Moda, wiara i fantazja we współczesnej fizyce Wszechświata

Tekst
0
Recenzje
Przeczytaj fragment
Oznacz jako przeczytane
Jak czytać książkę po zakupie
Czcionka:Mniejsze АаWiększe Aa

Rys. 1-13: Wąż gumowy stanowi intuicyjną metaforę propozycji Kleina, że dodatkowy wymiar (lub wymiary) są bardzo małe, być może nawet porównywalne z długością Plancka. Gdy patrzy się na niego z dużej odległości, wąż wydaje się być 1-wymiarowy, analogicznie do postrzeganej 4-wymiarowości naszej czasoprzestrzeni. Dopiero w małej skali staje się widoczny dodatkowy wymiar, podobnie jak hipotetyczny mikroskopijny dodatkowy wymiar przestrzenny (bądź: wymiary) w teorii Kaluzy-Kleina.

Następnie, w 1926 roku, Klein przedstawił odmienny sposób patrzenia na 5-przestrzeń Kaluzy: ów dodatkowy wymiar w kierunku k miał być teraz „mały” w sensie bycia zwiniętym do postaci maleńkiej pętli (S1). Aby pomóc w intuicyjnym uchwyceniu tej idei, można posłużyć się tradycyjną metaforą węża gumowego (Rys. 1-13). Cztery makroskopowe wymiary zwykłej czasoprzestrzeni reprezentowane są w tej metaforze przez pojedynczy kierunek wzdłuż węża, zaś dodatkowy „mały” piąty wymiar czasoprzestrzeni w teorii Kaluzy-Kleina reprezentowany jest przez kierunek wokół węża, a więc wyznaczany przez niewielką pętelkę stanowiącą jego obwód. W kontekście teorii fizycznej jej rozmiar byłby prawdopodobnie rzędu długości Plancka, czyli ok. 10–35 m (zob. §1.5). Jeśli patrzy się na węża gumowego z odpowiednio dużej odległości, wydaje się on być obiektem 1-wymiarowym, zaś dodatkowy wymiar, który zapewnia wężowi jego rzeczywistą 2-wymiarową naturę, nie jest bezpośrednio widoczny. W obrazie Kaluzy-Kleina dodatkowy piąty wymiar czasoprzestrzeni jest analogiczny do wymiaru wokół obwodu węża i nie jest bezpośrednio obserwowalny.

Teoretycy strun wyobrażali sobie, że możliwe jest „ukrycie” w podobny sposób dodatkowych 22 wymiarów przestrzennych ich teorii, które musiałyby być tak „małe”, jak pojedynczy dodatkowy wymiar teorii Kaluzy-Kleina – w takim razie nie byłyby one widoczne w większej skali. To z tego powodu, jak twierdzili, nie doświadczamy bezpośrednio obecności 22 dodatkowych wymiarów czasoprzestrzeni, których istnienia wymaga teoria strun, aby była wolna od anomalii. Omówione wcześniej fakty ze strony fizyki hadronów, stanowiące motywację do rozwijania teorii strun, wydają się sugerować, że odpowiednią skalą dla „wielkości” tych dodatkowych wymiarów jest ok. 10–15 m – rzeczywiście skala bardzo niewielka, jeśli ją zestawić ze światem codziennego doświadczenia, jednak kluczowa dla procesów z udziałem hadronów. Jak przekonamy się w §1.9, bardziej współczesne wersje teorii strun mówią zwykle o znacznie mniejszych skalach, mieszczących się zwykle w przedziale 10–33–10–35 m.

Czy tego typu propozycja ma sens? Uważam, że występuje tu poważny problem, a mianowicie kwestia swobody funkcjonalnej wspomniana krótko we wstępie do tej książki, a omówiona bardziej szczegółowo w §A.2 (i §A.8); niezaznajomionych z nią czytelników zachęcam do zapoznania się z tymi rozdziałami [zob. też. Cartan 1945; Bryant i in. 1991]. Gdy mowa o klasycznych polach, podlegających standardowego typu równaniom opisującym ewolucję pól w funkcji czasu, liczba wymiarów przestrzennych ma olbrzymie znaczenie, ponieważ im więcej jest wymiarów, tym większa jest swoboda w zachowaniu się pól, jeśli rozważa się tylko jeden wymiar czasowy. Zgodnie z notacją przyjętą w §A.2, swoboda funkcjonalna c-składnikowego pola, które można dowolnie określić w przestrzeni o d wymiarach przestrzennych to:

c∞d .

Zestawienie tego stopnia swobody ze swobodą właściwą dla C-składnikowego pola w przestrzeni o innej liczbie D wymiarów przestrzennych wyraża się następująco:

C∞D ≫ ∞c∞d jeśli D > d,

przy czym bez znaczenia jest względna liczbę składników przypadających na punkt, czyli C i c. Znak podwójnej nierówności „≫” ma wyrażać potężną, absolutną przewagę lewego członu nad prawym – swoboda funkcjonalna opisywana przez lewą stronę nierówności przewyższa tę po prawej stronie, bez względu na wartość parametrów C i c (zob. §A.2 i §A.8). Rzecz w tym, że dla zwykłych klasycznych pól o skończonej liczbie składników przypadających na każdy punkt – gdy zakładamy zwykłego rodzaju równania pola, przy deterministycznej ewolucji czasowej, wychodzące od (efektywnie) dowolnych warunków początkowych zadanych na d-wymiarową przestrzeń – kluczowe znaczenie ma liczba d. Teoria taka nie może być równoważna innej podobnej teorii, w której przestrzeń ma inną liczbę wymiarów D. Jeśli D jest większe od d, to swoboda obecna w teorii D-przestrzeni zawsze znacząco przekracza swobodę w teorii d-przestrzeni!

Podczas gdy sytuacja ta wydaje mi się być całkowicie jasna w odniesieniu do klasycznych teorii pola, przypadek kwantowych teorii pola zdecydowanie nie musi być równie jednoznaczny. Teorie kwantowe modeluje się jednak zwykle na bazie teorii klasycznych, aby odchylenia teorii kwantowej od klasycznej, stanowiącej punkt wyjścia, można potraktować w pierwszym przybliżeniu po prostu jako kwantowe poprawki do klasycznej teorii. W przypadku teorii kwantowych tego typu potrzebny jest bardzo dobry powód, by uznać, że dwie teorie kwantowe są równoważne, choć występują w nich różne ilości wymiarów przestrzennych.

Pojawiają się więc głębokie pytania związane z fizycznym znaczeniem teorii kwantowych, takich jak „ponadwymiarowe” teorie strun, w których liczba wymiarów przestrzennych jest większa niż zwyczajnie obserwowane trzy. Co z zalewem dodatkowych stopni swobody dostępnych teraz dla układów fizycznych, wyłaniających się za sprawą olbrzymiej swobody funkcjonalnej dostępnej dzięki nowym wymiarom przestrzennym? Czy można sprawić, aby te potężne ilości stopni swobody pozostały ukryte i nie zdominowały całkowicie fizyki w tego typu teoriach?

W pewnym sensie jest to możliwe, nawet dla teorii klasycznych, ale tylko wtedy, jeśli tak naprawdę owe dodatkowe stopnie swobody w rzeczywistości tam nie występują. Tak było z pierwotną teorią Kaluzy z 5-wymiarową czasoprzestrzenią, gdzie jawnym wymaganiem jest, aby dodatkowy wymiar podlegał dokładnej ciągłej symetrii. Symetria ta jest związana z istnieniem wektora Killinga k, tak więc swoboda funkcjonalna zostaje zredukowana do poziomu zwykłej teorii o trzech wymiarach przestrzennych.

Aby więc zbadać możliwość istnienia teorii strun o wyższej wymiarowości, dobrze jest najpierw zrozumieć, co pierwotnie próbowali osiągnąć Kaluza i Klein. Celem ich było zaś zaproponowanie geometrycznego opisu elektromagnetyzmu w duchu ogólnej teorii względności Einsteina poprzez przedstawienie tej siły w pewnym sensie jako manifestacji samej struktury czasoprzestrzeni. Jak pamiętamy z §1.1, ogólna teoria względności, w postaci, w jakiej została pierwotnie opublikowana w 1916 roku, pozwoliła Einsteinowi na zawarcie wszystkich charakterystycznych właściwości pola grawitacyjnego w opisie struktury 4-wymiarowej czasoprzestrzeni. Wówczas znane były tylko dwie elementarne siły przyrody – grawitacyjna i elektromagnetyczna – narzucała się więc myśl, że również i pełen opis elektromagnetyzmu, wraz z jego związkami z grawitacją, powinien poddać się opisowi w kategoriach jakiegoś typu geometrii czasoprzestrzeni. Kaluza, co niezwykłe, dokonał właśnie tego. Stało się to jednak kosztem wprowadzenia do kontinuum czasoprzestrzennego dodatkowego wymiaru.

1.7. Czas w ogólnej teorii względności Einsteina

Zanim przyjrzymy się bliżej 5-wymiarowej czasoprzestrzeni teorii Kaluzy-Kleina, dobrze będzie najpierw zbadać sposób opisu oddziaływań elektromagnetycznych, który ostatecznie stał się częścią standardowej teorii fizycznej. Szczególnie interesować nas będzie oddziaływanie elektromagnetyczne pomiędzy cząstkami kwantowymi (kwantowa wersja Lorentzowskiego rozszerzenia teorii Maxwella, które to, jak pamiętamy z §1.5, opisuje wpływ obecności pola elektromagnetycznego na naładowane elektrycznie cząstki) oraz jego uogólnienia na przypadki oddziaływań silnych i słabych w modelu standardowym. Pierwszy krok na drodze do tej teorii postawił w 1918 roku wielki niemiecki matematyk (i fizyk teoretyczny) Hermann Weyl. (Weyl był jednym z rezydentów Institute for Advanced Study w Princeton w tym samym czasie, gdy przebywał tam Einstein, a więc w latach 1933–55. Swojego głównego wkładu w rozwój fizyki, podobnie zresztą jak Einstein, dokonał jednak wcześniej, w Niemczech i Szwajcarii.) Pierwotna, bardzo oryginalna idea Weyla polegała na takim rozszerzeniu ogólnej teorii względności, aby w geometryczną strukturę czasoprzestrzeni można było w sposób naturalny włączyć elektrodynamikę Maxwella (wielką teorię wspomnianą krótko w §1.2 i §1.6). Dokonał tego przy pomocy narzędzia określanego dziś jako koneksja cechowania. Ostatecznie, po wprowadzeniu pewnych drobnych zmian, idea Weyla stała się kluczowym elementem ogólnego opisu oddziaływań fizycznych, zgodnie z modelem standardowym fizyki cząstek. Mówiąc matematycznie (w dużym stopniu pod wpływem Andrzeja Trautmana [1970]), ideę koneksji cechowania rozumie się dziś przy użyciu pojęcia wiązki (§A.7), której wizualizację widzieliśmy już na Rys. 1-12 (i była o niej mowa w §1.3). Ważne jest, abyśmy zrozumieli różnice i podobieństwa pomiędzy pierwotną Weylowską ideą koneksji cechowania a odrobinę późniejszą propozycją Kaluzy-Kleina.

W §1.8 opiszę nieco bardziej szczegółowo sposób, na jaki Weyl dokonał geometrycznego rozszerzenia ogólnej teorii względności, aby wprowadzić do niej teorię Maxwella. Przekonamy się wtedy, że teoria Weyla nie przewiduje wzrostu wymiarowości czasoprzestrzeni, tylko osłabienie znaczenia metryki, na którym opiera się teoria Einsteina. W charakterze wyjaśnień wstępnych omówię więc teraz faktyczną fizyczną rolę, jaką spełnia tensor metryczny g w strukturze ogólnej teorii względności. Jest to elementarna wielkość definiująca pseudoriemannowską strukturę czasoprzestrzeni. Fizycy zwykle posługują się zapisem typu gab (albo gij, albo gμν itp.), aby oznaczyć zbiór składowych tego obiektu tensorowego g, ale ja nie mam zamiaru wchodzić teraz szczegółowo w te kwestie, a nawet wyjaśniać, co w zasadzie oznacza słowo tensor na gruncie matematyki. Tak naprawdę powinno nas interesować w tym momencie tylko to, że tensorowi g można przypisać bardzo bezpośrednią interpretację fizyczną.

 

Przypuśćmy, że rozważamy krzywą 𝒞 pomiędzy dwoma punktami – lub zdarzeniami – P i Q, w rozmaitości czasoprzestrzennej 𝓜, gdzie 𝒞 reprezentuje historię jakiejś posiadającej masę cząstki przemieszczającej się od zdarzenia P do późniejszego zdarzenia Q (termin „zdarzenie” jest zwykle stosowany na określenie punktu czasoprzestrzeni). Krzywą 𝒞 nazywamy linią świata tej cząstki. Tensor g wyznacza w teorii Einsteina „długość” krzywej 𝒞, którą interpretuje się fizycznie jako interwał czasowy (a nie miarę odległości) pomiędzy P i Q, który zmierzyłby idealny zegar przemieszczający się razem z tą cząstką (zob. Rys. 1-14(a)).


Rys. 1-14: (a) Metryka czasoprzestrzenna g pozwala na przypisanie „długości” dowolnemu segmentowi linii świata 𝒞; długość tę interpretuje się jako interwał czasowy zmierzony przez idealny zegar przemieszczający się po tej linii świata; (b) jeśli pomiędzy dwoma określonymi zdarzeniami P i Q występują dwie tego typu linie świata, to zmierzone wzdłuż tych linii interwały czasowe mogą się różnić.

Należy pamiętać, że zgodnie z ogólną teorią względności „upływ czasu” nie jest zadanym z góry absolutem, następującym jednocześnie w całym Wszechświecie. Powinniśmy myśleć w kategoriach w pełni czasoprzestrzennych. Nie ma żadnego wyróżnionego sposobu „poszatkowania” czasoprzestrzeni na trójwymiarowe cięcia przestrzenne, z których każde reprezentowałoby rodzinę zdarzeń zachodzących „w tym samym czasie”. Nie występuje jeden, jednostajnie tykający „uniwersalny zegar”, taki że danemu tyknięciu odpowiada cała trójwymiarowa przestrzeń jednoczesnych zdarzeń, następnemu tyknięciu kolejna tego typu przestrzeń jednoczesnych zdarzeń itd., zaś wszystkie te 3-przestrzenie łączą się ze sobą, dając czasoprzestrzeń (Rys. 1-15, gdzie wyobrażamy sobie, że nasz uniwersalny zegar bije w południe każdego dnia). Można czasem roboczo myśleć w ten sposób o czasoprzestrzeni, abyśmy byli w stanie odnieść ów czterowymiarowy obraz do naszego codziennego doświadczenia trójwymiarowej przestrzeni, w której rzeczy „ewoluują wraz z upływem czasu”, należy jednak pamiętać, że nie ma nic szczególnego, „zadanego przez Boga”, w określonym sposobie cięcia czasoprzestrzeni w przeciwieństwie do innego. Absolutna jest tylko cała czasoprzestrzeń, jednak nie można wybrać jednego sposobu cięcia tej czasoprzestrzeni jako preferowanego i będącego źródłem uniwersalnego pojęcia czasu. (Wszystko to jest związane z zasadą ogólnej kowariantności wspomnianą w §1.7, a opisaną bardziej szczegółowo w §A.5, zgodnie z którą określony wybór współrzędnych – tu, w szczególności, współrzędnej czasowej – nie powinien mieć bezpośredniego znaczenia fizycznego.) Tymczasem linię świata każdej konkretnej cząstki charakteryzuje jej własny upływ czasu, wynikający z przebiegu tej linii oraz opisanej wyżej metryki g. Rozbieżność pomiędzy upływem czasu dwóch cząstek jest jednak bardzo mała, dopóki względne prędkości pomiędzy tymi cząstkami nie są wystarczająco zbliżone do prędkości światła w próżni (lub znajdujemy się w miejscu, w którym deformacja czasoprzestrzeni związana ze zjawiskami grawitacyjnymi jest wyjątkowo silna). Musi być ona zresztą niewielka, jeśli chcemy wyjaśnić, dlaczego nie postrzegamy tego typu rozbieżności podczas codziennego doświadczenia upływu czasu.


Rys. 1-15: Newtonowski obraz uniwersalnego czasu (tu wyobrażamy sobie, że uniwersalny zegar bije w południe każdego dnia). Ten punkt widzenia zostaje odrzucony w teorii względności, jednak czasem można tymczasowo myśleć w ten sposób o czasoprzestrzeni, ponieważ stanowi on doskonałe przybliżenie rzeczywistego stanu rzeczy dla obiektów poruszających się znacznie wolniej od światła.

W teorii względności Einsteina, jeśli mamy do czynienia z dwiema liniami świata łączącymi dwa określone zdarzenia P i Q (Rys. 1-14(b)), to ich „długość” (tj. zmierzony na nich upływ czasu) może rzeczywiście się różnić (zjawisko, które zostało wielokrotnie zmierzone w sposób bezpośredni, na przykład po umieszczeniu bardzo dokładnych zegarów w poruszających się szybko samolotach – albo w samolotach poruszających się na bardzo różnych wysokościach nad Ziemią) [Will 1993]. Ten nieintuicyjny fakt jest w zasadzie po prostu innym sposobem wyrażenia słynnego paradoksu bliźniąt, wywodzącego się ze szczególnej teorii względności, zgodnie z którym astronauta podróżujący z dużą prędkością z Ziemi na odległą gwiazdę i z powrotem powinien doświadczyć upływu znacząco krótszego interwału czasowego niż jego bliźniak, który pozostał w tym czasie na Ziemi. Ci dwaj bliźniacy mają różne linie świata, choć łączą one te same zdarzenia P (gdy stoją razem przy rakiecie tuż przed tym, gdy astronauta wyrusza w podróż) i Q (gdy spotkają się po powrocie astronauty na Ziemię).


Rys. 1-16: Tak zwany paradoks bliźniąt charakterystyczny dla szczególnej teorii względności. Pozostający na Ziemi bliźniak o linii świata PQ doświadcza dłuższego upływu czasu niż jego brat-astronauta podróżujący po linii świata PRQ (co stanowi ciekawe odwrócenie znanej z geometrii euklidesowej nierówności trójkąta: PR + RQ > PQ). Symbolika (podwójnych) stożków jest wyjaśniona na Rys. 1-18.

Czasoprzestrzenny opis tego eksperymentu myślowego w szczególnej teorii względności pokazano na Rys. 1-16, na którym literą R oznaczono zdarzenie odpowiadające przybyciu astronauty do odległej gwiazdy. Rys. 1-17 ilustruje z kolei wpływ metryki na postrzegany upływ czasu, co ma znaczenie w ogólnej teorii względności, gdzie „długość” linii świata (posiadającej masę) cząstki zdeterminowana jest przez g, na podstawie czego możliwe jest obliczenie doświadczanego na tej linii świata upływu czasu. Na obu ilustracjach przedstawiono stożki zerowe, będące ważną fizyczną manifestacją Einsteinowskiego g, reprezentując prędkość światła w danym zdarzeniu czasoprzestrzennym. Jak widać, dla każdego zdarzenia na linii świata astronauty – lub dowolnej cząstki masywnej – kierunek wyznaczany przez tę linię musi mieścić się wewnątrz (podwójnego) stożka zerowego tego zdarzenia, co ilustruje istotne ograniczenie relatywistyczne – że prędkości światła nie da się (lokalnie) przekroczyć.

Rys. 1-18 przedstawia fizyczną interpretację tej części (podwójnego) stożka zerowego, która odpowiada przyszłości. Jest to historia hipotetycznego błysku światła mającego swój początek w zdarzeniu X. Rys. 1-18(a) przedstawia pełen obraz trójwymiarowej przestrzeni, a Rys. 1-18(b) odpowiedni obraz czasoprzestrzenny, w którym jeden wymiar przestrzenny został pominięty. Część stożka zerowego odpowiadająca przeszłości reprezentuje (hipotetyczny) błysk światła zbiegający się w X. Rys. 1-18(c) informuje nas, że taki stożek zerowy jest w rzeczywistości dowolnie małą (infinitezymalną) strukturą zadaną na każdym zdarzeniu X, występującą tylko lokalnie, będąc w sensie ścisłym przestrzenią styczną w X (zob. §A.5 i Rys. A-10).


Rys. 1-17: W zakrzywionej czasoprzestrzeni ogólnej teorii względności tensor metryczny g dostarcza miary upływu czasu. Jest to uogólnienie płaskiego obrazu czasoprzestrzeni szczególnej teorii względności przedstawionego na Rys. 1-16.


Rys. 1-18: W każdym punkcie X czasoprzestrzeni występuje (podwójny) stożek zerowy ustalony przez metrykę g, składający się ze stożka przyszłości i stożka przeszłości. W kierunkach stycznych do powierzchni stożków zmierzony czas jest równy zero. Stożek przyszłości można (lokalnie) zinterpretować jako historię hipotetycznego błysku światła wyemitowanego w X: (a) obraz przestrzenny; (b) obraz czasoprzestrzenny (w którym pominięto jeden wymiar przestrzenny), gdzie dodatkowo stożek przeszłości reprezentuje historię hipotetycznego błysku światła zbiegającego się w X; (c) technicznie, stożek zerowy to infinitezymalna struktura w otoczeniu zdarzenia X, tj. leżąca w przestrzeni stycznej TX.


Rys. 1-19: Na linii świata promienia światła (lub dowolnej krzywej zerowej) zmierzony pomiędzy dwoma zdarzeniami P i Q interwał czasowy zawsze wynosi zero.

Te (podwójne) stożki reprezentują kierunki w czasoprzestrzeni, wzdłuż których miara „czasu” zanika. Jest tak, ponieważ geometria czasoprzestrzeni jest, mówiąc ściśle, pseudoriemannowska, a nie riemannowska (o czym była mowa w §1.1). W odniesieniu do tego typu geometrii pseudoriemannowskiej, w której występuje tylko 1 wymiar czasowy i (n – 1) wymiarów przestrzennych, a w każdym punkcie rozmaitości czasoprzestrzennej występuje tego typu podwójny stożek zerowy, używa się też określenia lorentzowska. Stożki zerowe stanowią najważniejszy element struktury czasoprzestrzeni, ponieważ informują nas o granicach możliwości przekazu informacji.

W jaki sposób ze stożkami zerowymi wiąże się miara czasu determinowana przez g? Do tego momentu rozważane przeze mnie linie świata były historiami zwykłych posiadających masę cząstek, te zaś muszą poruszać się wolniej od światła, tak więc ich linie świata muszą leżeć wewnątrz stożków zerowych. Musimy jednak rozważyć także (swobodne) cząstki bezmasowe, jak fotony (cząstki światła), te zaś poruszają się ściśle z prędkością światła. Zgodnie z teorią względności, gdyby rozpędzić zegar do prędkości światła, nie zarejestrowałby on w ogóle upływu czasu! Tak więc „długość” linii świata (mierzonej wzdłuż krzywej, pomiędzy zdarzeniami P i Q) cząstki bezmasowej zawsze wynosi zero, bez względu na to, jak bardzo oddzielone są od siebie te dwa zdarzenia. Tego typu linię świata nazywamy krzywą zerową. Niektóre krzywe zerowe są liniami geodezyjnymi (o których będzie mowa później), a linia świata swobodnego fotonu jest zerową linią geodezyjną.


Rys. 1-20: Stożek świetlny zdarzenia X to obszar czasoprzestrzeni obejmowany przez zerowe linie geodezyjne przechodzące przez X. Strukturą styczną do jego wierzchołka X jest stożek zerowy X.

Rodzina wszystkich tego typu zerowych linii geodezyjnych przechodzących przez określony punkt P w czasoprzestrzeni wyznacza stożek świetlny P (Rys. 1-20), zaś stożek zerowy P opisuje wyłącznie infinitezymalną strukturę w punkcie centralnym stożka świetlnego P (zob. Rys. 1-18). Stożek zerowy informuje nas o kierunkach czasoprzestrzennych w P, które wyznaczają prędkość światła; są to te kierunki, w których zgodnie z metryką g uzyskuje się zerowy wynik pomiarów „długości” w przestrzeni stycznej w punkcie P. (W literaturze naukowej czasem używa się terminu stożek świetlny w takim sensie, w jakim ja stosuję tu termin stożek zerowy.) Stożek świetlny (oraz stożek zerowy, o czym była mowa wcześniej) składa się z dwóch części, jedna wyznaczająca kierunki zerowe przyszłości, a druga kierunki zerowe przeszłości. Wymaganie teorii względności, aby cząstki posiadające masę nie przekraczały lokalnej prędkości światła wyraża się bezpośrednio poprzez fakt, że kierunki styczne do linii świata masywnych cząstek znajdowały się wszystkie wewnątrz stożków zerowych dla leżących na niej zdarzeń (Rys. 1-21). Gładkie krzywe, których kierunki styczne w każdym punkcie znajdują się wewnątrz stożków zerowych, określa się jako czasopodobne. Linie świata cząstek masywnych są więc w istocie krzywymi czasopodobnymi.

 

Terminem dopełniającym pojęcie krzywej czasopodobnej jest 3-powierzchnia przestrzennopodobna – albo (n – 1)-powierzchnia przestrzennopodobna, albo hiperpowierzchnia przestrzennopodobna, gdy mowa o n-wymiarowej czasoprzestrzeni. Kierunki styczne do tego typu hiperpowierzchni wszystkie znajdują się poza przeszłym i przyszłym stożkiem zerowym (Rys. 1-21). W ogólnej teorii względności jest to odpowiednie uogólnienie idei „momentu w czasie” lub „przestrzeni o t = constans”, gdzie t to odpowiednia współrzędna czasowa. Jest oczywiście wiele dowolności w wyborze takiej hiperpowierzchni, ale odwołanie się do tego pojęcia jest konieczne, jeśli chcemy mówić o sprawach takich, jak determinizm w zachowaniu dynamicznym, gdy niezbędne jest określenie „danych początkowych” na tego typu hiperpowierzchni, ponieważ dane te mają (lokalnie) zdeterminować ewolucję układu zgodnie z pewnymi stosownymi do sytuacji równaniami (zwykle są to równania różniczkowe, zob. §A.11).


Rys. 1-21: Zerowe wektory styczne w X wyznaczają stożek zerowy, jak na Rys. 1-18, ale występują również wektory czasopodobne, które, jeśli są skierowane ku przyszłości, opisują wektory styczne (4-prędkości) linii świata posiadających masę cząstek, oraz przestrzennopodobne, skierowane na zewnątrz stożka, które są styczne do przestrzennopodobnych powierzchni przechodzących przez X.

Kolejną cechą teorii względności jest to, że jeśli „długość” (w sensie zmierzonego czasu) linii świata 𝒞 pomiędzy zdarzeniami P i Q jest większa od każdej innej linii świata z P do Q, to 𝒞 musi być tym, co określa się jako linia geodezyjna[6], będąca w zakrzywionej czasoprzestrzeni obiektem analogicznym do „linii prostej” (zob. Rys. 1-22). Co ciekawe, odwoływanie się do maksimum „długości” w czasoprzestrzeni jest procedurą odwrotną do tego, co dzieje się w zwykłej geometrii euklidesowej, gdzie linia prosta pomiędzy punktami P i Q to ta krzywa pomiędzy nimi, która ma najmniejszą długość. Zgodnie z teorią Einsteina, linia świata cząstki poruszającej się swobodnie pod wpływem grawitacji jest zawsze linią geodezyjną. Przedstawiona na Rys. 1-16 trajektoria astronauty opisuje ruch przyspieszony, nie jest to linia geodezyjna.


Rys. 1-22: Czasopodobna krzywa maksymalizująca interwał czasowy pomiędzy dwoma zdarzeniami P i Q, oddzielonymi od siebie o interwał czasopodobny, jest z konieczności linią geodezyjną.


Rys. 1-23: Przestrzeń Minkowskiego to czasoprzestrzeń szczególnej teorii względności. Jej stożki zerowe są rozmieszczone całkowicie jednorodnie.


Rys. 1-24: W ogólnej teorii względności stożki zerowe nie muszą być uporządkowane w żaden określony sposób.


Rys. 1-25: Skalowanie metryki w zdarzeniu X jest wyznaczone przez pomiar czasu przez idealne zegary przemieszczające się przez X. Na rysunku przez X przemieszcza się kilka identycznych zegarów, każdy określający ten sam czynnik skali. Kolejne tyknięcia zegarów tworzą miseczkowate powierzchnie, które w rzeczywistości są 3-wymiarowymi hiperboloidami.

Płaska czasoprzetrzeń szczególnej teorii względności, w której nie występuje pole grawitacyjne, to przestrzeń Minkowskiego (dalej będę ją oznaczał symbolem 𝕄) na cześć urodzonego w Rosji niemieckiego matematyka Hermanna Minkowskiego, który w 1907 roku jako pierwszy wprowadził pojęcie czasoprzestrzeni. W przestrzeni takiej stożki zerowe są uporządkowane całkowicie jednorodnie (Rys. 1-23). Ogólna teoria względności Einsteina wychodzi z tego samego punktu, ale stożki zerowe mogą być w niej uporządkowane niejednorodnie ze względu na obecność pola grawitacyjnego (Rys. 1-24). Metryka g (10 składowych w każdym punkcie) wyznacza strukturę stożków, jednak sama nie jest w pełni zdeterminowana przez tę strukturę. „Struktura stożków zerowych” bywa też określana jako struktura konforemna czasoprzestrzeni (9 składowych w każdym punkcie); zob. zwłaszcza §3.5. Oprócz tej lorentzowskiej struktury konforemnej, g wyznacza też skalowanie (1 składowa w każdym punkcie), które pozwala na pomiar czasu przez idealny zegar w teorii Einsteina (Rys. 1-25). Więcej informacji na temat zachowania się zegarów w ogólnej teorii względności można znaleźć w: Rindler [2001] oraz Hartle [2003].

1.8. Opis elektromagnetyzmu w teorii cechowania Weyla

W pierwotnej propozycji Weyla z 1918 roku włączenie elektromagnetyzmu w ogólną teorię względności dokonywało się poprzez osłabienie struktury metrycznej czasoprzestrzeni do struktury konforemnej, zgodnie z podanym wyżej opisem, tak że nie ma tu absolutnej miary tempa upływu czasu, choć wciąż zdefiniowane są stożki zerowe [Weyl 1918]. W teorii Weyla występuje ponadto pojęcie „idealnego zegara”, tak więc można zdefiniować miarę „długości” krzywej czasopodobnej w odniesieniu do dowolnego konkretnego zegara, ale tempo, w jakim on odmierza czas, może być już różne dla różnych zegarów. W teorii Weyla nie ma jednak absolutnej skali czasu, ponieważ żaden konkretny idealny zegar nie jest preferowany względem innego. Co więcej, może być tak, że dwa zegary tykają w takim samym tempie, gdy znajdują się względem siebie w spoczynku w jakimś zdarzeniu P, jednak gdy przemieszczą się po innych trajektoriach czasoprzestrzennych do innego zdarzenia Q, to tempo ich tykania nie będzie teraz identyczne: będą one mierzyć czas inaczej nawet wtedy, gdy będą w spoczynku względem siebie w punkcie Q (zob. Rys. 1-26(a)). Należy podkreślić, że jest to coś innego – i bardziej ekstremalnego – niż „paradoks bliźniąt” z Einsteinowskiej teorii względności. W tym „paradoksie” odczyty zegarów mogą zależeć od ich historii, ale nie ich tempo. Uogólnione pojęcie geometrii Weyla prowadzi do szczególnego typu „krzywizny” czasoprzestrzeni ujawniającej się za sprawą szybkości pracy zegarów; definiuje się ją poprzez rozważenie rozbieżności tego tempa w dowolnie małej skali (zob. Rys. 1-26(b)). Jest to analogiczne do sposobu, w jaki krzywizna powierzchni stanowi miarę rozbieżności kątów, o czym będzie mowa niebawem (zob. Rys. 1-27). Weyl był w stanie wykazać, że wielkość F opisująca wprowadzoną przez niego krzywiznę, ściśle spełnia te same równania, co wielkość opisująca swobodne pole elektromagnetyczne w teorii Maxwella! Zaproponował więc, aby fizycznie utożsamić F z polem elektromagnetycznym Maxwella.


Rys. 1-26: (a) Weylowska idea koneksji cechowania oznacza, że skala metryki nie jest zadana z góry, jednak może zostać przeniesiona z punktu P do innego punktu Q wzdłuż krzywej 𝒞, jednak po przeniesieniu wzdłuż innej krzywej 𝒞’ jej wartość może być inna. (b) Krzywiznę cechowania Weyla definiuje się przy pomocy infinitezymalnej wersji tej procedury; zgodnie z pierwotną propozycją Weyla krzywiznę tę utożsamia się z tensorem pola elektromagnetycznego Maxwella.

Pomiary czasowe i przestrzenne są w zasadzie sobie równoważne w otoczeniu dowolnego punktu P, gdy już zdefiniuje się w nim stożek zerowy, ponieważ to ustala prędkość światła w P. W szczególności przy pomocy prędkości światła można wzajemnie przeliczać pomiary odległości i czasu. Przykładowo więc interwał czasowy jednego roku odpowiada interwałowi przestrzennemu jednego roku świetlnego; sekunda – sekundzie świetlnej itd. W rzeczywistości współczesne pomiary czasu są znacznie bardziej precyzyjne niż pomiary odległości, przez co metr definiuje się dziś jako dokładnie 1/299792458 sekundy świetlnej (prędkość światła w próżni jest zaś liczbą całkowitą – 299792458 metrów na sekundę)! Zaproponowany przez wybitnego znawcę teorii względności J.L. Synge’a [1921, 1956] termin chronometria na określenie struktury czasoprzestrzennej (zamiast zwykłego terminu geometria) jest więc szczególnie stosowny.


Rys. 1-27: Koneksja afiniczna wyraża ideę równoległego transportu wektorów stycznych wzdłuż krzywych, gdzie miarą krzywizny jest stopień rozbieżności przy przemieszczaniu wektorów wzdłuż różnych krzywych. Widać to wyraźnie na przykładzie kuli, gdzie po przemieszczeniu wektora stycznego z P wzdłuż bezpośrednio prowadzącego do Q koła wielkiego uzyskuje się znacząco odmienny rezultat końcowy niż wtedy, gdy trajektoria składa się z dwóch tego typu łuków koła wielkiego: najpierw z P do R, a następnie z R do Q.

Powyżej opisałem teorię Weyla, odwołując się do pomiarów czasu, jednak Weyl miał prawdopodobnie na myśli raczej przemieszczenia przestrzenne; jego propozycję określa się jako teorię cechowania, gdzie cechowanie odnosi się do skali, względem której dokonywane są pomiary odległości. Charakterystyczną cechą niezwykłej propozycji Weyla jest to, że cechowanie nie musi zostać określone globalnie, dla całej czasoprzestrzeni, jednak jeśli ustali się je dla jednego zdarzenia P, a następnie przeprowadzi krzywą 𝒞 z P do innego zdarzenia Q, to możliwe jest też jednoznaczne przeniesienie cechowania wzdłuż tej krzywej. Jeśli jednak rozważy się inną krzywą 𝒞’ z P do Q, to przeniesienie cechowania po 𝒞’ może dać inny wynik. Obiekt matematyczny definiujący procedurę „przenoszenia cechowania” określa się jako koneksję cechowania, zaś stopień rozbieżności wyników przy przenoszeniu wzdłuż różnych krzywych jest miarą krzywizny cechowania. Warto podkreślić, że błyskotliwa idea koneksji cechowania prawdopodobnie przyszła na myśl Weylowi za sprawą jego dobrej znajomości innej koneksji, którą automatycznie posiada każda rozmaitość (pseudo)riemannowska – określaną jako koneksja afiniczna. Dotyczy ona równoległego przemieszczania wektorów wzdłuż krzywych, przy którym również rezultat zależy od przyjętej drogi, co można spektakularnie zilustrować na przykładzie kuli (zob. Rys. 1-27).