Filozofia i wartości. Tom IV

Tekst
0
Recenzje
Oznacz jako przeczytane
Jak czytać książkę po zakupie
Czcionka:Mniejsze АаWiększe Aa

O zdaniach syntetycznych a priori
Systemy logiczne

Weźmy dowolny język czysto zdaniowy J (algebrę formuł), a w nim dowolną operację konsekwencji Cn (operację domknięcia). Za Suszką31 każdy układ postaci (J, Cn) będziemy nazywać logiką abstrakcyjną.

Niech ponadto zbiór zdań Z0 ⊂ J będzie ogółem prawd wyrażalnych w rozważanym języku. Każdy układ L = (J, Cn, Z0) będziemy nazywać „systemem logicznym” języka J.

Przyjmijmy odtąd, że w rozważanym przypadku:

(L1) System L jest klasyczny.

Znaczy to między innymi, że w języku J występują pewne spójniki – pisane np. jako ∧, ∨, ¬ – charakteryzowane przez konsekwencję Cn odpowiednio jako klasyczna koniunkcja, klasyczna alternatywa i klasyczna negacja. Znaczy także, że logika abstrakcyjna (J, Cn) zawiera zbiory zupełne. Niech Z będzie odtąd ich ogółem. Zachodzą wtedy związki:

(1) α ∈ CnX ⇔ ∀Z∈Z (X ⊂ Z ⇒ α ∈ Z),

(2) Z0 ∈ Z.

Układy semantyczne

Rozważamy teraz jakikolwiek układ postaci (L, SE, R, Z), gdzie L jest pewnym klasycznym systemem logicznym, SE jest dowolnym zbiorem, R jest dowolną rodziną zbiorów, zaś Z jest funkcją postaci Z: R → P (J), czyli dowolnym odwzorowaniem rodziny R w zbiory zdań. Niech układ ten spełnia następujące dwie grupy warunków. Pierwszą stanowią warunki nałożone na rodzinę R: są to w istocie warunki ontologiczne:

(R1) R ⊂ P (SE)

(R2) R ≠ ∅

(R3) ∪ R ≠ SE

(R4) ∩ R ≠ ∅

(R5) ∀R1, R2∈R (R1 ⊂ R2 ⇒ R1 = R2).

Grupę drugą stanowią warunki nałożone na odwzorowanie Z; mają one zatem charakter semantyczny:

(Z1) Z(R) ⊂ Z

(Z2) Z0 ∈ Z(R)

(Z3) ∀α∈J ∀R∈R (α∈Z(R) ⇒ ∃x∈R ∀R'∈R (x∈R' ⇒ α∈Z(R'))).

Gdy układ semantyczny (L, SE, R, Z) spełnia wymienione warunki, wtedy elementy zbioru SE nazywamy sytuacjami elementarnymi, elementy rodziny R – realizacjami (albo „możliwymi światami”), a całą rodzinę R – przestrzenią logiczną języka J. Te sytuacje elementarne, które należą do sumy ∪ R, są możliwe; te, które należą do różnicy SE − R, są niemożliwe; a te, które należą do przekroju ∩ R, są konieczne. Z warunków (R1) – (R4) łatwo wynika, że są co najmniej dwie sytuacje elementarne, w tym jedna konieczna i jedna niemożliwa. Zbiór ∪ R − ∩ R stanowią sytuacje elementarne przygodne, choć zbiór ten może być też pusty.

Według warunku (Z1) każdej realizacji R odpowiada w rozważanym języku J pewien system zupełny Z(R). Formułę „α ∈ Z(R)” czytamy: „zdanie α jest spełnione w realizacji R”. Jeżeli dla danego zdania α implikacja x ∈ R ⇒ α ∈ Z(R) zachodzi przy każdym R ∈ R, to powiemy, że sytuacja elementarna x weryfikuje to zdanie (albo że jest jego „weryfikatorem”). Warunek (Z3) gwarantuje, że każde zdanie spełnione w danej realizacji ma też w niej swój weryfikator. (Warunek ten jest wielce dyskusyjny, ale dalej nie będziemy się już do niego odwoływali.)

Warunek realności

Warunek (Z2) gwarantuje, że ogół prawd Z0 zawartych w języku J odzwierciedla jakąś rzeczywistość. Nazwijmy go zatem krótko „warunkiem realności” (dla rozważanego układu semantycznego); i zastanówmy się, co on właściwie znaczy.

Ogół realizacji, w których spełnione jest zdanie – czyli zbiór M (α) = {R ∈ R : α ∈ Z(R)} – będziemy nazywać miejscem logicznym tego zdania (czyli miejscem wyznaczonym przez nie w przestrzeni logicznej R). Warunek (Z2) okazuje się wtedy równoważny tezie, że „zdania o jednakowym miejscu logicznym mają też jednakową wartość logiczną”.

Określmy bowiem wartość logiczną zdania po prostu jako funkcję charakterystyczną zbioru Z0, kładąc:


Nasza teza przybiera wtedy postać:

(3) M (α) = M (β) ⇒ v(α) = v(β).

Transponując ją, załóżmy więc, że v(α) ≠ v(β). Zatem α ∈ Z0 oraz β ∉ Z0 lub odwrotnie. Ale wobec (Z2) mamy Z0 = Z(R), przy pewnym R ∈ R. Oznaczając przez R0 jedną z realizacji, dla których tak właśnie jest, mamy teraz: α ∈ Z(R0) oraz β ∉ Z(R0), lub odwrotnie. Stąd R0 ∈ M (α) i R0 ∉ M (β), lub odwrotnie, czyli M (α) ≠ M (β). Tak więc (Z2) → (3).

Przypuśćmy teraz na odwrót, że Z0 ∉ Z(R). I rozważmy odwzorowanie Z, które spełnia warunek (Z1), ale tak, że Z(R) = {Z1}, dla pewnego Z1 ∈ Z, przy czym Z0 ≠ Z1. (Odwzorowanie takie oczywiście zawsze istnieje.) Wszystkie realizacje przechodzą wtedy w jeden jedyny zbiór zupełny Z1 i mamy:


Weźmy wobec tego – jak na rys. 1 – dwa zdania α, β ∈ Z1 takie, że α ∈ Z0 oraz β ∉ Z0. (Takie dwa zdania też na pewno istnieją, bo zawsze Z0 ∩ Z1 ≠ ∅, a wobec maksymalności żaden z tych dwóch zbiorów zdań nie zawiera się w drugim.) Ponieważ oba zdania należą do Z1, zatem M (α) = R = M (β). A ponieważ α należy do Z0, a β nie, zatem v(α) = 1 i v(β) = 0, co przeczy tezie (3). QED.


Rysunek 1

Prawdy a priori

Rodzinę Z stanowią wszystkie zbiory zdań maksymalnie niesprzeczne. Z tej rodziny funkcja Z wybiera niepustą podrodzinę Z(R) zbiorów „dopuszczalnych” na gruncie układu semantycznego (L, SE, R, Z). Każdy zbiór należący do Z(R) niejako kandyduje do bycia ogółem prawd.

Zbiory zdań należące do rodziny Z(R) są teoriami. Wobec tego ich przekrój Tz = ∩Z(R) też jest teorią. A ponieważ Z(R) ⊂ Z, zatem ∩Z ⊂ ∩Z(R). Tak więc ogół tautologii T0 = ∩Z jest zawarty w zbiorze Tz. Otrzymujemy w ten sposób układ pokazany na rys. 2.


Rysunek 2

Elementami zbioru Tz są zdania spełnione w każdym możliwym świecie. Rozpoznajemy zatem w rys. 2 Kantowski trójpodział sądów. Pokazuje go dokładniej rys. 3:


Rysunek 3

Zbiór wszystkich prawd logicznych T0 jest wyznaczony przez samą tylko logikę abstrakcyjną (J, Cn), czyli przez logiczno-syntaktyczną budowę języka J. Natomiast zbiór wszystkich zdań prawdziwych a priori zależy również od więzi semantycznej Z, która łączy ową logikę abstrakcyjną z rzeczywistością. (Zauważmy jednak, że zbiór Tz nie określa tej więzi jednoznacznie: dla dwu różnych funkcji Z i Z' może być przecież Tz = Tz'.)

Używając terminologii Carnapa, można by rzec, że elementy zbioru Tz − T0 – czyli „zdania syntetyczne a priori” w terminologii Kanta – są to „postulaty znaczeniowe” języka J, a więc zdania prawdziwe z mocy samej tylko więzi semantycznej języka z rzeczywistością. Z punktu widzenia skrajnego empiryzmu, takiego jak np. u Hume’a, zbiór ów jest pusty: nie ma zdań syntetycznych prawdziwych a priori, tzn. Tz = T0. Prawdy aprioryczne pokrywają się wtedy z prawdami analitycznymi, jeżeli tylko „analityczność” brać będziemy – jak w Traktacie Wittgensteina – w tym rozszerzonym przez Fregego znaczeniu, przy którym oznacza ona wszystko, co prawdziwe z mocy samych tylko definicji oraz praw logiki. (Zauważmy, że szczególną odmianę empiryzmu typu Hume’a stanowi przypadek, gdy odwzorowanie Z idzie na cały zbiór Z, tzn. gdy mamy Z(R) = Z. Możliwość pokrywa się wtedy z niesprzecznością.)

Wynikanie syntetyczne

Odwzorowanie Z reprezentuje sposób, w jaki język związany jest z rzeczywistością poprzez przyporządkowaną mu przestrzeń logiczną. Wobec tego związku można w języku J określić inną relację konsekwencji niż Cn. Z braku lepszego terminu nazwijmy ją „konsekwencją syntetyczną” i oznaczmy symbolem Cnz, określając ją po prostu, jak następuje: przy każdym β ∈ J i każdym A ⊂ J,

β ∈ CnzA ⇔ ∀Z∈Z(R) (A ⊂ Z ⇒ β ∈ Z).

Łatwo sprawdzić, że operacja Cnz jest ekstensywna i monotoniczna (A ⊂ B ⇒ CnzA ⊂ CnzB). Dowód, że jest też idempotenta, zainteresowany czytelnik znajdzie w naszej książce Logic and Metaphysics.32 Tam też podane zostały dowody, że

(4) Tz = Cnz ∅

oraz że (położywszy α → β zawsze i tylko, gdy ¬α ∨ β) dla konsekwencji Cnz zachodzi twierdzenie o dedukcji:

(5) β ∈ Cnz (A ∪ {α}) ⇔ (α → β) ∈ CnzA.

Wnioskiem z (4) i (5) jest równoważność:

(6) (α → β) ∈ TZ ⇔ β ∈ Cnz{α}.

Prosta algebra zbiorów pokazuje, że konsekwencja Cnz jest regularna, tzn. że

(7) Cnz A = ∩{Z ∈ Z(R) : A ⊂ Z}.

Wobec tego – jako że Z(R) ⊂ Z – mamy też przy każdym A ⊂ J :

(8) CnA ⊂ CnzA.

Zachodzi ponadto równość Cnz(A ∪ CnzB) = Cnz(A ∪ B) (dowód jak wyżej.) Zatem Cnz(A ∪ Tz) = CnzA, a to daje nam w świetle tezy (8) inkluzję:

(9) Cn(A ∪ Tz) ⊂ CnzA.

Inkluzja odwrotna nie zachodzi, bo przecież nie wszystkie teorie zupełne zawierające zbiór Tz muszą należeć do rodziny Z(R). Widać to z prostego przykładu pokazanego na rys. 4. Przypuśćmy, że Z(R) = {Z1, Z2}. Wtedy Tz = Z1 ∩ Z2 oraz β ∈ CnzA. Jednakże β ∉ Cn(A ∪ Tz), gdyż zdanie β jest oddzielone od zbioru A zbiorem Z3.


Rysunek 4

Inkluzja odwrotna do (9) zachodziłaby, gdyby przyjąć, że jak konsekwencja klasyczna Cn, tak i konsekwencja syntetyczna Cnz jest skończona. (Dowód jak wyżej.)

 

Uwaga końcowa

W zbiorze Tz mieści się cała matematyka. Tak więc w tym ujęciu matematyka ani nie odzwierciedla rzeczywistości, ani nie jest częścią składni logicznej języka. Jest ona natomiast przejawem sposobu, w jaki język i rzeczywistość są ze sobą powiązane33. Logika od tego sposobu nie zależy, a matematyka zależy – chyba że staniemy na stanowisku Russellowskiego logicyzmu, wyrażającego się tu równaniem Tz = T0 i głoszącego, iż wszelka matematyka jest po prostu rozbudowaną logiką.

1991

31 Patrz D. J. Brown, R. Suszko, S. L. Bloom, Abstract Logics, Warszawa 1973, [Dissertationes Mathematicae, vol. 102].

32 Patrz B. Wolniewicz, Logic and Metaphysics. Studies in Wittgenstein’s Ontology of Facts, Warszawa 1999, punkt 4.2.5 „The synthetic a priori”.

33 A to się doskonale zgadza ze słowami Hugona Steinhausa, że „między duchem a materią pośredniczy matematyka”.

Sytuacje i przedmioty w ontologii faktów34

1. Ontologię faktów wprowadził do filozofii Traktat Wittgensteina jako nadbudowę metafizyczną do klasycznego rachunku zdań i funkcji zdaniowych. Opiera się ona na opozycji sytuacji i przedmiotów. Opozycja ta zaś jest jedną z trzech wielkich opozycji ontologicznych, które panują nad całym naszym myśleniem.

Są to opozycje: całość – część (C–Cz)

zbiór – element (Z–E)

sytuacja – przedmiot (S–P)

Pierwszy człon jest w nich zawsze jakoś „większy” od drugiego: „zawiera” go, czy też „obejmuje”.

Opozycja S–P uchodzi za problematyczną. Nie jest jednak jasne, czemu bardziej niż tamte dwie. Mówią: te „sytuacje” są tak nieuchwytne! A te „zbiory” – czy mniej? Sytuację można przynajmniej zobaczyć, zbioru nie. Zbiór to ens rationis, twór czysto myślny. („Myślny” nie znaczy „przez myśl stworzony”, albo „tylko w myśli istniejący”, jak dziwożony. Znaczy „tylko myśli dostępny”, nieuchwytny zmysłami.) Zbiór jest nam dostępny myślowo przez własność, czyli przez pewną funkcję zdaniową (oznaczamy go wtedy {x: P (x)}), albo przez wyliczenie, czyli przez listę {a1, ..., an}. W obu wypadkach jest nam dany jedynie za pośrednictwem języka. Ale tak dane są nam również sytuacje: bądź przez zdanie, np. „pada”, bądź przez jego nominalny równoważnik „to, że pada”. Mamy wtedy co prawda dwa wyrażenia o tej samej denotacji, a różnej kategorii syntaktycznej, ale to jeszcze nic nadzwyczajnego.35

Mówią też: opozycja S–P nie ma dobrej teorii. To prawda, ale czy opozycja C–Cz ją ma? Mereologia jest zwykłą algebrą Boole’a, tyle że bez zera. Każde dwie bryły A i B tworzą w niej „całość” A + B, której są jakby częściami – np. piramida Cheopsa i wyścigowy rower mojego sąsiada. Jako teoria opozycji C–Cz jest ona o wiele za słaba.

Opozycja C–Cz wyraża jakiś porządek. Składa się nań jednak cała klasa relacji porządkujących i to, co według jednej jest całością, według drugiej może nią nie być. Całości są bowiem co najmniej czworakiego rodzaju: percepcyjne (których części są współpostrzegane), kinematyczne (których części się współporuszają), dynamiczne (których części nie da się fizycznie oddzielić) i funkcjonalne (których części służą razem jednej funkcji, jak w organizmach i aparatach).

2. Zdania leżą w sferze słów, in vocibus. W sferze rzeczy – in rebus – odpowiadają im sytuacje: zdaniom prawdziwym – rzeczywiste, fałszywym – urojone. Sytuacje są to korelaty semantyczne zdań, podobnie jak korelatami nazw są rzeczy. Opozycję S–P asymiluje się często do opozycji C–Cz, modeluje na niej. Tak było np. u Russella. In rebus, zdaniu „nóż leży na stole” miał odpowiadać „kompleks” nóż-na-stole: nowa istność złożona z tamtych dwojga jako części. (A może nawet z trojga: z noża, stołu i relacji „leżenia na”. Części nie muszą być kategorialnie jednorodne. Dla kostki bruku są nimi drobiny krzemu, ale także jej ściany jako prostopadłościanu: twory płaskie, bez głębi i masy, a bezpośrednio widzialne.)

„Kompleksy” Russella były to sytuacje pojęte jako całości:

S = C,

przy czym, sądząc po przykładach, były to całości percepcyjne (a nie np. funkcjonalne). Tak przynajmniej miało być dla zdań logicznie prostych, bo już dla alternatywy – zwłaszcza rozłącznej – trudność powstaje wtedy oczywista.

3. Opozycja S–P jest równoległa do innej jeszcze opozycji, której się za ontologiczną na ogół nie uważa; jest na niej nawet wprost wzorowana. Opozycją tą jest podstawowa opozycja składniowa: zdanie – nazwa (Z–N).

Opozycja S–P ma być korelatem semantycznym opozycji Z–N. Związek przedmiotu z sytuacją, w którą jest uwikłany (jak osobnik ludzki w awanturę), odzwierciedla się w języku przez równoległy doń związek nazwy ze zdaniem, w którym ona występuje. (Można też powiedzieć, że przedmiot „występuje w sytuacji” – jak aktor w sztuce, albo jakiś rekwizyt. Aktor jest znakiem kogoś innego, jego żywą nazwą: w języku scenicznym każdy jego gest jest zdaniem.)

Skoro zaś przedmioty występują w sytuacjach jak nazwy w zdaniach, to czy korelacja tych dwu opozycji nie rozjaśnia nam tej pierwszej?

Otóż nie. Opozycję Z–N asymiluje się tu znowu do opozycji C–Cz: wyrazy bierze się za części zdania, a zdanie za złożoną z nich całość percepcyjną, taki „kompleks” Russella. Z punktu widzenia ontologii faktów jest to kardynalny błąd.

Nazwa jest to syntaktyczny niby-przedmiot. (Mówimy „niby”, bo prostą jest tylko składniowo: nie ma w niej składników znaczących.) Natomiast zdanie to nie jest przedmiot, lecz fakt; i to nie niby-fakt, tylko prawdziwy fakt syntaktyczny, czyli pewna sytuacja w sferze słów. Zdanie jest zestawem słów, a zestawy słów – jak zestawy mebli – to są pewne fakty: to, że te słowa czy te meble tak a tak zestawiono. I tylko ten ich zestaw coś nam mówi – ma pewien sens, który widać z niego wprost, bez objaśnień.

Naczelna zasada Wittgensteinowskiej semantyki brzmi: fakty za fakty. Skoro zdanie komunikujące nam pewien fakt można zrozumieć wprost, to musi go nam ono jakoś pokazywać, jak obraz. Na to zaś samo musi być pewnym faktem; nie przedmiotem, bo te niczego nie pokazują, choć mogą coś oznaczać. Fakty w sferze rzeczy da się przedstawiać jedynie przez fakty w sferze słów, a tymi są zdania.

Czy nie można by jednak traktować zdania jako przedmiotu, np. zdania pisanego jako ornamentu? Ależ można, ale przestaje ono wtedy być zdaniem, bo niszczy się tym samym jego strukturę syntaktyczną. Weźmy przykład: „Ala ma kota”. Jako zdanie jest to pewna sytuacja: imię „Ala” wzięte w mianowniku stoi tam na lewo od osobowej formy czasownika „mieć”, a na prawo od niej stoi wzięty w bierniku rzeczownik pospolity „kot”. I wszystko to gramatycznie pasuje do siebie, stanowi jedną całość percepcyjną: „dobrą postać”, jak ongiś mawiano w psychologii postaci. My tę sytuację syntaktyczną widzimy; właśnie ją opisaliśmy. Widzimy ją okiem ciała i duszy zarazem, bo w oba wbudowana jest polszczyzna i rządzące nią reguły składni.

Jednakże nic nie stoi na przeszkodzie, by zdanie „Ala ma kota” przerobić na syntaktyczny przedmiot. Starczy je np. zapisać jako jeden długi wyraz: „Alamakota”. Może to być teraz egzotyczne imię żeńskie albo wyspa na Pacyfiku. Jako przedmiot nic nam już ono nie mówi, jak samo imię „Ala”.

Można rzec, że wyrażenie „Alamakota” jest to zewłok zdania „Ala ma kota”: ciało zdania, z którego uszła jego składniowa dusza. To samo dotyczy cudzysłowu semantycznego dla zdań: jako rzekoma nazwa oznacza on nie żywe zdanie, tylko jakąś „Alamakotę”. Albo inaczej: w rzeczywistości nie jest on żadną nazwą, lecz opisem pewnej syntaktycznej sytuacji, a więc zdaniem. Ktoś mówi „Ala...” i urywa; a my „no i co?”. Przedmiot syntaktyczny „Ala” musi wystąpić w jakiejś syntaktycznej sytuacji, by się można czegoś dowiedzieć o jego denotacji: fakty za fakty. W semantyce udajemy tylko, że cudzysłów zdaniowy jest „nazwą” żywego zdania, bo to nam dobrze robi na formalizm.

4. Każda całość to pewna sytuacja. Polega na tym, że jakieś przedmioty są z sobą jakoś powiązane. Natomiast nie każda sytuacja jest jakąś całością: np. to, że Melbourne jest daleko od Krakowa, albo to, że Jan z Krakowa jest podobny do pewnego Johna z Melbourne, którego nigdy nie widział. Szczególnym przypadkiem całości są całości syntaktyczne, przy czym wszystkie one są całościami percepcyjnymi. A jeszcze szczególniejszym są zdania.

Hierarchia bytów jest więc taka. Sytuacje stanowią kategorię – rodzaj najwyższy, summum genus. Jej podkategorią są całości, ich zaś rodzajem są całości percepcyjne. Gatunkiem tego rodzaju są całości syntaktyczne, a ich podgatunkiem wreszcie są zdania, jako species infima w owej kategorii.

Drugą kategorię ontologiczną stanowią przedmioty. Z tamtą winna być ona oczywiście rozłączna, jak zawsze kategorie.

5. Jak więc ostatecznie mają się do siebie sytuacje i przedmioty? Czy da się tu powiedzieć coś wyraźnego?

(Zauważmy, że nie jest całkiem jasne, jakiego typu odpowiedzi oczekuje pytający. Wszak chodzi o dwa pojęcia jawnie pierwotne, nad nimi w drzewie Porfiriusza nie ma już nic.)

Pewnej odpowiedzi można się doczytać w samym Traktacie (teza 2.0272 na tle paru innych), i to nawet quasi-definicyjnej.36 Brzmi ona tak: sytuacje są to możliwe konfiguracje rzeczywistych przedmiotów. (Przedmioty są zawsze rzeczywiste, sytuacje niekiedy; podobnie jak zdania są gramatycznie możliwymi zestawami rzeczywistych wyrazów.) Odpowiedź ta bynajmniej nie załatwia sprawy.

Chodzi o to, że z pojęciem „konfiguracji” wprowadza się do ontologii faktów nowy motyw: ideę jakiejś przestrzeni czy medium, w którym przedmioty są zanurzone i konfigurowane. To medium nie jest ani przedmiotem, ani sytuacją. Stanowi więc trzecie pojęcie pierwotne ontologii faktów i tylko wraz z tamtymi – a pewnie jeszcze z jakimiś innymi – może być skutecznie objaśniane. (Malowidło jest konfiguracją plam w medium płaszczyzny, melodia – konfiguracją dźwięków w medium czasu.)

Weźmy szachy. Ich przestrzenią jest szachownica; figury to przedmioty, pozycje to sytuacje. Jedna pozycja może być podpozycją drugiej, najmniejsze to pozycje „atomowe”: takie, co po odjęciu choć jednej figury pozycją już nie są. By zaś nadać tym figurom-przedmiotom niezniszczalność, dopuśćmy, że bite nie zapadają w szachową nicość, lecz uczestniczą dalej w grze, stojąc jak cienie Hadesu na obrzeżu szachownicy.

Szachownica nie jest w szachach ani figurą (przedmiotem), ani pozycją (sytuacją) – podobnie jak pięciolinia w nutach. Jest formą figur. „Być figurą” nie znaczy „mieć toczony kształt”, lecz „mieć miejsce na szachownicy”. To zaś z kolei znaczy „występować w możliwych pozycjach”.

Każda przestrzeń jest przestrzenią konfiguracji: ogółem możliwości konfiguracyjnych dla jakichś przedmiotów. Słusznie mówi Popper, że „wszystkie przestrzenie są przestrzeniami możliwości”.37 Szachownica nie jest pomalowaną w kwadraty deską, lecz ogółem możliwych pozycji szachowych. (Uwaga: za sytuacje można by też brać całe fragmenty partii szachowych, czyli ciągi pozycji. Przestrzenią szachową byłby wtedy iloczyn kartezjański szachownicy przez ciąg liczb naturalnych.)

6. Ontologia faktów rozdwaja się w dwie pod-ontologie: ontologię sytuacji i ontologię przedmiotów. Dlatego opozycji S–P nie należy rozważać lokalnie, pytając, jak do danej sytuacji ma się dany przedmiot; np. jak do sytuacji opisanej zdaniem „stary niedźwiedź mocno śpi” ma się stary niedźwiedź. To na nic. Rzecz trzeba ująć globalnie.

Mamy oto dwa rozłączne uniwersa, całkiem abstrakcyjnie: uniwersum U, którego elementy nazywamy „przedmiotami”, i uniwersum SE, którego elementy nazywamy „sytuacjami elementarnymi”. Każde z nich stanowi nośnik jakiegoś układu algebraicznego w sensie Malcewa.38 I pytamy teraz: (a) jakie to są układy? (b) jaki jest ich związek?

Przyjmijmy na początek, że oba są jakimiś porządkami. (Przez „porządek” rozumiemy relację dwuczłonową, która jest przechodnia i niesymetryczna.) Przedmiot a może być częścią przedmiotu b: Cz(a, b). Sytuacja elementarna x może zachodzić w sytuacji elementarnej y: x ≤ y. Owe pod-ontologie są w każdym razie odpowiednio także teoriami tych dwu układów algebraicznych: układu (U, Cz) i układu (SE, ≤). Zanim zaczniemy zastanawiać się nad ich powiązaniem, warto najpierw rozwinąć każdą z osobna. O drugim zakładamy, że jest ograniczoną półkratą górną; o pierwszym na razie nic ponad to, że jest porządkiem.

 

7. Układy U i SE spina relacja występowania, którą piszemy W (a, x): „przedmiot a występuje w sytuacji x”; i nic więcej. Wszystko, co o związku tych układów da się powiedzieć, trzeba więc wyrazić przez jej aksjomatykę – zależną oczywiście od aksjomatyk własnych tamtych dwojga. Tak więc kładziemy:

(A1) ∀a∈U ∃x∈SE W (a, x).

Czyli: każdy przedmiot występuje w jakiejś sytuacji. Nie ma przedmiotów „luźnych”, poza-sytuacyjnych. (Przywodzi to na myśl uwagę Stanisława Szobera, rzuconą mimochodem w jego sławnej Gramatyce: „wyrazy nie mają bytu samodzielnego, są właściwie cząstkami zdania”39. Można by też rzec „obrywkami”.)

Odwrotnie kładziemy:

(A2) ∀x∈SE (x ≠ o ⇒ ∃a∈U W (a, x)).

Czyli: w każdej sytuacji niepustej występuje jakiś przedmiot. Nie ma sytuacji „czczych”, bezprzedmiotowych – poza sytuacją pustą o.

W świetle tych dwu aksjomatów widać już, że oba uniwersa – choć rozłączne – przeplatają się w świecie wzajemnie jak w tkaninie wątek z osnową. Sytuacje to wątek, osnową są przedmioty.

8. Za model dla relacji „występowania” bierzemy nie opozycję C–Cz, lecz opozycję Z–E. Jest lepszy, bo jego człony różnią się kategorią jak w modelowanej opozycji S–P; a w opozycji C–Cz – nie. Samą zaś z kolei opozycję Z–E bierzemy w jej modelu geometrycznym.

Niech światem będzie płaszczyzna, przedmiotami – niektóre jej punkty, sytuacjami – niektóre jej okręgi. Relacja W (a, x) znaczy: punkt a leży w okręgu x. (Inaczej: „a należy do x”, czyli a ∈ x.) Nazwijmy te wybrane punkty i okręgi odpowiednio „P-punktami” i „S-okręgami”. W modelu nasze dwa aksjomaty przybierają postać:

(A1') Każdy P-punkt leży w jakimś S-okręgu

(A2') Każdy S-okrąg zawiera jakiś P-punkt.

Splotem dwu sytuacji x ∨ y jest najmniejszy S–okrąg, który obejmuje S-okręgi x i y. (Geometrycznie okrąg taki zawsze istnieje, choć wadą modelu jest, że operacja splotu nie jest w nim łączna.)


P–punkty uwidocznione na rysunku mają być wszystkimi, jakie leżą w danym S-okręgu. Przecięcie S-okręgów samo nie jest oczywiście S-okręgiem, choć okrąg taki może naturalnie zawierać.

9. Przyjmijmy jeszcze dwa aksjomaty. Pierwszym jest monotoniczność „występowania” względem porządku „zachodzenia”.

(A3) W (a, x) ⇒ ∀y (x ≤ y ⇒ W (a, y)).

Czyli: jeżeli przedmiot występuje w danej sytuacji, a ta zachodzi w drugiej, to występuje on również w tamtej.

Drugim jest rozdzielenie przedmiotów sytuacjami:

(A4) a ≠ b ⇒ ∃x (W (a, x) ∧ ¬W (b, x), albo odwrotnie).

Czyli: przedmioty występujące zawsze razem są jednym i tym samym przedmiotem; są niejako jedynie jego różnymi ­aspektami.

Zauważmy, że dopuszczając takie przedmioty „wieloaspektowe”, wprowadzamy znowu nową kategorię istności. Aspekty nie są bowiem ni przedmiotami, ni sytuacjami.40

Czy monotoniczność „występowania” odnosi się także do porządku Cz(a, b)? Czy więc mielibyśmy uznać formułę

W (a, x) ⇒ ∀b (Cz(b, a) ⇒ W (b, x)).

Chyba nie, bo połóżmy: a = niedźwiedź, b = śledziona niedźwiedzia, x = to, że niedźwiedź śpi. Ale z drugiej strony: czy gdyby nie miał śledziony, to mógłby spać? Czegoś tu nam brak.

Wobec aksjomatu A3 mamy tezę:

(T1) W (a, x) ⇒ W (a, x ∨ y),

jako że zawsze x ≤ x ∨ y. Mamy więc również

(T2) (W (a, x) lub W (a, y)) ⇒ W (a, x ∨ y),

ale nie odwrotnie. Bo może być jak na rysunku wyżej: aby powstał splot x ∨ y, do przedmiotów występujących w sytuacjach składowych musiał dołączyć z zewnątrz przedmiot a. Bez niego splot nie dochodzi do skutku.

10. Uniwersum przedmiotów ma reprezentację w uniwersum sytuacji. Połóżmy bowiem Wa = {x ∈ SE: W (a, x)}. Zbiór sytuacji Wa jest ogółem możliwych wystąpień przedmiotu a. Wobec A4 mamy:

(T3) Wa = Wb ⇒ a = b.

Jak trzeba więc, funkcja W: U → P (SE) jest różnowartościowa: różnym przedmiotom odpowiadają w uniwersum potęgowym P (SE) różne zbiory sytuacji elementarnych.

Czy istnieje też reprezentacja odwrotna? Połóżmy znowu Zx = {a ∈ U : W (a, x)} i nazwijmy zbiór przedmiotów Zx „zawartością substancjalną” sytuacji x. Wobec T2 mamy:

(T4) Zx ∪ Zy ⊂ Zx∨y.

Czy dwie sytuacje mogą mieć tę samą zawartość substancjalną? Wydawałoby się, że tak: te same przedmioty – jak figury w szachach – mogą się różnie skonfigurować. Jednakże może być też inaczej: gdy te same przedmioty różnie się konfigurują, muszą w tym zawsze uczestniczyć jeszcze jakieś inne, które w jednej konfiguracji tamtych występują, a w drugiej nie. (Nasz prosty model geometryczny zawodzi tu oczywiście zupełnie.)

Widać znowu, że podana aksjomatyka jest za słaba, by zadowalająco scharakteryzować opozycję przedmiotów i sytuacji. Jak ją wzmocnić, nie wiem. Pamiętajmy jednak stale, że zestawiamy z sobą nie dwa pojęcia, lecz dwie przeplatające się algebry.

2003