Książka o Niczym

Tekst
0
Recenzje
Przeczytaj fragment
Oznacz jako przeczytane
Jak czytać książkę po zakupie
Czcionka:Mniejsze АаWiększe Aa

Fizycy wątpili jednak, czy możliwe jest wytworzenie prawdziwej próżni. Uważano, że Wszechświat wypełniony jest przez ocean eterycznej substancji, w której poruszamy się, nie wywierając nań żadnego mierzalnego wpływu. Naukowcy w XVIII i XIX wieku zmagali się z tym ulotnym płynem i z próbami wyjaśnienia przy jego udziale na nowo odkrytych sił elektrycznych i magnetycznych. Został on ostatecznie wygnany z gmachu fizyki dopiero za sprawą ostrego jak brzytwa umysłu Einsteina i talentu eksperymentatorskiego Michelsona. Pokazali oni, że kosmiczny eter nie jest konieczny, a dowody na jego istnienie są nieprzekonujące. W 1905 roku kosmiczna próżnia znów stała się możliwa.

Sytuacja jednak ponownie uległa zmianie. Nowa, spektakularna teoria grawitacji Einsteina pozwalała na precyzyjne matematyczne opisanie przestrzeni całkowicie pozbawionej masy i energii. Mogły więc istnieć puste wszechświaty.

Czegoś jednak brakowało w opisie najmniejszych składników świata. Rewolucja kwantowa pokazała nam, że dawny obraz próżni jako pustego pudełka jest nie do utrzymania. Próżnię należy raczej rozumieć jako stan pudełka po usunięciu z niego wszystkiego tego, co da się usunąć. Nie oznacza to jednak, że pudełko jest puste. Tym, co pozostaje, jest raczej najniższy dostępny stan energetyczny – taki, że wszelkiego typu zakłócenia lub wpływy z zewnątrz powodują podwyższenie jego energii.

Z biegiem lat ta nowa egzotyczna wizja kwantowej Nicości zaczęła poddawać się badaniom eksperymentalnym. Niestrudzone wytwarzanie sztucznej próżni przez naukowców pod koniec XIX wieku doprowadziło do powstania wielu użytecznych i powszechnie dziś znanych urządzeń, jak lampy próżniowe, żarówki czy lampy rentgenowskie. Rozpoczął się podbój „pustej” przestrzeni. Fizycy odkryli, że ich asekuracyjna definicja próżni jako tego, co pozostaje po usunięciu wszystkiego, co da się usunąć, nie była tak niemądra, jak by się mogło wydawać. Rzeczywiście zawsze coś zostaje – energia próżni przenikająca każdy zakątek Wszechświata. Ta wszechobecna, niedająca się usunąć energia próżni została w końcu wykryta i pokazano, że jej obecność jest fizycznie namacalna. Jej prawdziwe znaczenie dla struktury Wszechświata zostało jednak odkryte dopiero względnie niedawno. Jak się okazuje, świat może posiadać wiele różnych stanów próżniowych. W określonych warunkach może nastąpić przejście między dwoma takimi stanami – ze spektakularnymi konsekwencjami tego procesu. Co ciekawe, wydaje się, że tego typu przejścia trudno jest uniknąć przy opisie pierwszych chwil rozszerzania się Wszechświata. Jeszcze ciekawszy jest fakt, że owo przejście może prowadzić do szeregu interesujących skutków, co pozwala ostatecznie na wyjaśnienie wielu niezwykłych właściwości Wszechświata, które wydawały się być wcześniej owiane całkowitą tajemnicą.

Na koniec pozostaną nam dwie kosmologiczne tajemnice dotyczące Niczego. Pierwsza z nich ma starożytny rodowód – jest to problem stworzenia Czegoś z Niczego i pytanie o to, czy Wszechświat miał początek. Jeśli tak, to z czego się wyłonił? Jakie są religijne źródła takiego poglądu i jaki jest dzisiaj jego status naukowy? Druga tajemnica jest nam czasowo bliższa. Łączą się w niej wszystkie współczesne przejawy próżni, opis grawitacji i nieunikniona obecność energii w próżni kwantowej. Einstein pokazał nam, że Wszechświat może być wyposażony w tajemniczą postać energii próżni. Aż do niedawna obserwacje astronomiczne mówiły nam tylko tyle, że jeśli ta energia rzeczywiście istnieje i wywiera wpływ na cały Kosmos, to jej intensywność musi być nieprawdopodobnie mała, aby nie zdominowała reszty Wszechświata. Fizycy nie mają pojęcia, dlaczego jej wpływ na ewolucję Kosmosu pozostaje tak niewielki. Wydaje się, że taka energia po prostu nie istnieje. Musi istnieć jakieś proste prawo przyrody, wciąż czekające na odkrycie, które przywraca próżnię i ustala wartość energii próżni na poziomie zera. Musimy jednak porzucić nadzieję na tak proste rozwiązanie. W 1998 roku dwa zespoły astronomów połączyły moc najpotężniejszych ziemskich teleskopów z niemającą sobie równych mocą optyczną Kosmicznego Teleskopu Hubble’a i zgromadziły przekonujące dowody na realność kosmicznej energii próżni. Jej działanie jest spektakularne. Okazuje się ona przyspieszać rozszerzanie się Wszechświata. Jeśli energia ta jest naprawdę czymś realnym, to wyznaczy ona przyszłe losy Wszechświata i zdeterminuje jego koniec.

Czy istnieje lepszy moment, by zacząć opowieść o Niczym?


Rozdział 1

Zero – cała prawda

Czyż to nie dziwne, że wiemy więcej o rzeczach, które nie istnieją, niż o rzeczach, które istnieją?[1]

Alfréd Rényi

Okrągłe liczby są zawsze nieprawdziwe[2].

Samuel Johnson

Pochodzenie zera

Wielka tajemnica zera polega na tym, że umknęło nawet Grekom[3].

Robert Logan

Gdy z perspektywy czasu patrzymy na system liczbowy, którego nauczyliśmy się w szkole, zero wydaje się być jego najłatwiejszą częścią. Zerem określamy stan, kiedy nic już nie pozostało – na przykład w wyniku działania 6–6=0. Pomnożenie dowolnej liczby przez zero daje podobny rezultat, na przykład – 5×0=0. Zero stosowane jest również do oznaczenia stanu pustki, wskazania jakiejś pustej pozycji, jak na przykład w zapisie liczby 101.

Są to tak elementarne kwestie – znacznie prostsze od dzielenia pod kreską, twierdzenia Pitagorasa czy algebry – że może się wydawać, iż zero pojawić by się mogło jako jeden z pierwszych składników arytmetyki w każdym systemie liczbowym na świecie, podczas gdy bardziej zaawansowane idee, jak geometria czy algebra, występowałyby tylko w bardziej zaawansowanych kulturach. Stało się jednak inaczej. Starożytni Grecy, którzy rozwinęli logikę i geometrię stanowiącą podstawę całej współczesnej matematyki, nigdy nie wprowadzili symbolu zera. Byli bardzo podejrzliwi wobec tego pomysłu. Tylko trzy cywilizacje korzystały z zera – a każda z nich rozwinęła się z dala od tak zwanych kultur Zachodu i każda inaczej ujmowała rolę i znaczenie zera. Dlaczego ludziom Zachodu tak trudno było zrozumieć ideę zera? I w jaki sposób idea ta łączy się z pojęciem Niczego?

Rok 1999 dobiegał końca, gazety coraz więcej miejsca poświęcały zbliżającej się rzekomo pluskwie milenijnej. Przyczyną narastającej zbiorowej histerii, bezsenności, lęku o oszczędności i utraty spokoju ducha był symbol „zera” – a mówiąc ściślej, dwa takie symbole. Gdy powstawały programy komputerowe, które dziś kontrolują nasz transport i system bankowy, komputery miały skromne zasoby pamięci i była ona znacznie droższa niż dzisiaj[4]. Oszczędność pamięci oznaczała więc również oszczędność finansową. Dlatego komputery nie zapisywały pełnych dat rocznych w swojej pamięci – na przykład 1965, a jedynie dwie ostatnie cyfry – czyli 65. Nikt nie zastanawiał się nad tym, co się stanie w roku 2000, gdy komputery będą musiały jakoś zinterpretować obciętą „datę” 00. A przecież tym, czego komputery nie znoszą ponad wszystko, jest dwuznaczność. Co oznacza 00 dla komputera? Dla nas jest oczywiste, że chodzi o rok 2000. Komputer nie wie jednak, czy nie ma to raczej oznaczać roku 1900 albo w zasadzie dowolnego innego, na przykład 1800. Nagle mogło się okazać, że twoja karta kredytowa jest już nieważna od dziewięćdziesięciu dziewięciu lat. Urodziłeś się w 1905 roku? Komputer mógł wkrótce wysyłać ci formularze zgłoszeniowe do szkoły podstawowej. Na szczęście ostatecznie sprawy nie potoczyły się tak źle, jak przewidywali pesymiści[5].

Wykonywanie obliczeń to jedna z tych umiejętności, obok czytania, do których jesteśmy przysposabiani od pierwszych dni edukacji szkolnej. Ludzkość pobierała te same nauki przez tysiące lat. I choć istnieje wiele języków, a ich różnorodność bywa promowana jako żywy symbol tożsamości i odrębności narodowej, liczenie jest prawdziwie uniwersalną składową każdej kultury. Pomimo istnienia w historii ludzkości ogromnej liczby języków i systemów zapisu, turysta z sąsiedniej gwiazdy wizytujący dziś Ziemię mógłby być przyjemnie zaskoczony jednolitością naszych systemów liczbowych. System ów wygląda wszędzie tak samo – dziesięć cyfr: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 0 oraz prosty sposób na reprezentowanie dowolnej liczby – prawdziwie uniwersalny język symboli. W różnych językach występują różne słowa na nazywanie tych symboli, one same pozostają jednak niezmienne. Liczby to największe wspólne doświadczenie ludzkości.

Najbardziej oczywistą cechą definiującą nasz system liczbowy jest jego podstawa dziesiętna. Liczymy dziesiątkami – dziesięć jedności daje 10; dziesięć dziesiątek daje 100 i tak dalej. Tego samego wyboru dokonano w wielu kulturach, a przyczyną jest bezpośredni dostęp do dziesięciu palców, naszego pierwszego „sprzętu liczącego”. W niektórych bardziej rozwiniętych kulturach podstawa ta jest rozszerzona do liczby 20 (biorąc pod uwagę palce u stóp), istnieją też mniej rozwinięte systemy liczenia, które opierają się na liczbach 2 lub 5[6]. Wyjątki są tak rzadkie, że warto o nich wspomnieć. U jednego z plemion Indian z Ameryki Północnej występuje system liczenia oparty na 8. Z początku może się to wydawać dziwne, wystarczy jednak zwrócić uwagę na fakt, że system ten również opiera się na palcach – liczonych jest jednak nie dziesięć palców, a osiem przerw między nimi.

Nie trzeba być historykiem matematyki, aby zdać sobie sprawę, że w przeszłości w użyciu były inne systemy liczbowe. Wciąż można odnaleźć ślady takich systemów odbiegających od systemu dziesiętnego. Czas mierzymy w wielokrotnościach liczby 60 – jest 60 sekund w minucie i 60 minut w godzinie, a konwencja ta została przeniesiona na pomiar kątów, co pokazuje kompas lub zwykły kątomierz. Relikty tego typu najtrwalej przechowuje język – w języku polskim mówimy na przykład, że nie widzieliśmy się kopę – czyli 60 – lat. W języku francuskim występują ślady liczenia przy użyciu wielokrotności liczby 20[7] – 80 i 90 to, odpowiednio, quatre-vingts i quatre-vingt-dix, czyli „cztery dwudziestki” i „cztery dwudziestki i dziesięć”. W świecie handlu posługujemy się zaś tuzinami i kopami, co może być świadectwem występowania niegdyś systemu dwunastkowego.

 

Dziesięć cyfr 0–9 jest używanych powszechnie na całym świecie, jednak otaczają nas ślady innych systemów zapisu. Cyfry rzymskie pojawiają się przy zapisie następstwa dynastycznego – stąd król Henryk VIII – lub w innych sferach życia czerpiących z tradycji – jak przy zapisie godzin na tarczach zegarów. Cyfry rzymskie różnią się jednak od tych, które stosujemy w arytmetyce. Nie ma tu znaku oznaczającego zero. Inne jest również znaczenie symboli w liczbie. Zapis 111 interpretujemy jako 100+10+1=111. Dla Juliusza Cezara zapis 111 oznaczałby jednak 1+1+1=3. Te dwa brakujące składniki – cyfra zero oraz znaczenie pozycji przy odczytywaniu wartości zapisu symbolicznego – to cechy będące sednem prawdziwie wydajnych systemów liczbowych.

Egipt – z potrzeby Niczego

Nagromadził więc Józef tyle zboża, ile jest piasku morskiego; takie mnóstwo, że już przestano mierzyć, bo nie można było zmierzyć[4*].

Rdz 41, 49

Najstarsze rozwinięte systemy liczbowe były używane w starożytnym Egipcie i przez Sumerów w Południowej Babilonii na obszarze obecnego Iraku nawet trzy tysiące lat przed naszą erą. Najstarszy egipski system hieroglificzny[8] opierał się na wielokrotnym powtarzaniu symboli oznaczających 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 i 1000000. Symbole te przedstawia rysunek 1.1. Egipskie symbole reprezentujące liczby od 1 do 10 są bardzo proste i składają się z odpowiedniej liczby pionowych kresek | oznaczających liczbę 1 – 3 to po prostu | | |. Symbole większych potęg 10 są już bardziej malownicze – 10 to odwrócona litera U, 100 to kłębek liny, 1000 to kwiat lotosu egipskiego, 10000 to zgięty palec, 100000 to ryba, żaba lub kijanka, a 1000000 to sylwetka ludzka z ramionami wzniesionymi ku niebu.


Rys. 1.1. Egipskie cyfry hieroglificzne

Za wyjątkiem symbolu jedności nie wydają się one mieć nic wspólnego z wielkościami, które symbolizują. Niektóre związki mają prawdopodobnie charakter fonetyczny – słowa oznaczające obiekt reprezentowany przez dany hieroglif brzmią podobnie do słów używanych do określenia danej wielkości. Jedynie zgięty palec symbolizujący liczbę 10000 wydaje się prowadzić nas do systemu liczenia na palcach. Co do sensu pozostałych symboli pozostają nam tylko domysły. Być może kijanki były tak liczne w Egipcie na wiosnę, gdy młode żaby wykluwały się z jaj, że zaczęły symbolizować wielką ilość; być może milion był po prostu liczbą tak wielką, że zapierała dech w piersiach tak samo, jak widok rozgwieżdżonego nieba nad naszymi głowami[5*].

Symbole zapisywano różnie zależnie od tego, czy miały być czytane od prawej strony do lewej czy odwrotnie.

Zwykle hieroglify zapisywano od prawej strony ku lewej, stąd przypuszczalny zapis liczby 3225578 przedstawiony na rysunku 1.2.

Jeden z najstarszych przykładów wykorzystania tych symboli pojawia się na trzonku pałki trzymanej przez króla Narmera, który żył w okresie pomiędzy 3000 a 2900 rokiem przed naszą erą. Odnotowują one fakt, że w trakcie jednej z jego zwycięskich kampanii wzbogacił się on o 400000 byków, 1422000 kozłów i 120000 jeńców. Symbole oznaczające te liczby można dostrzec na rysunku 1.3, pod rysunkami przedstawiającymi byka, kozła i siedzącą postać ludzką.


Rys. 1.2. Hieroglify składające się na zapis liczby 3225578

Kolejność zapisu symboli nie ma znaczenia, ponieważ kolejnym liczbom 1, 10, 100... odpowiadają odmienne symbole.

Hieroglif ∩∩ | | | oznaczałby dokładnie tę samą liczbę, gdyby składające się na niego znaki zapisać w odwrotnej kolejności. Symbole można w zasadzie zapisać w zupełnie dowolnej kolejności bez wpływu na to, jaką liczbę będą one reprezentować. Egipskich kamieniarzy obowiązywały jednak ścisłe reguły zapisu liczb – symbole miały być zapisywane od prawej strony do lewej, poczynając od symboli reprezentujących największe liczby, i być umieszczane w jednej linii poniżej symbolu obiektu, którego liczebność podawano. Pojawiła się jednak tendencja, którą przedstawia rysunek 1.4, aby grupować podobne symbole w dwóch lub trzech liniach, co miało ułatwić czytelnikowi odczytanie pełnej liczby.


Rys. 1.3. Hieroglify wyryte na rączce pałki bojowej króla Narmera[9] (lata 3000–2900 p.n.e.)

Widać więc, że kolejność zapisu egipskich symboli liczbowych nie niesie ze sobą żadnych informacji, przez co nie pojawia się potrzeba ustalenia symbolu dla zera. Gdy symbole liczbowe mogą być umieszczane w dowolnej kolejności bez wpływu na to, którą liczbę reprezentuje dane wyrażenie, nie ma możliwości, aby pojawiło się „puste miejsce”, niepotrzebny jest więc symbol mający je reprezentować. Zero staje się potrzebne, gdy nie ma czego liczyć – w takim razie po prostu nie zapisuje się żadnych symboli. System egipski jest więc wczesnym przykładem systemu dziesiątkowego (jednostką zbiorczą jest 10), w którym pozycja symboli nie przekazuje żadnych informacji. W tego typu systemie nie ma miejsca na symbol zera.


Rys. 1.4. Grupowanie symboli liczbowych

Babilon – policzono, zważono, podzielono

W tej chwili ukazały się palce ręki ludzkiej i pisały za świecznikiem na wapnie ściany królewskiego pałacu. [...] A oto nakreślone pismo: mene, mene, tekel ufarsin. Takie zaś jest znaczenie wyrazów: Mene – Bóg obliczył twoje panowanie i ustalił jego kres. Tekel – zważono cię na wadze i okazałeś się zbyt lekki. Peres – twoje królestwo uległo podziałowi [...][10].

Dn 5, 5, 25–28

Najwcześniejszy system sumerski, będący w użyciu około roku 3000 przed naszą erą, był bardziej złożony niż ten stosowany przez Egipcjan i wydaje się, że powstały one niezależnie. Został on później przyjęty przez Babilończyków, tak więc te dwie cywilizacje zwykle traktuje się jako dwa nurty tego samego prądu kulturowego. Motywacją dla stworzenia systemu zliczania i zapisu liczb były początkowo kwestie administracyjne i ekonomiczne. Babilończycy przechowywali szczegółowe zapisy dokonywanych transakcji handlowych i wypłat oraz posiadanych zapasów. Często zdarza się, że na jednej stronie tabliczki znajduje się szczegółowa lista przedmiotów, a na drugiej stronie odnotowana jest suma łączna.

System liczbowy we wczesnym Sumerze nie był wyłącznie dziesiątkowy. Liczebności przedmiotów powszechnie odnotowywano przy użyciu podstawy dziesiętnej, ale istniał też alternatywny system o podstawie 60[11].

Echem tego właśnie systemu jest fakt, że godzina składa się z 60 minut, a minuta z 60 sekund. Przeliczenie 10 godzin, 10 minut i 10 sekund na sekundy to praktyczne ćwiczenie z działania systemu sześćdziesiątkowego. Łącznie jest to (10×60×60)+(10×60)+10=36000+600+10=36610 sekund.

Sumerowie mieli osobne słowa na liczby 1, 60, 60×60, 60×60×60 i tak dalej. Mieli ponadto słowa na liczby 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 10 oraz wielokrotności dziesięciu mniejsze od 60. Liczbie 20 przyporządkowane było osobne słowo (niezwiązane ze słowami oznaczającymi liczby 2 i 10), ale „trzydzieści” było słowem złożonym oznaczającym „trzy dziesiątki”, „czterdzieści” to „dwie dwudziestki”, a „pięćdziesiąt” to „czterdzieści i dziesięć”. Elementy z podstawy dziesiętnej i dwudziestkowej przeplatały się więc, aby ułatwić poruszanie się pomiędzy liczbami 1 i 60.

Podczas gdy Egipcjanie ryli znaki w kamieniu za pomocą młotka i dłuta lub malowali je trzcinkami na papirusie, Sumerowie pisali za pomocą znaków robionych w wilgotnych glinianych tabliczkach. Kamień nie był pospolitym materiałem w Sumerze, a inne materiały jak papirus lub drewno mogłyby rozpaść się lub przegnić – a glina była jednak powszechnie dostępna. Inskrypcje wykonywane były poprzez wciśnięcie w wilgotną glinę jednego z dwóch rylców w kształcie ołówków o różnej szerokości. Jeden koniec rylca był tępy i pozwalał na pozostawianie w glinie trójkątnych lub okrągłych karb, podczas gdy drugi koniec był zaostrzony i pozwalał na rysowanie linii. Zaostrzonej końcówki używano do pisania, a tępej do zapisywania liczb. Pierwotnie stosowane symbole przedstawiono na rysunku 1.5.


Rys. 1.5. Figury na glinianych tabliczkach reprezentujące cyfry sumeryjskie

Symbole liczb[12] zwykle umieszczano na przedstawieniu rzeczy, którą liczono. Posiadają one jedną nową cechę nieobecną w systemie egipskim. Symbol liczby 600 łączy w sobie duże nacięcie reprezentujące 60 oraz mały okrąg reprezentujący 10. Analogicznie, symbol liczby 36000 to połączenie dużego okręgu, oznaczającego 3600, z małym okręgiem oznaczającym 10. Ten oszczędny system prowadzi do zapisu multiplikatywnego, czyli opartego na mnożeniu. Oznacza to, że trzeba nauczyć się mniejszej liczby symboli, a symbole reprezentujące większe liczby cechują się wewnętrzną logiką, dzięki której można je tworzyć na bazie symboli mniejszych liczb bez tworzenia zupełnie nowych symboli. Warto jednak zauważyć, że prowadzi to do konieczności wykonywania w myślach obliczeń za każdym razem, gdy odczytuje się jakąś dużą liczbę. System ten jest addytywny, czyli oparty na dodawaniu, tak więc nie ma znaczenia, w jakiej kolejności występują symbole na danej tabliczce. Podobne symbole grupowano jednak ze względów stylistycznych i dla wygody – tak jak robiono to w Egipcie. Początkowo znaki łączono w pary. Przykładowo, liczbę 4980 rozbijano na składniki w następujący sposób: 4980=3600+1380=3600+600+600+60+60+60, a następnie zapisywano w sposób pokazany na rysunku 1.6, jako że tabliczki odczytywano od prawej strony do lewej i od góry do dołu.


Rys. 1.6. Liczba 4980 zapisana zgodnie z systemem sumeryjskim (przed 2700 r. p.n.e.)

Problematyczną cechą tego systemu jest jednak konieczność stawiania olbrzymiej liczby znaków przy zapisywaniu dużych liczb niebędących całkowitymi wielokrotnościami liczby 60. Aby obejść ten problem, skrybowie rozwinęli prosty zapis oparty na odejmowaniu, gdzie symbol „skrzydełka” pełni rolę znaku „minus”, tak więc liczbę 59 można było zapisać jako „60 minus 1” przy użyciu trzech symboli (rys. 1.7) zamiast 14 znaków, których trzeba by użyć przy „normalnej” transkrypcji[13].


Rys. 1.7. Liczba 59 zapisana jako „60 minus 1”

Przed rokiem 2600 przed naszą erą w sumeryjskim systemie zapisu liczb nastąpiła istotna zmiana. Przyczyną był rozwój technologiczny polegający na ewolucji kształtu przyrządu do pisania. Wprowadzono bowiem rylec klinowaty, za pomocą którego możliwe było rysowanie delikatniejszych linii oraz klinowatych znaków różnych rozmiarów. System ten określa się dziś mianem pisma klinowego[14], a do reprezentowania liczb stosowane były w nim tylko dwa znaki – pionowy klin oznaczający jeden oraz znak w kształcie odwróconej na bok litery V oznaczający dziesięć (rys. 1.8).


Rys. 1.8. Klinowate znaki powstałe przez odciśnięcie obu końcówek rylca, oznaczające liczby 1 i 10

Wciąż możliwe było łączenie symboli w celu wyrażania większych liczb na bazie mniejszych. Gdy symbole oznaczające liczby 60 i 10 stykały się ze sobą, oznaczało to przemnożenie ich wartości (600), jeśli jednak zachowano odstęp, oznaczało to sumowanie (70). Łatwo sobie wyobrazić, że dla uniknięcia pomyłek przy odczytywaniu symboli potrzebna była wielka staranność przy ich zapisywaniu. W systemie sumeryjskim problem ten został zażegnany, ponieważ poszczególne znaki bardziej różniły się od siebie.

 

Kolejnym problemem było odróżnienie od siebie symboli liczb 1 i 60. Kształty tych symboli to identyczne kliny, które początkowo odróżniano od siebie poprzez zwiększenie rozmiarów klina oznaczającego 60. Później znak symbolizujący 60 oddzielono od tych oznaczających liczby mniejsze od dziewięciu. Zapis liczby 63 przedstawia rysunek 1.9.


Rys. 1.9. Dwa sposoby na zapisanie liczby 63: (a) poprzez powiększenie symbolu oznaczającego 60; (b) poprzez pozostawienie odstępu między symbolem liczby 60 i trzema symbolami oznaczającymi łącznie 3

W historii świata można odnaleźć wiele innych systemów liczbowych, które opierały się na podobnych zasadach ogólnych. Aztekowie (1200 r.) mieli system addytywny, w którym istniały osobne symbole dla liczb 1, 20, 400=20×20 oraz 8000=20×20×20. Grecy (500 r. p.n.e.) wykorzystywali system dziesiętny z odrębnymi symbolami dla liczb 1, 10, 100, 1000 i 10000, ale uzupełniony był on o dodatkowy symbol dla liczby 5, który można było dodawać do pozostałych symboli, aby oznaczać liczby 50, 500 czy 5000 (zob. rys. 1.10).

Wszystkie tego typu systemy są nieporęczne i czasochłonne, gdy przychodzi do wykonywania obliczeń, przy których niezbędne jest mnożenie lub dzielenie. Sam zapis nie ułatwia pracy jego użytkownikowi; jest tylko sposobem na wygodne i oszczędne odnotowywanie liczb. Kolejnym krokiem w rozwoju systemów liczbowych, krokiem, który miał doprowadzić do wynalezienia symbolu zera, było wprowadzenie systemu pozycyjnego, czyli takiego, w którym wartość symbolu zależy od jego pozycji. Pozwalało to na korzystanie z mniejszej liczby symboli, ponieważ ten sam symbol mógł mieć inne znaczenie zależnie od położenia lub szerszego kontekstu.


Rys. 1.10. Przykładowy zapis liczby 6668 w systemie greckim, który odnotowano po raz pierwszy około 500 roku przed naszą erą. Większe liczby tworzyło się poprzez kombinacje ustalonych symboli

System pozycyjny pojawił się po raz pierwszy w Babilonii około 2000 roku przed naszą erą. Było to rozszerzenie zapisu klinowego i starego addytywnego systemu o podstawie 60 o informacje pozycyjne. Był on używany częściej w matematyce i astronomii niż w codziennej księgowości, ponieważ stary system pozwalał na szybkie ocenienie względnej wielkości każdej liczby. Wielu skrybów musiało więc ćwiczyć się w korzystaniu z obu systemów. Stosowano go natomiast do zapisywania dekretów królewskich, musiał więc być rozumiany przez znaczną grupę mieszkańców Babilonii. Liczba 10292 zostaje w tym systemie najpierw przedstawiona jako (2; 51; 32)=(2×60×60)+(51×60)+32, a następnie zapisana pismem klinowym na sposób przedstawiony na rysunku 1.11.


Rys. 1.11. Liczba 10292 zapisana pismem klinowym

Jest to całkowicie analogiczne do stosowanego przez nas zapisu liczby 123 jako (1×10×10)+(2×10)+3. W zapisie tego typu poszukiwana liczba uzyskiwana jest po prostu poprzez zliczenie, ile razy występuje kolejna potęga liczby 10. System babiloński stosujemy jednak wciąż do pomiaru czasu – 7 godzin, 5 minut i 6 sekund to po prostu (7×60×60)+(5×60)+6=25506 sekund.

Najstarszy pozycyjny system dziesiętny pojawił się dopiero około 200 roku przed naszą erą, kiedy to Chińczycy wprowadzili układ pozycyjny do swojego starego systemu o podstawie 10. Ich symbole liczbowe na bazie patyczków wraz z demonstracją, jak sprawują się przy zapisie pozycyjnym, pokazano na rysunku 1.12.


Rys. 1.12. (a) Chińskie cyfry patyczkowe. Są to reprezentacje bambusowych prętów lub kościanych patyczków do liczenia. Symbole te obracano, jeśli znalazły się w pozycji dziesiątkowej lub tysięcznej, co przedstawia (b), a wynikający z tej konwencji zapis liczby 6666 przedstawia (c)

Problem pustej pozycji i babilońskie zero

Nie ma wystarczająco dużo małych liczb, żeby zaspokoić zapotrzebowanie na nie[15].

Richard K. Guy

Opisany wyżej rozwój systemów generował kilka problemów ubocznych. System babiloński był tak naprawdę hybrydą systemu pozycyjnego i addytywnego, ponieważ informację, ile razy należy zliczać kolejne potęgi 60, wciąż oznaczano na sposób addytywny. Mogło to prowadzić do dwuznaczności, jeśli nie pozostawiono wystarczająco dużo miejsca pomiędzy kolejnymi pozycjami reprezentującymi kolejne potęgi 60. Przykładowo, zapis liczby 610=(10; 10)=(10×60)+10 można łatwo odczytać jako 10+10, co przedstawia rysunek 1.13.


Rys. 1.13. Babiloński zapis liczb 610 i 20, które można łatwo ze sobą pomylić

Zwykle radzono sobie z tym problemem poprzez wyraźne oddzielanie kolejnych potęg 60. Ostatecznie, aby struktura zapisu była całkowicie jednoznaczna, wprowadzono symbol separatora. Składał się on z dwóch klinowatych znaków umieszczonych jeden na drugim, co pokazuje rysunek 1.14.


Rys. 1.14. Babilończycy jako pierwsi wprowadzili znak separatora, aby oznaczać puste miejsca w zapisach liczb. Miały one kształt podwójnej litery V, a ich zapis w piśmie klinowym to dwa nachodzące na siebie odciśnięcia rylca. Pokazany tu przykład pochodzi z tabliczki zawierającej zapis obserwacji astronomicznych, której powstanie szacuje się na okres pomiędzy końcem III a początkiem II wieku przed naszą erą

Kłopoty z interpretacją byłyby jeszcze większe, gdyby zabrakło wpisu na którejkolwiek pozycji. Odczytanie odstępów pomiędzy znakami stałoby się jeszcze trudniejsze. Wystarczy sobie wyobrazić, że w używanym przez nas systemie nie ma zera, przez co zapis liczby 72 (siedemdziesiąt dwa) różni się wyłącznie odstępem między znakami od liczby 7 2 (siedemset dwa). Już sam fakt, że w owym czasie konkurowały ze sobą różne systemy zapisu liczb, powodował wystarczająco dużo problemów, czemu nie zaradziła konieczność odróżniania od siebie nie tylko liczb 72 i 7 2, ale też 7 2 (siedem tysięcy i dwa). Im więcej odstępów między znakami, tym trudniej oceniać, którą liczbę zapisano[16]. To właśnie dlatego systemy pozycyjne ostatecznie musiały wzbogacić się o symbol „zera” oznaczający pusty wpis w pozycyjnej reprezentacji liczby. Im bardziej zaawansowana gospodarka, tym silniejsza potrzeba, aby go wprowadzić. Przez niemal 1500 lat Babilończycy radzili sobie bez symbolu „pustej pozycji” w zapisach opartych na różnych potęgach 10 i 60; w odpowiednich miejscach pozostawiano po prostu pustą przestrzeń. Pomyślne stosowanie takiego systemu wymagało od nich doskonałej orientacji w skali problemów astronomicznych i matematycznych, z którymi mieli do czynienia – tak, że duże niezgodności z oczekiwanymi wielkościami były natychmiast zauważane.

Przyjęte przez Babilończyków rozwiązanie problemu pustej pozycji polegało na wykorzystaniu jednej z odmian starego znaku separatora do oznaczenia, że na określonej pozycji ma się znaleźć pusty wpis. Pierwszy raz rozwiązanie to pojawiło się na piśmie w IV wieku przed naszą erą, ale możliwe, że było w użyciu już wiek wcześniej – istnieje niewiele dokumentów wcześniejszych, a te pochodzące z wieku IV mogą być kopiami starszych tekstów. Rysunek 1.15 pokazuje typowy przykład użycia babilońskiego zera – 3612=1×(60×60)+(0×60)+(1×10)+2.


Rys. 1.15. Przykład użycia babilońskiego zera z III lub II wieku przed naszą erą. Liczbę 3612 zapisano tu jako (1×60×60)+(0×60)+(1×10)+2

Astronomowie babilońscy[17] obficie korzystali z zera na końcach sekwencji znaków, na przykład, aby odróżnić zapisy liczb 60 i 1, co przedstawia rysunek 1.16.


Rys. 1.16. Liczbę 60 w zapisach astronomicznych umieszczano także na końcu ciągu znaków

Staje się więc jasne, że zero babilońskie funkcjonowało na sposób podobny do naszego zera. Pojawiło się najpierw, podobnie jak zapis pozycyjny, jako dogodny skrót stosowany przez babilońskich matematyków. To zapewniło jego obecność w babilońskiej astronomii, zaś jej potężny i nieustający wpływ na kulturę zagwarantował babilońskiemu systemowi liczbowemu trwałą obecność w dziejach.

Było to punktem kulminacyjnym rozwoju Babilonii – pierwsza symboliczna reprezentacja zera w dziejach kultury ludzkiej. Patrząc z perspektywy lat, można się dziwić, dlaczego przejście od zapisu pozycyjnego do systemu z wyodrębnionym symbolem zera zajęło ponad półtora tysiąca lat.

Nie należy jednak utożsamiać całkowicie zera babilońskiego z naszym. Dla skrybów, którzy odciskali podwójny znak klina na glinianych tabliczkach, symbole te oznaczały wyłącznie „pustą pozycję” w zapisach księgowych. Owemu babilońskiemu „nic” brakowało innych odcieni znaczeniowych. Nikomu nie przyszłoby do głowy zapisać symbol zera jako wyniku działania 6–6=0. Nigdy nie wykorzystywano go, by wyrazić wynik takiej operacji, po wykonaniu której nic nie zostało. Tego typu stan opisywano zawsze słowami. Babilońskie zero nie było też uwikłane[18] w metafizyczne zagadnienia Nicości. Brak jest w ogóle jakiegokolwiek typu abstrakcyjnego przeplatania się kwestii matematycznych i metafizycznych. Babilończycy byli po prostu bardzo dobrymi księgowymi.