Moda, wiara i fantazja we współczesnej fizyce Wszechświata

Tekst
0
Recenzje
Przeczytaj fragment
Oznacz jako przeczytane
Jak czytać książkę po zakupie
Czcionka:Mniejsze АаWiększe Aa

Ten czynnik z pewnością grał wielką rolę w przypadku teorii strun i nie ulega wątpliwości, że przyczynił się do jej obecnej popularności. Rzeczywiście, ze strony teorii strun występuje bardzo znaczny wkład w rozmaite obszary czystej matematyki. Uderzający przykład tego zjawiska został wspomniany w e-mailu, który wysłał mi na początku pierwszej dekady tego wieku znakomity matematyk Richard Thomas z Imperial College w Londynie, w odpowiedzi na zadane mu przeze mnie pytanie na temat statusu matematycznego pewnego trudnego zagadnienia, jakie pojawia się w kontekście teorii strun [zob. Candelas i in. 1991]:

Muszę po raz kolejny podkreślić, jak głębokie są niektóre spośród tych dualności. Ciągle zaskakują mnie nowymi przewidywaniami. Pokazują struktury, których nikt by nie uznał za możliwe. Matematycy kilkakrotnie z dużą pewnością przewidzieli, że te rzeczy nie są możliwe, ale ludzie tacy, jak Candelas, de la Ossa i inni pokazali, że tak nie jest. Każde przewidywanie, odpowiednio zinterpretowane matematycznie, sprawdziło się. I nie było to z jakiegoś powodu pojęciowego – nie mamy pojęcia, dlaczego się sprawdzają, po prostu liczymy osobno obie strony i faktycznie uzyskujemy te same struktury, symetrie i wyniki po obu stronach. Dla matematyka tego typu rzecz nie może być przypadkiem, musi być tu jakaś głębsza przyczyna. A tą przyczyną jest założenie, że ta wielka teoria matematyczna opisuje świat przyrody...

Konkretny problem, do którego odwoływał się tu Thomas, ma związek z pewnymi doniosłymi ideami matematycznymi, które wynikają za sprawą sposobu, w jaki rozwiązano pewien problem z teorią strun. Wiąże się to z niezwykłą historią, o której będzie mowa pod koniec następnego podrozdziału.

1.13. M-teoria

We wczesnych latach rozwoju teorii strun jej twórcy głosili, że ma mieć ona jedną szczególną zaletę: miałaby stanowić pojedynczy, jednoznaczny opis fizyki świata przyrody. Owa głoszona przez wiele lat nadzieja przygasła nieco, gdy okazało się, że istnieje pięć różnych odmian teorii strun, określanych zwykle jako: typu I, typu IIA, typu IIB, heterotyczna O(32) i heterotyczna E8 × E8 (terminy, których wyjaśnienia w tej książce nie podejmuję się [Greene 1999], choć w rozdziale §1.9 podałem nieco informacji na temat modeli heterotycznych). Ta wielość możliwości niepokoiła niektórych teoretyków strun. W trakcie niezwykłego wykładu, wygłoszonego w 1995 roku na University of Southern California, wybitny teoretyk Edward Witten opisał rodzinę idei, w której szereg transformacji określanych jako dualności wskazuje na subtelną równoważność poszczególnych odmian teorii strun. Później określono ten wykład jako początek „drugiej rewolucji strunowej” (gdzie pierwszą miały być prace zapoczątkowane przez Greena i Schwarza wspomniane w §1.9, w których, dzięki wprowadzeniu supersymetrii, udało się zmniejszyć wymiarowość czasoprzestrzeni z 26 do 10; zob. §1.9 i §1.14). Zgodnie z rozumowaniem Wittena, za wszystkimi tymi na pozór różniącymi się od siebie znacząco wersjami teorii strun kryje się głęboka i rzekomo tym razem już jednoznaczna teoria – której szczegóły matematyczne nie są jeszcze do końca znane – którą Witten ochrzcił mianem M-teorii (gdzie „M” pochodzi od słów „master” (nadrzędna), „matrix” (macierzowa), „mystery” (tajemnicza), „mother” (teoria-matka) czy innych słów, zależnie od zachcianki danego naukowca).

Jedną z konsekwencji M-teorii jest konieczność rozważania, obok 1-wymiarowych strun (oraz ich 2-wymiarowych historii czasoprzestrzennych), również i struktur o wyższej wymiarowości, określanych łącznie jako brany – będących uogólnieniem na p wymiarów przestrzennych pojęcia 2-wymiarowej membrany, tak że p-brana ma p + 1 wymiarów czasoprzestrzennych. (W rzeczywistości tego typu p-brany były już wcześniej badane przez innych, niezależnie od M-teorii [Becker i in. 2006].) Wspomniane wyżej dualności mogą zachodzić, ponieważ brany o różnej wymiarowości ulegają zamianie jedna w drugą równolegle ze zmianą właściwości rozmaitych przestrzeni Calabiego-Yau, które pełnią rolę dodatkowych wymiarów przestrzennych. Aby do tego doszło, niezbędne jest szersze rozumienie tego, czym jest teoria strun – to zaś, rzecz jasna, wyjaśnia, dlaczego potrzebna była nowa nazwa typu „M-teoria”. Warto zauważyć, że pierwotne eleganckie utożsamienie strun z krzywymi zespolonymi (tj. powierzchniami Riemanna wspomnianymi w §1.6 i §1.12, omówionymi dodatkowo w §A.10), które było źródłem atrakcyjności i sukcesu teorii strun, zostaje porzucone wraz z przejściem ku obrazowi opartemu na wyżej wymiarowych branach. Z drugiej strony, w tych nowych ideach z pewnością tkwi innego rodzaju elegancja matematyczna – a także nadzwyczajna potęga matematyczna (czego można się domyślić na podstawie uwagi Richarda Thomasa cytowanej pod koniec §1.12) ukryta w tych niezwykłych dualnościach.

Warto w tym momencie zająć się tą kwestią nieco bliżej; posłużmy się przykładem uderzającego zastosowania jednego z aspektów tych dualności, a mianowicie symetrii lustrzanej. Symetria ta pozwala na przekształcenie dowolnej przestrzeni Calabiego-Yau w inną przestrzeń Calabiego-Yau za sprawą zamiany pewnych parametrów (określanych jako liczby Hodge’a), które opisują określony „kształt” danej przestrzeni. Przestrzeń Calabiego-Yau to szczególnego typu (rzeczywiste) 6-rozmaitości, które można również interpretować jako zespolone 3-rozmaitości; innymi słowy, owe 6-rozmaitości mają strukturę zespoloną. W ogólnym przypadku zespolona n-rozmaitość (zob. ostatnią część §A.10) jest po prostu analogiczna do zwykłej rzeczywistej n-rozmaitości (§A.5), gdzie system ℝ liczb rzeczywistych zastępuje się systemem ℂ liczb zespolonych (zob. §A.9). Zespoloną n-rozmaitość zawsze można zinterpretować jako rzeczywistą 2n-rozmaitość wyposażoną w tak zwaną strukturę zespoloną. Jednak tylko w bardzo szczególnych sytuacjach rzeczywista 2n-rozmaitość może posiadać tego typu strukturę zespoloną, co pozwala na zinterpretowanie jej jako zespolonej n-rozmaitości (§A.10). Ponadto każda przestrzeń Calabiego-Yau wyposażona jest ponadto w innego typu strukturę, określaną jako struktura symplektyczna (struktura, którą posiadają przestrzenie fazowe omówione w §A.6). Symetria lustrzana prowadzi do zaskakującego matematycznego triku, ponieważ w praktyce prowadzi do zamiany struktury zespolonej na symplektyczną!

Konkretne zastosowanie symetrii lustrzanej, które interesuje nas w tym momencie, wyłania się w związku z problemem, nad którym przez długie lata głowili się czyści matematycy zajmujący się geometrią algebraiczną. Dwóch norweskich matematyków, Geir Ellingsrud i Stein Arild Strømme, rozwinęli technikę liczenia krzywych wymiernych w szczególnego typu zespolonej 3-rozmaitości (określanej jako „kwintyczna” (quintic), czyli zdefiniowana przez zespolone równania wielomianowe piątego stopnia), która stanowi w istocie przestrzeń Calabiego-Yau. Jak pamiętamy (§1.6 i §A.10), krzywa zespolona jest tak zwaną powierzchnią Riemanna; krzywą zespoloną nazywa się wymierną, jeśli topologia powierzchni jest sferą. W geometrii algebraicznej krzywe wymierne występują w szeregu stopniowo coraz bardziej „skręconych” form, z których najprostsza jest po prostu zespoloną linią prostą (rząd 1), następna jest zespolonym przekrojem stożkowym (rząd 2). Następne są wymierne krzywe „sześcienne” (cubic, rząd 3), „kwartyczne” (quartic, rząd 4) i tak dalej, gdzie dla każdego kolejnego rzędu powinna istnieć ścisła, dająca się wyznaczyć, skończona liczba krzywych wymiernych. (Rząd krzywej znajdującej się w płaskiej n-przestrzeni to liczba punktów, w których przecina ona dowolną (n – 1)-płaszczyznę.) Norwegowie ustalili, posiłkując się skomplikowanymi obliczeniami komputerowymi, następujący ciąg wartości:

2875,

609250,

2682549425,

dla rzędów, kolejno, 1, 2 i 3, ale kontynuacja okazała się być bardzo trudna ze względu na poziom złożoności dostępnych im technik.

Gdy o wynikach tych dowiedział się ekspert z zakresu teorii strun Philip Candelas i jego współpracownicy, postanowili posłużyć się symetrią lustrzaną M-teorii, stwierdzając, że możliwe jest przeprowadzenie innego typu obliczeń na lustrzanej przestrzeni Calabiego-Yau. Na przestrzeni dualnej, zamiast zliczania krzywych wymiernych, wykonuje się innego typu, znacznie prostsze obliczenia (w których „lustrzanym odbiciem” systemu krzywych wymiernych jest znacznie mniej kłopotliwa rodzina obiektów matematycznych), zaś na mocy symetrii lustrzanej wynikiem powinny być te same liczby, które starali się obliczyć Ellinsrud i Strømme. Candelas i współpracownicy znaleźli następującą sekwencję:

2875,

609250,

317206375.

Co niezwykłe, dwie pierwsze liczby zgadzają się z wynikiem uzyskanym przez Norwegów, ale trzecia wartość jest zupełnie inna.

Z początku matematycy twierdzili, że skoro argumenty opierające się na symetrii lustrzanej wywodzą się po prostu z jakichś modeli fizycznych niemających jasnego uzasadnienia matematycznego, zgodność przy rzędach 1 i 2 musi być przypadkowa i nie ma powodu, aby ufać liczbom dla wyższych rzędów uzyskanych taką metodą. Później okazało się jednak, że w kodzie komputerowym Norwegów był błąd, a gdy go poprawiono, uzyskano wynik 317206375, czyli dokładnie tyle, ile przewidziano na podstawie rozumowania odwołującego się do symetrii lustrzanej! Metodę tę ponadto łatwo rozszerzyć i ostatecznie uzyskano następującą sekwencję krzywych wymiernych rzędu 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 10:

242467530000,

229305888887625,

 

248249742118022000,

295091050570845659250,

375632160937476603550000,

503840510416985243645106250,

704288164978454686113488249750.

Nie ulega wątpliwości, że jest to nadzwyczajnego rodzaju pośredni dowód wspierający ideę symetrii lustrzanej – ideę, która narodziła się z chęci wykazania, że dwie teorie strun, które zdają się być skrajnie różne, można mimo wszystko potraktować jako w pewnym głębokim sensie „tożsame”, jeśli dwie różne przestrzenie Calabiego-Yau są względem siebie dualne w przytoczonym wyżej sensie. Późniejsze prace autorstwa różnych matematyków[9] [Givental 1996] doprowadziły do wykazania, że przypuszczenie sformułowane w kontekście teorii fizycznej jest w rzeczywistości solidnie uzasadnioną prawdą matematyczną. Matematycy nie mieli jednak wcześniej pojęcia, że coś podobnego do symetrii lustrzanej może faktycznie mieć miejsce, co częściowo ujawnia wspomniany pod koniec §1.13 komentarz Richarda Thomasa. Dla matematyka, który może nie wiedzieć, jak kruche są fizyczne podstawy tego typu idei, wynik ten może zdawać się być darem od samej natury, być może przypominając tym samym niezwykłe lata pod koniec XVII wieku, kiedy to magia rachunku różniczkowego, rozwinięta przez Newtona i innych w celu opisania sposobu funkcjonowania świata przyrody, zaczęła z wolna ujawniać matematykom swą wielką potęgę.

W społeczności fizyków teoretycznych, rzecz jasna, jest wiele osób, które uważają, że świat przyrody funkcjonuje w oparciu o matematykę o niezwykłej mocy i o subtelnej strukturze – co wspaniale demonstruje elektrodynamika Maxwella, teoria grawitacji Einsteina czy formalizm kwantowy Schrödingera, Heisenberga, Diraca i innych. Jesteśmy też więc podatni na poczucie podziwu wobec możliwości symetrii lustrzanej i skłonni uważać ją za potencjalny dowód na to, że teoria generująca tak potężną i subtelną matematykę będzie również prawdopodobnie słuszna jako teoria fizyczna. Powinniśmy jednak zachować wielką ostrożność przy formułowaniu takich sądów. Istnieje wiele przypadków potężnych i robiących wielkie wrażenie teorii matematycznych, których nie podejrzewa się poważnie o powiązania ze światem fizycznym. Dobrym przykładem jest wspaniałe osiągnięcie matematyczne Andrew Wilesa, który, w oparciu o prace wielu poprzedników i korzystając z pomocy Richarda Taylora, w 1994 roku ostatecznie potwierdził ponad 350-letnią hipotezę określaną jako ostatnie (lub: wielkie) twierdzenie Fermata. Kluczowym elementem dowodu Wilesa jest stwierdzenie, podobne w pewnym sensie do opisanego wyżej osiągnięcia uzyskanego dzięki symetrii lustrzanej, że dwie sekwencje liczb, uzyskane za sprawą dwóch skrajnie odmiennych procedur matematycznych, są w istocie tożsame. W przypadku dowodu Wilesa owo twierdzenie nosi nazwę hipotezy Shimury-Taniyamy; aby otrzymać dowód wielkiego twierdzenia Fermata, Wiles potwierdził interesujący go przypadek tej hipotezy (całkowitego potwierdzenia tej hipotezy dokonali nieco później, bo w 1999 roku, Breuil, Conrad, Diamond i Taylor, opierając się na metodach rozwiniętych przez Wilesa; zob. Breuil i in [2002]). W matematyce czystej występuje wiele tego rodzaju wyników i jest jasne, że dla powstania nowej wielkiej teorii fizyki potrzeba znacznie więcej niż tylko tego typu matematyki, pomimo jej subtelności, poziomu zaawansowania, a czasem niemal magicznych właściwości. Uzasadnienie fizyczne i potwierdzenie eksperymentalne są kluczowe, aby przekonać nas, że dana teoria ma jakikolwiek bezpośredni związek z rzeczywistym funkcjonowaniem świata przyrody. Kwestie te mają wielkie znaczenie dla zagadnień, którymi będziemy się zajmować w następnej kolejności, a które odegrały kluczową rolę w rozwoju teorii strun.

1.14. Supersymetria

W dotychczasowych rozważaniach pozwoliłem sobie na luksus niewspominania o mającej kluczowe znaczenie kwestii supersymetrii, która pozwoliła Greenowi i Schwarzowi na zmniejszenie wymiarowości czasoprzestrzeni teorii strun z 26 do 10, i która pełni wiele fundamentalnych funkcji we współczesnej teorii strun. W rzeczywistości supersymetria okazała się znaleźć zastosowanie w fizyce również poza kontekstem teorii strun. Można by właściwie uznać supersymetrię samą w sobie za bardzo modną ideę we współczesnej fizyce i już choćby z tego powodu zasługuje na poważne omówienie w tym rozdziale! Choć znaczna część potęgi tej idei wywodzi się z wymagań teorii strun, jej popularność jest dziś w znacznym stopniu niezależna od tej teorii.

Czym jest więc supersymetria? Aby zrozumieć tę ideę, należy wrócić do zagadnienia podstawowych cząstek współczesnej fizyki (§1.3 i §1.6). Jak pamiętamy, istnieją różne rodziny cząstek obdarzonych masą, jak leptony i hadrony, a także cząstki bezmasowe, jak foton. W rzeczywistości istnieje jednak znacznie bardziej fundamentalny podział cząstek na zaledwie dwie klasy, obejmujące wszystkie, które spotkaliśmy wcześniej. Mowa tu o klasyfikacji na fermiony i bozony, co zostało wspomniane w §1.6.

Różnicę pomiędzy fermionami a bozonami można przybliżyć, mówiąc, że fermiony znacznie bardziej przypominają cząstki znane nam z fizyki klasycznej (elektrony, protony, neutrony itd.), zaś bozony są raczej nośnikami oddziaływań pomiędzy cząstkami (fotony są nośnikami elektromagnetyzmu, tzw. bozony W i Z są nośnikami oddziaływań słabych, a gluony – oddziaływań silnych). Nie jest to jednak bardzo ostre rozróżnienie, zwłaszcza dlatego, że istnieją bardzo cząstko-podobne piony, kaony i inne bozony wspomniane w §1.3. Niektóre bardzo cząstko-podobne atomy można również z dobrym przybliżeniem określić jako bozony; tego typu złożone obiekty zachowują się pod wieloma względami jak pojedyncze cząstki. Atomy będące bozonami nie różnią się aż tak bardzo od tych będących fermionami; i jedne, i drugie zachowują się w dużym stopniu jak cząstki klasyczne.

Zostawmy jednak na boku kwestię obiektów złożonych i pytanie, czy można je poprawnie traktować, jak gdyby były pojedynczymi cząstkami. O ile interesujące nas obiekty faktycznie można traktować jako pojedyncze cząstki, różnica pomiędzy fermionem i bozonem wynika z tak zwanego zakazu (lub: reguły wykluczania) Pauliego, który dotyczy tylko fermionów. Zakaz Pauliego głosi, że dwa fermiony nie mogą znajdować się jednocześnie w tym samym stanie, podczas gdy dwa bozony mogą. Mówiąc z grubsza, oznacza to, że dwa fermiony nie mogą pozostawać dokładnie w tym samym stanie, ponieważ, gdy tylko znajdą się za blisko siebie, wpływają na siebie nawzajem, o czym można w przybliżeniu pomyśleć jako o odpychaniu się. Bozony natomiast cechują się swego rodzaju powinowactwem do bozonów tego samego typu i w istocie mogą być dokładnie w tym samym stanie (to właśnie ma miejsce, gdy osiągnięty zostaje stan wielu bozonów określany jako kondensat Bosego-Einsteina). Opis tego typu kondensatów znajduje się w: Ketterle [2002]; ogólniejszy tekst na te tematy to: Ford [2013].

Nieco później powrócę jeszcze do tego dość interesującego aspektu fizyki kwantowej cząstek i postaram się doprecyzować ten dość niejasny na razie opis, który z pewnością daje nam niepełny obraz różnic pomiędzy bozonami i fermionami. Nieco bardziej wyraźne rozróżnienie uzyskuje się po przyjrzeniu się spinowi cząstek. Co dziwne, każda (niewzbudzona) cząstka kwantowa wiruje (ang. spin) w pewnym ściśle określonym tempie, które jest charakterystyczne dla danego rodzaju cząstki. Nie powinniśmy myśleć o spinie jako o prędkości kątowej, a raczej jako o momencie pędu – tej charakterystycznej mierze ruchu obrotowego posiadanej przez obiekt, poruszający się swobodnie bez udziału zewnętrznych sił, która pozostaje stała w trakcie jego ruchu. Wystarczy pomyśleć o wirującej („podkręconej”) piłce baseballowej albo do krykieta, albo o łyżwiarce obracającej się wokół swojej osi na jednej łyżwie. W obu przypadkach okazuje się, że spin, rozumiany jako moment pędu, jest stały i przy braku zewnętrznej siły (choćby siły tarcia) nigdy nie uległby zmianie.


Rys. 1-36: W procesach fizycznych moment pędu zostaje zachowany. Ilustruje to obracająca się wokół swej osi łyżwiarka, której prędkość obrotu może zostać zwiększona po prostu poprzez przyciągnięcie rąk do ciała. Jest tak, ponieważ ruch obrotowy dokonujący się w większej odległości od osi obrotu w większym stopniu wnosi wkład do momentu pędu niż ruch obrotowy w mniejszej odległości.

Lepszym przykładem jest chyba łyżwiarka, ponieważ w jej przypadku można łatwo przekonać się, że prędkość kątowa jest mała, gdy jej ręce są rozciągnięte na boki, i rośnie, gdy przyciąga je ona do siebie. Tym, co pozostaje stałe, jest moment pędu, który dla danej prędkości kątowej jest większy w przypadku rozkładu masy (np. rąk łyżwiarki) bardziej oddalonego od osi obrotu, zaś mniejszy, gdy masa jest w większym stopniu zbliżona do tej osi (Rys. 1-36). Przyciągnięcie rąk do ciała musi więc zostać skompensowane wzrostem prędkości obrotowej, aby moment pędu pozostał stały.

Mamy więc do dyspozycji pojęcie momentu pędu, które stosuje się do wszystkich zwartych, odizolowanych od otoczenia ciał. Stosuje się ono również do poszczególnych cząstek kwantowych, ale reguły na poziomie kwantowym okazują się być nieco dziwne i przyzwyczajenie się do nich zajmuje nieco czasu. Okazuje się, że dla pojedynczej cząstki kwantowej dla każdego typu cząstki wartość momentu pędu pozostaje zawsze stała, bez względu na to, w jakich procesach cząstka ta bierze udział. Kierunek osi spinu może ulec zmianie, zależnie od sytuacji, choć zachowuje się w dziwny, typowo kwantowo-mechaniczny sposób, o którym będzie bliżej mowa w §2.9. Na chwilę obecną wystarczy nam wiedzieć, że jeśli sprawdzimy, jaka część całkowitego spinu cząstki przypada na dany kierunek, to w przypadku bozonu uzyskany wynik będzie całkowitą wielokrotnością ħ, gdzie ħ to wprowadzona przez Diraca zredukowana stała Plancka h; zob. §2.11, wynosząca:

ħ = h/2π.

Spin bozonu dla dowolnego wybranego kierunku musi więc przyjmować jedną z następujących wartości:

..., –2ħ, –ħ, 0, ħ, 2ħ, 3ħ, ...

W przypadku fermionu wartości spinu dla dowolnego kierunku różnią się od wartości bozonowych o ħ, mogą więc przyjmować następujące wartości:


(tak więc wartość spinu jest zawsze nieparzystą wielokrotnością ħ). W §2.9 przekonamy się, w jaki sposób ta dziwna właściwość mechaniki kwantowej przejawia się w praktyce.

W formalizmie QFT istnieje słynne twierdzenie, znane jako twierdzenie o związku spinu ze statystyką [Streater i Wightman 2000], które głosi (w praktyce) równoważność tych dwóch sposobów zdefiniowania różnicy pomiędzy bozonami i fermionami. Mówiąc ściślej, jest to wynik o znacznie szerszym znaczeniu matematycznym niż wspomniany wyżej sam zakaz Pauliego, ponieważ opisuje on, jakiego rodzaju statystyce podlegają bozony i fermiony. Trudno jest wyjaśnić to twierdzenie zadowalająco, nie wchodząc w formalizm kwantowy głębiej, niż jesteśmy to w stanie zrobić w tym momencie. Spróbuję jednak przynajmniej przybliżyć jego zasadniczą ideę.

Przypomnijmy sobie amplitudy kwantowe wspomniane w §1.4 (zob. też §2.3–§2.9), będące liczbami zespolonymi, których uzyskanie jest celem obliczeń w QFT (zob. §1.5), a z których wynikają prawdopodobieństwa pomiarów kwantowych (za sprawą zasady Borna, zob. §2.8). W każdym procesie kwantowym amplituda ta jest funkcją wszystkich parametrów opisujących wszystkie cząstki kwantowe biorące w nim udział. O amplitudzie tej możemy też myśleć jako o wartości funkcji falowej Schrödingera, o której będzie mowa w §2.5–§2.7. Jeśli P1 i P2 to dwie identyczne cząstki biorące udział w takim procesie, to amplituda (lub funkcja falowa) ψ będzie funkcją ψ(Z1, Z2) odpowiednich zbiorów parametrów Z1 i Z2 dla tych dwóch cząstek (gdzie pogrubiona litera Z oznacza wszystkie parametry tej cząstki: współrzędne położenia, współrzędne pędu, wartości spinu itd.). Kolejnymi liczbami (1 lub 2) oznacza się poszczególne cząstki. Dla n cząstek P1, P2, P3, ..., Pn (identycznych lub nie), mamy więc n zbiorów parametrów Z1, Z2, Z3, ..., Zn. Teraz ψ jest więc funkcją wszystkich tych zmiennych:

 

ψ = ψ(Z1, Z2, ..., Zn).

Jeśli typ cząstki opisywanej przez parametry Z1 jest taki sam, co typ cząstki opisywanej przez parametry Z2, i jeśli cząstki te są bozonami, to zawsze zachodzi następująca symetria:

ψ(Z1, Z2, ..., Zn) = ψ(Z2, Z1, ..., Zn),

tak więc zamiana cząstek P1 i P2 nie zmienia wartości amplitudy (lub funkcji falowej). Jeśli natomiast cząstki owe są fermionami, uzyskamy:

ψ(Z1, Z2, ..., Zn) = –ψ(Z2, Z1, ..., Zn),

a więc po zamianie cząstek P1 i P2 ulegnie zmianie znak amplitudy (funkcji falowej). Można zauważyć, że jeśli obie cząstki P1 i P2 są w tym samym stanie, to Z1 = Z2, co oznacza, że z konieczności ψ = 0 (skoro wartość ψ jest równa wartości –ψ). Za sprawą zasady Borna (§1.4) można stwierdzić, że ψ = 0 oznacza zerowe prawdopodobieństwo. Wyraża to zasadę Pauliego, że nie można odnaleźć dwóch fermionów tego samego typu w tym samym stanie. Gdy wszystkie n cząstki są identyczne, otrzymujemy, dla n bozonów, symetrię obejmującą wymianę dowolnej pary:

ψ(..., Zi, ..., Zj, ...) = ψ(..., Zj, ..., Zi, ...);

zaś dla n fermionów antysymetrię dla każdej takiej zamiany:

ψ(..., Zi, ..., Zj, ...) = −ψ(..., Zj, ..., Zi, ...).

Symetria lub antysymetria wyrażająca się w powyższych dwóch równaniach leży u podstaw odmiennych statystyk bozonów i fermionów. Gdy „zliczamy” liczbę poszczególnych stanów w układzie, w którym obecnych jest wiele bozonów tego samego typu, nie powinniśmy traktować jako nowego stanu przypadku, gdy nastąpiła zamiana dwóch bozonów. Ta metoda liczenia prowadzi do tak zwanych statystyk Bosego-Einsteina (lub po prostu statystyk Bosego, skąd pochodzi termin bozon). To samo dotyczy fermionów, przy czym należy pamiętać o zmianie znaku amplitudy; stąd wywodzą się statystyki Fermiego-Diraca (lub krócej statystyki Fermiego, skąd termin fermion), które mają liczne zastosowania w mechanice kwantowej, z których najbardziej widocznym jest zakaz Pauliego. Zauważmy, że – czy w przypadku bozonów, czy fermionów – zamienienie miejscami dwóch cząstek tego samego typu nie wpływa na stan kwantowy (poza ewentualną zmianą znaku funkcji falowej, która nie zmienia stanu fizycznego, ponieważ mnożenie przez –1 jest po prostu zmianą fazy · e, gdzie θ = π; zob. §1.8). Mechanika kwantowa wymaga więc, aby dwie cząstki tego samego rodzaju w rzeczywistości były identyczne! Ilustruje to znaczenie sprzeciwu Einsteina dla pierwotnej teorii cechowania Weyla, w której „cechowanie” odnosi się tak naprawdę do zmiany skali; zob. §1.8.

Wszystko, co tu opisałem, należy do standardowej mechaniki kwantowej, i ma liczne konsekwencje, które zostały doskonale potwierdzone obserwacyjnie. Wielu fizyków uważa jednak, że powinna występować nowego rodzaju symetria, która pozwalałaby na przekształcanie bozonów i fermionów w siebie nawzajem, przypominająca nieco te symetrie, które wiążą ze sobą różnego typu leptony i z których wynika teoria cechowania oddziaływań słabych, ale te, które wiążą ze sobą różne odmiany kwarków, co prowadzi z kolei do teorii cechowania oddziaływań silnych (zob. §1.3 i ostatni akapit §1.8). Nie mogłaby to być „zwykła” symetria ze względu na to, że te dwie rodziny cząstek podlegają innego typu statystykom. Dokonuje się więc uogólnienia zwykłego typu symetrii do postaci symetrii nowego rodzaju, którą zwykło się określać jako supersymetrię [Kane i Shifman 2000], w której symetryczne stany bozonów przekształca się w antysymetryczne stany fermionów, i vice versa. Wymaga to wprowadzenie szczególnego typu „liczb” – zwanych generatorami supersymetrii – które mają taką właściwość, że gdy pomnoży się przez nie dwie z nich, powiedzmy α i β, uzyskuje się wartość przeciwną do tej, którą uzyskalibyśmy, gdybyśmy je pomnożyli w odwrotnym porządku:

αβ = −βα.

(Nieprzemienność operacji, czyli sytuacja, gdy ABBA, jest w rzeczywistości powszechna w formalizmie kwantowym: zob. §2.13). To właśnie ów znak minus pozwala na przejście od statystyk Bosego-Einsteina do statystyk Fermiego-Diraca, i vice versa.

Aby opisać nieco bliżej te niekomutujące (non-commuting[10]) wielkości, powinienem powiedzieć nieco więcej o ogólnym formalizmie mechaniki kwantowej (i QFT). W §1.4 pojawiło się pojęcie stanu kwantowego, gdzie taki stan (Ψ, Φ, itd.) podlega prawom właściwym dla zespolonej przestrzeni wektorowej (§A.3 i §A.9). W teorii tej szereg ważnych funkcji pełnią tak zwane operatory liniowe, o czym będzie mowa później, zwłaszcza w §1.16, §2.12, §2.13 i §4.1. Tego typu operator Q, działający na stany kwantowe Ψ, Φ, itd., zachowuje superpozycje kwantowe:

Q(wΨ+ zΦ) = wQ(Ψ) + zQ(Φ),

gdzie w i z to (stałe) liczby zespolone. Przykładowymi operatorami kwantowymi są operatory położenia i pędu, x i p, a także operator energii E, o którym będzie jeszcze mowa w §2.13, i operator spinu omówiony w §2.12. W standardowej mechanice kwantowej pomiary wyraża się zwykle poprzez operatory liniowe – zostanie to wyjaśnione w §2.8.

Generatory supersymetrii, takie jak α i β, również są operatorami liniowymi, ale ich zadaniem w QFT jest działanie na inne operatory liniowe, określane jako operatory kreacji i anihilacji, które pełnią kluczową rolę w strukturze algebraicznej QFT. Dla operatora anihilacji można użyć na przykład symbolu a; w tym przypadku odpowiadającym mu operatorem kreacji byłby a. Gdy mamy do czynienia z określonym stanem kwantowym Ψ, to aΨ oznacza stan uzyskany z Ψ poprzez dodanie do niego stanu cząstki reprezentowanego przez a; podobnie, odpowiadałby stanowi Ψ po usunięciu z niego tego stanu cząstki (przy założeniu, że takie usunięcie jest dozwolone; jeśli nie, uzyskalibyśmy po prostu = 0). Generator supersymetrii typu α działa na operator kreacji (lub anihilacji) dla bozonu, przekształcając go w odpowiedni operator dla fermionu, i na odwrót.

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy β = α, to za sprawą relacji αβ = –βα można wywnioskować, że α2 = 0 (skoro α2 musi być równe –α2). W takim zaś razie nie będziemy mieli nigdy do czynienia z generatorami supersymetrii podniesionymi do potęgi (> 1). Ma to taki ciekawy skutek, że przy założeniu skończonej liczby N generatorów supersymetrii α, β, ..., ω, każde wyrażenie algebraiczne X można zapisać bez potęg tych wielkości:

X = X0 + αX1 + βX2 + ··· + ωXN + αβX12 + ···

+ αωX1N + ··· + αβ ··· ωX12···N,

tak więc w całym tym wyrażeniu występuje 2N członów (jeden człon na każdą możliwą kombinację elementów zbioru generatorów supersymetrii). Wyrażenie to na sposób jawny demonstruje jedyną możliwą postać zależności od generatorów supersymetrii – choć niektóre X po prawej stronie mogą być równe zero. Pierwszy człon X0 określa się czasem jako ciało, a pozostałe (αX1 + ... + αβ...ωX12...N), w których obecny jest przynajmniej jeden generator supersymetrii, łącznie jako duszę. Zauważmy, że gdy część wyrażenia trafi do „duszy”, to przemnożenie go przez dowolne inne wyrażenie tego typu nie przenosi go z powrotem do „ciała”. Stąd „ciało” każdego wyrażenia algebraicznego jest samodzielne, pozwalając na całkowicie poprawne klasyczne obliczenia, przy których po prostu zapominamy o „duszy”. Stanowi to uzasadnienie dla roli, jaką pełnią analizy algebraiczne i geometryczne, jak choćby te przytoczone w §1.11, w których supersymetrię się po prostu ignoruje.

Wymóg supersymetrii stanowi wskazówkę przy wyborze teorii fizycznej. Ograniczenie, zgodnie z którym każda nowa teoria musi być supersymetryczna, jest w istocie bardzo silne. Narzuca ono na teorię swego rodzaju balans pomiędzy jego częścią bozonową i fermionową, które stają się powiązane poprzez operację supersymetrii (tj. operację skonstruowaną przy użyciu generatorów supersymetrii, jak X powyżej). Uważa się to za cenną zaletę przy konstruowaniu QFT, mającą pomóc w wiarygodnym modelowaniu świata przyrody, tak że teoria nie jest trapiona przez niedające się kontrolować rozbieżności. Wymóg supersymetryczności znacznie zwiększa szansę na renormalizowalność (zob. §1.5) oraz prawdopodobieństwo, że teoria będzie w stanie generować skończone wyniki dla ważnych fizycznych pytań. Za sprawą supersymetrii rozbieżności pochodzące z bozonowej i fermionowej części teorii w pewnym sensie kasują się.

Wydaje się to być jedną z głównych przyczyn (obok teorii strun) popularności supersymetrii w fizyce cząstek. Gdyby świat przyrody był jednak całkowicie supersymetryczny (z, powiedzmy, jednym generatorem supersymetrii), każdej cząstce elementarnej towarzyszyłaby inna – zwana jej supersymetrycznym partnerem – o tej samej masie, co cząstka wyjściowa, tak że para partnerów supersymetrycznych składa się z bozonu i fermionu o tej samej masie. Musiałby więc występować selektron, czyli bozon towarzyszący elektronowi i bozonowy skwark towarzyszący każdemu rodzajowi kwarka. Powinno występować bezmasowe fotino i grawitino, będące fermionami towarzyszącymi, odpowiednio, fotonowi i grawitonowi, a także dalsze fermiony, takie jako wino i zino, które miałyby być partnerami wspomnianych wyżej bozonów W i Z. W ogólności sytuacja jest jednak znacznie bardziej niepokojąca niż w tym prostym przypadku, w którym występuje tylko jeden generator supersymetrii. Gdyby występowało N takich generatorów, dla N > 1, to cząstki elementarne nie byłyby po prostu sparowane w ten sposób; występowałyby rodziny supersymetrycznych partnerów (multiplety) składające się z 2N cząstek, z których połowa to bozony, a połowa fermiony, wszystkie o tej samej masie.

To koniec darmowego fragmentu. Czy chcesz czytać dalej?