Książka o Niczym

Tekst
0
Recenzje
Przeczytaj fragment
Oznacz jako przeczytane
Jak czytać książkę po zakupie
Czcionka:Mniejsze АаWiększe Aa

Zero Majów

Nie mam nic do powiedzenia

i mówię to – i to jest poezja[19].

John Cage

System pozycyjny został po raz trzeci wynaleziony przez Majów, których kultura kwitła w latach około 500–925. Co ciekawe, pomimo osiągnięcia wielkiej biegłości w sprawach architektury, rzeźby, sztuki, budowania dróg, pisma, obliczeń, kalendarza czy przewidywania zjawisk astronomicznych, Majowie nie wynaleźli koła, nie odkryli metod produkcji metali czy szkła, nie mieli zegarów służących do odmierzania odstępów czasu krótszych od doby i nigdy nie ujarzmili zwierząt, aby te wykonywały za nich ciężkie prace fizyczne. Zwyczaje rodem z epoki kamienia szły w parze z niebywałą sprawnością arytmetyczną. Wciąż pozostaje tajemnicą, dlaczego kultura Majów zniknęła tak nagle. Jedyne, co po niej zostało, to porzucone w dżungli i na trawiastych równinach miasta na terenie dzisiejszego Meksyku, Belize, Hondurasu i Gwatemali. O zniszczenie tej cywilizacji obwiniano szereg kataklizmów i tragedii – trzęsienia ziemi, epidemie i wojny domowe. Sensowniejszym przypuszczeniem wydaje się być wyjałowienie gleby poprzez jej uporczywą i intensywną eksploatację.

System liczbowy Majów opierał się na podstawie 20, a liczby reprezentowano poprzez kombinacje kropek (z których każda oznacza jeden) i kresek (oznaczających pięć) (zob. rys. 1.17). Pierwszych 19 liczb konstruowano poprzez dodawanie kropek i kresek zgodnie z modelem addytywnym, który prawdopodobnie wywodzi się z wcześniejszego systemu liczenia na palcach rąk i nóg[20]. Ślady dawnego użycia kropki (czasem jest to mały okrąg) jako symbolu liczby 1 można odnaleźć w całej Ameryce Środkowej, co jest prawdopodobnie pozostałością po używaniu ziaren kakaowca jako waluty. Tak jak było to w kulturze babilońskiej, codzienne rachunki zapisywano nieco inaczej niż bardziej zaawansowane obliczenia dokonywane przez matematyków i astronomów.


Rys. 1.17. Liczby od 1 do 20 zapisane w odmianie systemu liczbowego Majów stosowanej przez kapłanów i astronomów

Gdy pojawiła się potrzeba zapisywania liczb większych od 20, symbole kładziono jeden na drugim w formie wieży, której najniższe piętro („parter”) oznaczało liczbę wielokrotności 1, a pierwsze piętro liczbę wielokrotności 20. Drugie piętro nie zawierało jednak informacji o liczbie wielokrotności 20×20! Oznaczało wielokrotności 360! Od następnego piętra wzorzec odtwarzał się już bez zaburzeń. Kolejny poziom zawierał więc liczbę wielokrotności 20×360=7200, następnie 20×7200=144000 i kolejne poziomy tworzono już zawsze przez przemnożenie przez 20 wartości poziomu niższego. Liczby odczytywano od góry do dołu. Rysunek 1.18 przedstawia liczbę 4032=(11×360)+(3×20)+12.


Rys. 1.18. Reprezentacja liczby 4032 w systemie Majów

Widzimy więc, że Majowie korzystali z systemu pozycyjnego, do którego dodali symbol zera na oznaczenie pustego wpisu na określonej pozycji w „wieży” reprezentującej liczbę. Sam symbol jest nader interesujący. Przypomina skorupę lub oko i pojawia się w licznych, nieznacznie się od siebie różniących wersjach, wydaje się zaś przekazywać ideę dopełnienia, co odpowiada jej estetycznej roli w reprezentacji liczb, która zostanie omówiona poniżej. Niektóre wersje tego symbolu pokazano na rysunku 1.19.


Rys. 1.19. Różne formy symbolu zera u Majów. Przypominają skorupy ślimaków i różnych stworzeń morskich albo ludzkie oczy

Liczba 400=(1×360)+(2×20)+0 zostałaby więc zapisana w sposób przedstawiony na rysunku 1.20.


Rys. 1.20. Reprezentacja liczby 400 w systemie Majów

Majowie stosowali symbol zera w pozycjach środkowych i końcowych swoich „wież” liczbowych, tak jak robimy to my.

Fakt, że na drugim poziomie w liczbach systemu Majów zliczane są wielokrotności 360, a nie 400, co byłoby logiczne w systemie o konsekwentnie stosowanej podstawie 20, oznacza również, że symbol zera różni się od naszego pod jednym ważnym względem. Jeśli dodamy zero po prawej stronie dowolnej liczby, jej wartość zostanie pomnożona przez 10, czyli wartość podstawy naszego systemu; stąd 170=17×10. Jeśli system liczbowy oparty jest na poziomach, z których każdy uzyskiwany jest z poprzedniego przez pomnożenie przez podstawę, to dodanie zera na końcu liczby będzie skutkowało pomnożeniem tej liczby przez podstawę – bez względu na to, jaka ona jest. Ponieważ w systemie Majów nie wszystkie przejścia między poziomami następowały w ten sam sposób, ich system pozbawiony był tej wygodnej własności. Uniemożliwiło to Majom pełne wykorzystanie ich systemu.

Majowie nie wprowadzili całkowicie jednolitego następstwa poziomów z ważnego powodu – ich system liczbowy służył określonemu celowi. Został bowiem zaprojektowany z myślą o ich wyrafinowanym, cyklicznym kalendarzu. Majowie mieli trzy różne kalendarze. Jeden opierał się na sakralnym cyklu zwanym tzolkin, który składał się z 260 dni podzielonych na 20 okresów trwających 13 dni. Drugi kalendarz przeznaczony był do powszechnego stosowania i zawierał „rok” zwany haab, składający się z 365 dni, które podzielono na 18 okresów po 20 dni oraz dodatkowy pięciodniowy okres przejściowy. Trzeci kalendarz zawierał cykl 360 dni, zwany tun, który był podzielony na 18 okresów trwających 20 dni, nazywanych uinal – 20 tunów to 1 katun (ka to słowo oznaczające 20); 20 katunów to 1 baktun (bak oznacza 20×20)[21]. Każdy z tych okresów reprezentowany był przez osobny symbol. Pełny zapis określonego odcinka czasu zawierał więc połączenie symboli jednostek czasowych wraz z oznaczeniem, ile razy należy zliczyć każdy z nich. Przedstawiony na rysunku 1.21 hieroglif należy odczytywać od lewej do prawej i od góry do dołu, a oznacza on następujący okres – 9 baktunów, 14 katunów, 12 tunów, 4 uinale i 17 kinów (dni).


Rys. 1.21. Hieroglif Majów reprezentujący odcinek czasu. Każda elementarna jednostka – baktun, katun, uinai i dzień – reprezentowana jest przez odrębny symbol przedstawiający najczęściej głowę o charakterystycznym kształcie i zdobieniach. Obok każdego symbolu znajdowała się liczba, składająca się z kropek i kresek, oznaczająca, ile razy należy zliczyć daną jednostkę. Zdarzało się, że reprezentacje małych liczb, wymagających na przykład użycia ledwie dwóch kropek lub kresek, wzbogacano o dodatkowe ornamenty, aby wypełnić przestrzeń. Pokazany tu okres, po odczytaniu go od lewej do prawej i od góry do dołu, to 9 razy baktun, 14 razy katun, 12 razy tun, 4 razy uinal i 17 razy kin. Łącznie daje to 3892 tunów i 97 kinów, czyli 1401217 kinów (dni)

W systemie tym zero reprezentowano przez szereg egzotycznych glifów[22], z których niektóre pokazano na rysunku 1.22.


Rys. 1.22. Niektóre symbole zera występujące na kolumnach i posągach Majów

Metoda ta sprawia, że do zapisu dat nie jest potrzebny symbol zera. Istotną nowością zera Majów jest fakt, że wprowadzono je ze względów estetycznych. Przy braku zera reprezentacja daty posiadałaby puste miejsce i wyglądała nieharmonijnie. Wyrafinowane glify reprezentujące zero służyły do wypełnienia tej pustki i współtworzyły elegancką i robiącą duże wrażenie reprezentację dat, która wzmacniała jej religijne znaczenie.

Indyjskie zero

Indyjskie zero reprezentowało pustkę lub brak, ale też przestrzeń, firmament, sferę niebieską, atmosferę i eter, a także nic, ilość, której nie należy brać pod uwagę, coś nieznaczącego[23].

Georges Ifrah

Upadek cywilizacji Babilończyków i Majów sprawił, że ich niezależne wynalezienie zera nie znalazło kontynuacji we współczesnych systemach reprezentacji liczb. Zaszczyt ten spotkał trzecich wynalazców zera, których sposób zapisu liczb jest uniwersalnie stosowany do dziś.

Hindusi żyjący w obszarze doliny Indusu już trzy tysiące lat przed naszą erą posiadali wysoce rozwiniętą kulturę. Istniały tam potężne miasta z bogato zdobionymi budynkami, wyposażone w systemy kanalizacji. O istnieniu rozwiniętego społeczeństwa świadczą pieczęcie, systemy pisma i techniki obliczeniowe. W kolejnych tysiącleciach pismo i rachunkowość rozprzestrzeniły się na cały subkontynent indyjski. W środkowych Indiach i sąsiednich regionach Azji Południowo-Wschodniej występowało bogactwo stylów kaligraficznych i systemów liczbowych zapisywanych przy użyciu cyfr pisma brahmi. Notacja ta pojawiła się około 350 roku przed naszą erą, choć do dziś przetrwały w kamieniu wyłącznie przykłady użycia cyfr 1, 2, 4 i 6. Pochodzące z I i II wieku przed naszą erą zapisy pokazują[24], jak mógł wyglądać ów system (zob. rys. 1.23).

Formy cyfr pisma brahmi do dziś pozostają po części tajemnicą. Znaki oznaczające cyfry 4 i 9 nie mają żadnego oczywistego związku z wielkościami, które reprezentują, mogą jednak wywodzić się z alfabetu, który zaginął, lub być tylko krokiem w ewolucji wcześniejszego systemu liczbowego, którego interpretacje nie zachowały się do naszych czasów.

 

System brahmi przekształcił się w pozycyjny zapis dziesiątkowy w VI wieku. Wykorzystał on istniejące już odrębne znaki dla liczb od 1 do 9 oraz zwięzły system zapisu większych liczb i słów oznaczających wyższe potęgi dziesięciu. Najstarszym przykładem użycia go w piśmie jest miedziana płytka z Sankhedy[25] zawierająca opis własności ziemskiej.


Rys. 1.23. Wczesne indyjskie symbole cyfr od 1 do 9

Inspiracją dla tego genialnego systemu były prawdopodobnie tabliczki do liczenia, na których liczby reprezentowane były przez odpowiednio rozmieszczone kamyki lub nasiona. Do oznaczenia liczby 102 przy użyciu kamieni należy położyć jeden kamień w kolumnie setek, kolumnę dziesiątek pozostawić pustą i położyć dwa kamienie w kolumnie jednostek. Kolejną motywacją dla rozwinięcia przejrzystej i logicznej metody zapisywania bardzo dużych liczb były badania astronomów indyjskich, którzy znajdowali się pod wpływem wcześniejszych zapisów babilońskich. Najbardziej powszechnym pozycyjnym systemem zapisu liczb wywodzącym się z cyfr brahmi było pismo dewanâgarî (rys. 1.24).


Rys. 1.24. Ewolucja cyfr pisma dewanâgarî. Warto zauważyć, jak niektóre z nich są podobne do cyfr stosowanych przez nas współcześnie

Rozwój indyjskiego systemu pozycyjnego był wyjątkowy dlatego, że wtedy nastąpiło przejęcie cyfr istniejących już wiele wieków wcześniej. W innych kulturach stworzenie zapisu pozycyjnego wymagało zmiany samych symboli cyfr. Pierwszy zachowany zapis dokonany przy użyciu tego systemu pochodzi z 594 roku.

Przykład Babilończyków i Majów uczy, że po wprowadzeniu systemu pozycyjnego jest już tylko kwestią czasu pojawienie się symbolu zera. Najwcześniejszy przykład użycia indyjskiego zera pochodzi z dżinistycznego tekstu kosmologicznego z 458 roku, ale pośrednie dowody wskazują na to, że musiało być w użyciu już około roku 200 przed naszą erą. Wydaje się, że z początku symbolem zera była kropka, a nie kółko. W pochodzącym z VI wieku poemacie Vâsavadattâ czytamy:

Gwiazdy świeciły jak punkciki zer rozrzucone po niebie[26].

Dopiero później kropka została zastąpiona przez wyglądający znajomo symbol – 0, którego wpływ rozprzestrzenił się na wschód do Chin. Zero było stosowane jako oznaczenie pustego wpisu na danej pozycji (setek, dziesiątek, jedności) zapisu dziesiętnego oraz, ponieważ indyjski system dziesiątkowy był całkowicie regularny – czyli każda kolejna pozycja reprezentowała wielkość dziesięć razy większą od poprzedniej – działało również jako operator. Dodanie zera na końcu ciągu cyfr powodowało pomnożenie danej liczby przez 10. W przepiękny sposób nawiązał do tej reguły piszący w sanskrycie[27] indyjski poeta Bihari, który wyraził swój podziw dla pięknej kobiety, dokonując powiązania między kropką tilaka na jej czole a matematycznym zerem:

Kropka na jej czole

Powiększa jej piękno dziesięciokrotnie,

Tak jak kropka zera [sunya-bindu]

Dziesięciokrotnie powiększa liczbę[28].

Choć indyjskie zero początkowo oznaczało wyłącznie brakującą cyfrę, tak jak w systemach Babilończyków i Majów, szybko uzyskało status odrębnej cyfry. Ponadto, w przeciwieństwie do innych odkrywców zera, indyjscy matematycy z łatwością zidentyfikowali je jako wynik odjęcia dowolnej liczby od siebie samej. W 628 roku indyjski astronom Brahmagupta zdefiniował zero właśnie w tej sposób i spisał reguły dodawania, odejmowania oraz mnożenia – i co może najbardziej dziwić, dzielenia przez zero. Przykładowo:

Kiedy sunya zostaje dodane do liczby lub odjęte od liczby, liczba ta pozostaje niezmieniona; liczba pomnożona przez sunya staje się sunya.

Co niezwykłe, zdefiniował on również nieskończoność jako liczbę otrzymywaną po podzieleniu dowolnej liczby przez zero i opisał zestaw ogólnych reguł pozwalających na mnożenie i dzielenie wszelkich liczb dodatnich i ujemnych.

Istnieją interesujące spekulacje na temat tego, dlaczego indyjski symbol zera to okrąg[29]. Widzieliśmy wszak, że zero przyjmowało u Majów i Babilończyków zupełnie inne formy. Subhash Kak wysunął przypuszczenie, że nastąpiło to na drodze przekształcenia symbolu liczby 10 w piśmie brahmi. Symbol ten przypominał schematycznie narysowaną rybę albo znak proporcjonalności ∝. Później, w I i II wieku, przyjął on formę kółka połączonego z symbolem liczby 1 (zob. rys. 1.25).


Rys. 1.25. Przypuszczalne rozdzielenie się podobnego do ryby symbolu liczby 10 na kółko i kreskę reprezentującą 1, co doprowadziło do interpretacji kółka jako symbolu zera

Przypuszcza się, że ten symbol liczby 10 mógł w naturalny sposób rozdzielić się na pionową kreską, czyli cyfrę 1, zaś pozostałe po tej operacji kółko zaczęło symbolizować zero.

Fascynującą cechą indyjskiego symbolu zera jest bogactwo związanych z nim idei. Podczas gdy Babilończycy mieli bardzo jednowymiarowy stosunek do symbolu zera, który traktowano po prostu jako oznaczenie pustego miejsca w zapisach księgowych, umysłowość indyjska ujęła zero jako część szerszego spektrum filozoficznych znaczeń Nicości i pustki. Oto niektóre indyjskie słowa oznaczające zero[30]. Już sama ich ilość pokazuje bogactwo pojęcia Nicości w filozofii indyjskiej i to, że istniała potrzeba nadawania osobnych nazw rozmaitym aspektom pustki[31].


Słowo Znaczenie
Abhra Atmosfera
Akâsha Eter
Ambara Atmosfera
Ananta Bezmiar przestrzeni
Antariksha Atmosfera
Bindu Punkt
Gagana Kopuła niebios
Jaladharapatha Podróż morska
Kha Przestrzeń
Nabha Niebo, atmosfera
Nabhas Niebo, atmosfera
Pûrna Całkowity, ukończony
Randhra Dziura
Shûnya/sunya Pustka
Vindu Punkt
Vishnupada Stopa Wisznu
Vyant Niebo
Vyoman Niebo, przestrzeń

Słowem bindu określano najbardziej nieznaczący obiekt geometryczny – pojedynczy punkt albo okrąg skurczony ku środkowi tak, że nie ma już żadnej rozciągłości. Dosłownie oznacza to tylko „punkt”, ale symbolizuje również istotę Wszechświata zanim uzyskał formę stabilnego świata przejawów, których doświadczamy. Reprezentuje więc niestworzony Wszechświat, z którego mogą powstać wszystkie rzeczy. Ów potencjał stwórczy można zilustrować przy pomocy prostej analogii. Po wprawieniu punktu w ruch może on tworzyć linie, których ruch wytwarza z kolei płaszczyzny, te zaś mogą poprzez jeszcze dalszy ruch utworzyć otaczającą nas trójwymiarową przestrzeń. Bindu było to Nic, z którego wypływa wszystko.

Ta idea tworzenia czegoś z Niczego doprowadziła do pojawiania się bindu jako elementu w wielu schematach medytacyjnych. W tradycji tantrycznej medytująca osoba rozpoczyna od kontemplacji całej przestrzeni, a następnie jest prowadzona, poprzez różne formy pośrednie, ku centralnemu punktowi zogniskowania się wszystkich linii. Możliwe jest również obranie drogi przeciwnej, gdzie zaczyna się od punktu i porusza na zewnątrz, aby w końcu objąć wszystko – przedstawia to rysunek 1.26, na którym przedstawione są subtelne konstrukcje geometryczne Śrijantry. Mają one pomóc w skoncentrowaniu oka i umysłu na rozbiegających się i zbiegających ścieżkach, które łączą centralny punkt z bezmiarem tego, co znajduje się na zewnątrz.


Rys. 1.26. Śrijantra – konstrukcja geometryczna używana jako pomoc medytacyjna w niektórych odłamach tradycji tantrycznej. Najwcześniejszy znany przykład pochodzi z VII wieku, ale podobne wzory znane są nawet z XII wieku przed naszą erą. Jest to wyrafinowany wzór geometryczny utworzony z nachodzących na siebie trójkątów, wielokątów, okręgów i linii, zbiegających się w punkcie centralnym, bindu, funkcjonującym bądź to jako początek, bądź jako koniec ścieżki medytacyjnej, która mogła wieść na zewnątrz lub do wewnątrz diagramu. Spośród dziewięciu najbardziej wewnętrznych trójkątów cztery są skierowane wierzchołkiem do góry, co symbolizuje element „męski”, a pięć ku dołowi, co symbolizuje energię „żeńską”. Stworzenie Śrijantry lub innych wedyjskich pomocy medytacyjnych wymagało niebagatelnej wiedzy geometrycznej[32]

Prawdziwym objawieniem, które płynie z analizy indyjskiego zera, jest bogactwo treści zawarte w pojęciu sunya. Dosłowne tłumaczenie tego słowa to przymiotnik „pusty” lub rzeczownik „pustka”, jednak przywoływało ono również ideę przestrzeni, bycia czymś pustym i nieznaczącym czy bezwartościowym, a także nie-bycia i braku. Tkwi w nim złożony splot znaczeń, mogący z łatwością prowadzić do nieprzewidywalnych skojarzeń, których spójność w ramach struktury formalnej można dostrzec bez szczegółowej analizy logicznej. W tym sensie ów indyjski wynalazek wydaje się być niemal nowoczesny ze względu na to, z jaką swobodą wiążą się z nim luźne skojarzenia. W jego sercu leży ściśle określona funkcja w systemie zapisu i liczenia, jednak nie jest konieczne ograniczanie mnogości innych funkcji, które może pełnić. Cech tego typu spodziewamy się raczej po sztuce i literaturze współczesnej. Pewien obraz lub idea może istnieć w pewnej ściśle określonej postaci i z określonym znaczeniem w ramach pewnej nauki szczegółowej, jednak poddawać się ciągłemu doskonaleniu i stwarzaniu na nowo przez artystów pracujących ze względu na różne cele i mających różne wizje.

Indyjskie koncepcje Nicości

Tak jak prawdą jest, że w liczbie zero zawierają się puste przestrzenie i złowieszcze, dzikie pustkowie, tak również wszechpotężnej Jedności przynależą duch Boga i Jego światło[33].

Gottfried W. Leibniz

Indyjski symbol zera nie mógłby powstać, gdyby nie gotowość Hindusów do przyjęcia wielu różnorodnych koncepcji Nicości i pustki. W kulturze indyjskiej już wcześniej istniało bogactwo rozmaitych powszechnie znanych sposobów na rozumienie Niczego. Stworzenie osobnej cyfry na oznaczenie braku lub pustego miejsca w dokumentach księgowych mogło nastąpić bez konieczności reorganizacji jakiegoś elementu szerszego indyjskiego światopoglądu. W tradycji hebrajskiej występowała sytuacja przeciwna – próżnia była rozumiana jako stan, z którego powstał świat za sprawą zainicjowanego przez Boga ruchu i wypowiedzianego przez niego słowa. Posiadała ona szereg niepożądanych konotacji. Był to prawdziwie odpychający stan. Oznaczał biedę i bezpłodność – wiązał się z oddzieleniem od Boga i wystąpienie z jego łaski. Było to przekleństwo. Również dla Greków zero prowadziło do poważnych dylematów filozoficznych. Ich szacunek dla logiki sprawiał, że próba potraktowania Niczego jak czegoś prowadziła do zawiłości i paradoksów.

 

Dla indyjskiej tradycji religijnej tego typu mistyczne koncepcje były niemalże codziennością. W religiach indyjskich nie-bycie występuje na równi z byciem. Jak ma to miejsce w wielu religiach Wschodu, w kulturze indyjskiej Nic jest rozumiane jako stan, z którego możemy się wywodzić i do którego możemy kiedyś powrócić – a przemiany tego typu mogą następować wielokrotnie bez początku lub końca.

Podczas gdy zachodnie tradycje religijne starały się uciec od Nicości, wykorzystanie symbolizującej zero kropki w ćwiczeniach medytacyjnych pokazuje, że stan nie-bycia był czymś, czego buddysta lub hinduista może aktywnie poszukiwać w celu osiągnięcia nirwany – jedności z Kosmosem.

Cała ta hierarchia indyjskich pojęć związanych z Niczym wiąże się w spójną całość. Zero matematyczne jest integralną częścią tej hierarchii. Na rysunku 1.27[34] przedstawiona jest omawiana tu sieć znaczeń, której opracowania podjął się Georges Ifrah. Warto zauważyć, w jaki sposób sieć ta łączy się z przywołanymi wcześniej pojęciami, które denotują indyjskie słowa oznaczające zero. W tej sieci powiązanych znaczeń ujawniają się też źródła niektórych naszych współczesnych sposobów rozumienia Nicości.

Na najwyższym poziomie mieszczą się słowa związane z niebem i zaświatami. Łączy je bindu, które reprezentuje Wszechświat utajony – taki, który jeszcze się nie przejawił. W trakcie podróży w dół drzewa można natrafić na szereg rozmaitych określeń dla braku wszelkiego typu – nie-istnienia oraz bycia nieuformowanym, niewyprodukowanym i niestworzonym, a także kolejną grupę pojęć, które niosą ze sobą konotacje z czymś pomijalnym, nieznaczącym lub niemającym wartości.


Rys. 1.27. Szereg powiązanych znaczeń pojęć związanych z różnymi aspektami Nicości w starożytnej myśli indyjskiej, których zwieńczeniem jest zero matematyczne

Te dwa odmienne wątki znaczeniowe złączyły się w abstrakcyjnym pojęciu zera, tak więc przynajmniej od V wieku pojęcie Nicości zaczęło odzwierciedlać wszystkie twarze indyjskiego splotu różnych Nicości, od prozaicznego pustego naczynia po dostępne tylko mistykom stany nie-bycia.

Tradycja grecka stała w całkowitej opozycji do Dalekiego Wschodu. Poczynając od szkoły Talesa, Grecy uważali logikę za szczytowe osiągnięcie ludzkiego umysłu. Przykładem ich sceptycyzmu wobec traktowania „nie-bycia” jako pewnej odmiany „czegoś”, mogącej stanowić pełnoprawny składnik rozumowania, były słynne argumenty Parmenidesa przeciwko idei pustej przestrzeni. Utrzymywał on, że wszyscy jego poprzednicy, jak Heraklit, popełniali błąd, twierdząc, że wszystkie rzeczy (czyli to, o czym możemy powiedzieć, że „jest”) składały się z tego samego podstawowego tworzywa, jednocześnie mówiąc o pustej przestrzeni (o której można powiedzieć, że „nie jest”). Parmenides twierdził, że można mówić wyłącznie o tym, co jest – nie da się pomyśleć czegoś, co nie jest, a co nie może być pomyślane, nie może istnieć.

Z tego „oczywistego” stwierdzenia płyną następnie, jak twierdził Parmenides, liczne wnioski, a pośród nich ten, że nie może istnieć pusta przestrzeń. Mniej oczywisty może się wydać kolejny, że nie może istnieć również czas, ruch lub zmiana. Parmenides uważał po prostu, że kiedykolwiek myślimy lub mówimy, musimy myśleć lub mówić o czymś, tak więc muszą istnieć pewne realne rzeczy, o których mówimy lub myślimy. Wynika z tego, że musiały one zawsze istnieć i nigdy nie mogą ulec zmianie. Platon pisał w Sofiście:

Wielki Parmenides... zawsze prozą i wierszami tak mówił: Bo nigdy to nie przeważy, że są też jakieś niebyty. Zawsze się od tej drogi w myśleniu trzymaj z daleka[35] [tł. W. Witwicki].

Z poglądami Parmenidesa wiążą się różnego typu problemy. Jak właściwie może on w ogóle wypowiedzieć sąd, że coś nie jest lub nie może być? Bez względu jednak na tego typu wątpliwości dziedzictwo Parmenidesa – i nacisk, aby mówić wyłącznie o „czymś” – sprawiło, że bardzo trudno było omawiać pojęcia próżni, Niczego czy nawet matematycznego zera. Z naszej perspektywy tego typy opory mogą wydawać się dziwne. A jednak coś, co przyszło w Indiach naturalnie – czyli wprowadzenie zera bez konieczności modyfikowania uznanych tradycji filozoficznych – w Grecji nie było po prostu możliwe.

Wędrujące zera

Genialna metoda polegająca na wyrażeniu dowolnej liczby za pomocą kombinacji dziesięciu symboli (gdzie każdy symbol ma pewną wartość absolutną, a jego znaczenie wynika z położenia) narodziła się w Indiach. Pomysł ten wydaje się dziś tak prosty, że trudno nam jest docenić jego znaczenie i to, jak niebywale był on istotny... Łatwiej będzie nam docenić wielkość tego wynalazku, jeśli weźmiemy pod uwagę, że nie byli w stanie go dostrzec dwaj najwięksi ludzie starożytności – Archimedes i Apoloniusz[36].

Pierre Simon de Laplace

Indyjski system liczbowy jest prawdopodobnie najbardziej zmyślną innowacją intelektualną w dziejach ludzkości[37]. Został przyjęty na całym świecie. Stosowany jest nawet w społeczeństwach, których alfabet nie opiera się alfabecie fenickim. Nic nie zbliżyło się bardziej do bycia prawdziwie uniwersalnym językiem. Zawsze, gdy dochodziło do kontaktów handlowych między Hindusami a członkami społeczeństw liczących w inny sposób, skutkiem tego spotkania było przyjęcie przez owo społeczeństwo indyjskiego systemu liczbowego – lub choćby jego najważniejszych cech. Gdy Chińczycy zetknęli się z systemem indyjskim w VIII wieku, przyjęli okrągły symbol na zero i konsekwentny zapis pozycyjny z dziewięcioma cyframi. System indyjski został wprowadzony do kultury hebrajskiej przez uczonego i podróżnika po Azji i Oriencie Abena Ezrę. Opisał on stosowany przez Hindusów system w swojej wpływowej Księdze Liczby[38] i zaadaptował go, wykorzystując dziewięć pierwszych liter alfabetu hebrajskiego jako cyfry od 1 do 9, utrzymując zapis pozycyjny, oraz przejmując okrąg jako symbol zera, któremu nadał nazwę galgal, od hebrajskiego słowa oznaczającego „koło”[39]. Co niezwykłe, Aben Ezra samodzielnie zmienił hebrajski system liczbowy na system pozycyjny z zerem, jednak ta niezwykła innowacja nie spotkała się z zainteresowaniem i nikt nie podjął zapoczątkowanej przez Ezrę reformy.

Tymczasem Indyjski symbol zera, za sprawą kultury Arabskiej, poprzez Hiszpanię wkroczył do Europy[40]. Arabowie utrzymywali bliskie kontakty handlowe z Hindusami i mogli na własne oczy przekonać się o wydajności systemu indyjskiego. Stopniowo indyjski symbol zera został włączony w ich własną wyrafinowaną matematykę i filozofię. Wielki matematyk arabski Chuwarizmi (od jednej z wersji jego imienia pochodzi słowo „algorytm”) tak opisuje indyjskie techniki obliczeniowe:

Gdy [po odjęciu] nic nie pozostaje, zapisują oni małe kółko, aby miejsce nie pozostało puste. To małe kółko musi zajmować ową pozycję, gdyż inaczej pozostałoby mniej pozycji, tak więc druga mogłaby zostać pomylona z pierwszą[41].

Sami Arabowie nie doczekali się własnego zapisu liczbowego. Nawet w dziełach matematycznych zapisywali oni liczby słowo po słowie, czemu towarzyszyły obliczenia w innych systemach zapisu, na przykład greckim[42].

Po założeniu Bagdadu w VIII wieku stał się on wielkim centrum kultury i przetłumaczono tam wiele dzieł matematycznych pochodzących z Indii i Grecji. W 773 roku kalif Bagdadu otrzymał kopię stupięćdziesięcioletniego podręcznika astronomii z Indii Brāhmasphutasiddhānta (Poprawiony Podręcznik Astronomiczny Brahmy[6*]), w którym stosowano cyfry indyjskie i notację pozycyjną z zerem. Czterdzieści siedem lat później powstało klasyczne dzieło Chuwarizmiego na temat arytmetyki, w którym autor opisuje nowy sposób zapisu i jego wydajność w obliczeniach. Wprowadził też stosowany do dzisiaj, między innymi w świecie anglosaskim, zwyczaj grupowania cyfr po trzy i oddzielania tych grup przecinkami przy zapisie dużych liczb – jak w liczbie 1,456,386 – chyba że liczba ta oznacza rok – stąd rok 2000, a nie 2,000. Jego książkę przetłumaczono na łacinę i od XII wieku była ona powszechnie znana w Europie.

Tymczasem w Europie przy reprezentowaniu liczb trzymano się słów i znaków greckich aż do X wieku, kiedy to powstały dwa systemu zapisu – „wschodnie” i „zachodnie” cyfry arabskie. Co ciekawe, w systemach tych przyjęte zostały wszystkie cyfry indyjskie 1–9, ale nie symbol zera. Zamiast tego opracowano zmodyfikowany zapis pozycyjny. Gdy cyfra oznaczała liczbę dziesiątek, umieszczano nad nią kropkę (tak więc 5 z pojedynczą kropką na górze oznaczało 50), jeśli oznaczała liczbę setek, umieszczano tam dwie kropki i tak dalej. Tak więc liczba 324 wyglądałaby następująco – 324, 320 – 32, zaś 302 – 32. Arabowie ze wschodu wprowadzili natomiast okrąg jako symbol zera i w pełni dopasowali swój system zapisu do konwencji indyjskiej.

Wprowadzenie do Europy i rozpowszechnienie indyjsko-arabskiego zapisu liczbowego przypisuje się tradycyjnie Francuzowi Gerbertowi z Aurillac. Poznał on matematykę i naukę arabską podczas swojego długiego pobytu w Hiszpanii, w późniejszym zaś życiu miał wielki wpływ na kształt edukacji teologicznej we Francji i całej Europie. Pomimo skromnych początków, otrzymał solidne wykształcenie w klasztorze w Aurillac, piastując następnie szereg wysokich stanowisk kościelnych, najpierw jako opat w Rawennie, potem arcybiskup Reims, obejmując ostatecznie w 999 roku Stolicę Piotrową jako papież Sylwester II. Gerbert był pierwszym Europejczykiem, który wyprowadził system indyjsko-arabski poza Hiszpanię i jednym z najważniejszych matematyków swoich czasów. W jego pismach omawiana jest między innymi geometria, astronomia i techniki obliczeniowe – niezwykły przypadek papieża matematyka.