Bóg i geometria. Gdy przestrzeń była BogiemTekst

0
Recenzje
Przeczytaj fragment
Oznacz jako przeczytane
Jak czytać książkę po zakupie
Nie masz czasu na czytanie?
Posłuchaj fragmentu
Bóg i geometria. Gdy przestrzeń była Bogiem
Bóg i geometria. Gdy przestrzeń była Bogiem
− 20%
Otrzymaj 20% rabat na e-booki i audiobooki
Kup zestaw za 79,80  63,84 
Bóg i geometria. Gdy przestrzeń była Bogiem
Bóg i geometria. Gdy przestrzeń była Bogiem
Audiobook
Czyta Stanisław Biczysko
44,90  33,23 
Szczegóły
Czcionka:Mniejsze АаWiększe Aa


Spis treści

Karta redakcyjna

WPROWADZENIE

ROZDZIAŁ 1. GEOMETRIA ZA OBOLA

1. Przez ciasną bramę

2. Dar Nilu i gwiazd

3. Geometria za obola

ROZDZIAŁ 2. CZY PLATON BYŁ PLATONIKIEM?

1. Matematycy i Platon

2. Co to jest równość?

3. Jak istnieje liczba dwa?

4. Czy Platon był platonikiem?

Rozdział 3. Ofiara Pitagorasa

ROZDZIAŁ 4. CZY PITAGORAS BYŁ PITAGOREJCZYKIEM?

1. Platon i pitagorejczycy

2. Pitagorejczycy

3. Rewolucja niewspółmiernych

ROZDZIAŁ 5. KRÓLEWSKA DROGA DO GEOMETRII

1. Przemijanie i trwałość

2. Ocalić zjawiska

3. Euklides z Aleksandrii

ROZDZIAŁ 6. PODRÓŻ Z HERODOTEM

1. O wylewach Nilu

2. O dzieciństwie Cyrusa

3. Zemsta Astiagesa

ROZDZIAŁ 7. TRANSFORMACJE NIESKOŃCZONOŚCI

1. Początek w bezkresie

2. Czy tylko ignorant może wierzyć w nieskończoną liczbę wszechświatów?

3. Kompromis Arystotelesa

4. Przyczyna wszystkich liczb

ROZDZIAŁ 8. CHRZEŚCIJAŃSTWO WCHODZI NA SCENĘ

1. Nowy ferment

2. Przemiany

3. Augustyn i Faustus

4. Nowe horyzonty racjonalności

ROZDZIAŁ 9. OSWAJANIE NIESKOŃCZONOŚCI

1. Brat Bazylego

2. Pognębienie Eunomiusza

3. Metafizyka nieskończoności

ROZDZIAŁ 10. RELACYJNA REWOLUCJA W TEOLOGII

1. Od substancji do relacji

2. Formuła Tertuliana

3. Nicea i Konstantynopol

4. Od Trójcy do kosmologii

5. Relacyjne piętno

ROZDZIAŁ 11. PIERWSZE SOBORY I GEOMETRIA

1. Tropem protestanckiego teologa

2. Wcielenie i przestrzeń

3. Greckie dziedzictwo

4. Perspektywa ikony

5. Z Nicei do teorii ostatecznej

ROZDZIAŁ 12. CZAS I WIECZNOŚĆ

1. Bez czasu i przestrzeni

2. Gdy przemijała postać świata

3. Ostatni Rzymianin

4. O pociechach filozofii

5. Co Bóg robił przed stworzeniem świata?

6. Stąd do wieczności

7. Od wieczności Boecjusza do teraz fizyki

ROZDZIAŁ 13. OD LICZYDŁA DO SZEROKOŚCI FORM

1. Resztki dziedzictwa

2. Arytmetyka na liczydłach

3. Geometria w kosmosie

4. Geometria ruchu

5. Długości i szerokości form

ROZDZIAŁ 14. UŚMIECH NAUCZYCIELA

1. Wizja na morzu

2. Szeroki trakt do rzeczy boskich

3. Matematyka teologiczna

4. Wszechświat bez środka i obwodu

5. Uśmiech nauczyciela

ROZDZIAŁ 15. JAK BÓG ISTNIEJE W ŚWIECIE?

1. Geometria i przestrzeń

2. Obecność jako znak

3. Co Kopernik pozostawił filozofom przyrody?

4. Ku nieskończonej przestrzeni

ROZDZIAŁ 16. PARADYGMAT SFERY

1. Geneza paradygmatu

2. Kształtowanie wszechświata

3. Własności kuli

4. Zignorowany obraz

5. Nowe paradygmaty

6. Platon i współczesna fizyka

ROZDZIAŁ 17. KOPERNIKANIZM I POLIFONIA

1. Reguła metabasis

2. Nowa astronomia

3. Harmonia świata

ROZDZIAŁ 18. JASNO I WYRAŹNIE

1. Jak postępować z przyrodą?

2. Mucha na suficie

3. Materia – na sposób geometrii

ROZDZIAŁ 19. GDY PRZESTRZEŃ BYŁA BOGIEM...

 

1. W roli ogniwa

2. Krytyk Kartezjusza

3. Rozciągłość jako idea

4. Kłopoty z geometrią, czasem i przestrzenią

ROZDZIAŁ 20. GALILEUSZA CZYTANIE KSIĘGI PRZYRODY

1. Wiedzieć jak Bóg

2. Komety i Księga Wszechświata

3. Jak Galileusz czytał księgę przyrody?

4. Galileusz i geometria

ROZDZIAŁ 21. OD MATEMATYKI DO TEOLOGII

1. Rysa na dostojnym gmachu geometrii

2. Nauczyciel Newtona

3. „Mąż swojej żony”

4. Program geometryzacji fizyki

ROZDZIAŁ 22. BÓG I GEOMETRIA W DZIELE NEWTONA

1. Humor Sir Izaaka

2. Wielka synteza

3. Geometryczna scena

4. Polemika z Kartezjuszem

5. Polemika z Leibnizem

6. Newtonowska synteza

7. Bóg i geometria

Bibliografia

Przypisy

Katalog wydawniczy

Adiustacja i korekta: ANNA MAJORCZYK

Projekt okładki: MARIUSZ BANACHOWICZ

Projekt typograficzny: MIROSŁAW KRZYSZKOWSKI

Skład: MELES-DESIGN

Książka przygotowana w ramach grantu „Science for Ministry in Poland”, przyznanego Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych przez John Templeton Foundation.

© Copyright by Michał Heller & Copernicus Center Press, 2015

ISBN 978-83-7886-166-9

Wydanie I

Kraków 2015

Copernicus Center Press Sp. z o.o.

pl. Szczepański 8, 31-011 Kraków

tel./fax (+48 12) 430 63 00

e-mail: marketing@ccpress.pl Księgarnia internetowa: http://en.ccpress.pl

Konwersja: eLitera s.c.

Wprowadzenie

Dlaczego Bóg i geometria? Dla kogoś, kto nie liznął historii filozofii, zestawienie to może być zaskakujące, ale każdy, kto cokolwiek słyszał o Platonie, wie, że „Bóg geometryzuje”. A jeżeli cała historia filozofii sprowadza się do kilku przypisów do Platona, jak utrzymywał Alfred North Whitehead, to któreś z nich muszą się odnosić do relacji między geometrią a Bogiem. Ponieważ zarówno filozofia, jak i geometria od dawna należą do obszarów moich zainteresowań, nie mogłem nie zastanawiać się nad tym, co to znaczy, że „Bóg uprawia matematykę” – bo tak można sparafrazować Platońskie powiedzenie. Notatki i materiały do tego tematu gromadziłem przez lata – niesystematycznie, a nawet wręcz chaotycznie; większość z nich zapodziała się gdzieś wśród szpargałów, skutecznie przegrzebana dzięki podejmowanym co jakiś czas próbom uporządkowania domowego archiwum. Ale myśli nawarstwiały się w głowie i któregoś dnia trzeba było wziąć pióro do ręki.

Jednak przy takim przedsięwzięciu same „myśli w głowie” nie wystarczą. Trzeba podjąć bardziej systematyczny wysiłek gromadzenia materiałów, ich selekcjonowania, dostudiowywania i myślenia prawie bez przerwy. Jest to poważny trud, ale i wielka przyjemność. Od dawna wiedziałem, że greckie spekulacje filozoficzne, a potem chrześcijańska teologia, stanowiły inspirację dla wielu odkryć naukowych, zwłaszcza matematycznych, ale rozmiar tego zjawiska i obustronność wzajemnych wpływów były dla mnie czymś niespodziewanym.

Istnieje wiele opracowań historii geometrii zarówno całościowych, jak i dotyczących poszczególnych okresów. Nie jest moim zamiarem pisanie jeszcze jednego. Istnieje również wiele podręczników historii filozofii i wcale nie mniej podręczników i monografii historii dogmatyki chrześcijańskiej. Także nie chcę dodawać do tej listy mojego własnego przyczynku. Interesuje mnie to, co można wyczytać, studiując obydwa te rodzaje dzieł, a czego w żadnym z nich nie napisano wprost, przynajmniej w wystarczająco pełnym zakresie. I ja nie pretenduję do pełności, ale może uda mi się przetrzeć szlak i uchwycić kilka idei, których nie widać, gdy się drąży tylko jedną z zaangażowanych stron.

Moja książka składa się z czterech części, choć nie jest to wyraźnie zaznaczone w tekście. Celowo, bo granica między nimi jest płynna. Nie da się ostrą linią odgraniczyć greckiej starożytności (część I) od pierwszych wieków chrześcijaństwa (część II), ani tych ostatnich od chrześcijańskiego średniowiecza (część III) i potem renesansu (część IV). Wszystkie te fazy w okresach przejściowych ciasno splatają się ze sobą i są wówczas pełne fermentów oraz zwykle twórczych kryzysów.

Kiedyś Carl von Weizsäcker powiedział, że najłatwiejsza do studiowania jest myśl grecka, bo studiując ją, nie trzeba cofać się do Greków. Przed Grekami były już zaczątki geometrii (pomiary gruntów po wylewach Nilu w Egipcie) i algebraicznych metod rachunkowych (astronomia w Babilonii), ale prawdziwa geometria zaczęła się od Greków, bo potrafili oni z konkretnych kształtów wyabstrahować to, co istotne i zastosować do tego rachunkowe metody. A studiując filozofię, w ogóle nie trzeba wychodzić poza Greków, bo jeżeli nawet coś było przed nimi, to nie zachowało się do naszych czasów.

Jednym z największych wynalazków Greków (nie wahałbym się powiedzieć – po prostu największym) był wynalazek matematycznego dowodu: to, że wniosek rygorystycznie wynika z założeń i że jesteśmy w stanie prześledzić to wynikanie w skończonej ilości kroków, z których każdy polega na zastosowaniu prostej reguły. To prawda, że wynalazek ten narodził się z greckiej tęsknoty za racjonalnością, to znaczy za tym, żeby żadnego twierdzenia nie pozostawiać bez uzasadnienia. Dążenie do urzeczywistnienia tej tęsknoty na terenie filozofii zawiodło, ale za to w matematyce wydało bogate owoce, szczególnie w geometrii, gdzie rygorystyczny dowód może być często wsparty niemal naocznym „widzeniem”.

Odkrycie to, jakby rykoszetem, wróciło do filozofii. Bo „przymus dowodu” ma w sobie coś z „filozoficznego faktu”, który domaga się refleksji i... próby uzasadniania. Nie tylko filozofia Platona rozgrywała się w cieniu tego odkrycia; znajduje się ono niejako w podświadomości całej myśli greckiej. Geometria jest, w jakimś sensie, wiedzą boską. Nie tylko Bóg geometryzuje, każdy, kto bezinteresownie uprawia filozofię, czyli jest miłośnikiem Mądrości, geometryzuje na wzór Boga.

Wkrótce po pojawieniu się chrześcijaństwa, które z małej Palestyny rozlało się na wszystkie prowincje Imperium Rzymskiego, nastąpiło sprzężenie nowych treści, jakie ze sobą niosło, z dominującą kulturą grecką. Myśl grecka była zbyt głęboko wrośnięta w kulturę i mentalność tamtych czasów, by chrześcijańska doktryna mogła ją po prostu wyprzeć lub choćby tylko zignorować. Pierwsi wykształceni chrześcijanie nie tylko mówili, ale i myśleli po grecku. Myślenie to niekiedy, w konfrontacji z nowymi prawdami wiary, przybierało charakter spięć, ale bardziej płodny w skutkach niż spięcia okazał się wysiłek włożony w oswajanie prawd chrześcijańskich, czyli w asymilowanie ich do kulturowego podłoża.

Takie zwarcie nie mogło pozostać bez wpływu na obydwie strony. Dzięki niemu religia chrześcijańska dorobiła się swojej teologii. Nie była ona prostym włożeniem nowych prawd w stare schematy pojęciowe. Tego po prostu zrobić się nie dało. Nowa teologia nie powstawała jako szkolny projekt zaprojektowanej z góry syntezy, lecz rodziła się wśród napięć wywołanych przez praktyczne potrzeby, w ostrych polemikach pomiędzy różnymi grupami chrześcijan i przede wszystkim w głowach samych chrześcijan, których życie zmuszało do stawiania pytań i poszukiwania na nie odpowiedzi.

To, że pierwsze wieki chrześcijaństwa wydały szereg myślicieli największego kalibru, było także bez wątpienia zasługą greckiej kultury, która stanowiła żyzną glebę rodzącą wielkie talenty. A to, że nazywamy ich Ojcami Kościoła, ma swoje głębokie uzasadnienie: są oni nie tylko świadkami pierwotnej tradycji chrześcijańskiej, lecz dali również początek wielu istotnym wątkom, którymi przez wieki żywiła się europejska kultura. To prawda, że byli bardziej zainteresowani wgłębianiem się w tajniki prawd wiary, niż rozwijaniem filozofii jako takiej, ale teologia zawsze wiąże się z filozofią, a teologiczna pasja Ojców niejako przelała się na ich filozofię i dzięki temu pozwoliła jej przetrwać kryzys przejścia od starożytności do średniowiecza.

Geometria znajdowała się w gorszej sytuacji. To szczęście, że przejście do średniowiecza przetrwały księgi zawierające grecką geometrię, ale nie przetrwał go nikt, kto by je mógł czytać z pełnym zrozumieniem. Gdy polityczna zawierucha wędrówek ludów w końcu się wyciszyła, pozostawiając za sobą szczątki dawnej kultury, Europa musiała zaczynać prawie od nowa. Elementy greckiej filozofii wyczytywała z pism Ojców Kościoła, rozwijając je potem po swojemu, a matematyki uczyła się sama, zaczynając od prostego rachunku (computus). Z czasem wzmocniła się na tyle, że gdy potem spotkała się z nauką arabską, była w stanie nie tylko wiele się od niej nauczyć, ale także wkrótce sama przejąć pałeczkę postępu. Wszystko to działo się w gęstym kontekście teologicznym, który, ulegając stopniowym przeobrażeniom, przyjął w końcu postać scholastyki. Dziś „szkołą” często nazywamy zespół uczniów lub naukową tradycję wywodzącą się od jakiegoś mistrza. Średniowieczna scholastyka była „szkołą” w zupełnie wyjątkowym sensie: obejmowała pokolenia uczniów i tradycję, składającą się z wielu różnorodnych włókien, a mimo to dobrze zespoloną wspólnymi cechami.

Ludzkie sprawy dzieją się w przestrzeni. Jeżeli Bóg ma interweniować w losy człowieka, to musi jakoś wejść w przestrzeń. Tym bardziej, że bardzo trudno myśleć pozaprzestrzennie, a teologowie są ludźmi, jak i wszyscy inni, bardzo uwarunkowanymi przez stereotypy swojej epoki. Ciekawe, że kierunek myślenia szedł od abstrakcji do konkretu. Najpierw uważano, że Bóg jest obecny w świecie per virtutem – przez swoją moc działania; potem Jego wszechobecność rozumiano coraz bardziej przestrzennie. Wiązało się to niewątpliwie z dokonaniami w dziedzinie nauki (jak zwykle zresztą, wpływy były obustronne). Z jednej strony, geometria czyniła duże postępy, które, głównie za sprawą Kartezjusza, wywarły silne piętno na filozofii; z drugiej strony, w astronomii, tym razem dzięki Keplerowi, orbity planet przekształciły się z dość abstrakcyjnych krzywych geometrycznych w tory ciał niebieskich, zakreślane przez nie w rzeczywistej przestrzeni. Sama przestrzeń nabierała coraz bardziej charakteru sceny, na której dzieją się procesy wszechświata. Innej geometrii niż Euklidesowej nie znano, a więc fizyczna przestrzeń musiała być euklidesowa, czyli rozciągająca się do nieskończoności. A nieskończoność jest przymiotem Boga... Wprawdzie jeszcze jakiś czas uznawano dawne rozróżnienie pomiędzy nieograniczonością, która miała przysługiwać przestrzeni, a nieskończonością, która przysługiwała tylko Bogu, ale rozróżnienie to coraz bardziej się zacierało, aż wreszcie u Newtona przestrzeń stała się „organem Bożej wszechobecności” (podobnie jak czas „organem Bożej wieczności”).

 

Newton nie tyle kończy pewną epokę, ile rozpoczyna nową. Ale nowe epoki nie zaczynają się z niczego. Stare nie ginie, lecz się przetwarza. W dziele Newtona zbiegło się wiele wątków kultywowanych w poprzednich epokach: matematyka, filozofia przyrody, teologia, te elementy greckiej kultury, które udało się odzyskać i rozwinąć, ale także osiągnięcia bezpośrednich poprzedników: geometria Kartezjusza, astronomia Keplera, mechanika Galileusza. Raz na kilka stuleci w historii nauki zdarza się niezwykły ewenement: człowiek o właściwym zestawie genów we właściwym czasie i we właściwym miejscu. Do tych wszystkich osiągnięć przeszłości Newton dodał coś, bez czego historia nadal by się wlekła z mozołem, czyniąc kolejne małe kroki na drodze postępu. Uczony z Trinity College nie tylko dokonał szeregu ważnych odkryć, ale uchwycił również ogólny wzorzec postępowania w badaniu naukowym, dzięki czemu uzyskał lawinę dalszych nowatorskich wyników, które złożyły się na spójny system. System okazał się otwarty na nowe dokonania i w ten sposób narodziła się nowa epoka.

Absolutna przestrzeń i absolutny czas nie stanowią tylko zewnętrznej oprawy dla Newtonowskiej fizyki, lecz poprzez współrzędne, spełniające dynamiczne równania, są ściśle z nią powiązane. Nawet jeżeli sam Newton nie zawsze trafnie ten związek odczytywał, pozostaje faktem, że od tego momentu fizyka na trwałe związała się z geometrią. Wydaje się, że teologia dobrze przysłużyła się nauce, wnosząc swój wkład do powstania abstrakcyjnego pojęcia przestrzeni. Ale w pojęciu tym pozostał jeszcze ślad jego teologicznego pochodzenia – Bóg Newtona jest wszechobecny, ponieważ istnieje absolutna przestrzeń, w której może On manifestować swoją obecność. Stanowi to poważny błąd teologiczny, bo wtłacza Boga do pojęcia, które jest nam potrzebne do rozumienia świata. Musi więc nastąpić proces separacji. Nie będzie on łatwy. Proces oczyszczania – zarówno nauki, jak i teologii – często bowiem wygląda jak wprowadzanie konfliktu pomiędzy nimi. Ale to już temat na inne dzieło.

Książkę tę można także czytać z innego punktu widzenia. Dzisiaj – zarówno w poznaniu potocznym, jak i w pracy matematyków i fizyków – pojęcie przestrzeni uważa się za „dane”. Oczywiście, i matematycy, i fizycy pojęcie to modyfikują, przystosowują, a nawet rewolucjonizują odpowiednio do swoich potrzeb i wymagań, ale punktem wyjścia, lub intuicyjnym tłem specjalistycznych dociekań, jest zawsze pojęcie „zastane”, takie jakie funkcjonuje w powszechnym obiegu. Książka ta pokazuje, że nasze „zastane” pojęcie przestrzeni wcale nie jest „oczywiste”, co więcej, jest względnie nowe. Narodziło się prawie równocześnie z nowożytną fizyką, a droga do tych narodzin była wyboista i niekoniecznie wiodła po najłatwiejszym terenie. Uprawiając dziś naukę, warto mieć świadomość, na czyich ramionach się stoi.

Gdy Newton oddawał Principia do druku, żaden zegar w Cambridge nie wskazywał nowej epoki, ale nauka już w nią wkraczała.

Michał Heller

Tarnów, 2 lutego 2015 roku

Rozdział 1

Geometria za obola

1. Przez ciasną bramę

Stoimy przed wejściem do Platońskiej Akademii. Wiemy oczywiście, że tu znajdują się źródła wielu późniejszych dokonań. Pamiętamy powiedzenie Alfreda Northa Whiteheada, że „całą filozofię zachodnią można sprowadzić do kilku przypisów do Platona”. Nie mamy wątpliwości, że trzeba wejść do środka, i to nie tylko kierowani instynktem turysty, który musi zaliczyć kolejny zabytek. Trochę nas jednak onieśmiela napis na bramie: mèdeis ageômetrètos eisitô mou tèn stègen – „niech nie wchodzi nikt, kto nie zna geometrii”. Czy wystarczająco znamy geometrię, aby wejść? Co miał na myśli Platon, umieszczając ten zakaz na bramie? Na wszelki wypadek zaglądamy do naszego turystycznego przewodnika. Oczywiście nikt już dzisiaj nie nosi ze sobą ciężkich, drukowanych przewodników. Wystukujemy odpowiednie hasło na naszym tablecie i już mamy[1]: No tak, nie wiadomo, czy to rzeczywiście Platon umieścił ten napis. Pierwszą wzmiankę o nim znajdujemy u chrześcijańskiego filozofa, Jana Filoponusa, żyjącego prawie dziesięć wieków po Platonie. Z wcześniejszych okresów są tylko niejasne wzmianki. Ale w greckim oryginale napis brzmi groźniej niż w polskim przekładzie. Ageômetros to są „a-geometrzy” – całkowici ignoranci, analfabeci w geometrii. Całkowitymi ignorantami w geometrii jednak nie jesteśmy, odważamy się wejść. Tym bardziej, że współczesny komentator uspokaja, iż nie tyle chodzi o już gotową wiedzę geometryczną, ile raczej o gotowość umysłu do jej przyjęcia. I – dodajmy od siebie – gotowość podjęcia wysiłku, jaki się z tym wiąże.

Wchodzimy. Gaj wysadzany platanami i oliwkami[2], pierwotnie poświęcony bogini Atenie, potem również attyckiemu herosowi, Akademosowi (stąd nazwa). Wzdłuż budynków, o których architekturze nie zachowały się informacje, biegła ścieżka (peripatos) – dziś jej ślad jest znaczony głazami, spomiędzy których wyrasta trawa. Tu spacerowano, prowadząc filozoficzne dysputy; ich echo pobrzmiewa w dialogach Platona. Najznamienitszy uczeń Platona, Arystoteles, który spędził w Akademii 20 lat, zachował na zawsze ten zwyczaj, dlatego nazwano go „perypatetykiem”. W gaju znajdowała się także bieżnia i miejsca do ćwiczeń gimnastycznych. Platon uważał bowiem, że rozwój umysłowy musi iść w parze z rozwojem fizycznym. Bez tego ostatniego siły umysłu zostaną zbyt szybko wyczerpane.

Ale dlaczego geometria? W ciągu późniejszych wieków (Akademia istniała blisko tysiąc lat) Akademia najbardziej słynęła z filozofii, ale uprawiano w niej – uczono i twórczo rozwijano – właściwie wszystkie nauki: od matematyki i przyrodoznawstwa po teorię prawa i literatury. Platon był wymagający: od przyszłych adeptów filozofii żądał dziesięciu lat studiowania geometrii. Dopiero potem mogli podjąć pięcioletnie studia filozofii. Wedle Platona geometria jest więc przedszkolem filozofii, ale przedszkolem, w którym długo trzeba dojrzewać. Co takiego jest w geometrii, czego nie można zdobyć w inny, bardziej „miękki”, sposób?

2. Dar Nilu i gwiazd

Babilończycy byli bystrymi i bardzo cierpliwymi obserwatorami ale – jak można wnosić – mieli stosunkowo niewielką wyobraźnię. Pierwsze udokumentowane obserwacje gwiazd i planet, a także próby ich katalogowania, sięgają drugiego tysiąclecia przed Chrystusem i są dziełem Babilończyków. Obserwacje prowadzili oni wytrwale przez kilkanaście stuleci, nie tylko pilnie notując położenia planet, lecz także skrzętnie wyławiając z ich zestawień wszelkie możliwe regularności. Dzięki temu potrafili przewidywać różne zjawiska na niebie: zaćmienia słońca, księżyca, koniunkcje planet itp. Brakowało im jednak wyobraźni, by wykryte regularności połączyć z jakimś, przynajmniej hipotetycznym, mechanizmem ruchów ciał niebieskich lub z jakimś kosmologicznym obrazem.

Oczywiście do porządkowania astronomicznych obserwacji niezbędna była jakaś matematyka. Babilończycy rozwinęli ją w znacznym stopniu, ale i tu ujawniły się ich umysłowe predyspozycje. Metodą zgadywania i eksperymentowania z liczbami tworzyli rozmaite rachunkowe algorytmy, które skutecznie mogli potem stosować do swoich astronomicznych obserwacji. Stosując dzisiejszą terminologię, powiedzielibyśmy, że były to algorytmy arytmetyczne i algebraiczne, ale zawsze wykonywane na konkretnych liczbach, a nie na abstrakcyjnych symbolach. Zdecydowanie nie mieli „zmysłu” do geometrii. W geometrii trzeba „widzieć”, a nie tylko kalkulować.

Czy zmysł widzenia geometrycznego można w sobie wyrobić? Ludzie rodzą się z różnymi predyspozycjami, ale z pewnością okoliczności mogą sprzyjać lub działać przeciwko ich rozwijaniu. Herodot, pierwszy dziejopis grecki (w każdym razie pierwszy, którego dzieło zachowało się do naszych czasów), opowiada, że faraon Sesostris[3] każdemu Egipcjaninowi przydzielił kawałek ziemi o kształcie kwadratu, oczywiście nakładając na działki odpowiednie podatki. Był jednak na tyle uczciwy, że gdy któremuś z poddanych wylew Nilu zabierał część posiadłości, potrącał odpowiednią część podatku. W tym celu, na wniosek poszkodowanego, wysyłał urzędników, którzy dokonywali odpowiednich pomiarów gruntu i wyznaczali wysokość podatków. Urzędnicy musieli więc opanować metodę mierzenia i obliczania powierzchni. Herodot dodaje: „(...) i myślę, że w ten sposób została wynaleziona sztuka geometrii, która potem weszła do Hellady”[4]. Nie wiadomo czy ta historia jest prawdziwa. Sam Herodot zastrzega się, że usłyszał ją od egipskich kapłanów, ale jej echo do dziś pobrzmiewa w nazwie „geometria” (po grecku gea – ziemia, metrein – mierzyć).

Co roku miały miejsce wylewy Nilu i co roku trzeba było powtarzać wiele pomiarów gruntu. Nic dziwnego, że Egipcjanie stali się ekspertami w pomiarach geodezyjnych. Ich geometria była sztuką pochodną: wiedzieli jak obliczać powierzchnie, objętości, kąty między prostymi. Wylewy Nilu były dla nich ważne, ponieważ od nich zależały urodzaje. Z uwagą obserwowali więc zachowanie rzeki i to wszystko, co wiązało się z jej wylewami. Odnotowali na przykład, że Syriusz pojawia się na niebie co roku w dniu, w którym fala powodziowa na Nilu osiąga Memfis (pobliże dzisiejszego Kairu). Wydawać by się mogło, że do spostrzeżenia tej zbieżności nie potrzeba aż tak długotrwałych obserwacji. Zauważmy jednak, że rok egipski składał się z 365 dni, czyli był krótszy o około ćwierć doby od roku astronomicznego, a więc już po kilkunastu latach Syriusz i fala powodziowa nie spotkają się w Memfis. Dopiero po 1460 latach[5], Syriusz i Nil ponownie zsynchronizują swe ruchy. Kapłani egipscy znali tę liczbę i potrafili wprowadzić odpowiednie poprawki. Dali tym dowód swojej wytrwałości.

Babilończykom i Egipcjanom zawdzięczamy początki naszej matematyki. Tylko czy była to już matematyka, czy raczej zbiór przepisów rachunkowych, służących głównie do praktycznych zastosowań.

3. Geometria za obola

Euklides był niewątpliwie największym geometrą starożytności. Powiemy o nim jeszcze nie jedno w dalszych rozdziałach. Ioannes Stobaios, autor antologii tekstów starogreckich (V wiek po Chr.), przekazał nam następującą anegdotę. Euklides uczył młodego człowieka początków geometrii. Gdy uczeń zapoznał się z pierwszym przedstawionym mu twierdzeniem, rozczarowany zapytał:

– Co mi przyjdzie z takiej wiedzy?

Na to Euklides przywołał swojego niewolnika i polecił mu:

– Daj mu obola, bo on zawsze musi mieć coś z tego, czego się uczy.

Być może czytelnik odczuwa pewną solidarność z uczniem Euklidesa, bo po co komu, na przykład, wiedza o dwu prostych, które przecinają się w nieskończoności? Ale tu chodzi o coś więcej niż tylko o wzbogacenie wiedzy przez przyswojenie sobie kilku prostych faktów. Grecy zrozumieli to, co Babilończycy i Egipcjanie być może tylko niejasno przeczuwali. Proste prawdy z dziedziny arytmetyki lub geometrii można zapisać przy pomocy symboli: klinowych znaczków na glinianych tabliczkach, hieroglifów na papirusie, czy binarnego kodu, jakiego używamy w dzisiejszych komputerach. Jedne z tych zapisów wyrażają prawdy, które wydają się banalne, inne porażają specjalistów swoją głębią. Ale jest coś jeszcze, czego w tych zapisach nie widać, lecz co daje im wagę i głęboki sens. To wynikanie: jeżeli przyjmę ten zapis, to musze przyjąć i ten. Dlaczego muszę? Kto mnie zmusza? Nikt. Ale muszę. Na ogół źle znosimy ograniczenia naszej wolności, ale w przypadku matematycznej dedukcji nieuchronność wniosku daje nam poczucie bezpieczeństwa (nie zboczyłem z drogi) i związanego z nim intelektualnego komfortu, czasem nawet dużej radości.

Jest to tym dziwniejsze, że sam proces ścisłego rozumowania – przeprowadzania dedukcji – wymaga wysiłku, ponieważ łączy się ze znacznym wydatkowaniem energii. Dlatego ludzie często odczuwają niechęć do ścisłego myślenia i twierdzą, że nie lubią matematyki. Ale z drugiej strony przyjemność osiągania nieuchronnych wniosków bywa tak wielka, że wielu innych czyni z niej swoją życiową pasję i profesję. Euklides dobrze wiedział, że wartość jednego obola jest bez znaczenia w porównaniu z wartościami, jakie miał do zaproponowania swojemu uczniowi.