.


Rys. 1-29: W geometrii Weyla elektromagnetyzm opisany jest jako koneksja na wiązce 𝓑 nad czasoprzestrzenią 𝓜. O włóknach S1 (okręgi na górze ilustracji) najlepiej jest myśleć jako o okręgach jednostkowych na płaszczyźnie zespolonej Wessela.

Istnieją również rozwinięcia modelu Weyla mające stanowić opis oddziaływań silnych i słabych przy użyciu koneksji cechowania, będące częścią modelu standardowego fizyki cząstek (zob. §1.3); również tu stosuje się opis w języku wiązek, wprowadzonych w §A.7. W każdym przypadku, tak jak wcześniej, przestrzenią bazową jest 4-wymiarowa czasoprzestrzeń, ale włóknem musi być przestrzeń 𝓕 o większej liczbie wymiarów niż 1-wymiarowa przestrzeń S1, która, o czym była mowa wyżej, służy do opisu elektromagnetyzmu. Tego typu rozszerzenia Weylowskiego podejścia do teorii Maxwella opartego na mechanizmie cechowania określa się jako teoria Yanga-Millsa [Chan i Tsou 1998]. W przypadku oddziaływań silnych, 𝓕 jest przestrzenią o takiej samej symetrii, jaką cechuje się przestrzeń kolorów dostępnych kwarkom, zgodnie z opisem w §1.3. Odpowiednią grupę symetrii określa się jako SU(3). Przypadek oddziaływań słabych jest na pozór podobny, a odpowiednia grupa symetrii określana jest jako SU(2) lub U(2), gdyż symetria ta jest złamana przez proces łamania symetrii, który, jak się uważa, miał miejsce na wczesnym etapie ewolucji Wszechświata. Prawdę mówiąc, w zwyczajowym opisie tej procedury występują pewne kwestie, które mnie niepokoją, ponieważ, ściśle mówiąc, sama idea symetrii cechowania ma rację bytu tylko wtedy, gdy symetria ta jest ścisła (zob. §A.7 oraz DDR, §28.3). Szczęśliwie – moim zdaniem – istnieją inne sformułowania matematyczne tej procedury, w których oddziaływanie słabe pojawia się za sprawą mechanizmu o interpretacji fizycznej nieco innej niż standardowa, gdzie postuluje się istnienie podobnych do kwarków składników leptonów (w analogii do kwarkowego modelu hadronów), będących nośnikami ładunku kolorowego, zaś symetria oddziaływania słabego jest zawsze ściśle zachowywana [‘t Hooft 1980b; Chan i Tsou 1980].

 

1.9. Swoboda funkcjonalna w teorii Kaluzy-Kleina i teorii strun

Mamy więc teraz dwie alternatywne przestrzenie 5-wymiarowe, z których każda stanowi sposób na włączenie teorii elektromagnetyzmu Maxwella do opisu geometrii zakrzywionej czasoprzestrzeni. W jaki sposób wiążą się ze sobą 5-rozmaitość 𝓑, występująca w wiązkowej reprezentacji procedury z włóknami S1 (opisana w §1.8), i 5-wymiarowy obraz czasoprzestrzeni z oddziaływaniami elektromagnetycznymi Kaluzy-Kleina (opisana w §1.6)? Są one w rzeczywistości bardzo sobie bliskie i nie byłoby dalekie od prawdy, gdyby uznać, że są identyczne! 5-wymiarowa czasoprzestrzeń Kaluzy zmodyfikowana przez Kleina tak, aby jej „dodatkowym” wymiarem był maleńki okrąg (S1) oraz wiązka 𝓑 Weyla, są topologicznie tożsame, będąc przestrzeniami produktowymi 𝓜 × S1 zwykłej 4-wymiarowej czasoprzestrzeni 𝓜 i okręgu S1 (zob. Rys. A-25 w §A.7 i Rys. 1-29). Przestrzeń Kaluzy-Kleina ma ponadto automatycznie swego rodzaju strukturę wiązkową o włóknach S1, gdzie, aby zidentyfikować te włókna, należy po prostu szukać linii geodezyjnych, które są zamknięte (i należą do odpowiedniej rodziny topologicznej). 5-przestrzenie Weyla i Kaluzy-Kleina różnią się jednak ze względu na rodzaj przypisywanej im struktury. Procedura Weyla wymaga, abyśmy przypisywali koneksję cechowania wiązce 𝓑, traktowaną jako wiązka nad 4-wymiarową czasoprzestrzenią 𝓜, zaś w teorii Kaluzy-Kleina całą 5-rozmaitość uważa się za „czasoprzestrzeń” i całej tej strukturze przypisuje się metrykę g. Koneksja cechowania Weyla okazuje się jednak być już domyślnie obecna w konstrukcji Kaluzy, ponieważ jest to w istocie zwykła koneksja afiniczna, omówiona w §1.8 (która występuje w każdej przestrzeni riemannowskiej, a więc i w 5-przestrzeni Kaluzy), po zastosowaniu jej do kierunków ortogonalnych do włókien S1. 5-przestrzeń Kaluzy-Kleina zawiera już więc w sobie koneksję cechowania Weyla i może zostać w istocie utożsamiona z wiązką Weyla 𝓑.

Przestrzeń Kaluzy-Kleina daje nam jednak coś więcej, ponieważ wyposażona jest ona w metrykę o takiej właściwości, że jeśli spełnia ona odpowiednie próżniowe równanie pola Einsteina 5G = 0 (co oznacza, że tensor energii 5T 5-przestrzeni również wynosi zero), to nie tylko uzyskuje się koneksję Weyla, ale również, co niezwykłe, pole elektromagnetyczne Maxwella F wyłaniające się z tej koneksji funkcjonuje (za sprawą swojej gęstości masy/energii) jako źródło pola grawitacyjnego. Sprzężone w ten sposób równania określa się jako równania Einsteina-Maxwella. Tej zaskakującej własności nie ma model Weyla.

Aby nasze omówienie struktury 5-przestrzeni Kaluzy-Kleina było nieco bardziej precyzyjne, powinienem dodać, że podane wyżej własności występują tylko po poczynieniu dodatkowego zastrzeżenia: takiego mianowicie, że przyjęta zostanie taka wersja teorii Kaluzy-Kleina, w której długość przypisywana pętlom S1 jest taka sama w całej 5-przestrzeni. (Niektóre wersje teorii zezwalają na zmienną długość tych pętli, co może pozwolić na wyprowadzenie z niej dodatkowego pola skalarnego.) Owa stała długość musi zostać ponadto wybrana tak, aby uzyskana została poprawna wartość stałej 8πγ w równaniach Einsteina (zob. §1.1). Co zaś najważniejsze, podkreślam, że zawsze gdy mówię o „teorii Kaluzy-Kleina”, mam na myśli pierwotną jej wersję, w której występuje ścisła symetria nałożona na całą 5-przestrzeń, tak więc musi występować całkowita symetria obrotowa w kierunku S1 (zob. ilustrujący w zasadzie tę własność Rys. 1-29). Inaczej mówiąc, wektor k jest w istocie wektorem Killinga, tak więc 5-przestrzeń może się przemieszczać równolegle „po sobie samej” wzdłuż S1 bez żadnego wpływu na strukturę swojej metryki.

Omówmy teraz kwestię swobody funkcjonalnej w teorii Kaluzy-Kleina. Jeśli przyjrzymy się jej w takiej postaci, w jakiej opisałem ją przed chwilą, to dodatkowy wymiar nie wpływa na stopień swobody funkcjonalnej. Ze względu na narzuconą symetrię obrotową wzdłuż krzywych S1, swoboda teorii jest taka sama, jak zwykłej 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, w której występuje standardowa deterministyczna ewolucja z danych ustalonych na początkowej 3-przestrzeni. Swoboda takiej teorii odpowiada w rzeczywistości tej, którą cechują się równania Einsteina-Maxwella, czyli

8∞3,

zgodnie z oczekiwaniami dla klasycznej teorii fizycznej opisującej nasz Wszechświat.

Chciałbym podkreślić, że kluczową własnością teorii cechowania – klasy teorii, które okazały się niezwykle skutecznie wyjaśniać elementarne siły przyrody – jest to, że włókna 𝓕 wiązki opisującej teorię cechowania posiadają pewną (skończenie wymiarową) symetrię. W §A.7 wyraźnie pokazuję, że to właśnie fakt posiadania przez włókno 𝓕 (ciągłej) symetrii pozwala na poprawne funkcjonowanie teorii cechowania. Symetrią tą jest w przypadku Weylowskiej teorii oddziaływań elektromagnetycznych grupa okręgu U(1) (lub, równoważnie, SO(2)), która działa ściśle na włókna 𝓕. (Symbole te są wyjaśnione pod koniec §A.7.) Symetria ta rozciąga się również w modelu Weyla globalnie na całą 5-wymiarową rozmaitość 𝓑, i to ona była postulowana w pierwotnej teorii Kaluzy-Kleina. Aby zachować ten bliski związek pomiędzy metodą opartą na konstrukcji czasoprzestrzeni o dodatkowych wymiarach, zainicjowaną przez Kaluzę, a Weylowskim podejściem opartym na teorii cechowania, wydaje się być kluczowe, aby zachowywać symetrię włókien i nie powiększać przesadnie swobody funkcjonalnej przez traktowanie przestrzeni włókien 𝓕 jako części czasoprzestrzeni z własnymi wewnętrznymi stopniami swobody.

Co zaś z teorią strun? Tutaj sytuacja wydaje się być zupełnie inna, ponieważ w tej teorii otwarcie wymaga się, aby dodatkowe wymiary przestrzenne w pełni uczestniczyły w swobodzie dynamicznej. Tego typu wymiary mają funkcjonować jako prawdziwe wymiary przestrzenne. Jest to zasadniczym składnikiem filozofii teorii strun od momentu jej powstania, ponieważ proponuje się, że wszystkie te złożone siły i parametry niezbędne, aby opisać wszystkie zjawiska znane fizyce cząstek, ulegają wyjaśnieniu przez „oscylacje” mogące występować właśnie za sprawą dodatkowych wymiarów. Moim zdaniem jest to głęboko niewłaściwa filozofia, ponieważ zezwolenie na swobodne uczestnictwo w dynamice dodatkowych wymiarów przestrzennych otwiera puszkę Pandory niechcianych stopni swobody, z jedynie nikłą nadzieją na utrzymanie ich pod kontrolą.

Twórcy teorii strun, nie zważając na tego typu trudności, które wyłaniają się naturalnie za sprawą nadmiernej swobody funkcjonalnej związanej z dodatkowymi wymiarami przestrzennymi, wybrali jednak tę właśnie ścieżkę, odmienną od pierwotnej idei modelu Kaluzy-Kleina. Wskutek prób usunięcia anomalii wynikających z wymagania niezmienniczości parametrów w kwantowej teorii strun, poczynając od lat 70. XX wieku, rozwijany był (dla strun bozonowych) opis w pełni dynamicznej 26-wymiarowej czasoprzestrzeni o 25 wymiarach przestrzennych i 1 czasowym. Później, za sprawą ważnego rozwinięcia teoretycznego zaproponowanego przez Michaela Greena i Johna Schwarza w 1984 roku, teoretycy strun zdołali zredukować liczbę wymiarów przestrzennych do 9 (dla strun fermionowych), odwołując się do mechanizmu określanego jako supersymetria (zob. §1.14; termin ten był też wspomniany w §1.6), jednak ta zmiana (ponieważ nie prowadzi do zmniejszenia wymiarowości przestrzeni do bezpośrednio doświadczanej liczby 3) nie ma istotnego wpływu na poruszane przeze mnie kwestie.

Próbując zrozumieć rozmaite propozycje teoretyczne występujące w teorii strun, natrafiłem na dodatkowe źródło trudności, zwłaszcza, gdy starałem się pojąć kwestię swobody funkcjonalnej w tej teorii. Rzecz w tym, że często zmienia się wyrażany w środowisku pogląd na to, ile wymiarów faktycznie ma czasoprzestrzeń. Przypuszczam, że na podobne trudności napotyka wiele osób próbujących zrozumieć strukturę matematyczną teorii strun. Kwestia istnienia stanowiącej tło dla wszystkich zjawisk czasoprzestrzeni o określonej liczbie wymiarów przestrzennych wydaje się odgrywać mniejszą rolę w teorii strun niż w konwencjonalnej fizyce, a z pewnością w mniejszym stopniu taką rolę, która odpowiadałaby mnie samemu. Bardzo trudno jest ustalić, ile swobody funkcjonalnej występuje w danej teorii fizycznej, jeśli nie jest jednoznacznie określone, ile wymiarów ma przestrzeń tej teorii.

Aby wyraźniej opisać ten problem, powróćmy do jednego ze szczególnie atrakcyjnych aspektów teorii strun w jej wczesnej postaci, zgodnie z tym, co zostało już powiedziane w §1.6. Jest nim fakt, że historie strun można uznać za powierzchnie Riemanna, tj. krzywe zespolone (w analogii do idei linii świata cząstki w konwencjonalnej teorii względności; zob. §1.7). We wczesnych latach rozwoju teorii strun na zagadnienie to patrzyło się często z punktu widzenia 2-wymiarowej konforemnej teorii pola [Francesco i in. 1997; Kaku 2000; Polchinski 1994, rozdział 1; Polchinski 2001, rozdział 2], zgodnie z którą przybliżonym odpowiednikiem czasoprzestrzeni byłaby 2-wymiarowa powierzchnia świata sama w sobie! (Pojęcie konforemności w kontekście czasoprzestrzeni pojawiło się w §1.7.) Prowadzi to do obrazu, dla którego swoboda funkcjonalna przyjmuje postać

a∞1

dla pewnej dodatniej liczby a. W jaki sposób pogodzić to ze znacznie wyższą swobodą funkcjonalną ∞b∞3, właściwą dla zwykłej fizyki?

Odpowiedź mogłaby być taka, że powierzchnia świata zdaje się, w pewnym sensie, „wyczuwać” otaczającą czasoprzestrzeń i otaczającą ją fizykę za sprawą jakiegoś rodzaju rozwinięcia w szereg potęgowy, gdzie niezbędne informacje (współczynniki rozwinięcia potęgowego) uzyskiwane są za pośrednictwem nieskończonej liczby parametrów (w rzeczywistości byłyby to holomorficzne wielkości na powierzchni świata; zob. §A.11). Nie staram się tu wykazać, że swoboda funkcjonalna jest czymś źle zdefiniowanym lub nieistotnym. Rzecz raczej w tym, że w przypadku teorii uzależnionej od procedur matematycznych, takich jak rozwinięcie w szereg potęgowy albo analiza modów, stwierdzenie, jaka jest konkretnie swoboda funkcjonalna, może nastręczać poważne trudności (§A.11). Niestety, tego typu sposób formułowania teorii bywa powszechnie stosowany w teorii strun.

Wydaje się, że w środowisku teoretyków strun do pewnego stopnia powszechny jest pogląd, że nie jest do końca istotne, ile wymiarów faktycznie ma czasoprzestrzeń. W pewnym sensie wymiarowość przestrzeni mogłaby być parametrem uzależnionym od poziomu energii, tak że układowi mogłyby się stać dostępne dodatkowe wymiary wraz ze wzrostem jego energii. Można więc przyjąć, że istnieją ukryte wymiary, ujawniające się dopiero powyżej określonego progu energetycznego. Brak jasności w tym zakresie trochę mnie niepokoi, zwłaszcza ze względu na kwestię swobody funkcjonalnej właściwej danej teorii.

Dobrego przykładu dostarcza tak zwana heterotyczna teoria strun. Występuje ona w dwóch wersjach, określanych jako teoria HO i teoria HE. Różnica pomiędzy nimi nie jest w tej chwili dla nas istotna; kwestia zostanie omówiona nieco później. Heterotyczna teoria strun wykazuje jedną dziwną własność: wydaje się ona zachowywać jednocześnie jako teoria czasoprzestrzeni o 26 wymiarach oraz takiej o 10 wymiarach (w tej drugiej występuje supersymetria), zależnie od tego, czy interesują nas przemieszczające się w lewo czy w prawo wzbudzenia strun – różnica (zależna od orientacji przypisanej danej strunie), która również domaga się wyjaśnienia, o czym będzie mowa za chwilę. Ten konflikt wydaje się stwarzać problemy, gdy przychodzi do wyznaczenia swobody funkcjonalnej teorii (gdzie, dla celów tej procedury, traktuje się ją tak, jak gdyby była teorią klasyczną).

Tę pozorną sprzeczność oficjalnie rozwiązuje się poprzez traktowanie czasoprzestrzeni jako 10-wymiarowej w obu przypadkach (1 wymiar czasowy i 9 przestrzennych), przy czym istnieje 16 dodatkowych wymiarów przestrzennych, które traktuje się odmiennie zależnie od charakteru wzbudzeń. Gdy opisuje się wzbudzenie przemieszczające się w lewo, wszystkie 26 wymiarów łączy się i wspólnie składają się na czasoprzestrzeń, w której dochodzi do drgań struny. Gdy natomiast analizuje się wzbudzenia przemieszczające się w prawo, wymiary te interpretuje się odmiennie – 10 z nich dostarcza faktycznych kierunków, w których może następować wychylenie struny, zaś pozostałe 16 uznaje się za kierunki włókien, przez co obrazem świata teorii strun w przypadku prawostronnych modów drgań jest wiązka włóknista (zob. §A.7) o 10-wymiarowej przestrzeni bazowej i 16-wymiarowych włóknach.

 

Tak, jak jest to w przypadku wiązek włóknistych w ogólności, z włóknem musi być związana pewna grupa symetrii; dla teorii HO jest to grupa SO(32) (grupa obrotów, bez odbić, kuli w 32 wymiarach; zob. koniec §A.7), a dla heterotycznej teorii HE jest to grupa E8 × E8, gdzie E8 to grupa symetrii szczególnie interesującego typu, określana jako wyjątkowa prosta grupa ciągła. Nie ulega wątpliwości, że specyficzny charakter matematyczny tej wyjątkowej grupy prostej – E8 jest największą i najbardziej fascynującą grupą z tej kategorii – stanowi zachętę do jej badania, zgodnie z omówionym w §1.1 kryterium estetycznym. Z punktu widzenia swobody funkcjonalnej istotne jest jednak to, że swoboda ta jest różna zależnie od typu wzbudzenia: dla modów fermionowych (prawostronnych) oscylacji strun ma ona postać ∞a∞9, podczas gdy dla modów bozonowych (lewostronnych) wynosi ∞b∞25. Kwestia ta blisko wiąże się z czymś, o czym była już mowa wcześniej, gdy analizowaliśmy różnicę pomiędzy swobodą funkcjonalną pierwotnej teorii Kaluzy-Kleina (lub teorii Weyla z włóknami o topologii okręgu, zob. §1.8), gdzie wynosiła ona ∞8∞3, a w pełni 5-wymiarową teorią czasoprzestrzeni, której swoboda funkcjonalna jest znacznie większa: ∞b∞4. Należy tu wyraźnie odróżnić całkowitą wymiarowość d + r przestrzeni 𝓑 danej wiązki (liczonej wraz z r-wymiarowymi włóknami 𝓕) od wymiaru d przestrzeni bazowej 𝓑. Zostanie to dokładniej opisane w §A.7.

Powyższy problem dotyczy swobody funkcjonalnej czasoprzestrzeni traktowanej jako całość, niezależnie od tego, jakiego rodzaju strunowe powierzchnie świata są w niej obecne. Tym, co naprawdę nas tu interesuje, jest jednak swoboda, jaką posiadają powierzchnie świata (§1.6) znajdujące się w czasoprzestrzeni. Jak to możliwe, że dla jednego rodzaju modów (fermionowych) czasoprzestrzeń wydaje się być 10-wymiarowa, zaś dla innych (bozonowych) jest ona 26-wymiarowa? W przypadku modów bozonowych obraz jest dość prosty. Struna może drgać w otaczającej ją czasoprzestrzeni, co oznacza swobodę funkcjonalną ∞24∞1 („1” bierze się stąd, że choć powierzchnia świata struny jest 2-powierzchnią, tutaj w grę wchodzą wyłącznie przemieszczające się w prawo wzbudzenia). Gdy jednak mowa o modach fermionowych, należałoby uznać, że struna zamieszkuje „czasoprzestrzeń” 10-wymiarową, a nie całą 26-wymiarową wiązkę. Oznacza to, że struna musi przenosić ze sobą leżące nad nią włókna wiązki. Jest to naprawdę twór innego rodzaju niż ten, który wiąże się z modami bozonowymi, a struna jest teraz 18-wymiarową pod-wiązką 26-wymiarowej przestrzeni całkowitej wiązki czasoprzestrzennej, którą zamieszkuje. (Na fakt ten zwykle nie zwraca się uwagi. Efektywna czasoprzestrzeń jest 10-wymiarową przestrzenią ilorazową – zob. Rys. 1-32 w §1.10 i §A.7 – wiązki o 26 wymiarach, tak więc powierzchnia świata struny również musi być przestrzenią ilorazową 18-wymiarowej pod-wiązki.) Swoboda funkcjonalna w tych modach wciąż ma postać ∞a∞1 (gdzie a zależy od grupy symetrii wiązki), ale obraz geometryczny jest teraz zupełnie inny niż w przypadku modów bozonowych, gdzie struna jest uważana za 2-wymiarową „rurką” świata (jak na Rys. 1-11), podczas gdy w przypadku modów fermionowych struny powinny być, technicznie, pod-wiązkami o całkowitej wymiarowości 18 (= 2 + 16)! Bardzo trudno jest mi sformułować spójny opis tego, co tu się dzieje, i nie spotkałem się jeszcze z porządnym omówieniem tych kwestii geometrycznych.

Powinienem ponadto omówić nieco precyzyjniej naturę geometryczną modów prawo- i lewostronnych, niezależnie już od kwestii, jak należy interpretować przestrzeń, w której występują, ponieważ wynika z tego kolejna kwestia, o której nie było jeszcze mowy. Wspomniałem już o bardzo obiecującym fakcie, że powierzchnie świata strun można traktować jako powierzchnie Riemanna. Nie jest to jednak prawdą w odniesieniu do tego, co napisałem powyżej. Skorzystałem otóż z pewnej sztuczki, powszechnie stosowanej w kwantowej teorii pola, również w omawianym tu przypadku – choć bez wyraźnego wspomnienia o tym fakcie – polegającej na posłużeniu się tzw. obrotem Wicka.

Czym jest obrót Wicka? Jest to procedura matematyczna, pierwotnie stosowana w celu „przetłumaczenia” problemów kwantowej teorii pola w czasoprzestrzeni Minkowskiego 𝕄 (płaska czasoprzestrzeń szczególnej teorii względności; zob. koniec §1.7) na, często znacznie bardziej przystępne, zagadnienia w zwykłej euklidesowej 4-przestrzeni 𝔼4. Procedura ta bierze się stąd, że lorentzowska metryka czasoprzestrzenna g teorii względności ulega zamianie na (minus) metrykę euklidesową, jeśli standardową współrzędną czasową t zastąpi się przez it (gdzie i = √–1; zob. §A.9). Sztuczkę tę określa się czasem jako euklidyzację, a kiedy problemy rozwiąże się na gruncie geometrii euklidesowej, wraca się do docelowej czasoprzestrzeni Minkowskiego 𝕄 za sprawą procedury przedłużenia analitycznego (zob. §A.10 i §3.8). Obrót Wicka jest obecnie tak powszechnie stosowany w kwantowej teorii pola, że często uważa się go w określonych przypadkach za automatyczną procedurę, o której ledwie się wspomina, a której poprawności nie podaje się w wątpliwość. Rzeczywiście, procedura ta ma liczne zastosowania, jednak nie jest ona uniwersalnie poprawna. W szczególności, jest ona wysoce wątpliwa w kontekście zakrzywionych czasoprzestrzeni w ogólnej teorii względności, gdzie w typowym przypadku nie da się w ogóle jej zastosować, ponieważ nie występuje naturalna współrzędna czasowa. W teorii strun jest to problem zarówno w 10-wymiarowej czasoprzestrzeni, w ogólnych przypadkach, gdy występuje zakrzywiona przestrzeń oraz w kontekście powierzchni świata strun[7].


Rys. 1-30: Na ilustracji tej przedstawione są dwa różne punkty widzenia na powierzchnie świata strun. Na ilustracji (a) przedstawiony został obraz, w którym występują „rurki świata” będące powierzchniami Riemanna; mogą się one na różne sposoby rozgałęziać i ponownie łączyć. Na ilustracji (b) przedstawiono bardziej bezpośredni sposób przedstawiania (czasopodobnej) historii struny jako 2-rozmaitości lorentzowskiej; można na niej przedstawić mody wzbudzeń przemieszczające się w lewo i w prawo, ale rozgałęzienia nie są możliwe. Przejście między jednym obrazem i drugim miałoby się dokonywać za sprawą obrotu Wicka, ale procedura ta jest bardzo wątpliwa w zakrzywionej czasoprzestrzeni ogólnej teorii względności.

Odnoszę wrażenie, że trudność ta prowadzi do kwestii, które nie zostały jeszcze odpowiednio omówione w teorii strun. Na razie zostawmy jednak te ogólne problemy na boku i zastanówmy się, jakie byłyby w praktyce skutki „euklideizacji” powierzchni świata struny. Możemy wyobrazić sobie historię struny jako pojedynczą pętlę poruszającą się w jakiś sposób, nie przekraczając przy tym lokalnej prędkości światła. Jej powierzchnia świata byłaby wtedy czasopodobną 2-powierzchnią, która dziedziczy 2-metrykę lorentzowską po 10-metryce czasoprzestrzeni nadrzędnej. Owa 2-metryka przypisuje każdemu punktowi należącemu do powierzchni świata parę kierunków zerowych. Przemieszczanie się w jednym z tych dwóch kierunków oznacza poruszanie się po prawoskrętnej lub lewoskrętnej „śrubowej” krzywej zerowej wytyczonej na cylindrze powierzchni świata. Wzbudzenia, które są stałe wzdłuż jednej lub drugiej rodziny tego typu krzywych, stanowią wspomniane wyżej mody prawostronne i lewostronne (zob. Rys. 1-30(b)). Tego typu powierzchnie cylindryczne nigdy się jednak nie rozgałęziają, przez co niemożliwe jest uzyskanie tego typu obrazu, który przedstawiono na Rys. 1-11 – struktura lorentzowska załamuje się w punktach rozgałęziania się powierzchni. Tego typu topologia ma rację bytu wyłącznie dla strun zeuklideizowanych przedstawionych na Rys. 1-30(a), które są powierzchniami Riemanna: są one wyposażone w metrykę typu riemannowskiego, nie definiuje się na nich kierunków zerowych, interpretuje się je zaś jako krzywe zespolone (§A.10). Zeuklideizowane prawo- i lewostronne mody odpowiadają teraz, odpowiednio, holomorficznym i antyholomorficznym funkcjom na powierzchni Riemanna (zob. §A.10).

Kwestia swobody funkcjonalnej, która stanowi mój główny przedmiot zainteresowania w tym podrozdziale, nie jest jedynym bezpośrednio fizycznym problemem, który nie wydaje się mieć swojego solidnego omówienia w znanej mi standardowej literaturze na temat teorii strun. Nie znalazłem też bliższego omówienia kwestii geometrycznych wynikających z kluczowej, ale wysoce wątpliwej, procedury obrotu Wicka, którą omówiłem powyżej. Odnoszę wrażenie, że wielu najzupełniej oczywistych problemów geometrycznych i fizycznych wynikających z perspektywy strunowej nigdy w ogóle porządnie nie przedyskutowano!