Teoria parasolaTekst

Oznacz jako przeczytane
Jak czytać książkę po zakupie
Czcionka:Mniejsze АаWiększe Aa

Tytuł oryginału: Le théorème du parapluie

Où l’art d’observer le monde dans le bon sens

Przekład: Łukasz Musiał

Opieka redakcyjna: Katarzyna Nawrocka

Redakcja merytoryczna: dr Tomasz Zamek-Gliszczyński, prof. Tadeusz Stanisz

Redakcja: Anna Taraska

Projekt okładki i stron tytułowych: Norbert Młyńczak

Ilustracje: Chloé Bouchaour

Copyright © Editions Flammarion, Paris, 2019

Copyright for the Polish edition and translation

© JK Wydawnictwo sp. z o.o. sp. k., 2020

Wstęp

W 1980 roku pedagodzy z Instytutu Metodyki Nauczania Matematyki w Grenoble zadają grupie dzieci następującą zagadkę:

Na statku jest 26 owiec i 10 kóz. Ile lat ma kapitan?

Pytanie jest dziwne. Co ma wiek kapitana do liczby owiec i kóz? A jednak 75 % spośród niemal dwustu siedmio- i ośmiolatków jest pewna swojej odpowiedzi. Spora część dodaje obie liczby, uzyskując wynik 36. Ale gdy ten sam test rozwiązują dzieci w wieku od dziewięciu do dziesięciu lat, większość wyraża wątpliwości albo wręcz odmawia udzielenia odpowiedzi. Chętnie odpowiada jedynie 20 %. W ciągu dwóch lat u dzieci rozwinęło się myślenie krytyczne. Zrobiły się bardziej przenikliwe i nauczyły się podchodzić z dystansem do sensowności wykonywanych zadań.

Muszę przyznać, że gdy byłem w ich wieku, łamigłówki dostarczały mi niemałej frajdy. Mam tu na myśli podchwytliwe zagadki gimnastykujące mózg, w gruncie rzeczy bardziej żarty niż problemy matematyczne. Jedna z moich ulubionych brzmi tak:

Orkiestra złożona z 50 muzyków gra IX symfonię Beethovena przez 70 minut. W jakim czasie tę samą symfonię zagra orkiestra złożona ze 100 muzyków?

Czas wykonania symfonii nie zależy oczywiście od liczby muzyków, więc 70 minut pozostaje 70 minutami. Bardzo podobała mi się także ta: Co jest cięższe, kilogram puchu czy kilogram żelaza? Ani jedno, ani drugie. Rzecz jasna, ważą przecież tyle samo: kilogram.

Okazało się, że proces oswajania sensu zaprowadził mnie dalej, niż mogłem wówczas przypuszczać. Im więcej się dowiadywałem, tym więcej odkrywałem niuansów w znaczeniach słów oraz luk w moim pojmowaniu świata. Fakt, dorośli nie wpadają w te same sidła co dzieci. Jednak nieroztropnie byłoby zakładać, że jesteśmy zabezpieczeni przed wszelkimi pułapkami. Intuicja może nas zmylić, a nasze przekonania bywają błędne. W wieku 35 lat mogę chyba powiedzieć, że począwszy od pierwszej klasy podstawówki, nie było takiego roku, w którym nie stwierdziłbym, że mylnie postrzegam, zdawałoby się, doskonale znane mi rzeczy.

Jeśli chcemy zrozumieć świat, zaintrygowani otaczającą rzeczywistością, musimy wyjść ze swojej strefy komfortu. Z grubsza rzecz ujmując, dawni wielcy uczeni zachowywali się jak dzieci odmawiające podania wieku kapitana. Wątpili w to, co mieli przed oczami, i starali się sięgnąć wzrokiem dalej. Zbuntowali się przeciwko ustalonemu porządkowi. Nauka to wymarzony azyl dla kontestatorów, a matematyka jest jednym z ich najpotężniejszych narzędzi.

Uprawianie matematyki umożliwia wejście za kulisy rzeczywistości. Pozwala wśliznąć się na sceniczne zaplecze, by tam przyglądać się potężnym kołom zębatym napędzającym machinę wszechświata. Spektakl jest olśniewający, ale przyprawia o zawrót głowy. Rzeczywistość stanowi bowiem wyzwanie dla naszych zmysłów i intuicji. Nie jest tym, czym się wydaje. Wywraca do góry nogami nasze przyjęte a priori założenia i depcze to, w co głęboko wierzyliśmy. Nic nieznaczące szczegóły mogą kryć w sobie wielkie sekrety, a dziecięce łamigłówki bywają głębsze, niż można by sądzić.

Choćby taka:

Jeżeli cztery kury znoszą cztery jajka w cztery dni, to ile jajek zniesie osiem kur w osiem dni?

Pogłówkuj nad nią, jeszcze do tej kwestii wrócimy. Teraz mogę ci tylko zdradzić, że gdy odkryłem tę zagadkę w wieku dziesięciu lat, nie przypuszczałem, że pewnego dnia pomoże mi ona zrozumieć najsłynniejsze twierdzenie świata.

Zatem jeśli masz ochotę przez chwilę mi potowarzyszyć, zapraszam w podróż. Całkiem możliwe, że podczas naszej eskapady wystąpi kilka trudnych momentów – w końcu nie zmienia się swojego sposobu myślenia ot, tak. Pewnie pojawią się wątpliwości, które trzeba będzie przezwyciężyć, i idee, którym trzeba będzie pozwolić dojrzeć. Ale nie poddawaj się, przyjemność zrozumienia tysiąckrotnie wynagrodzi ci podjęty trud. Za tą kartką zaczyna się nasza matematyczna wyprawa ku najpiękniejszym zakulisowym mechanizmom świata. Podnieś na chwilę wzrok i przyjrzyj się otaczającej cię scenerii: może się zdarzyć, że po powrocie z wycieczki zobaczysz wszechświat – swój wszechświat – nieco inaczej.

Część I
Prawo supermarketów

Prawo Benforda

Bywa, że podróże matematyczne rozpoczynają się w całkiem prozaicznych miejscach. Proponuję, abyśmy zajrzeli najpierw do najbliższego sklepu. Na pewno znajdzie się jakiś w twojej okolicy. Choćby ten, w którym zazwyczaj robisz zakupy. Nie ma znaczenia, czy jest to gigantyczne centrum handlowe, czy osiedlowe delikatesy, wystarczy, że będą w nim podstawowe produkty, takie, których potrzebujemy na co dzień.

Miejsce jak miejsce. Byłeś w tym sklepie już setki, może tysiące razy. Równoległe alejki, metalowe regały, regularne piknięcia skanowanych w kasie kodów kreskowych i snujący się klienci, którzy machinalnie chwytają butelkę mleka lub konserwę. Ale my dzisiaj nie robimy zakupów. Przeprowadzamy misję obserwacyjną.

Właśnie w sklepie kryje się bowiem jedna z najbardziej intrygujących ciekawostek matematycznych. Przez wszystkie te lata była tu, przed twoimi oczami. Nikt jej nie ukrył, widzisz ją – właśnie teraz. Niepozorną anomalię. Jeden z tych nic nieznaczących, umykających uwadze szczegółów, które jednak powinny wzbudzić podejrzliwość czujnych obserwatorów. Wyjmij notes lub otwórz notatnik w smartfonie i zacznijmy nasze dochodzenie.

Przyjrzyj się cenom widniejącym na etykietach umieszczonych wzdłuż sklepowych półek. 2,30 zł… 1,08 zł… 12,49 zł… 3,53 zł… Liczby te wydają się zupełnie przypadkowe. 1,81 zł… 22,90 zł… 0,64 zł… Zakres cen rozciąga się od kilku groszy po kilkadziesiąt złotych. Ale nie będziemy skupiać się na detalach. Zapomnij o przecinkach i całej drobnicy. Przy każdej cenie weź pod uwagę wyłącznie pierwszą, najważniejszą cyfrę, tę, która pozwala oszacować przybliżoną wartość artykułu.

Tu 530-gramowa puszka czerwonej fasoli za 1,54 zł. W notesie zapisujesz 1. Nieco dalej dezodorant „24h” za 3,53 zł. Notujesz 3. Serek topiony za 1,81 zł. Znów zapisujesz 1. Patelnia z powłoką nieprzywierającą za 45,90 zł, tym razem wykroczyliśmy poza rząd jednostek, ale to bez znaczenia, skupiamy się wyłącznie na pierwszej cyfrze. Notujesz 4. Opakowanie prażonych orzeszków ziemnych za 0,74 zł. Tutaj pierwszą znaczącą cyfrą jest 7.

Krążymy tak przez kilka minut, a cyfr przybywa. 1 3 1 4 7 9 2 2 1 7 9 8 1 1 3 1 1 1 8 1 1 2 1 2 1 1 9 1 4 7 1 6 1 5 9 2 2 1 3 2 2 2 1 2 2 6… Jednak im bardziej w to brniemy, tym większe ogarnia nas zwątpienie. Nie uważasz, że w tym korowodzie cyfr jest coś nie tak? Panuje w nim pewna nierównowaga. Ciąg składa się głównie z 1 i 2 poprzetykanych gdzieniegdzie 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Czyżbyśmy nieświadomie kierowali naszą uwagę ku najniższym cenom? Mamy problem.

Zachowajmy się zatem jak odpowiedzialni statystycy. Żeby uniknąć subiektywnych, błędnych wniosków, postawmy na bardziej systematyczną metodę. Wybierzmy losowo kilka działów i w każdym z nich spiszmy ceny wszystkich produktów bez wyjątku. Sporo roboty, ale musimy mieć czyste sumienie.

Godzinę później kilka stron naszego notesu pokrywają cyfry. Czas zrobić bilans. Po podliczeniu werdykt brzmi jednoznacznie: zaobserwowana tendencja to fakt. Spisałeś ceny ponad tysiąca produktów i jedna trzecia z nich zaczyna się od 1! Więcej niż jedna czwarta zaczyna się od 2, a im cyfra wyższa, tym rzadziej występuje.

Po zebraniu danych otrzymujemy następujący rozkład[1]:


Tym razem nie może być już mowy o zwykłym przypadku czy subiektywnym zestawieniu produktów. Musimy uznać oczywisty fakt: pierwsze cyfry cen produktów w markecie nie są reprezentowane równomiernie. Niskie cyfry mają zdecydowaną przewagę.

Skąd ta nierównowaga? Oto jest pytanie. Jakiemu prawu sklepowemu, handlowemu czy ekonomicznemu podlegają te etykiety, by dawać tak dziwny rezultat? Dlaczego pierwsze cyfry cen nie są reprezentowane równomiernie? Czyż matematyka nie powinna traktować wszystkich cyfr egalitarnie, bez preferencji czy faworyzowania? Tymczasem fakty są, jakie są, i mówią zupełnie coś innego. W supersamach matematyka ma swoich pupilków: 1 i 2.

Przeprowadziliśmy obserwacje. Stwierdziliśmy fakty. Teraz będziemy musieli przemyśleć, przeanalizować i rozłożyć problem na czynniki pierwsze. Dysponujemy faktami, a naszym zadaniem będzie przeprowadzić dochodzenie i ogłosić wnioski.


W marcu 1938 roku amerykański inżynier i fizyk, Frank Benford, opublikował artykuł zatytułowany The Law of Anomalous Numbers (Prawo liczb anomalnych), w którym przeanalizował ponad dwadzieścia tysięcy różnych danych numerycznych. Sporządzone przez niego tabele są spisami długości rzek świata, liczebności populacji amerykańskich miast, mas atomowych znanych pierwiastków, liczb znalezionych losowo w gazetach, stałych matematycznych. Przy każdej z tych kategorii Benford zauważa taką samą prawidłowość jak my: pierwsze cyfry nie są rozłożone równomiernie. Około 30 % liczb zaczyna się od 1. 18 % zaczyna się od 2. Odsetek maleje w miarę przybliżania się do cyfry 9, która występuje na początku tylko w 5 % przypadków.

 

Benfordowi nie przyszło do głowy, by porównać swoje dane statystyczne z cenami w okolicznym supersamie. Przyznasz jednak, że jego wyniki dziwnie przypominają nasze. Istnieją, oczywiście, drobne odstępstwa, ale ogólnie rzecz biorąc, podobieństwo jest uderzające.



Praca Benforda dowodzi, że zebrane przez nas dane nie są wyjątkiem. Nie ilustrują prawidłowości specyficznej dla supermarketów, lecz wpisują się w o wiele ogólniejszy trend. Po 1938 roku identyczny rozkład zaobserwowało wielu naukowców w najróżniejszych, często zaskakujących dziedzinach.

Na przykład w demografii. Wśród 203 krajów[2], jakie znajdują się na kuli ziemskiej, aż 62, czyli 30,5 %, ma populację, której wielkość zaczyna się od cyfry 1. Poczynając od najbardziej zaludnionych Chin z 1,4 miliarda mieszkańców. Wśród tych 62 państw znajdują się także: Meksyk – 122 miliony mieszkańców, Senegal – 13 milionów mieszkańców, czy archipelag Tuvalu – 10 800 mieszkańców. Istnieje natomiast tylko 14 państw, a więc 6,9 %, których liczba mieszkańców zaczyna się od cyfry 9.

Wolisz astronomię? W wypadku czterech z ośmiu planet krążących wokół Słońca liczba opisująca średnicę równikową zaczyna się od 1. Jowisz – 142 984 km. Saturn – 120 536 km. Ziemia – 12 756. Wenus – 12 104. Nawet średnica Słońca wynosi 1 392 000 km. A jeżeli próbka dziewięciu ciał niebieskich nie wydaje ci się wystarczająco reprezentatywna, by uznać istnienie tej prawidłowości, dodaj planety karłowate, satelity, asteroidy czy komety, a i tak dojdziesz do tego samego wniosku: jedynka górą.

Wystarczy wzmóc czujność, by przykłady zaczęły się mnożyć. Weź jakiekolwiek zestawienie liczb, przeanalizuj pierwsze cyfry i bingo: rozkład Benforda widoczny jak na dłoni. Nie ma mowy o wyjątku, owa statystyczna prawidłowość wydaje się bowiem całkowicie naturalna i wszechobecna. Równomierny rozkład, za którym pewnie opowiedzielibyśmy się intuicyjnie, paradoksalnie jest we wszechświecie nieobecny.

Na tym poziomie trudno mówić o zwykłej ciekawostce handlowej. To, co właśnie wydobyliśmy na światło dzienne, jest faktycznym prawem, które reguluje nie tylko liczne dziedziny ludzkiej aktywności, ale również samą naturę, na jej najbardziej podstawowym poziomie. Zrozumieć to prawo to zrozumieć coś ważnego o naszym świecie i jego funkcjonowaniu.

Wpływ prawa Benforda jest na tyle duży, że sami je nieświadomie powielamy. Ludzie, którzy ustalają ceny w supersamach, nie uzgadniają tego ze sobą i w większości nigdy nie słyszeli o Franku Benfordzie. A mimo to, jakby wiedzeni niewidzialną siłą, poddają się jego prawu. Podobnie dzieje się z populacjami państw, długościami rzek i średnicami planet.

W 1938 roku Frank Benford nazwał ten rozkład „prawem liczb anomalnych”. Prawo jest jednak tak wszechobecne, że nazwa wydaje się niewłaściwa. Anomalia jest wyłącznie subiektywna, istnieje tylko dla tych, których dziwi. W przeciwieństwie do nas natura zdaje się uznawać to prawo za całkowicie pospolite. Prawo jest anomalne tylko do czasu, gdy pozostaje niezrozumiałe. A my przecież mamy zamiar je zrozumieć.

W którą więc stronę wyruszyć? Jak pokierować naszą myśl, by rzucić światło na anomalię i zmienić tajemnicę w oczywistość?

Prawo Benforda dość łatwo zrozumieć, co jednak nie oznacza, że da się je wyjaśnić w kilku zdaniach. Ukryta w nim matematyka jest prosta, ale zarazem głęboka. Nie jest to łamigłówka, do której rozwiązania wystarczy słowo klucz zapewniające doznanie olśnienia i radosny okrzyk: „Yes! No przecież!”. Będziemy musieli radykalnie zmienić nasze rozumienie liczb oraz sposób liczenia. Jeżeli prawo Benforda nie wydaje nam się oczywiste, to dlatego, że myślimy niewłaściwie. Będziemy musieli nauczyć się spoglądać inaczej na rzeczy, o których sądziliśmy, że dobrze je znamy. Będziemy musieli zakwestionować samych siebie.

Nie wraca się takim samym z podróży do świata, który otworzył przed nami Frank Benford. Jego prawo cię odmieni. Gdy wreszcie je zrozumiesz, zaczniesz myśleć inaczej.

Myślenie multiplikatywne

Wiele codziennych sytuacji dyskretnie nam uświadamia, że słabo sobie radzimy z liczbami. Wiemy, że dzwoni, ale nie wiemy, w którym kościele.

À propos liczb, mam dla ciebie krótką anegdotę.

Kilka lat temu na wieczornej posiadówce u przyjaciół ktoś wpadł na pomysł, by zorganizować quiz z wiedzy o świecie. Podzieliliśmy się na dwie drużyny. Każda miała odpowiedzieć na serię pytań z różnych dziedzin, począwszy od matematyki, przez biologię i informatykę, na geologii kończąc. Po każdym pytaniu drużyny miały podać odpowiedź, a ta najbliższa prawdy była premiowana punktem. Zasada, wydawałoby się, prosta i jednoznaczna. Jednak po kilku rundach gry pewna kwestia astronomiczna wywołała nieoczekiwany spór.

Pytanie brzmiało: „W jakiej odległości od Ziemi znajduje się Księżyc?”.

W naszej drużynie nikt nie znał odpowiedzi, ale po naradzie uzgodniliśmy, że będzie to 800 000 km. Ustalenia w drużynie przeciwnej przebiegały w bardziej nerwowej atmosferze, ale w końcu i tam pojawiła się odpowiedź: 10 km!

Najwyraźniej znali się na astronomii jeszcze gorzej niż my. Najwyższa góra na świecie, Mount Everest, ma prawie 9 km wysokości. Gdyby Księżyc znajdował się w odległości zaledwie 10 km, wystarczyłoby na nią wejść, by mieć naszego naturalnego satelitę na wyciągnięcie ręki. Ich odpowiedź była absurdalna. Wszystko wskazywało na to, że punkt mamy w kieszeni.

Tymczasem po weryfikacji wyników sprawy przybrały co najmniej zaskakujący obrót. W rzeczywistości Księżyc znajduje się w odległości 384 000 km od Ziemi. Zwykłe odejmowanie pokazało więc, że pomyliliśmy się o 416 000 km, podczas gdy drużyna przeciwna pomyliła się tylko o 383 990 km.

Pokręciłem nosem i w głowie policzyłem wszystko jeszcze raz. Na próżno. Przyznaję, że na wszelki wypadek nabazgrałem nawet na papierowej serwetce taki schemat:



Nie ulegało wątpliwości, że ich odpowiedź była bliższa prawdy niż nasza. Wygrali. Jeszcze przez kilka minut mieliłem w głowie przeprowadzone obliczenia, ale nie dało się im nic zarzucić. Matematyka nie pozostawiała wątpliwości.

Czy nie uważasz jednak, że było w tej sytuacji coś niesprawiedliwego? Być może uznasz, że nie umiem przegrywać – trudno – ale czy nie wydaje ci się, że mimo formalnego rezultatu odejmowania nasza odpowiedź była właściwsza, bardziej przemyślana i, w pewnym sensie, mniej niepoprawna niż odpowiedź przeciwnej drużyny?

Dlaczego w takim razie matematyka zdaje się twierdzić co innego? Dlaczego obliczenia wskazują na odpowiedź, która wyraźnie przeczy zdrowemu rozsądkowi?

Być może należałoby schować dumę do kieszeni i przeformułować pytanie: czy aby na pewno rozumiemy matematykę, której używamy? Matematyka się nie myli, to ludzie niewłaściwie się nią czasami posługują.

Jeżeli się zastanowić, można wyobrazić sobie wiele podobnych sytuacji. Kot ma średnio 25 cm wzrostu, a przeciętny labrador 60 cm. Niektóre bakterie mierzą 0,001 milimetra. Można by zatem stwierdzić, że pod względem rozmiarów kotu jest bliżej do bakterii niż do labradora. Między kotem a bakterią różnica wynosi bowiem 25 cm, podczas gdy kota od psa dzieli 35 cm.



Raz jeszcze werdykt liczb jest sprzeczny z naszą naturalną percepcją rzeczywistości. Kot i pies należą do tego samego świata. Mogą się razem bawić, a przynajmniej reagować na siebie. Wzajemnie się widzą i wyczuwają, jeden ma świadomość istnienia drugiego. Tymczasem kot, o ile nie studiował biologii, nie ma zielonego pojęcia o istnieniu bakterii. Nie należą one do jego świata, są tak maleńkie, że ani ich nie widzi, ani sobie ich nawet nie wyobraża.

Rozumując w ten sposób, moglibyśmy mnożyć przykłady, jedne bardziej irracjonalne od drugich, a mimo wszystko poprawne pod względem matematycznym. Temperatura na powierzchni Słońca jest bliższa 5°C niż 15 000°C. Paryżowi, pod względem populacji, jest bliżej do wioski zamieszkałej przez 12 osób niż do Nowego Jorku. Masa Marsa jest bliższa masy piłeczki pingpongowej niż Ziemi.

Jeżeli takie postawienie sprawy przeczy zdrowemu rozsądkowi, to dlatego, że tak jak w przypadku prawa Benforda, robimy błąd myślowy. Dlatego że korzystamy z narzędzi matematycznych, których nie rozumiemy w pełni, w sytuacji, do której nie są one przystosowane.

Jak zatem przełożyć nasze intuicyjne refleksje na język matematyczny? Odpowiedź kryje się w subtelnym pojęciu rzędu wielkości.


Podstawowe założenie jest proste, ale piorunująco skuteczne. Myśleć rzędem wielkości to myśleć raczej systemem mnożącym niż sumującym.

Jeżeli chcesz porównać liczby 2 i 10, możesz to zrobić na dwa różne sposoby. Addytywnie: ile trzeba dodać do 2, żeby otrzymać 10? Wówczas odpowiedź brzmi: 8. Multiplikatywnie: przez ile należy pomnożyć 2, żeby otrzymać 10? Wówczas odpowiedź brzmi: 5. Różnicę addytywną między dwiema liczbami otrzymuje się poprzez odejmowanie: 10–2 = 8. Różnicę multiplikatywną otrzymuje się poprzez dzielenie: 10 ÷ 2 = 5.

Powiedzieć o dwóch wartościach, że należą do tego samego rzędu wielkości, to stwierdzić, że są sobie bliskie z multiplikatywnego punktu widzenia.

Ta idea na pierwszy rzut oka może ci się wydać cudaczna, ale jeśli zaczniesz myśleć systemem mnożącym, szybko zdasz sobie sprawę, że w wielu codziennych sytuacjach takie podejście jest o wiele bardziej zgodne z naszą intuicją.



Wróćmy do naszego quizu. Gdybym miał wtedy więcej oleju w głowie, oto jak mógłbym odwołać się od werdyktu. Księżyc dzieli od Ziemi odległość 384 000 kilometrów, a nasza drużyna odpowiedziała, że 800 000, czyli przeszacowała mniej więcej dwukrotnie. Jeżeli zrobić dzielenie, okaże się, że podaliśmy liczbę dokładnie 2,08 razy większą od poprawnej. Nasi przeciwnicy odpowiedzieli, że 10 km, czyli podali liczbę 38 400 razy mniejszą! Przyjmując tę perspektywę, to my byliśmy bliżej prawdy, i to znacznie. Taki wynik jest dużo bardziej zgodny z naszą intuicją.

To samo dotyczy wszystkich wcześniejszych przykładów. Pod względem multiplikatywnym rozmiar kota jest bliższy rozmiarów psa niż bakterii, masa Marsa bliższa masy Ziemi niż piłeczki pingpongowej, populacja Paryża bliższa populacji Nowego Jorku niż maleńkiej wioski i tak dalej.



Porównując dwie liczby opisujące dowolną kategorię, w większości przypadków spontanicznie będziemy myśleć w sposób multiplikatywny. Jeżeli twój sklep podniesie o 8 zł cenę produktu kosztującego 200 zł, podwyżka prawdopodobnie cię wkurzy, ale znacznie mniej, niż gdyby market dołożył te same 8 zł do ceny produktu kosztującego 2 zł. W drugim przypadku cena podskoczy do 10 zł, czyli wzrośnie pięciokrotnie. Toż to rozbój w biały dzień! A przecież podwyżka jest identyczna.

Taki tryb porównywania nie ogranicza się wyłącznie do sfery umysłu. Nie jest to właściwość stricte intelektualna, lecz także cielesna, reguluje większość interakcji, jakie mogą zachodzić między nami a światem. Zmysły, za pomocą których odbieramy otaczający nas świat, także zdają się funkcjonować w trybie multiplikatywnym.

Gdybym zasłonił ci oczy opaską i do jednej ręki włożył przedmiot ważący 10 g, a do drugiej przedmiot ważący 20 g, bez trudu wskazałbyś ten cięższy. Gdybyś jednak musiał podnieść ciało o masie 10 kg i ciało o masie 10 kg i 10 g, byłoby ci zdecydowanie trudniej odróżnić je od siebie. A przecież różnica jest identyczna: 10 g. Ale jeśli się temu przyjrzeć, identyczna jest jedynie różnica addytywna, bo z multiplikatywnego punktu widzenia zmiana jest ogromna: przechodząc od 10 g do 20 g, podwajamy wartość. Tymczasem w drugim przypadku różnica między obydwoma masami ciał wynosi zaledwie 0,1 %.

 

Podobnie jest z naszym wzrokiem. Włączałeś kiedyś światło za dnia? Gdy pomieszczenie jest zalane słońcem, naciśnięcie przycisku prawie niczego nie zmienia. Wydaje się, że w pokoju jest tak samo jasno bez względu na to, czy żarówka świeci, czy nie. Gdy jednak naciśniesz włącznik po zmroku, ciemność się rozproszy, a światło wypełni całe pomieszczenie. Dzięki temu zobaczymy wyraźnie to, co jeszcze przed chwilą kryło się w półmroku.

A przecież żarówka sufitowa nie wytwarza mniej światła za dnia niż w nocy. W obydwu przypadkach emituje tyle samo promieni świetlnych. To oznacza, że z addytywnego punktu widzenia rozbieżność w natężeniu światła jest w jednej i drugiej sytuacji identyczna. Ale nasze oczy nie dostrzegają rozbieżności addytywnej, tylko rozbieżność względną, czyli multiplikatywną. Za dnia jasność żarówki blednie w porównaniu z jasnością Słońca. W nocy zaś to żarówka wiedzie prym.

Zrób przegląd swoich zmysłów: dotyk, wzrok, smak, słuch, powonienie. Przyjrzyj się także swojej percepcji upływającego czasu, pokonywanych odległości oraz, bardziej subiektywnie, intensywności doświadczanych emocji. O wiele łatwiej oswoić się z tymi wszystkimi napastliwymi bodźcami zmysłowymi, gdy postrzega się je raczej multiplikatywnie niż addytywnie.

1Takie wyniki otrzymał autor w styczniu 2019 roku na podstawie 1226 cen pozyskanych według wskazanej metody, z czego od 1 zaczynało się 391 cen (31,9 %), od 2–315 (25,7 %), od 3 –182 (14,8 %), od 4–108 (8,8 %), od 5–66 (5,4 %), od 6–50 (4,1 %), od 7–40 (3,3 %), od 8–30 (2,4 %), od 9–44 (3,6 %). (Jeśli nie podano inaczej, przypisy dolne pochodzą od autora – przyp. red.).
2Liczba ta stale się zmienia. Według ONZ istnieje 195 państw, w tym 193 członków ONZ i dwa kraje niezrzeszone: Stolica Apostolska i Palestyna. Międzynarodowy Komitet Olimpijski wymienia natomiast 206 państw, a Międzynarodowa Federacja Piłkarska (FIFA) – 211 (przyp. red.).