Teoretyczne minimumTekst

Przeczytaj fragment
Oznacz jako przeczytane
Jak czytać książkę po zakupie
Czcionka:Mniejsze АаWiększe Aa

Interludium 1.

Przestrzenie, trygonometria i wektory

– Gdzie jesteśmy, George?

George wyciągnął mapę i rozłożył ją przed Lennym.

– Jesteśmy tutaj, współrzędne 36,60709N – 121,618652W.

– Co? Co to są współrzędne, George?

Współrzędne

Aby podać ilościowy opis punktów, musimy mieć układ współrzędnych. Tworzenie układu współrzędnych zaczyna się od wyboru punktu w przestrzeni, który stanie się początkiem układu. Niekiedy przy wyborze tego punktu kieruje się tym, by rozważane równania miały prostą postać. Na przykład teoria Układu Słonecznego stałaby się bardziej skomplikowana, gdybyśmy za początek układu uznali jakikolwiek punkt inny niż Słońce. Ujmując rzecz dokładniej, punkt początkowy może mieć dowolne położenie, ale gdy już zostanie wybrany, należy się konsekwentnie trzymać tego ustalenia.

W następnym kroku trzeba wybrać trzy prostopadłe osie. Ich położenie jest również dowolne, pod warunkiem że wszystkie będą do siebie prostopadłe. Osie zazwyczaj oznacza się symbolami x, y, z, ale równie dobrze możemy skorzystać z oznaczeń x1, x2, x3. Taki układ osi nosi nazwę układu współrzędnych kartezjańskich i pokazany jest na ilustracji 1.


Ilustracja 1. Trójwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich

Załóżmy, że chcemy opisać pewien punkt w przestrzeni. Nazwijmy ten punkt P. Można go zlokalizować, podając jego współrzędne x, y, z. Innymi słowy, możemy utożsamić punkt P z trzema uporządkowanymi liczbami (x, y, z) – spójrz na ilustrację 2.


Ilustracja 2. Punkt w przestrzeni kartezjańskiej

Współrzędna x wyraża najkrótszą możliwą odległość punktu P od płaszczyzny zdefiniowanej przez warunek x = 0 (spójrz na ilustrację 3). W podobny sposób rozumiemy współrzędne y i z. Ponieważ współrzędne wyrażają odległość, mierzymy je w jednostkach długości, takich jak na przykład metry.


Ilustracja 3. Płaszczyzna zdefiniowana przez warunek x = 0 i odległość między tą płaszczyzną a punktem P mierzona wzdłuż osi x.

Gdy zaczniemy rozważać ruch, będziemy również musieli śledzić upływ czasu. Podobnie jak to robiliśmy wcześniej, określamy początek (czyli punkt zerowy) czasu. Możemy w tym celu wybrać moment Wielkiego Wybuchu, narodzin Jezusa lub rozpoczęcia eksperymentu. Ważne jest to, by po dokonaniu wyboru już go nie zmieniać.

W następnym kroku musimy określić kierunek upływu czasu. Zazwyczaj dodatnie czasy określają przyszłość w stosunku do punktu początkowego, a ujemne przeszłość. Moglibyśmy umówić się odwrotnie, ale będziemy się trzymać najczęstszych ustaleń dotyczących kierunku upływu czasu.

Na koniec musimy jeszcze określić jednostki czasu. Najczęściej fizycy używają sekund, ale zarówno godziny, nanosekundy, jak i lata są dopuszczalne. Gdy już wybraliśmy jednostki i początek czasu, możemy przyporządkować dowolnej chwili liczbę t.

Mechanika klasyczna zakłada dwie rzeczy w odniesieniu do czasu. Pierwsze założenie mówi o tym, że czas biegnie jednakowo – jedna sekunda zawsze oznacza to samo. Na przykład liczba sekund upływająca podczas upadku ciężaru z Krzywej Wieży w Pizie jest obecnie taka sama jak w czasach Galileusza. Jedna sekunda znaczyła wtedy to samo co dziś.

Drugie założenie mówi o tym, że można porównywać czasy w różnych lokalizacjach. Oznacza to, że umieszczone w różnych miejscach zegary mogą zostać zsynchronizowane. Zgodnie z tymi założeniami, cztery współrzędne – x, y, z, t – określają układ odniesienia. Dowolnemu zdarzeniu w ramach tego układu odniesienia daje się przyporządkować wartości każdej ze współrzędnych.

Mając daną funkcję f (t) = t2, możemy narysować w układzie współrzędnych odpowiednie punkty. Jedną z osi wykorzystamy dla wartości czasu t, a drugą – dla wartości funkcji f (t) (spójrz na ilustrację 4).


Ilustracja 4. Punkty spełniające równanie funkcji f (t) = t2

Możemy też połączyć kropki krzywą, by wypełnić przestrzeń między punktami (ilustracja 5).


Ilustracja 5. Połączenie kropek krzywą

W wyniku takiego procesu możemy przedstawiać funkcje w sposób graficzny.


Ćwiczenie 1. Korzystając z kalkulatora graficznego lub programu typu Mathematica, narysuj wykresy poniższych funkcji: f(t) = t4 + 3t3 – 12t2 – 6; g(x) = sinx – cosx; θ(a) = ea + alna; x(t) = sin2t – cost. Jeśli nie znasz funkcji trygonometrycznych, przeczytaj najpierw następny fragment tej książki.


Trygonometria

Jeśli wcześniej nie miałeś styczności z trygonometrią lub uczyłeś się jej dawno temu, ta część przeznaczona jest dla ciebie.

W fizyce wykorzystujemy trygonometrię niemal bez przerwy, dlatego powinieneś znać przynajmniej część koncepcji, symboli i metod, które się w niej stosuje. Zacznijmy od tego, że w fizyce zazwyczaj nie posługujemy się jako miarą kąta stopniami, lecz radianami. Mówimy, że w 360° jest 2π radianów albo że 1 radian = 180°/π, z czego wynika, że 90° = π/2, a 30° = π/6 radianów. Widzimy więc, że radian to około 57° (spójrz na ilustrację 6).

Funkcje trygonometryczne definiujemy w kontekście własności trójkątów prostokątnych. Ilustracja 7 przedstawia trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną c, podstawą b i wysokością a. Grecka litera θ, theta, oznacza kąt naprzeciwko wysokości, a grecka litera φ, phi – kąt naprzeciwko podstawy.


Ilustracja 6. Radian jako kąt wyznaczany przez łuk równy długości promienia okręgu


Ilustracja 7. Trójkąt prostokątny z odpowiednio oznaczonymi bokami i kątami

Funkcje sinus (sin), cosinus (cos) i tangens (tg) definiujemy jako stosunek długości różnych boków następującymi zależnościami:




Możemy narysować wykresy tych funkcji, by zobaczyć, jak się od siebie różnią (przyjrzyj się ilustracjom od 8 do 10).


Ilustracja 8. Wykres funkcji sinus


Ilustracja 9. Wykres funkcji cosinus


Ilustracja 10. Wykres funkcji tangens

Funkcje trygonometryczne mają kilka przydatnych własności. Przede wszystkim dookoła naszego trójkąta można narysować okrąg, którego środek znajduje się w początku układu kartezjańskiego, tak jak na ilustracji 11.


Ilustracja 11. Trójkąt prostokątny w okręgu

Linia łącząca dowolny punkt okręgu z jego środkiem tworzy przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, a pionowa i pozioma składowa punktu stanowią podstawę i wysokość tego trójkąta. Lokalizację punktu na okręgu można więc opisać za pomocą dwóch współrzędnych x i y, gdzie:


i


Ta zależność między trójkątami prostokątnymi a okręgiem jest bardzo przydatna.

Przypuśćmy, że pewien kąt θ jest sumą lub różnicą dwóch innych kątów oznaczanych przez greckie litery α, alfa, i β, beta. Możemy napisać, że θ równa się . Funkcje trygonometryczne kąta można rozpisać, korzystając z funkcji trygonometrycznych kątów α i β.





Ostatnia – bardzo przydatna – równość to:

 

1


(Zauważ, że stosujemy oznaczenie ). Ostatnie równanie kryje w sobie twierdzenie Pitagorasa. Jeśli promień okręgu na ilustracji 11 będzie się równał 1, to boki a i b stają się odpowiednio sinusem i cosinusem θ, a przeciwprostokątna ma długość 1. Równanie (1) jest więc znaną nam zależnością łączącą długości trzech boków trójkąta prostokątnego: .

Wektory

Przypuszczamy, że spotkałeś się już z zapisem wektorowym, ale – aby dać wszystkim równe szanse – przypomnijmy podstawy dotyczące wektorów w przestrzeni trójwymiarowej.

O wektorze należy myśleć jako o obiekcie, który ma zarówno długość (czy rozmiar), jak i kierunek w przestrzeni. Przykładem jest przesunięcie. Jeśli jakiś przedmiot został przesunięty z pewnej określonej pozycji początkowej, to aby określić, gdzie się znalazł, nie wystarczy wiedzieć, na jaką odległość został przemieszczony. Musimy też wiedzieć, w jakim kierunku to nastąpiło. Przesunięcie jest najprostszym przykładem wielkości wektorowej. Wektory przedstawiamy w postaci strzałek o określonej długości i kierunku (spójrz na ilustrację 12).


Ilustracja 12. Wektor we współrzędnych kartezjańskich

Wektory zapisujemy, umieszczając nad odpowiednim symbolem strzałkę. Wektor przesunięcia wygląda więc w taki sposób: . Długość (rozmiar) wektora oznaczamy, korzystając z symbolu wartości bezwzględnej, a więc długość wektora to .

Wśród operacji, jakie można wykonać na wektorach, najprostszą jest mnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą. W tym kontekście liczby rzeczywiste nazywamy często skalarami. Mnożenie przez liczbę dodatnią oznacza po prostu pomnożenie długości wektora przez tę liczbę. Można też mnożyć wektory przez liczbę ujemną, co powoduje zmianę kierunku wektora na przeciwny. I tak na przykład wektor –2 jest dwa razy dłuższy od wektora , ale wskazuje w przeciwnym kierunku.

Wektory można dodawać. Aby dodać i , należy umieścić je w sposób pokazany na ilustracji 13, czyli tak, by uformowały równoległobok (dzięki temu kierunki wektorów są zachowane). Suma wektorów jest wektorem powstałym na przekątnej.


Ilustracja 13. Dodawanie wektorów

Skoro można wektory dodawać, a także mnożyć je przez liczby ujemne, można je również odejmować od siebie.


Ćwiczenie 2. Znajdź regułę odejmowania wektorów.


Inna forma zapisu wektorów wykorzystuje ich składowe. Zaczynamy od ustalenia trzech prostopadłych osi: x, y, z. Następnie definiujemy trzy wektory jednostkowe leżące na tych osiach i o długości jednej jednostki. Takie jednostkowe wektory na osiach współrzędnych nazywamy wektorami bazowymi. Trzy wektory bazowe w układzie kartezjańskim zwyczajowo są oznaczane następująco: , i (spójrz na ilustrację 14). Ogólnie rzecz biorąc, zapisujemy , i , kiedy odnosimy się do (x1, x2, x3), gdzie symbol ^ (daszek) informuje nas, że mamy do czynienia z wektorami jednostkowymi. Ich użyteczność polega na tym, że pozwalają zapisać dowolny wektor w postaci:

2



Ilustracja 14. Wektory bazowe w kartezjańskim układzie współrzędnych

Wielkości , , to liczbowe współczynniki niezbędne do tego, by dodając wektory bazowe, otrzymać wektor . Są one nazywane też składowymi . Mówimy, że równanie (2) przedstawia kombinację liniową wektorów bazowych. Znaczy to po prostu, że aby otrzymać , dodajemy do siebie wektory bazowe pomnożone przez odpowiednie czynniki. Składowe wektora mogą być dodatnie lub ujemne. Wektor da się zapisać w postaci ciągu jego składowych – w tym wypadku (, , ). Długość wektora też można wyrazić w zależności od jego składowych, dzięki użyciu twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni trójwymiarowej.

3


Mnożenie wektora przez skalar α również daje się rozpisać za pomocą składowych (mnożymy każdy składnik przez α).


Sumę dwóch wektorów możemy przedstawić jako sumę odpowiednich składowych.




Czy można mnożyć wektory? Oczywiście, nawet na kilka sposobów. Jeden rodzaj iloczynu – iloczyn wektorowy – daje w wyniku wektor. W tej chwili jednak nie będziemy się zajmować iloczynem wektorowym, lecz skupimy się na drugiej metodzie, iloczynie skalarnym. Iloczyn skalarny dwóch wektorów daje w wyniku zwykłą liczbę, skalar. Dla wektorów i definiujemy go w następujący sposób:


Kąt θ jest kątem między wektorami. Tłumacząc powyższe równanie na zwykły język, możemy powiedzieć, że iloczyn skalarny to iloczyn ich długości i cosinusa kąta między nimi.

Iloczyn skalarny również można wyrazić za pomocą składowych:


Dzięki tej ostatniej zależności można łatwo policzyć iloczyn skalarny, mając dane składowe odpowiednich wektorów.


Ćwiczenie 3. Wykaż, że długość wektora spełnia warunek .


Ćwiczenie 4. Niech (Ax = 2, Ay = –3, Az = 1) i (Bx = –4, By = –3, Bz = 2). Oblicz długości wektorów i , ich iloczyn skalarny oraz kąt między nimi.


Ważną własnością iloczynu skalarnego jest fakt, że wynosi on zero dokładnie wtedy, gdy mnożone wektory są ortogonalne (prostopadłe do siebie). Zapamiętaj to dobrze, gdyż będziemy później z tego korzystać, aby pokazać, że wektory są ortogonalne.


Ćwiczenie 5: Sprawdź, które dwa spośród podanych wektorów są do siebie prostopadłe: (1, 1, 1) (2, –1, 3) (3, 1, 0) (–3, 0, 2)


Ćwiczenie 6: Czy potrafisz wyjaśnić, dlaczego iloczyn skalarny dwóch wektorów ortogonalnych wynosi 0?


Wykład 2.

Ruch

Lenny zaczął marudzić:

– George, to całe stroboskopowe skakanie zaczyna mnie irytować. Czy czas naprawdę jest taki wyboisty? Wolałbym, żeby sprawy toczyły się trochę bardziej gładko.

George myślał przez chwilę, wycierając tablicę.

– Dobra, Lenny, dzisiaj zajmiemy się układami, które zmieniają się płynnie.

Interludium matematyczne: rachunek różniczkowy

W tej książce będziemy się najczęściej zajmować tym, jak rozmaite wielkości zmieniają się w czasie. Większość mechaniki klasycznej skupia się na wielkościach zmieniających się płynnie – matematycznie mówimy „w sposób ciągły” – gdyż sam czas zmienia się w sposób ciągły. Prawa dynamiki, które mówią o ewolucji stanów, będą więc musiały uwzględniać takie ciągłe zmiany czasu, a nie stroboskopowe przeskoki z wykładu pierwszego. Będą nas zatem interesować funkcje niezależnej zmiennej t.

 

Aby poradzić sobie matematycznie z ciągłymi zmianami, wykorzystujemy analizę matematyczną. Ta dziedzina matematyki zajmuje się granicami, a więc musimy najpierw wyjaśnić to pojęcie. Przypuśćmy, że mamy do czynienia z ciągiem liczb, l1, l2, l3, ... , które przybliżają się coraz bardziej do jakiejś wartości L. Oto przykład: 0,9, 0,99, 0,999... Granicą tego ciągu jest 1. Żaden z wyrazów nie jest równy 1, ale stają się one coraz bliższe tej wartości. Zapisujemy to tak:


a czytamy następująco: L jest granicą ciągu li przy i dążącym do nieskończoności.

Tę samą koncepcję można zastosować do funkcji. Przypuśćmy, że mamy funkcję postaci f (t) i chcemy opisać, jak zmienia się ona przy t zbliżającym się coraz bardziej do jakiejś wartości, powiedzmy a. Jeśli f (t) staje się dowolnie bliska L przy t dążącym do a, to mówimy, że liczba L jest granicą f (t) przy t zbliżającym się do a. Symbolicznie zapisujemy to tak:


Niech f (t) będzie funkcją zmiennej t. Gdy zaczniemy zmieniać t, f (t) również się zmieni. Rachunek różniczkowy zajmuje się badaniem zależności między tymi zmianami. Podstawowa idea polega na rozpoczęciu od wartości f (t) w jakimś momencie, a następnie sprawdzeniu, jak wartość ta zmieni się po upłynięciu pewnego niezbyt długiego okresu. Względną szybkość zmiany definiuje się jako stosunek zmiany f do zmiany t. Zmianę jakiejś wielkości będziemy oznaczać dużą grecką literą Δ, delta. Tak więc zmianę t będziemy oznaczać przez Δt (to nie Δ × t, to symbol oznaczający zmianę t). W przedziale Δt funkcja f zmienia się od f (t) do f (t + Δt). Odpowiednia zmiana, oznaczana Δf, wynosi więc

Δf = f (t + Δt) – f (t).

Aby precyzyjnie określić względną szybkość zmiany w chwili t, musimy rozważać skrócenie czasu Δt do zera. Oczywiście wtedy Δf też skurczy się do zera, ale jeśli podzielimy Δf przez Δt, to odpowiedni stosunek będzie dążył do pewnej granicy. Granicę tę nazywamy pochodną funkcji f (t) względem t:

1


Matematyk o ścisłym nastawieniu może się krzywić, widząc pochodną zapisaną jako stosunek dwóch różniczek, ale w praktyce rzadko prowadzi to do błędu.

Policzmy teraz kilka pochodnych. Zaczniemy od funkcji zdefiniowanych jako potęgi t. Sposób obliczania pochodnych zilustrujemy na przykładzie f (t) = t2. Zastosujemy równanie (1). Zapiszmy najpierw f (t + Δt):

f (t + Δt) = (t + Δt)2.

Wyrażenie (t + Δt)2 możemy uprościć – albo korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, albo po prostu wymnażając odpowiednie składniki. Tak czy inaczej otrzymamy

f (t + Δt) = t2 + 2tΔt + Δt2.

Możemy teraz odjąć f (t):

f (t + Δt) – f (t)

= t2 + 2tΔt + Δt2 – t2

= 2tΔt + Δt2.

W kolejnym kroku dzielimy obie strony przez Δt:


=

.

Teraz łatwo już przejść do granicy z Δt dążącym do 0. Pierwszy wyraz nie zależy od Δt, zostaje więc w takiej postaci, drugi jednak dąży do zera i w granicy znika. Warto o tym pamiętać – przy obliczaniu pochodnych można ignorować wyrazy wyższego rzędu względem Δt. Zatem ostatecznie


Pochodna funkcji t2 jest więc równa


Zajmijmy się teraz dowolną potęgą, f (t) = tn. Aby obliczyć jej pochodną, musimy wyznaczyć f (t + Δt) = (t + Δt)n. Przyda się nam do tego trochę algebry z liceum: wynik można uzyskać, korzystając z dwumianu Newtona. Interesuje nas obliczenie, dla danych liczb a i b, wartości wyrażenia (a + b)n. Twierdzenie o dwumianie Newtona mówi, że



Ile wyrazów pojawia się po prawej stronie powyższej równości? Jeśli n jest liczbą naturalną, to znajdzie się tam n + 1 wyrazów. Twierdzenie dwumianowe jest jednak ogólniejsze; tak naprawdę n może być dowolną liczbą rzeczywistą czy nawet zespoloną. Jeśli nie jest jednak liczbą naturalną, to wyrażenie po prawej stronie równości nigdy się nie kończy: opisuje nieskończoną sumę. Na szczęście z naszego punktu widzenia liczą się tylko dwa pierwsze wyrazy.

Aby obliczyć (t + Δt)n musimy po prostu wstawić do ostatniego wzoru a = t i b = Δt. Dostajemy wtedy


=


Wszystkie wyrazy przedstawione jako kropki w granicy kurczą się do zera, możemy więc je pominąć.

Odejmijmy teraz od obu stron f (t) (czyli tn):


podzielmy przez Δt:


i przejdźmy z Δt w granicy do 0. Otrzymujemy, że pochodna jest równa


Co ważne, wzór ten pozostaje prawdziwy, nawet jeśli n nie jest liczbą naturalną: może być dowolną liczbą rzeczywistą czy zespoloną.

Przyjrzyjmy się kilku szczególnym przypadkom. Jeśli n = 0, to f (t) jest stale równe 1. Pochodna wynosi więc 0 – tak samo jest dla każdej funkcji, która się nie zmienia. Jeśli n = 1, to f (t)= t i pochodna wynosi 1 – tak będzie zawsze, gdy będziemy obliczać pochodną jakiegoś wyrażenia względem samego siebie. Podajmy jeszcze kilka przykładów:





W przyszłości przydadzą się nam też następujące wzory:




2


Zwróćmy uwagę na trzecie z powyższych równań, . Znaczenie wyrażenia et powinno być jasne, jeśli t jest liczbą naturalną: na przykład e3 = e × e × e. Interpretacja et dla innych liczb t nie jest już oczywista. W pewnym sensie można powiedzieć, że funkcja et jest określona tak, by jej pochodna była równa jej samej. Wtedy traktujemy trzecie równanie powyżej po prostu jako definicję.

Warto pamiętać kilka prostych reguł dotyczących pochodnych. Możesz je wszystkie udowodnić, jeśli masz ochotę na dodatkowe ćwiczenie. Pierwsza z nich mówi, że pochodna funkcji stałej jest zawsze równa zeru. Powinno się to nam wydawać logiczne: pochodna opisuje szybkość zmian, a stała nigdy się nie zmienia, więc


Pochodna stałej pomnożonej przez funkcję jest równa stałej pomnożonej przez pochodną funkcji:


Przypuśćmy teraz, że mamy do czynienia z dwoma funkcjami, f (t) i g(t). Ich suma jest również funkcją, a jej pochodna dana jest wzorem


Nazywamy go regułą sumy.

Iloczyn dwóch funkcji jest kolejną funkcją, której pochodna wynosi:


Ten wzór, co pewnie cię już nie dziwi, nazywamy regułą iloczynu.

Załóżmy teraz, że g(t) jest funkcją t, a f (g) jest funkcją g. Oznacza to, że f jest niejawną (uwikłaną) funkcją t. Jeśli chcemy stwierdzić, jaką wartość przyjmuje f dla pewnego t, obliczamy najpierw g(t), a następnie podstawiamy uzyskaną wartość jako g do f (g). Pochodną f względem t łatwo policzyć:


Ostatni wzór nazywamy regułą łańcucha. Byłby oczywisty, gdyby pochodne naprawdę były ułamkami: wtedy odpowiednie wartości dg w liczniku i mianowniku po prostu by się skróciły. Okazuje się, że w tym wypadku takie naiwne rozumowanie prowadzi do poprawnego wyniku. Jednakże korzystając z reguły łańcucha, musimy pamiętać o konieczności wymyślenia funkcji pośredniej, g(t), tak by móc zapisać f jako prostszą funkcję postaci f (g). Jeśli na przykład

f (t) = lnt3

i interesuje nas obliczenie df/dt, to możemy mieć kłopot z wyrażeniem t3 wewnątrz logarytmu. Wymyślamy więc funkcję pośrednią g(t)= t3 i zapisujemy f (g) = ln g. Teraz korzystamy z reguły łańcucha


i naszych wzorów na pochodne, mówiących, że i , a więc


Na koniec możemy podstawić g = t3, i otrzymujemy


Tak właśnie wygląda stosowanie reguły łańcucha w praktyce.

Przy użyciu podanych wyżej reguł można obliczyć bardzo wiele pochodnych. Na tym zasadniczo polega rachunek różniczkowy.


Ćwiczenie 1. Oblicz pochodne następujących funkcji: f(t) = t4 + 3t3 – 12t2 + t –6; g(x) = sinx – cosx; θ(a) = ea + alna; x(t) = sin2t – cost


Ćwiczenie 2. Pochodną pochodnej nazywamy drugą pochodną i zapisujemy jako d2f(t)/dt2. Oblicz drugie pochodne funkcji podanych w ćwiczeniu 1.


Ćwiczenie 3. Zastosuj regułę łańcucha do obliczenia pochodnych następujących funkcji:

g(t) = sin(t2) – cos(t2); Θ(α) = e3α + 3αln(3α); x(t) = sin2(t2) – cos(t2)


Ćwiczenie 4. Udowodnij regułę sumy (co jest dość łatwe), regułę iloczynu (co jest łatwe, jeśli wpadnie się na pewien sprytny pomysł) i regułę łańcucha (co znów jest nietrudne).


Ćwiczenie 5. Udowodnij każdy z wzorów (2). Podpowiedź: sprawdź w jakimś podręczniku tożsamości trygonometryczne i własności odpowiednich granic.


Ruch cząstek

Pojęcie punktowej cząstki jest pewną idealizacją. Żaden obiekt nie jest tak mały, by być punktem – nawet elektron. W wielu sytuacjach możemy jednak zapomnieć o dokładnej strukturze badanych obiektów i traktować je jak punkty. Na przykład Ziemia w oczywisty sposób nie jest punktem, ale kiedy obliczamy jej orbitę wokół Słońca, możemy zignorować rozmiary planety i nadal uzyskamy bardzo precyzyjny wynik.

Położenie cząstki określamy, podając wartość każdej z jej trzech współrzędnych przestrzennych, a ruch cząstki definiujemy przez jej położenie w każdym momencie czasu. Matematycznie położenie takie możemy opisać, podając trzy współrzędne przestrzenne jako funkcje t: x(t), y(t) i z(t).

O położeniu można też myśleć jako o wektorze , którego składowe w chwili t są równe x, y i z. Ścieżkę, po której porusza się cząstka – trajektorię cząstki – określa . Zadaniem mechaniki klasycznej jest wyznaczenie na podstawie znajomości jakiegoś stanu początkowego i prawa rządzącego ruchem.

Kolejną po położeniu istotną wielkością dotyczącą cząstki jest jej prędkość. Podobnie jak położenie, jest wektorem; by ją zdefiniować, potrzebujemy odrobiny rachunku różniczkowego. Oto, jak się to robi: rozważmy przesunięcie cząstki między czasem t a odrobinę późniejszym czasem t + Δt. W odpowiednim przedziale czasu cząstka przemieszcza się od x(t), y(t), z(t) do x(t + Δt), y(t + Δt), z(t + Δt), czy też w notacji wektorowej od do . Przesunięcie jest więc zdefiniowane wzorami:




czy też


Przesunięcie opisuje małą odległość, jaką cząstka pokonuje w krótkim przedziale czasu Δt. Aby otrzymać prędkość, dzielimy przesunięcie przez Δt i przechodzimy do granicy z Δt kurczącym się do zera. Na przykład


Powyższy wzór jest oczywiście definicją pochodnej x względem t.




Umieszczanie kropki nad jakąś wielkością jest standardowym sposobem zapisywania pochodnej tej wielkości względem czasu. Konwencję tę można stosować także dla innych wielkości, niekoniecznie tylko dla położenia cząstki. Jeśli na przykład T oznacza temperaturę gorącej wody w wannie, to opisuje tempo zmiany temperatury względem czasu. Będziemy wielokrotnie używać takiego zapisu, powinieneś się więc z nim oswoić.

Ustawiczne pisanie x, y, z może się stać nużące. Wobec tego skondensujemy nieco notację, oznaczając współrzędne przestrzenne wspólnie przez xi, a składowe prędkości przez vi:


gdzie i przyjmuje wartości x, y, z, albo, używając wektorów, będziemy pisać


Długość wektora prędkości, , gdzie


mówi nam, jak szybko porusza się cząstka, nie dając żadnej informacji o kierunku ruchu. Wielkość nazywamy szybkością.

Przyspieszenie to z kolei wielkość, która mówi nam, jak zmienia się prędkość. Jeśli obiekt porusza się ze stałą prędkością, to nie ma żadnego przyspieszenia. Zauważmy, że stałość wektora prędkości oznacza nie tylko stałą szybkość, lecz także stały kierunek. Przyspieszenie odczuwamy wyłącznie wtedy, gdy wektor prędkości ulega zmianie, czy to pod względem długości, czy kierunku. Tak naprawdę przyspieszenie jest pochodną prędkości po czasie:


a w zapisie wektorowym:


Ponieważ vi jest pochodną xi po czasie, a ai pochodną vi po czasie, przyspieszenie jest drugą pochodną xi po czasie:


gdzie dwie kropki nad xi oznaczają drugą pochodną po czasie.

Przykłady ruchu cząstek

Załóżmy, że cząstka zaczyna się poruszać w chwili t = 0 zgodnie z równaniami




Wyraźnie widać, że cząstka nie porusza się w ogóle w kierunku x czy y, ale wyłącznie wzdłuż osi z. Stałe z(0) i v(0) odpowiadają początkowym wartościom położenia i prędkości wzdłuż osi z w chwili t = 0. Wielkość g również traktujemy jako stałą.

Obliczmy prędkość, różniczkując równania względem czasu:




Składowe prędkości odpowiadające x i y są cały czas równe 0. Składowa prędkości wzdłuż osi z w chwili t = 0 jest równa v(0). Inaczej mówiąc, v(0) jest warunkiem początkowym (brzegowym) dla prędkości.

W miarę upływu czasu wyraz –gt staje się różny od zera. W pewnym momencie przekroczy początkową wartość prędkości i cząstka zacznie się poruszać w ujemnym kierunku osi z.

Obliczmy teraz przyspieszenie, różniczkując kolejny raz względem czasu:




Przyspieszenie w kierunku z jest stałe i ujemne. Jeśli uznamy, że oś z ma odpowiadać wysokości, to nasza cząstka przyspieszałaby w dół, tak samo jak każdy spadający obiekt.

Rozważmy teraz cząstkę oscylującą, poruszającą się w przód i w tył wzdłuż osi x. Ponieważ zakładamy, że ruch w pozostałych dwóch kierunkach nie występuje, możemy je zignorować. Do opisu prostego ruchu oscylacyjnego wykorzystuje się funkcje trygonometryczne:


gdzie mała grecka litera ω, omega, oznacza stałą. Im większa ω, tym szybsze są oscylacje. Taki ruch nazywa się ruchem harmonicznym prostym (patrz ilustracja 1).


Ilustracja 1. Ruch harmoniczny prosty

Obliczmy odpowiednio prędkość i przyspieszenie, różniczkując x(t) względem czasu. Pierwsza pochodna wynosi


Mamy sinus iloczynu. Zapiszmy ten iloczyn jako θ = ωt:


Dzięki zastosowaniu reguły łańcucha dostajemy


czyli


albo


Podobne rachunki pozwalają obliczyć przyspieszenie:


Zauważmy pewne interesujące fakty. Kiedy wartość położenia, x, jest maksymalna bądź minimalna, prędkość wynosi 0. Prawdziwe jest też stwierdzenie przeciwne: kiedy położenie osiąga wartość x = 0, prędkość jest maksymalna bądź minimalna. Mówimy, że położenie i prędkość są przesunięte względem siebie w fazie o 90°. Dobrze widać to na ilustracji 2, przedstawiającej x(t), i ilustracji 3, przedstawiającej v(t).


Ilustracja 2. Położenie


Ilustracja 3. Prędkość

Położenie i przyspieszenie też są ze sobą związane – każda z tych wielkości jest proporcjonalna do sin ωt. Zauważmy jednak, że w przyspieszeniu pojawia się znak minus. Mówi on, że kiedy tylko x jest dodatnie (ujemne), przyspieszenie jest ujemne (dodatnie). Inaczej mówiąc, gdziekolwiek znajdzie się cząstka, działające na nią przyspieszenie jest skierowane ku punktowi x = 0. Technicznie określa się to, mówiąc, że położenie i przyspieszenie są przesunięte względem siebie w fazie o 180°.


Ćwiczenie 6. Ile czasu zabiera oscylującej cząstce przejście pojedynczego pełnego cyklu ruchu?


Rozważmy teraz cząstkę poruszającą się ruchem jednostajnym po okręgu o środku w początku układu współrzędnych. Jednostajność oznacza, że cząstka porusza się po okręgu ze stałą szybkością. W analizie tej sytuacji możemy zignorować oś z i myśleć wyłącznie o ruchu w płaszczyźnie wyznaczonej przez x i y. Do jego opisu potrzebujemy dwóch funkcji, x(t) i y(t). Przyjmijmy, że cząstka porusza się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i że promień okręgu wynosi R.

Aby lepiej sobie wyobrazić badany ruch, rozważmy, jak wygląda on względem poszczególnych osi. W miarę jak cząstka kręci się wokół początku układu, wartość x zmienia się od –R do R. Tak samo dzieje się ze współrzędną y. Dwie współrzędne są jednak przesunięte względem siebie w fazie o 90° – kiedy x przyjmuje maksymalną wartość, y = 0, i vice versa.

Ogólny ruch jednostajny po okręgu (w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara) matematycznie opisują równania



Parametr ω nazywa się w tym wypadku prędkością kątową czy częstością kołową. Określa się go jako liczbę radianów, o którą przesuwa się cząstka w jednostce czasu. Ma też związek z czasem, jaki zabiera cząstce przebiegnięcie pełnego obrotu, czyli z okresem ruchu, który jest równy wielkości wyznaczonej w ćwiczeniu 6:

To koniec darmowego fragmentu. Czy chcesz czytać dalej?