Nowy świat pana Tompkinsa

Tekst
Autorzy:Russell Stannard, George Gamov
0
Recenzje
Przeczytaj fragment
Oznacz jako przeczytane
Jak czytać książkę po zakupie
Czcionka:Mniejsze АаWiększe Aa

Chatka na siodłowej przełęczy

Pan Tompkins skinął głową.

„A więc”, ciągnął profesor, „jeśli liczba gromad galaktyk rośnie właśnie w ten sposób, to mówimy, że przestrzeń jest »płaska« – jest w pełni euklidejska. Jeśli jednak przyrost ich liczby jest wolniejszy lub szybszy, to przestrzeń ma krzywiznę dodatnią lub ujemną”.

„Tak więc twierdzi Pan, że gdy krzywizna jest dodatnia, to w określonej odległości »mieści się« mniejsza objętość, a w przypadku krzywizny ujemnej będzie to większa objętość?”, upewnił się Pan Tompkins.

„Nie inaczej”, uśmiechnął się profesor.

„Ale czy to oznacza, że gdyby przestrzeń miała dodatnią krzywiznę – ta przestrzeń, tu wokół nas – to objętość tej konkretnej piłki plażowej nie wynosiłaby tylko mniej?”

„Tak jest. A w przypadku ujemnej krzywizny byłoby to więcej. Proszę tylko pamiętać”, dodał profesor, „że przy tak małej kuli różnica byłaby minimalna; nie byłby jej Pan w stanie wykryć. Nadzieja tkwi w pomiarach w największych skalach przestrzennych, jakimi zajmują się astronomowie. To dlatego mówiłem o odległościach pomiędzy gromadami galaktyk rozrzuconymi w przestrzeni Kosmosu”.

„Niewiarygodne...”, wymamrotał Pan Tompkins.

„Tak”, zgodził się profesor. „Ale to nie koniec. Jeśli krzywizna jest ujemna, to spodziewamy się, że trójwymiarowa przestrzeń rozciąga się nieograniczenie we wszystkich kierunkach – podobnie jak dwuwymiarowa powierzchnia siodłowa. Z drugiej strony dodatnia krzywizna oznaczałaby, że przestrzeń trójwymiarowa jest skończona i zamknięta”.

„Co to oznacza?”

„Co to oznacza...?”, zamyślił się profesor. „Oznacza to, że gdyby Pan wyruszył rakietą z bieguna północnego, lecąc pionowo w górę, i nigdy nie zmieniał kursu, lecąc po linii prostej, ostatecznie dotarłby Pan znów na Ziemię, nadciągając jednak z przeciwnego kierunku, i wylądował na biegunie południowym”.

„Ale to niemożliwe!”, wykrzyknął Pan Tompkins.

„Równie niemożliwe jak to, że podróżnik okrąża glob ziemski, zawsze podróżując na zachód – wierząc w to, że Ziemia jest płaska, a on sam stale oddala się coraz bardziej od miejsca, z którego rozpoczął podróż – a ostatecznie trafia ponownie do punktu wyjścia, nadciągając ze wschodu. No i jest jeszcze kolejna sprawa...”

„Tylko nie kolejna”, jęknął Pan Tompkins, któremu powoli zaczynało się kręcić w głowie.

„Wszechświat się rozszerza”, ciągnął profesor, nie zważając na jego protesty. „Te gromady galaktyk, o których Panu mówiłem, oddalają się od siebie. Im odleglejsza gromada, tym szybciej się oddala. To wszystko za sprawą Wielkiego Wybuchu. Słyszał Pan o Wielkim Wybuchu, jak mniemam?”

Pan Tompkins skinął głową słabo, zastanawiając się, gdzie poszła Maud.

„Dobrze”, podjął jego towarzysz. „Tak właśnie rozpoczęła się historia Wszechświata. Był to Wielki Wybuch, a wszystko wyłoniło się z jednego punktu początkowego. Przed Wielkim Wybuchem nie było nic: ani przestrzeni, ani czasu, zupełnie nic. A wtedy wszystko się zaczęło. Gromady galaktyk wciąż odsuwają się od siebie w rezultacie tej potężnej eksplozji, choć zwalniają – a to za sprawą wzajemnych oddziaływań grawitacyjnych. Kluczowe pytanie brzmi: czy gromady odsuwają się od siebie wystarczająco szybko, aby uciec od wpływu wzajemnych oddziaływań grawitacyjnych (w takim razie Wszechświat będzie się wiecznie rozszerzał), czy też pewnego dnia zatrzymają się, a następnie zaczną z powrotem zbliżać się do siebie? To z kolei prowadzi do scenariusza, który określamy jako Wielki Kolaps”.

„A co nastąpiłoby później – po tym Wielkim Kolapsie?”, zapytał Pan Tompkins, na nowo zainteresowany.

„Cóż, to może być tyle. Koniec. Wszechświat przestaje istnieć. Mógłby też się odbić – Wielkie Odbicie. Mogłoby więc być tak, że Wszechświat oscyluje: ekspansja, potem kurczenie się, potem kolejny cykl ekspansji i tak dalej, przez wieczność.

„A co zdarzy się naprawdę?”, spytał Pan Tompkins. „Czy będzie to nieskończona ekspansja, czy też pewnego dnia dojdzie do Wielkiego Kolapsu?”

„Nie jesteśmy pewni. To zależy od tego, ile jest materii we Wszechświecie – materii, która jest źródłem spowalniającej ekspansję siły grawitacyjnej. Wydaje się, że jest to bardzo delikatna równowaga. Średnia gęstość materii jest niezwykle bliska temu, co określa się jako wartość krytyczną – jest to graniczna gęstość, która oddziela od siebie te dwa scenariusze. Trudno powiedzieć, ponieważ dziś wiemy już, że większość materii we Wszechświecie nie jest świecąca; nie przypomina ona zwykłej materii, z której zbudowane są gwiazdy; nie świeci. Nazywamy ją ciemną materią. Ponieważ jest ciemna, znacznie trudniej jest ją wykryć, jednak wiemy, że stanowi przynajmniej 99% całości materii w Kosmosie[5] – i to za jej sprawą gęstość Wszechświata jest tak bliska wartości krytycznej”.

„Trochę szkoda”, westchnął Pan Tompkins. „Chciałbym wiedzieć, jaka będzie przyszłość Wszechświata. To niefortunne, że gęstość Wszechświata akurat ma taką wartość, że trudno jest to rozstrzygnąć”.

„Cóż, i tak, i nie. Fakt, że gęstość jest tak bliska wartości krytycznej (spośród wszystkich możliwych wartości, jakie mogłaby czysto teoretycznie przyjąć), każe podejrzewać, iż musi tu występować jakaś głębsza przyczyna. Wielu ludzi przypuszcza, że na bardzo wczesnym etapie Wielkiego Wybuchu wystąpił pewien mechanizm, który automatycznie doprowadził do tego, iż gęstość przyjmuje właśnie tę szczególną wartość. Inaczej mówiąc, to nie zbieg okoliczności, że gęstość okazuje się tak zbliżona do wartości krytycznej; to się nie zdarzyło przez przypadek; w istocie tak po prostu musiało być. Wydaje się też, że wiemy, jaki to mógł być mechanizm. Mówi o nim teoria inflacji...”

„Tato, żargon!”

Obydwaj mężczyźni podskoczyli, słysząc głos Maud. Okazało się, że córka profesora nadeszła zza ich pleców, gdy byli zatopieni w rozmowie. „Daj już spokój”, powiedziała.

„Minutkę”, odrzekł stanowczo profesor, po czym, odwróciwszy się do Pana Tompkinsa, ciągnął dalej: „Miałem właśnie wyjaśnić – zanim nam tak nietaktownie przerwano – że wszystkie te rzeczy, o których rozmawiamy, są ze sobą powiązane. Jeśli jest wystarczająco dużo materii, aby spowodować Wielki Kolaps, jest jej też wystarczająco wiele, aby wywołać pozytywną krzywiznę, czego skutkiem jest zamknięty Wszechświat o skończonej krzywiźnie. Z drugiej strony, jeśli materii jest niewystarczająco dużo...” Urwał, gestem zachęcając Pana Tompkinsa do dokończenia zdania.

„Hm... Jeśli, jak Pan mówił, materii jest niewystarczająco dużo, yhmmm...”, Pan Tompkins wydukał w zakłopotaniu – wstydząc się nie tyle tego, że zrobi z siebie głupka przed swym nauczycielem, ile raczej tego, że całej rozmowie przysłuchuje się uważnie córka profesora. „Tak jak mówiłem, jeśli nie występuje wystarczająco dużo materii, aby wytworzyć gęstość krytyczną, to Wszechświat będzie się rozszerzał w nieskończoność i, hmmm, i... yhmm, zgaduję, że... otrzymamy ujemną krzywiznę...? a Wszechświat będzie nieskończenie duży...?”

„Znakomicie!”, wykrzyknął profesor. „Cóż za uczeń!”

„Tak, bardzo dobrze”, przytaknęła Maud. „Ale wszyscy wiemy, że gęstość jest prawdopodobnie krytyczna, tak więc rozszerzanie się w końcu ustanie – choć będzie to w nieskończenie odległej przyszłości. Już to wszystko słyszałam. Czy teraz możemy iść popływać?”

Dopiero po chwili Pan Tompkins zdał sobie sprawę, że pytanie zostało skierowane do niego. „Ja?! To znaczy... czy ja pójdę popływać?”

„Cóż, nie przypuszcza Pan chyba, że miałam na myśli jego?!”, zaśmiała się.

„Yhmm... nie jestem odpowiednio ubrany. Musiałbym iść do pokoju po strój kąpielowy”.

„Oczywiście. Założyłam, że będzie Pan miał coś na sobie”, powiedziała Maud, patrząc porozumiewawczo.


4. Notatki do wykładu profesora

na temat zakrzywionej przestrzeni


Panie i Panowie!

Tematem dzisiejszego wykładu jest zakrzywienie przestrzeni i to, jak wiąże się ono ze zjawiskiem grawitacji.

Każdy z nas bez trudu wyobraża sobie zakrzywioną linię lub zakrzywioną powierzchnię. Cóż jednak mielibyśmy mieć na myśli, mówiąc o zakrzywionej przestrzeni – zakrzywionej trójwymiarowej przestrzeni? Jest oczywiście niemożliwe, aby mentalnie unaocznić sobie, jak mogłaby wyglądać zakrzywiona trójwymiarowa przestrzeń. Aby to uczynić, musielibyśmy w jakimś sensie oglądać ją „z zewnątrz” – z perspektywy jakiegoś innego wymiaru (na tej samej zasadzie, na jakiej postrzegamy krzywiznę powierzchni dwuwymiarowej, ponieważ widzimy, w jaki sposób układa się ona w trójwymiarowej przestrzeni). Można jednak podejść do badania zagadnienia krzywizny w inny sposób – z perspektywy matematycznej, a nie opartej na wizualizacji.

Zacznijmy może od kwestii krzywizny dwuwymiarowej powierzchni. My, matematycy, określamy powierzchnię jako zakrzywioną, jeśli właściwości figur geometrycznych narysowanych na niej różnią się od tych znajdujących się na płaszczyźnie. Stopień zakrzywienia wyznaczamy, mierząc odchylenie od tego, co mówią nam klasyczne zasady geometrii Euklidesa. Przykładowo, jeśli narysujemy trójkąt na płaskim arkuszu papieru, to suma jego kątów jest równa sumie dwóch kątów prostych, co wynika z podstaw geometrii. Arkusz ten można następnie wyginać, nadając mu kształt cylindryczny, stożkowy lub inny, jeszcze bardziej złożony, ale suma kątów w narysowanym na nim trójkącie wciąż pozostanie taka sama. Geometria powierzchni nie zmienia się więc przy zachodzeniu tego typu deformacji. Z punktu widzenia krzywizny wewnętrznej, lub „własnej”, uzyskane w ten sposób figury są równie płaskie, co sama płaszczyzna (nawet jeśli w pierwszym odruchu określilibyśmy je jako „zakrzywione”).

 

Z drugiej strony nie da się zmieścić arkusza papieru na powierzchni kuli albo siodła – wymagałoby to zgniatania papieru lub rozrywania go. Jest tak, ponieważ geometria powierzchni kuli, przykładowo, fundamentalnie różni się od geometrii powierzchni płaskiej. Weźmy pod uwagę choćby trójkąt na sferze. Aby narysować trójkąt na powierzchni kuli, potrzebny będzie odpowiednik trzech „odcinków prostych”. Tak jak jest to w przypadku płaskiej powierzchni, „prosty odcinek” na powierzchni zakrzywionej to najkrótsza droga pomiędzy dwoma punktami. Oznacza to w tym wypadku, że mamy do czynienia z łukami będącymi fragmentami kół wielkich – koła wielkie to zaś okręgi będące przecięciami powierzchni sferycznej z płaszczyznami przechodzącymi przez środek kuli (przykładowo, na powierzchni Ziemi dwa naprzeciwległe południki – a więc takie, które stanowią swoje przedłużenie na biegunach – tworzą jedno koło wielkie). Gdybyśmy narysowali trójkąt za pomocą takich łuków, okazałoby się, że przestają być w mocy proste twierdzenia geometrii Euklidesa. W istocie trójkąt utworzony, powiedzmy, przez północne połówki dwóch południków oraz odcinek równika leżący pomiędzy nimi będzie miał u podstawy dwa kąty proste i pewien kąt na szczycie (przy biegunie północnym) – tak więc suma jego kątów będzie z konieczności większa od sumy dwóch kątów prostych.

Z drugiej strony, jeśli narysujemy trójkąt na powierzchni siodłowej, okaże się, że suma jego kątów zawsze jest mniejsza od sumy dwóch kątów prostych.

Aby więc ustalić krzywiznę powierzchni, należy zbadać geometrię figur na tej powierzchni. Samo patrzenie na nią z zewnątrz może być mylące. Na podstawie samej tylko intuicji wzrokowej powierzchnię cylindra prawdopodobnie umieścilibyśmy w tej samej klasie co powierzchnię kuli. Jak jednak zauważyliśmy, ta pierwsza jest w istocie tożsama z powierzchnią płaską i tylko ta druga jest zakrzywiona w sensie posiadania krzywizny wewnętrznej. Kiedy tylko przyzwyczaimy się do tego ścisłego matematycznego rozumienia pojęcia „krzywizna”, nie będziemy mieli trudności ze zrozumieniem, co ma na myśli fizyk, gdy zastanawia się, czy trójwymiarowa przestrzeń, w której żyjemy, jest zakrzywiona, czy nie. Nie trzeba wydostawać się „poza” trójwymiarową przestrzeń, aby ocenić, czy „wygląda” na zakrzywioną. Postępuje się inaczej: pozostajemy wewnątrz niej i przeprowadzamy eksperymenty mające ustalić, czy w naszej przestrzeni obowiązują prawa geometrii euklidesowej.

Można by oczywiście zastanawiać się, dlaczego właściwie mielibyśmy się spodziewać, że geometria przestrzeni będzie odmienna od „zdroworozsądkowej” geometrii euklidejskiej? Aby pokazać, że geometria faktycznie może zależeć od warunków fizycznych, wyobraźmy sobie wielką okrągłą platformę obracającą się wokół swojej osi jak płyta gramofonowa. Wyobraźmy sobie następnie niewielkie linijki porozmieszczane jedna za drugą, wzdłuż linii prostej, od jednego brzegu platformy do drugiego, tak aby przechodziły przez środek. Kolejne linijki rozmieszczamy wokół obwodu tak, by tworzyły okrąg.

Z punktu widzenia obserwatora A, nieruchomego względem pomieszczenia, w którym znajduje się platforma, linijki rozmieszczone na obwodzie płyty poruszają się w kierunku swojej dłuższej osi – w tym kierunku, w który „celują”. Będą więc wydawały się skrócone na długość (o czym była mowa na pierwszym wykładzie). Potrzebnych będzie zatem więcej linijek, aby zamknąć okrąg, niż wtedy, gdyby płyta była nieruchoma. Linijki leżące wzdłuż promienia płyty są zorientowane prostopadle do kierunku ruchu, czyli nie będą skrócone relatywistycznie.

Bez względu na ruch obrotowy płyty potrzeba więc zawsze tej samej liczby linijek, aby ułożyć z nich odcinek prowadzący od środka płyty do jej brzegu.

Zmierzona długość obwodu koła, C (wyrażona w liczbie wymaganych linijek), będzie większa od zwyczajowej wartości 2r, gdzie r to zmierzony promień płyty.


Potrzeba więcej linijek, aby domknąć okrąg

Wszystko to będzie oczywiste dla obserwatora A, jeśli będzie on brał pod uwagę skrócenie długości związane z ruchem linijek wokół obwodu płyty. Co jednak z obserwatorką B, znajdującą się w centrum płyty i kręcącą się wraz z nią? Do jakich wniosków dojdzie? Widziałaby ona tę samą liczbę linijek co obserwator A i podobnie jak on stwierdziłaby, że stosunek obwodu do promienia nie zgadza się z geometrią euklidesową. Przypuśćmy jednak, że platforma znajduje się w zamkniętym pomieszczeniu bez okien i że obserwatorka B nie jest w stanie zaobserwować ruchu. Czemu przypisałaby ona tego typu niezwykłą geometrię?

Obserwatorka B może nie wiedzieć o ruchu, ale musiałaby zdawać sobie sprawę z tego, że w jej otoczeniu jest coś dziwnego. Zauważyłaby, że przedmioty znajdujące się w różnych miejscach na płycie nie pozostają w bezruchu. Przyspieszają w kierunku od centrum płyty ku jej brzegom, a wartość tego przyspieszenia jest zależna od odległości od środka. Inaczej mówiąc, wydaje się działać na nie siła (siła odśrodkowa). Jest to niezwykła siła, ponieważ sprawia, że przedmioty oddalają się od pewnego określonego punktu z przyspieszeniem niezależnym od masy. Innymi słowy, „siła” ta wydaje się automatycznie dopasowywać swoją „moc”, aby zgadzała się ona z masą obiektu, tak że zawsze uzyskiwane jest charakterystyczne dla danego miejsca przyspieszenie. Obserwatorka B dochodzi więc do wniosku, że musi występować jakieś powiązanie między ową „siłą” a odkrytą przez nią nieeuklidesową geometrią przestrzeni, w której się znajduje.

To nie koniec. Rozważmy teraz ścieżkę, po której poruszałby się w tym układzie promień światła. Dla nieruchomego obserwatora A światło zawsze porusza się po linii prostej. Przypuśćmy jednak, że promień światła przemyka po powierzchni obracającej się platformy. Choć z punktu widzenia obserwatora A poruszałby się on oczywiście po linii prostej, to jego ślad na powierzchni obracającej się płyty nie byłby prosty. Jest tak, ponieważ pokonanie odległości od jednego brzegu płyty do drugiego zajmuje światłu pewien czas, a w tym czasie płyta zdąży obrócić się o pewien kąt. (To samo zauważylibyśmy, gdybyśmy wykonali jedno „proste” cięcie ostrym nożem na kręcącej się płycie gramofonowej; choć nasza ręka prowadziłaby nóż po linii prostej, zarysowanie w rzeczywistości byłoby zakrzywione.) Obserwatorka B znajdująca się w środku obracającej się platformy zaobserwowałaby, że promień światła wędrujący z jednego krańca płyty ku drugiemu podąża nie po prostej, lecz po zakrzywionej ścieżce. Zjawisko to, podobnie jak odmienny od Euklidesowego stosunek długości obwodu do promienia, przypisałaby jakiejś „sile” występującej w szczególnym układzie fizycznym, w którym się znalazła.

„Siła” ta wpływa nie tylko na geometrię, w tym również na ścieżki promieni światła, ale także na bieg czasu. Można to wykazać, umieszczając zegar na brzegu naszej platformy. Obserwatorka B zauważy, że chodzi on wolniej niż zegar umieszczony w środku płyty. Zjawisko to najprościej jest wyjaśnić z punktu widzenia obserwatora A. Z jego punktu widzenia zegar znajdujący się z brzegu porusza się ze względu na ogólną rotację płyty, tak więc następuje dylatacja czasu względem zegara znajdującego się w środku, który pozostaje w tym samym położeniu. Obserwatorka B, nieświadoma występowania ruchu, musi przypisać zwalnianie zegara występowaniu znów tej samej „siły”. Jak więc widzimy, zarówno geometria, jak i bieg czasu mogą zależeć od warunków fizycznych.

Przyjrzyjmy się teraz innej sytuacji fizycznej – takiej, która zachodzi w pobliżu powierzchni Ziemi. Wszystkie obiekty są ściągane ku środkowi Ziemi przez siłę grawitacyjną. Można uznać, że jest to sytuacja podobna do tego, w jaki sposób wszystkie przedmioty umieszczone na obracającej się platformie są ściągane ku jej brzegom. Podobieństwo to stanie się jeszcze silniejsze, jeśli zauważymy ponadto, że przyspieszenie odczuwane przez obiekty nie zależy od ich masy; zależy ono wyłącznie od położenia ciała. Korespondencję między grawitacją a ruchem przyspieszonym można też zaobserwować, być może jeszcze jaśniej, na następującym przykładzie.

Przypuśćmy, że statek kosmiczny unosi się swobodnie w przestrzeni tak daleko od wszelkich gwiazd, że nie działa na niego żadna siła grawitacyjna. Wszystkie obiekty znajdujące się wewnątrz takiego pojazdu, włącznie z podróżującymi w nim astronautami, nie mają więc ciężaru i swobodnie unoszą się w powietrzu. W tym momencie włączamy silniki, a statek nabiera prędkości. Co będzie się działo w środku? Łatwo sobie wyobrazić, że gdy tylko pojazd przyspiesza, wszystkie znajdujące się w nim przedmioty będą dryfować w kierunku tyłu pojazdu – nazwijmy może tylną ściankę tego statku kosmicznego „podłogą”. Można też wyrazić ten sam fakt w inny sposób, mówiąc, że podłoga porusza się w kierunku tych obiektów. Jeśli, przykładowo, astronauta trzyma w ręku jabłko i upuszcza je, jabłko to będzie się przemieszczać (względem odległych gwiazd) ze stałą prędkością – prędkością, z którą poruszał się pojazd w momencie, gdy jabłko zostało puszczone. Sam pojazd jednak przyspiesza, w związku z czym podłoga, poruszając się coraz szybciej i szybciej, dogania jabłko i uderza w nie. Od tego momentu jabłko będzie już ciągle stykało się z podłogą, będąc do niej przyciskane przez nieustające przyspieszenie pojazdu.

Dla znajdującego się w środku astronauty będzie to jednak wyglądało, jak gdyby jabłko „spadało” z określonym przyspieszeniem, a po uderzeniu w podłogę pozostawało do niej przyciśnięte pod własnym „ciężarem”. Po upuszczeniu różnych przedmiotów astronauta zauważy ponadto, że wszystkie spadają z tym samym przyspieszeniem (zaniedbując tarcie powietrza), i przypomni sobie z pewnością, że dokładnie to samo zaobserwował Galileusz, upuszczając kule o różnej masie z Krzywej Wieży w Pizie, co doprowadziło go do teorii spadku swobodnego. Krótko mówiąc, astronauta ten nie zauważy żadnej różnicy między zjawiskiem przebywania w przyspieszającym pojeździe a zwykłym zjawiskiem grawitacji. Jeśli ma na to ochotę, może korzystać z zegara z wahadłem, ułożyć książki na półce, nie bojąc się o to, że zaczną unosić się w powietrzu, albo zawiesić obrazek na haku na ścianie. Obraz ten mógłby przedstawiać Alberta Einsteina – tego, który jako pierwszy zauważył równoważność pomiędzy przebywaniem w przyspieszającym układzie odniesienia i w polu grawitacyjnym. To na podstawie tego typu prostej intuicji Einstein rozwinął tak zwaną ogólną teorię względności. Jego szczególną teorią względności zajmowaliśmy się ostatnio: opisuje ona, jaki jest wpływ jednostajnego ruchu na zjawiska czasowe i przestrzenne. Ogólna teoria względności dodatkowo obejmuje wpływ grawitacji na czas i przestrzeń. Wpływ ten opisuje się zaś, jak już mówiłem, na podstawie obserwacji o równoważności grawitacji i ruchu przyspieszonego.


Promień światła w przyspieszającym statku kosmicznym

Weźmy pod uwagę, przykładowo, promień światła. Zauważyliśmy już, że w warunkach przyspieszenia odśrodkowego na obracającej się platformie promień światła wydaje się poruszać po zakrzywionej trajektorii. To samo dotyczy promienia światła w przyspieszającym statku kosmicznym. Obserwator zewnętrzny uznałby, że promień ten wędruje po linii prostej. Zaczyna on swoją podróż, przemieszczając się w kierunku określonego punktu na naprzeciwległej ścianie. Gdyby pojazd był nieruchomy, promień światła trafiłby ostatecznie właśnie w ten punkt. Ponieważ jednak statek przyspiesza, to w trakcie przelotu promienia świetlnego ściana ta zdążyła się przemieścić. Ostatecznie promień ten trafia więc w punkt znajdujący się obok miejsca, w które początkowo celowano – punkt znajdujący się bliżej „podłogi” pojazdu. Astronauta obserwuje oczywiście to samo: promień początkowo celuje w punkt znajdujący się dokładnie naprzeciwko miejsca, z którego został wyemitowany, ale ostatecznie dociera do punktu znajdującego się bliżej „podłogi”. Z jego punktu widzenia promień podąża po zakrzywionej trajektorii, „upadając” w kierunku „podłogi”. To nie koniec. Odkryje on też, że coś stało się z geometrią. Suma kątów trójkąta utworzonego przez trzy promienie światła nie jest równa sumie dwóch kątów prostych, a stosunek obwodu koła do jego promienia nie wynosi 2π.

 

Dochodzimy teraz do najważniejszego pytania. Jak się przekonaliśmy przed chwilą, w przyspieszającym układzie odniesienia nie tylko przedmioty „spadają”, ale „spadają” również promienie światła, podróżujące w kierunku podłogi po zakrzywionej trajektorii. Można więc zapytać, czy – w zgodzie z zasadą równoważności – nie powinniśmy uznać, że promienie światła powinny być również zaginane przez grawitację.

Aby uzyskać orientację w tym, jakiej mniej więcej krzywizny promienia światła powinniśmy się spodziewać wskutek działania grawitacji, zastanówmy się najpierw, jaka jest skala tego zjawiska w przypadku przyspieszającego statku kosmicznego. Jeśli przez l oznaczymy szerokość kabiny pojazdu, to czas t potrzebny na pokonanie jej wynosi:

(5)

W tym czasie pojazd poruszający się z przyspieszeniem g pokona odległość L, którą można wyznaczyć na podstawie tego wzoru znanego z podstaw mechaniki:

(6)

Kąt oznaczający stopień, w jakim została odchylona trajektoria promienia świetlnego, jest więc zbliżony do:

(7)

gdzie kąt ø podano w radianach (1 radian to około 57 stopni). Widzimy więc, że kąt ø jest tym większy, im większa jest odległość l, którą musi pokonać światło w polu grawitacyjnym. Tutaj przyspieszenie g należy oczywiście zinterpretować jako przyspieszenie grawitacyjne. Gdybym emitował promień światła w poprzek tej sali wykładowej, l wynosiłoby około 10 metrów. Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi to 9,81 m/s2, a

c = 3 × 108 m/s, stąd

(8)

Jak widać, w takiej sytuacji nie dałoby się zaobserwować zakrzywienia promieni światła. W pobliżu powierzchni Słońca g wynosi jednak 270 m/s2, a całkowita ścieżka promienia świetlnego przebiegającego w pobliżu Słońca jest bardzo długa. Szczegółowe obliczenia prowadzą do wniosku, że odchylenie promienia świetlnego przebiegającego w pobliżu powierzchni Słońca to 1,75 sekundy kątowej. I taką rzeczywiście wartość zaobserwowali astronomowie, porównując pozorne położenie gwiazd w pobliżu brzegu tarczy słonecznej (zdjęcia wykonano w trakcie całkowitego zaćmienia Słońca) z ich położeniem na niebie w momencie, w którym Słońce znajduje się w innej części nieba. Dzięki rozwojowi radioastronomii, badającej silną emisję fal radiowych z odległych galaktyk zwanych kwazarami, nie trzeba nawet czekać na zaćmienie. Fale radiowe z kwazarów, które przechodzą w pobliżu tarczy Słońca, mogą być obserwowane nawet w środku dnia. To tego typu badania dostarczają nam najbardziej precyzyjnych pomiarów uginania się promieni świetlnych.

Stwierdzamy więc, że zaginanie się promieni światła, które obserwujemy w układach przyspieszających, faktycznie występuje również w obecności pola grawitacyjnego. Co jednak z innym dziwnym zjawiskiem, które odkryła obserwatorka B na obracającej się platformie – to, że zegar umieszczony w pewnej odległości od niej wydaje się chodzić wolniej? Czy to oznacza, że zegar umieszczony w pewnej odległości od nas w polu grawitacyjnym zachowywałby się podobnie? Inaczej mówiąc, czy skutki przyspieszania i grawitacji są nie tylko bardzo podobne, ale wręcz identyczne?

Odpowiedzi na to pytanie mogą udzielić wyłącznie bezpośrednie eksperymenty. Te zaś faktycznie dowodzą, że na zaobserwowany bieg czasu wpływa położenie w polu grawitacyjnym. Efekty przewidywane ze względu na równoważność ruchu przyspieszonego i pól grawitacyjnych są niewielkie; to dlatego zostały one odkryte dopiero wtedy, kiedy naukowcy zaczęli celowo ich szukać.

Oszacujmy, jakiego rzędu wielkości będzie spodziewana zmiana szybkości, z jaką tyka zegar, na podstawie przykładu z obracającą się platformą. Jak wiadomo z podstaw mechaniki, siła odśrodkowa działająca na cząstkę o jednostkowej masie, znajdującej się w odległości r od osi obrotu, wynosi:

(9)

gdzie ω to stała prędkość obrotowa platformy. Całkowita praca wykonana przez tę siłę w toku przesuwania cząstki ze środka na brzeg wynosi więc:

(10)

gdzie R to promień platformy.

Zgodnie z przytoczoną wyżej zasadą równoważności F należy zinterpretować jako siłę grawitacji, a W jako różnicę potencjału grawitacyjnego między środkiem a brzegiem.

Musimy przy tym pamiętać, że – jak wiemy z poprzedniego wykładu – spowolnienie tykania zegara poruszającego się z prędkością v wynosi:


Czynnik ten można przybliżyć następująco:


Jeśli prędkość v jest niewielka w porównaniu z c, to możemy zaniedbać pozostałe człony. Zgodnie z definicją prędkości kątowej v = Rω, a „czynnik spowalniający” wynosi:

(11)

co daje nam ostatecznie oszacowanie stopnia, w jakim zmienia się tempo pracy zegara ze względu na różnicę potencjału grawitacyjnego pomiędzy punktem, w którym się znajduje, a punktem, z którego go obserwujemy.

Jeśli więc wyobrazimy sobie, że jeden zegar umieszczamy na szczycie wieży Eiffla (która ma ponad 300 metrów wysokości), a drugi na paryskim chodniku, to różnica potencjału grawitacyjnego między tymi punktami będzie tak mała, że zegar na ziemi będzie tykał wolniej o czynnik 0,999 999 999 999 97 w porównaniu z zegarem na górze.

Nawet tego typu minimalny efekt da się jednak zaobserwować; przykładowo, R.V. Pound i G.A. Rebka wykonali eksperyment, w którym udało się potwierdzić różnicę w okresie wibracji atomowych u podstawy i na szczycie wieży o wysokości 22,5 metra. Ten sam efekt stwierdzono również, porównując pomiary czasu przez zegary atomowe znajdujące się na pokładzie samolotów z tymi, które pozostały na ziemi. Zgodność z obserwacjami uzyskuje się tylko wtedy, jeśli – już po uwzględnieniu dylatacji czasu wywołanej przez ruch samolotu (szczególna teoria względności) – weźmie się też pod uwagę spowalnianie zegara znajdującego się na powierzchni ziemi względem zegara znajdującego się na pokładzie samolotu, wywołane przez różnicę potencjału grawitacyjnego.

Na silniejszy efekt można liczyć dopiero, jeśli w grę wchodzi znacznie silniejsze pole grawitacyjne Słońca. Różnica potencjału grawitacyjnego na powierzchni Ziemi i na powierzchni Słońca jest znacznie większa i prowadzi już do „czynnika spowalniającego” o wartości 0,999 999 5. Różnicę tego rzędu jest znacznie łatwiej zmierzyć i to właśnie dzięki obserwacjom Słońca dokonano pierwszego potwierdzenia „grawitacyjnej dylatacji czasu”. Oczywiście, nie da się umieścić zegara na powierzchni Słońca i obserwować go z daleka! Fizycy mają na szczęście do dyspozycji inne metody. Dzięki badaniom spektroskopowym można obserwować okresy wibracji różnych atomów znajdujących się na powierzchni Słońca i porównać je z okresami wibracji tych samych pierwiastków umieszczonych w płomieniu palnika w laboratorium. Wibracje atomów na powierzchni Słońca powinny zostać spowolnione o czynnik podany w równaniu (11), wskutek czego światło emitowane i absorbowane przez te atomy powinno mieć odrobinę niższą częstotliwość niż w przypadku atomów znajdujących się na Ziemi; częstotliwości te powinny być więc przesunięte w kierunku czerwonej części spektrum światła widzialnego. Ów tak zwany redshift grawitacyjny został rzeczywiście zaobserwowany w spektrum Słońca oraz innych gwiazd, a jego wartość zgadza się z obliczeniami teoretycznymi. Pokazuje to, że procesy fizyczne na powierzchni Słońca faktycznie zachodzą nieco wolniej niż na Ziemi za sprawą różnicy potencjału grawitacyjnego.

Tego typu obserwacje dowodzą więc równoważności skutków przyspieszenia i grawitacji. Pamiętając zatem o tym, wróćmy teraz raz jeszcze do kwestii krzywizny przestrzeni.

Wcześniej doszliśmy do wniosku, że zależności geometryczne obserwowane w przyspieszającym układzie odniesienia różnią się od tych wynikających z praw geometrii Euklidesa i że przestrzeń związaną z tymi obiektami geometrycznymi należałoby uważać za zakrzywioną. Skoro obecność pola grawitacyjnego jest równoważna przyspieszeniu pewnego układu odniesienia, oznacza to, że każda przestrzeń, w której obecne jest pole grawitacyjne, jest też przestrzenią zakrzywioną. Idąc krok dalej, można powiedzieć, że pole grawitacyjne jest po prostu fizyczną manifestacją zakrzywienia przestrzeni.

Wiemy, że grawitacja pojawia się w otoczeniu ciała masywnego. Można więc spodziewać się, że krzywizna przestrzeni w danym punkcie wynika z rozkładu masy w przestrzeni i osiąga maksimum w pobliżu masywnych obiektów. W ramach tego wykładu nie mogę omówić zbyt szczegółowo relacji matematycznych opisujących zakrzywione przestrzenie i zależność ich krzywizny od rozkładu masy. Wspomnę w tym momencie tylko o jednej kwestii: otóż krzywizna jest w ogólności determinowana nie przez jedną, lecz przez dziesięć odrębnych liczb, które określa się zwykle jako składowe potencjału grawitacyjnego gμυ, a które stanowią ogólniejszą postać potencjału grawitacyjnego fizyki klasycznej, wcześniej utożsamianej przeze mnie w równaniu (10) z członem W. Krzywizna w dowolnym punkcie przestrzeni jest opisywana przez dziesięć różnych promieni krzywizny, oznaczanych zwykle przez Rμυ. Owe promienie krzywizny wiążą się z rozkładem masy w przestrzeni za sprawą fundamentalnego równania Einsteina:

To koniec darmowego fragmentu. Czy chcesz czytać dalej?