Miliardy, miliardy. Rozmyślania o życiu i śmierci u schyłku tysiącleciaTekst

Przeczytaj fragment
Oznacz jako przeczytane
Jak czytać książkę po zakupie
Czcionka:Mniejsze АаWiększe Aa


Carl Sagan

Miliardy, miliardy. Rozmyślania o życiu i śmierci u schyłku tysiąclecia


Tytuł oryginału

Billions and Billions. Thoughts on Life and death at the Brink of the Millennium ISBN 978-83-8116-846-5 Copyright © 2019 by Democritus Properties, LLC. Ali rights reserved including the rights of reproduction in whole or in part in any form Copyright © for the Polish translation by Karolina Bober, Poznań 2019 Copyright © for this edition by Zysk i S-ka Wydawnictwo s.j., Poznań 2019 Projekt graficzny okładki Grzegorz Kalisiak Opracowanie graficzne i techniczne Barbara i Przemysław Kida Wydanie I w tej edycji Wydanie 1 Zysk i S-ka Wydawnictwo ul. Wielka 10, 61-774 Poznań tel. 61 853 27 51, 61 853 27 67 dział handlowy, tel./faks 61 855 06 90 sklep@zysk.com.pl www.zysk.com.pl Wszelkie prawa zastrzeżone. Niniejszy plik jest objęty ochroną prawa autorskiego i zabezpieczony znakiem wodnym (watermark). Uzyskany dostęp upoważnia wyłącznie do prywatnego użytku. Rozpowszechnianie całości lub fragmentu niniejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci bez zgody właściciela praw jest zabronione. Konwersję do wersji elektronicznej wykonano w Zysk i S-ka Wydawnictwo.

Mojej siostrze, Cari,jednej z sześciu miliardów

Dokument chroniony elektronicznym znakiem wodnym

This ebook was bought on LitRes

CZĘŚĆ I: POTĘGA I PIĘKNO KWANTYFIKACJI
ROZDZIAŁ 1
Miliardy, miliardy

Niektórzy [...] sądzą, że liczba [ziaren] piasku jest nieskończona. [...] Niektórzy, nie uważając jej wcale za nieskończoną, myślą, że nie nazwano do tej pory dość wielkiej liczby. [...] Ale ja spróbuję pokazać [liczby, które] przekraczają nie tylko liczbę masy piasku równej wypełnionej Ziemi [...] ale również masy równej wielkością Wszechświatowi.

ARCHIMEDES, O liczeniu piasku (ok. 287-212 r. p.n.e.)


Carl Sagan i Johnny Carson w Tonight show z 30 maja 1980 r.

Nigdy tego nie powiedziałem. Daję słowo. Och, rzuciłem kiedyś, że istnieje jakieś 100 miliardów galaktyk i 10 miliardów bilionów gwiazd. Trudno mówić o kosmosie, nie używając wielkich liczb. Wielokrotnie powtarzałem słowo „miliard” w telewizyjnym serialu Kosmos, który oglądało mnóstwo ludzi. Ale nigdy nie powiedziałem „miliardy, miliardy”. Przede wszystkim to zbyt nieprecyzyjne. „Miliardy, miliardy” — czyli ile tych miliardów? Kilka? Dwadzieścia? Sto?... Określenie „miliardy, miliardy” jest bardzo niejasne. Gdy przerabialiśmy i aktualizowaliśmy serial, zwróciłem na to szczególną uwagę i jestem pewien. Nigdy tak nie powiedziałem.

Sformułowania tego używał natomiast Johnny Carson, w którego programach z cyklu Tonight Show wystąpiłem niemal trzydzieści razy. W sztruksowej marynarce, golfie i peruce przypominającej mop przedstawiał niewyszukaną imitację mojej osoby, sobowtóra, który późnym wieczorem w telewizji w kółko powtarzał „miliardy, miliardy”. To było trochę irytujące, że jakaś kopia mnie żyje własnym życiem i opowiada różne rzeczy, o których następnego ranka donoszą mi przyjaciele i koledzy po fachu. (Mimo przebrania Carson — wielki miłośnik astronomii — często kazał mojej imitacji wypowiadać się o prawdziwej nauce).

Co zdumiewające, określenie „miliardy, miliardy” się przyjęło. Ludzie je podchwycili. Do dziś zdarza się, że ktoś zaczepia mnie na ulicy, w samolocie czy na przyjęciu i pyta, trochę nieśmiało, czy nie zechciałbym — tylko dla niego — powiedzieć „miliardy, miliardy”.

— Ale ja właściwie tego nie powiedziałem — wyjaśniam.

— Nie szkodzi — nalega ten ktoś. — Proszę to zrobić i tak.

Słyszałem, że Sherlock Holmes nigdy nie stwierdził: „Elementarne, mój drogi Watsonie” (przynajmniej w książkach Arthura Conan Doyle’a), Jimmy Cagney nigdy nie warknął: „Ty brudny szczurze”, a Humphrey Bogart nigdy nie poprosił: „Zagraj to jeszcze raz, Sam”. Ale równie dobrze mogliby to zrobić — tak silnie te wypowiedzi zakorzeniły się w kulturze popularnej.

Moje proste sformułowanie nadal bywa cytowane w magazynach komputerowych („Jak by to ujął Carl Sagan, potrzeba na to miliardów, miliardów bajtów”), w ekonomicznych rubrykach gazet, podczas dyskusji o zarobkach zawodowych sportowców i tak dalej.

Przez pewien czas, powodowany dziecinną przekorą, nie używałem tego sformułowania ani w mowie, ani w piśmie, nawet gdy mnie o to proszono. Ale przekora minęła. Zatem proszę bardzo, do protokołu:

— Miliardy, miliardy.

Co sprawiło, że określenie „miliardy, miliardy” stało się tak popularne? Niegdyś synonimem wielkiej liczby były miliony. Niezwykle bogatych ludzi nazywano milionerami. Populacja Ziemi w czasach Jezusa liczyła około 250 milionów ludzi. W 1787 roku, gdy uchwalano Konstytucję Stanów Zjednoczonych, było jakieś 4 miliony Amerykanów; przed rozpoczęciem drugiej wojny światowej — już 132 miliony. Ziemię dzieli od Słońca odległość 150 milionów kilometrów. Około 40 milionów ludzi zginęło podczas pierwszej wojny światowej, blisko 60 milionów podczas drugiej. Rok składa się z 31,7 miliona sekund (co łatwo sprawdzić). Pod koniec lat osiemdziesiątych moc wybuchowa globalnego arsenału nuklearnego wystarczyłaby do zniszczenia miliona Hirosim. Słowo „milion” przez długi czas i przy różnych okazjach było używane jako synonim wielkiej liczby.

Ale czasy się zmieniły. Teraz na świecie są miliarderzy — nie tylko z powodu inflacji. Wiek Ziemi, jak wreszcie ustalono, wynosi 4,6 miliarda lat. Liczba ludności naszego globu zbliża się do 6 miliardów. Każde urodziny reprezentują kolejny miliard kilometrów przebytych wokół Słońca (Ziemia porusza się wokół Słońca o wiele szybciej, niż oddalają się od niej statki kosmiczne Voyager). Cztery bombowce B-2 kosztują miliard dolarów (niektórzy mówią, że 2, a nawet 4 miliardy). Budżet obrony narodowej Stanów Zjednoczonych, z uwzględnieniem ukrytych kosztów, przekracza 300 miliardów dolarów rocznie. Liczbę bezpośrednich ofiar potencjalnej wojny nuklearnej między Stanami Zjednoczonymi a Rosją szacuje się na miliard ludzi. W paru calach1 mieści się, jeden przy drugim, miliard atomów. No i są też te wszystkie miliardy gwiazd i galaktyk.

W 1980 roku, kiedy pokazano pierwszy odcinek telewizyjnego serialu Kosmos, ludzie byli gotowi na przyjęcie miliardów. Zwykłe miliony stały się zbyt skromne, nieatrakcyjne. Oba wyrazy brzmią na tyle podobnie, że trzeba włożyć wiele wysiłku, aby je rozróżnić2. Dlatego właśnie w Kosmosie mówiłem billions z wyraźnym, wybuchowym „b”, z czego niektórzy wnioskowali, że mam specyficzny akcent albo wadę wymowy. Alternatywna wersja wprowadzona przez komentatorów telewizyjnych „billions przez b” wydawała mi się niewygodna w użyciu.

Jest taki stary dowcip o wykładowcy, który opowiada w planetarium, że za 5 miliardów lat Słońce nadmie się i przeistoczy w czerwonego olbrzyma, pochłonie Merkurego oraz Wenus, a potem, być może, dosięgnie Ziemi. Po zajęciach wykładowcę zaczepia zaniepokojony słuchacz:

— Przepraszam, panie doktorze, czy powiedział pan, że Słońce spali Ziemię za 5 miliardów lat?

— Tak, w przybliżeniu.

— Dzięki Bogu. Przez chwilę myślałem, że mówił pan o 5 milionach.

Jakkolwiek ostateczny los Ziemi ogromnie nas ciekawi, to fakt, czy zniknie ona za 5 milionów czy za 5 miliardów lat, ma dla naszego życia niewielkie znaczenie. Rozróżnienie między milionami a miliardami jest o wiele istotniejsze w kwestiach takich jak budżety narodowe, globalne zaludnienie czy ofiary wojen nuklearnych.

Chociaż określenie „miliardy, miliardy” nie straciło jeszcze całkiem popularności, liczba miliard staje się niewielka, ograniczona i przebrzmiała. Na horyzoncie, a może nawet bliżej, jest nowe, o wiele atrakcyjniejsze słowo. Lada moment dotrze do nas bilion.


Liczenie wielkich liczb — sześć szkiców Patricka McDonnella

Światowe wydatki wojskowe wynoszą bez mała bilion dolarów rocznie. Całkowity dług zaciągnięty w zachodnich bankach przez wszystkie kraje rozwijające się dochodzi do 2 bilionów dolarów (wzrósł z 60 miliardów w 1970 roku). Podobną wartość ma roczny budżet rządu Stanów Zjednoczonych. Dług narodowy wynosi około 5 bilionów dolarów. Koszty proponowanego za czasów prezydentury Reagana planu Gwiezdne Wojny — technicznie wątpliwego — szacowano na kwotę między bilionem a 2 bilionami dolarów. Wszystkie rośliny Ziemi ważą bilion ton. Również gwiazdy łączy z bilionami naturalne pokrewieństwo: odległość naszego Układu Słonecznego od najbliższej gwiazdy, α Centauri, wynosi około 40 bilionów kilometrów.

Zamęt wywołany przez miliony, miliardy i biliony jest wciąż widoczny w życiu codziennym. Tydzień bez pomyłki w wiadomościach telewizyjnych (na ogół dotyczącej milionów i miliardów) to rzadkość. Pozwolę sobie zatem poświęcić chwilę na wyjaśnienie różnicy. Milion to tysiąc tysięcy, czyli jedynka z sześcioma zerami; miliard to tysiąc milionów, czyli jedynka z dziewięcioma zerami; a bilion to tysiąc miliardów (lub inaczej milion milionów), czyli jedynka z dwunastoma zerami.

To jest konwencja amerykańska, tzw. krótka skala. Przez długi czas amerykańskiemu trylionowi odpowiadał brytyjski bilion (gdy stosowano tam tzw. skalę długą). Brytyjczycy — całkiem rozsądnie — amerykański bilion oddawali sformułowaniem „tysiąc milionów”. W Europie odpowiednikiem amerykańskiego biliona jest miliard. W mojej kolekcji znaczków pocztowych, które zbieram od dzieciństwa, jest niemiecki okaz z 1923 roku, gdy szalała inflacja. Jego nominał to „50 milliarden”. Aż tylu trzeba było marek, by wysłać list. (To wtedy ludzie chodzili do piekarza czy sklepu spożywczego z taczkami banknotów). Wydaje się, że z powodu pozycji Stanów Zjednoczonych w świecie skala krótka wypiera długą.

 

Aby określić, o której wielkiej liczbie jest mowa, trzeba po prostu policzyć zera po jedynce. Ale gdy jest ich bardzo dużo, liczenie staje się żmudne. Dlatego właśnie robimy odstęp lub stawiamy kropkę po każdej grupie trzech zer. Zatem bilion to 1 000 000 000 000 albo 1.000.000.000.000. (W Ameryce zamiast kropek stawia się przecinki). W przypadku liczb większych niż bilion sprawę ułatwia liczenie trójek zer. Byłoby jednak jeszcze prościej, gdybyśmy nazywając jakąś wielką liczbę, mówili po prostu, ile zer stoi po jedynce.

I tak właśnie postępują naukowcy, między innymi matematycy, będący ludźmi praktycznymi. Wprowadzili zapis liczb w formie wykładniczej. Piszemy 10, a u góry z prawej strony umieszczamy małą liczbę, która mówi nam, ile zer następuje po jedynce. Stąd 106 = 1 000 000, 109 = 1 000 000 000, 1012 = 1 000 000 000 000 i tak dalej. Te małe liczby nazywa się wykładnikami potęgi; na przykład 109 określane jest jako „10 do potęgi 9” lub równoznacznie: „10 do dziewiątej” (w przypadku 102 i 103 można też używać sformułowań „10 do kwadratu” i „10 do sześcianu”). Wyrażenie „do potęgi”, podobnie jak słowo „parametr” i wiele innych terminów z matematyki i innych dziedzin nauki, wkrada się do języka codziennego, ale jego znaczenie stopniowo zaciera się i wypacza.

Oprócz swej przejrzystości zapis wykładniczy ma jeszcze jedną zaletę: aby pomnożyć dwie dowolne liczby w tej postaci, wystarczy dodać wykładniki. Stąd 1000 × 1 000 000 000 to 103 × 109 = 1012. Weźmy parę większych liczb: jeśli w typowej galaktyce jest 1011 gwiazd, a galaktyk jest również 1011, to liczba gwiazd w kosmosie wynosi 1022.

Jednakże zapis liczb w postaci wykładniczej wciąż spotyka się z oporem ludzi bojących się matematyki (choć przecież jej celem jest ułatwienie nam zrozumienia rzeczy, a nie utrudnienie go) oraz zecerów. Ci ostatni zdają się odczuwać namiętną potrzebę drukowania 109 jako 109 (jak sami widzicie, składacze z naszego wydawnictwa są wyjątkiem).

Wielkie liczby


NazwaLiczba (zapisana w pełnej postaci)Liczba (zapis naukowy)Ile trzeba czasu, żeby doliczyć do tej liczby, zaczynając od zera (jedna liczba na sekundę)
Jeden11001 sekunda
Tysiąc100010317 minut
Milion1 000 00010612 dni
Miliard1 000 000 00010932 lata
Bilion1 000 000 000 000101232 000 lat (czyli dłużej niż na Ziemi istnieje cywilizacja)
Biliard1 000 000 000 000 000101532 miliony lat (dłużej niż na Ziemi są ludzie)
Trylion1 000 000 000 000 000 000101832 miliardy lat (dłużej niż istnieje Wszechświat)

Nazwy większych liczb to tryliard (1021), kwadrylion (1024), kwintylion (1030) i sekstylion (1036). Masa Ziemi wynosi 6 kwadrylionów kilogramów.

Zapis naukowy (wykładniczy) bywa również wyrażany słowami. I tak elektron ma przekrój femtometra (10-15 metra); długość fali światła żółtego wynosi pół mikrometra (0,5 μm); ludzkie oko z trudem widzi robaka wielkości jednej dziesiątej milimetra (10-4 m); promień Ziemi to 6300 kilometrów (6300 km = 6,3 Mm); góra może mieć masę 100 petagramów (100 Pg = 1017 g). Oto kompletna lista przedrostków:


atto-a10-18
femto-f10-15
piko-P10-12
nano-n10-9
mikro-m10-6
mili-m10-3
centy-c10-2
decy-d10-1
deka-da101
hekto-h102
kilo-k103
mega-M106
giga-G109
tera-T1012
peta-P1015
eksa-E1018

W tabeli pokazano pierwszych sześć wielkich liczb, które mają własne nazwy. Każda z nich jest tysiąckrotnie większa niż poprzednia. Nazw liczb większych niż bilion prawie się nie używa. Jeśli będziesz liczyć bez przerwy z prędkością jednej liczby na sekundę, dojście do miliona zajmie ci ponad tydzień. Doliczenie do miliarda zabrałoby ci pół życia. Do tryliona nie doliczysz nigdy, choćbyś był rówieśnikiem Wszechświata.

Gdy opanujesz zapis liczb w formie wykładniczej, będziesz bez wysiłku posługiwać się tak ogromnymi liczbami jak: przybliżona liczba mikrobów w łyżeczce gleby (108), liczba ziarenek piasku na wszystkich plażach Ziemi (jakieś 1020), liczba istot żywych na naszym globie (1029), liczba atomów we wszystkich żywych organizmach Ziemi (1041), liczba nukleonów w Słońcu (1057) lub cząstek elementarnych (elektronów, protonów, neutronów) w całym kosmosie (1080). Nie oznacza to, że będziesz umiał wyobrazić sobie miliard lub kwintylion rzeczy — tego nie potrafi nikt. Ale dzięki zapisowi wykładniczemu możemy o takich liczbach myśleć i wykonywać na nich działania. Nieźle jak na samouków, którzy z początku nie mieli nic, a kolegów liczyli na palcach rąk i nóg.

Wielkie liczby są nieodłącznym elementem nowoczesnej nauki, ale nie chciałbym, aby ktokolwiek odniósł wrażenie, że wymyślono je w naszych czasach.

W arytmetyce hinduskiej wielkie liczby są obecne od dawna. Mnóstwo przykładów znajdziemy w dzisiejszych gazetach z Indii: grzywny czy wydatki podaje się tam w lak lub crore rupii. Oto klucz: das — 10, san — 100, hazar — 1000, lakh — 105, crore — 107, arahb — 109, carahb — 1011, nie — 1013, padham — 1015, a sankh — 1017. Zanim Europejczycy unicestwili kulturę Majów ze starożytnego Meksyku, jej przedstawiciele wymyślili skalę czasu świata. W skali tej marne parę tysięcy lat, które według Europejczyków upłynęły od stworzenia Ziemi, zajmuje tyle miejsca co nic. Pośród rozpadających się zabytków Coby w Quintana Roo znajdują się inskrypcje świadczące o tym, że Majowie sądzili, iż Wszechświat ma około 1029 lat. Hindusi twierdzili, że obecna inkarnacja Wszechświata liczy sobie 8,6 × 109 lat — strzał prawie w dziesiątkę. A matematyk z Syrakuz z III wieku p.n.e., Archimedes, oszacował w swoim dziele O liczeniu piasku, że do wypełnienia kosmosu potrzeba 1063 ziaren piasku. W skali Wszechświata miliardowe różnice od dawna uznawano więc za drobiazgi3.

ROZDZIAŁ 2
Perska szachownica

Nie ma języka bardziej uniwersalnego i prostego, wolnego od błędów i niejasności, zatem bardziej przystosowanego do wyrażania niezmiennych relacji rzeczy [...] Wydaje się, że [matematyka] jest zdolnością ludzkiego rozumu mającą zrekompensować krótkość życia i niedoskonałość zmysłów.

JOSEPH FOURIER, Théorie analytique de la chaleur (1822)

Słyszałem, że historia ta wydarzyła się w starożytnej Persji. Równie dobrze jednak mogło chodzić o Indie, a nawet Chiny. Tak czy inaczej, było to bardzo dawno temu. Wielki wezyr, główny doradca króla, wymyślił nową grę. Polegała ona na przestawianiu figur po kwadratowej planszy, na której znajdowały się sześćdziesiąt cztery czerwone i czarne pola. Najważniejszą figurą był król, a drugą co do ważności — wielki wezyr (czego można było się spodziewać po grze wymyślonej przez wielkiego wezyra). Wygrywał ten, kto pojmał króla należącego do gracza przeciwnego, stąd perska nazwa shahmat — shah oznaczało króla, mat — śmierć. Śmierć królowi. Po rosyjsku gra wciąż nosi nazwę szachmaty, co być może nawiązuje do niewygasłych uczuć rewolucyjnych. Nawet w języku angielskim pobrzmiewa echo pierwotnego określenia — ostatni ruch nazywa się checkmate. Chodzi oczywiście o szachy. Z upływem czasu figury, ich ruchy i zasady gry ewoluowały. Nie ma już, na przykład, wielkiego wezyra. Przeistoczył się w królową o wspaniałych mocach.


Nagroda dla wielkiego wezyra — trzy szkice Patricka McDonnella

Pozostaje tajemnicą, dlaczego król zachwycał się grą nazwaną „śmierć królowi”, ale, jak głosi legenda, był tak zadowolony, że spytał wielkiego wezyra, jaką nagrodę chciałby on dostać za znakomity wynalazek. Wielki wezyr zawczasu przygotował odpowiedź: „Jestem skromnym człowiekiem — odparł — chciałbym więc otrzymać skromną nagrodę”. Wskazując na osiem kolumn i tyleż rzędów kwadratów na planszy, którą wymyślił, poprosił o jedno ziarenko żyta na pierwszym kwadracie, dwa razy tyle na drugim, dwukrotnie więcej na trzecim i tak dalej, aż ostatnie pole pokryje się ziarnem. „Nie — zaprotestował król. — To zbyt skromna nagroda za tak wielki wynalazek”. Władca proponował klejnoty, tańczące dziewczęta, pałace, lecz wielki wezyr odmawiał, zgodnie z obyczajem spuszczając wzrok. Prosił tylko o stosiki ziaren żyta. Zatem król, w głębi duszy zaskoczony pokorą i skromnością swego doradcy, przystał na propozycję.

Kiedy jednak zarządca królewskiego spichrza zaczął odliczać ziarna, władcę spotkała przykra niespodzianka. Z początku liczby ziaren były niewielkie: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024..., lecz w miarę zbliżania się do ostatniego pola stawały się kolosalne, oszałamiające. Okazało się, że liczba ziaren wyniosła około 18,5 tryliona. Może wielki wezyr był na diecie wysokobłonnikowej?

Ile waży 18,5 tryliona ziaren żyta? Gdyby każde z nich mierzyło milimetr, wszystkie ważyłyby około 75 miliardów ton, co znacznie przekraczałoby zasoby spichlerzy szacha. W istocie jest to ekwiwalent około 150 lat obecnej produkcji żyta na świecie. Do naszych czasów nie przetrwały wiadomości o tym, co się stało dalej. Nie wiadomo, czy król, wyrzucając sobie nieuważne studiowanie arytmetyki, oddał królestwo wezyrowi, czy może ten ostatni doświadczył na własnej skórze opłakanych skutków nowej gry, zwanej wezyrmat.

Wyliczenie, o które król powinien był poprosić wezyra

Nie bój się. To naprawdę proste. Chcemy wyliczyć, jak wiele ziaren żyta znajdowało się na całej perskiej szachownicy. Oto świetny (i dokładny) sposób:

Wykładnik pokazuje, ile razy trzeba pomnożyć 2 przez siebie: 22 = 4, 24 = 16, 210 = 1024 i tak dalej. Niech S oznacza całkowitą liczbę ziaren na szachownicy, od 1 na pierwszym polu do 263 na polu sześćdziesiątym czwartym. Mamy więc:

S = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 262 + 263.

Mnożąc obie strony ostatniego równania przez 2, otrzymujemy:

2S = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 263 + 264.

Po odjęciu pierwszego równania od drugiego uzyskujemy:

2S – S = S = 264 – 1, co jest właśnie odpowiedzią.

Jaka to liczba w zwykłej notacji w systemie dziesiątkowym? 210 to w przybliżeniu 1000, czyli 103 (z dokładnością do 2,4%). Zatem 220 = 2(10 x 2) = (210)2 = mniej więcej (103)2 = 106, czyli 10 pomnożone przez siebie sześć razy, a więc milion. Podobnie, 260 = (210)6 = w przybliżeniu (103)6 = 1018. A więc 264 = 24 × 260 = w przybliżeniu 16 × 1018, czyli 16 z osiemnastoma zerami, co oznacza 16 trylionów ziaren. Dokładniejsze wyliczenia wykazują, że odpowiedź brzmi: 18,6 tryliona ziaren.

Możliwe, że historia perskiej szachownicy to tylko bajka, lecz starożytni Persowie i Hindusi rzeczywiście byli pionierami w dziedzinie matematyki. Dobrze opanowali posługiwanie się ogromnymi liczbami powstającymi w wyniku ciągłego podwajania. Gdyby wynaleziono szachownicę o stu polach (10 × 10) zamiast sześćdziesięciu czterech (8 × 8), ziarna zboża będące nagrodą ważyłyby tyle co Ziemia. Sekwencję liczb, w której każda następna powstaje w wyniku pomnożenia poprzedniej przez stały czynnik, nazywa się postępem geometrycznym. Mówimy, że wartości rosną wykładniczo.

Wykładniki znajdziemy we wszystkich ważnych dziedzinach życia. Weźmy na przykład procent składany. Gdyby, powiedzmy, 200 lat temu, czyli wkrótce po rewolucji amerykańskiej, Twój przodek złożył dla Ciebie w banku 10 dolarów i suma ta rosłaby o 5% rocznie, to teraz byłaby równa 10 × (1,05)200, czyli 172 925,81 dolara. (Zapis (1,05)200 oznacza po prostu 1,05 pomnożone przez siebie 200 razy). Niewielu jednak przodków tak bardzo troszczyło się o przyszłość dalekich spadkobierców, a w owych czasach 10 dolarów było sporą kwotą. Przypuśćmy teraz, że przodek ów zdołał uzyskać wyższe oprocentowanie. Gdyby było to 6%, dziś miałbyś ponad milion dolarów, przy 7% — ponad 7,5 miliona dolarów, a przy wygórowanej stopie procentowej 10% — 1,9 miliarda dolarów.

 

Podobnie rzecz się ma z inflacją. Jeśli jej stopa wynosi 5% rocznie, po roku dolar jest wart 0,95, po dwóch latach (0,95)2 = 0,91, po dziesięciu latach 0,61, po dwudziestu 0,37 i tak dalej. To bardzo istotna informacja dla emerytów, którzy otrzymują rocznie określoną kwotę, bez uwzględnienia inflacji.

Najpowszechniejszym przykładem występowania powtarzających się podwojeń, czyli przyrostu w postępie geometrycznym, jest reprodukcja biologiczna. Rozważmy najpierw prosty przypadek bakterii rozmnażającej się przez podział na dwie. Po pewnym czasie każda z dwóch córek bakterii dzieli się sama. Dopóki w środowisku jest pod dostatkiem pokarmu i nie ma substancji trujących, kolonia bakterii rośnie w postępie geometrycznym. W bardzo korzystnych warunkach podwojenie następuje co 15 minut. Oznacza to cztery podwojenia na godzinę i 96 podwojeń dziennie. Chociaż bakteria waży zaledwie około jednej trylionowej grama, jej potomkowie po jednym dniu dzikiego rozpasania nieseksualnego łącznie osiągnęliby masę góry, nieco ponad półtora dnia później ważyliby już tyle, co Ziemia, a po dwóch dniach przekroczyliby masę Słońca... Nie minęłoby wiele czasu, a cały Wszechświat składałby się z bakterii. Niezbyt miła perspektywa, ale na szczęście nigdy nie stanie się rzeczywistością. Dlaczego? Gdyż taki przyrost w postępie geometrycznym zawsze napotyka naturalne przeszkody. Bezkręgowcom brakuje pokarmu, zatruwają się wzajemnie albo, nie mając odpowiednich warunków odosobnienia, niechętnie się rozmnażają. Przyrost w postępie geometrycznym nigdy nie trwa wiecznie, bo wszystko by pochłonął. Długo przedtem zaczyna się dziać coś, co mu to utrudnia. Krzywa postępu geometrycznego staje się płaska (zob. poniższy wykres).


Wzrost wykładniczy w populacji bakterii, z wypłaszczeniem krzywej

Jest to niezmiernie ważne w przypadku epidemii AIDS. Obecnie w wielu krajach liczba osób z objawami rośnie w postępie geometrycznym. Czas podwojenia wynosi około roku. Oznacza to, że każdego roku przypadków AIDS jest dwukrotnie więcej niż w roku poprzednim. Choroba zebrała już obfite żniwo. Gdyby liczba zakażonych wirusem niedoboru odporności rosła dalej w postępie geometrycznym, doszłoby do bezprecedensowej katastrofy. Za dziesięć lat liczba przypadków zwiększyłaby się tysiąckrotnie, za dwadzieścia lat byłaby milion razy większa. Ale gdyby liczbę ludzi, którzy do tej pory się zakazili, pomnożyć przez milion, byłaby ona nieporównanie większa od całkowitej liczby ludności Ziemi. Gdyby zatem nie istniały naturalne przeszkody hamujące coroczne podwajanie liczby przypadków, a choroba wciąż byłaby śmiertelna (i nie opracowano by żadnej metody leczenia), wszyscy ludzie zmarliby wskutek AIDS, i to szybko.

Jednakże część osób zdaje się mieć wrodzoną odporność na wirus. Ponadto, według badań Centrum Chorób Zakaźnych — placówki Służby Zdrowia Publicznego Stanów Zjednoczonych — podwajanie liczby nosicieli było w tym kraju niemal całkowicie ograniczone do grup ryzyka, seksualnie odizolowanych od reszty populacji, zwłaszcza do homoseksualnych mężczyzn, osób z hemofilią i narkomanów, którzy wstrzykują sobie środki dożylnie. Jeśli nie zostanie odkryte lekarstwo na AIDS, większość narkomanów, używających wspólnych igieł, umrze — choć nie wszyscy, bo istnieje niewielki procent ludzi odpornych. To samo dotyczy homoseksualistów, którzy mają wielu partnerów i nie dbają o bezpieczeństwo seksu. Nie zarazi się natomiast większość tych homoseksualistów, którzy zawsze używają prezerwatyw, przebywają w stałych związkach lub mają wrodzoną odporność. Heteroseksualnym parom żyjącym w stałych związkach monogamicznych od początku lat osiemdziesiątych, osobom, które uprawiają bezpieczny seks, i tym, które nie używają wspólnych igieł — a takich ludzi jest wielu — w zasadzie zakażenie nie grozi. Gdy jednak wykresy przyrostu demograficznych grup ryzyka staną się płaskie, grupy te zostaną zastąpione przez następne; zdaje się, że obecnie w Ameryce grupą taką są młodzi heteroseksualiści obu płci, w których namiętność bierze górę nad ostrożnością, co prowadzi do nieprzestrzegania zasad bezpiecznego seksu. Wiele z tych osób umrze, niektórym się poszczęści i unikną zakażenia, inne są naturalnie odporne, jeszcze inne zachowają wstrzemięźliwość, a wtedy zastąpi je kolejna grupa ryzyka, może nowe pokolenie homoseksualistów. W końcu wykres przyrostu całej naszej populacji powinien stać się płaski. Choroba zabije o wiele mniej ludzi, niż żyje na Ziemi. (Marna to pociecha dla licznych ofiar i ich bliskich).

Przyrost w postępie geometrycznym jest także podstawową przyczyną światowego kryzysu demograficznego. Przez większość czasu istnienia ludzi na Ziemi populacja była prawie niezachwiana: liczby narodzin i zgonów znajdowały się w niemal doskonałej równowadze. Nazywa się to stanem stabilnym. Po wynalezieniu metod uprawy roli — w tym siania i zbierania ziaren żyta, o których marzył wielki wezyr — liczba ludności na naszej planecie zaczęła rosnąć, wchodząc w fazę postępu geometrycznego, ta zaś jest bardzo daleka od stanu stabilnego. Obecnie czas podwojenia populacji świata wynosi około czterdziestu lat. Co czterdzieści lat będzie nas dwa razy więcej. Jak powiedział w 1798 roku angielski duchowny, Thomas Malthus, przyrost populacji — opisany przezeń jako postęp geometryczny — przewyższy każde wyobrażalne zwiększenie produkcji żywności. Ani zielona rewolucja, ani hydroponika, ani nawet transformacja pustyń w tereny uprawne nie zaspokoją potrzeb rosnącej populacji.

Nie widać również perspektywy na pozaziemskie rozwiązanie tego problemu. Obecnie każdego dnia rodzi się około 240 tysięcy ludzi więcej, niż umiera. Nieprędko będziemy potrafili wysyłać w przestrzeń kosmiczną 240 tysięcy osób dziennie. Zakładanie osad na orbicie okołoziemskiej, na Księżycu czy na innych planetach nie spowoduje odczuwalnego zmniejszenia eksplozji demograficznej. Nawet gdyby możliwe stało się wysłanie wszystkich mieszkańców Ziemi na planety innych gwiazd statkami poruszającymi się z prędkością większą niż prędkość światła, prawie nie zmieniłoby to sytuacji — wszystkie planety w naszej galaktyce, Drodze Mlecznej, które nadawałyby się do zamieszkania, zapełniono by w ciągu tysiąca lat. Chyba że zmniejszymy prędkość reprodukcji. Z postępem geometrycznym nie ma żartów.

Na rycinie (s. 31) przedstawiono przyrost liczby ludności świata. Widać, że znajdujemy się obecnie w fazie szybkiego przyrostu (lub z niej wychodzimy). W wielu krajach, na przykład w Stanach Zjednoczonych, Rosji i Chinach, przyrost liczby ludności już zaczął się zmniejszać. Powstaje tam sytuacja nieco zbliżona do stanu stabilnego — przyrost zerowy. Jednakże postęp geometryczny jest tak silny, że jeśli w tym rytmie reprodukowała się przez jakiś czas choćby niewielka część wspólnoty ludzkiej, to sytuacja się nie zmieni — globalnie liczba ludności będzie rosnąć wykładniczo, nawet gdyby wiele krajów znalazło się w stanie przyrostu zerowego.

Istnieje dobrze udokumentowana światowa korelacja między ubóstwem a wysokim współczynnikiem urodzeń. Zarówno w krajach małych, jak i dużych, w krajach kapitalistycznych i komunistycznych, katolickich i muzułmańskich, w państwach Zachodu i Wschodu — niemal zawsze przyrost ludności zmniejsza się lub zatrzymuje, kiedy znika bieda. Proces ten nosi nazwę przejścia demograficznego. Gatunek ludzki, dla własnego dobra, powinien stale dążyć do tego, aby każde miejsce na Ziemi osiągnęło stan przejścia demograficznego. Dlatego pomaganie innym krajom, by stawały się samowystarczalne, nie tylko jest przejawem podstawowej ludzkiej przyzwoitości, ale też leży w interesie bogatszych państw. Bieda to jedna z najważniejszych przyczyn kryzysu światowej populacji.


s. 31 Wzrost wykładniczy w populacji ludzkiej, z wypłaszczeniem krzywej

Warto przyjrzeć się wyjątkom od reguły przejścia demograficznego. Niektóre kraje o wysokim dochodzie per capita wciąż mają wysoki współczynnik urodzeń. Tam środki antykoncepcyjne są bardzo trudno dostępne i/lub kobiety nie mają rzeczywistej władzy politycznej. Nietrudno zrozumieć związek.

Obecnie na świecie żyje około 6 miliardów ludzi. Za czterdzieści lat, jeśli czas podwojenia nie ulegnie zmianie, liczba ludności wyniesie 12 miliardów, za osiemdziesiąt lat 24 miliardy, za sto dwadzieścia lat 48 miliardów. Mało kto wierzy, że Ziemia zdoła wyżywić tak wielką populację. Skoro więc przyrost w postępie geometrycznym jest tak duży, walka ze światową biedą wydaje się znacznie tańszym i zdecydowanie bardziej humanitarnym sposobem przezwyciężania problemów demograficznych niż wszelkie rozwiązania, które mogą się nam objawić w ciągu wielu następnych dekad. Musimy doprowadzić do stanu przejścia demograficznego i spłaszczenia krzywej przyrostu poprzez wyeliminowanie nędzy, wprowadzenie na szeroką skalę bezpiecznych i skutecznych metod kontroli urodzeń oraz zagwarantowanie kobietom realnej władzy politycznej (wykonawczej, ustawodawczej, sądowniczej, militarnej oraz w instytucjach wpływających na opinię publiczną). Jeśli nam się to nie uda, krzywa przyrostu spłaszczy się i tak, ale z powodu procesów, nad którymi będziemy mieć znacznie mniejszą kontrolę.