Spór o rozumienieTekst

Autorzy:Bartosz Brożek, Jerzy Stelmach, Michał Heller
0
Recenzje
Oznacz jako przeczytane
Jak czytać książkę po zakupie
Czcionka:Mniejsze АаWiększe Aa


Spis treści

Karta redakcyjna

Przedmowa

Michał Heller, TEORIA KATEGORII – NOWY SPOSÓB ROZUMIENIA

1. Wprowadzenie, czyli o rozumieniu rozumienia

2. Preliminaria

2.1. Dwie iskry geniuszu

2.2. Czytane w samolocie

3. Strukturalizm

3.1. Strukturalizm filozoficzny i teoria kategorii

3.2. Bezobiektowa teoria kategorii

3.3. Tożsamość kontekstualna

3.4. Filozofia strzałek

3.5. Filozofia strzałek – wnioski

4. Problem logiki

4.1. Toposy

4.2. Prawda i fałsz w toposach

4.3. Forma i treść

4.4. Logika a filozofia – kilka uwag na marginesie teorii kategorii

5. Filozofia strzałek – nowy sposób rozumienia

Bartosz Brożek, OKROPNY SEN FILOZOFA

1. Chinese Escape Room

2. Fizycjusz i Hermecjusz

3. Znaczenie ucieleśnione

4. Między konkretem i abstrakcją

5. Matematyka i poezja

6. Okropny sen poety

Jerzy Stelmach, HERMENEUTYKA NEGATYWNA

1. Wprowadzenie

2. Jedenaście twierdzeń podstawowych

3. Rozumienie jako bezpośredniość

4. Rozumienie jako podejrzenie

5. Rozumienie jako negacja

6. Rozumienie jako dekonstrukcja

Bartosz Brożek, Michał Heller, Jerzy Stelmach, O ROZUMIENIU ROZUMIENIA

1. Zapętlone pojęcie

2. Dwie kultury

3. Granice rozumienia

Bibliografia

Przypisy

© Copyright by Bartosz Brożek, Michał Heller, Jerzy Stelmach

& Copernicus Center Press, 2019

Adiustacja i korekta

Artur Figarski

Projekt okładki

Anna Skocze

Grafika na okładce

Composition in Line, Piet Mondrian

Skład

Artur Figarski

ISBN 978-83-7886-456-1


Publikacja finansowana w ramach programu Ministra Nauki

i Szkolnictwa Wyższego pod nazwą „DIALOG” w latach 2016–2019

Wydanie pierwsze

Kraków 2019


Copernicus Center Press Sp. z o.o.

pl. Szczepański 8, 31-011 Kraków

tel./fax (+48 12) 430 63 00

e-mail: marketing@ccpress.pl Księgarnia internetowa: http://ccpress.pl

Konwersja: eLitera s.c.

PRZEDMOWA

Arystoteles definiował człowieka jako zwierzę rozumne. Może to znaczyć, że człowiek – jako jedyne zwierzę – wyposażony jest w rozum; ale może też znaczyć, że człowiek jest jedynym zwierzęciem potrafiącym rozumieć. Czym jednak jest rozumienie? W filozofii nietrudno o ważne, ale wymykające się jednoznacznym odpowiedziom pytania; pytania, dodajmy, które są stale obecne w refleksji filozoficznej od jej początków. Jaka jest ostateczna zasada rządząca światem? Co możemy poznać? Jaka jest natura wartości? Dlaczego cokolwiek istnieje? Do tego panteonu najważniejszych pytań filozoficznych należy też pytanie o rozumienie. Ale nawet pomiędzy tymi największymi zagadkami zajmuje ono szczególne miejsce. Chcemy przecież zrozumieć, czym jest rozumienie, stając w ten sposób twarzą w twarz z przekleństwem samozwrotności. Zdolność do rozumienia jest warunkiem wstępnym każdej możliwej refleksji, a zatem także refleksji nad rozumieniem. A jak pokazuje historia filozofii, zapętlone, samozwrotne problemy są szczególnie doniosłe – i szczególnie trudne do rozwikłania.

Jak podejść do takiego problemu? Na pewno trzeba pozbyć się wszelkich fundacjonistycznych zapędów, wszelkiego dogmatyzmu. Musimy uciszyć głos, który natarczywie podpowiada nam, że w rozumieniu nie ma nic zagadkowego. W tej kwestii poczucie pewności zbyt łatwo może nas zwodzić, nawet jeśli rozumienie zdarzeń w świecie, dzieł sztuki czy wypowiedzi językowych jest naszym codziennym doświadczeniem i przychodzi nam bez trudu. Tę zagadkowość rozumienia łatwiej dostrzec, gdy zorientujemy się, że potrafimy mówić o nim niemal wyłącznie metaforycznie. Rozumiemy problem, jeśli widzimy go w odpowiednim świetle lub z właściwej perspektywy; rozumiemy zjawisko fizyczne, jeśli odkryjemy rządzące nim prawa; zrozumieć sens życia to dotknąć czegoś ważnego; a zrozumieć czyjąś wypowiedź to złapać jej sens. Nie tylko więc zamknięci jesteśmy w bardzo metaforycznym języku, ale metafory te są niezwykle zróżnicowane, co sugeruje, że materia, o której mówimy, jest szczególnie trudna do – kolejna metafora! – uchwycenia.

Nawet najtrudniejsze filozoficzne pytania domagają się odpowiedzi, choć nie sposób w ich przypadku liczyć na proste i powszechnie akceptowane rozwiązania. Więcej nawet: im trudniejsze pytanie, tym potrzeba odpowiedzi większa i bardziej pilna. Dobrą strategią w takich przypadkach jest skorzystanie z wielu, nawet wzajemnie niezgodnych, perspektyw i metod filozoficznej refleksji. To właśnie próbujemy zrobić w tej książce: w trzech esejach, wychodzących z odmiennych założeń i angażujących odmienne style myślenia, staramy się spojrzeć na zagadkę rozumienia. Różni nas wiele: wykształcenie, fascynacje naukowe i filozoficzne, doświadczenia życiowe. Ale wszyscy jesteśmy filozofami, którzy nie potrafią uciec od zadawania najważniejszych pytań, nawet bez nadziei na znalezienie ostatecznych odpowiedzi. Wspólne jest dla nas także doświadczenie wzajemnego zrozumienia. Choć nie zgadzamy się w wielu kluczowych kwestiach filozoficznych, to nie mamy problemu, by różnice te docenić i potraktować jako źródło inspiracji, a przy tym łatwo dogadać się w niezliczonych kontekstach praktycznych. Ilustracją tego jest, zamieszczona na końcu książki, zamiast standardowego akademickiego zakończenia, rozmowa o rozumieniu, która być może nieco bardziej rozjaśni dyskutowane przez nas wcześniej kwestie i pozwoli lepiej pokazać istotę naszej argumentacji. Mówiąc krótko: da szansę na lepsze zrozumienie naszego myślenia na temat rozumienia. Mamy nadzieję, że tak właśnie będzie, jakkolwiek decydujący głos w tej sprawie będzie jak zawsze należeć do Czytelnika.

Bartosz Brożek

Michał Heller

Jerzy Stelmach

Kraków, wrzesień 2019 r.

Michał Heller

TEORIA KATEGORII – NOWY SPOSÓB ROZUMIENIA

1. Wprowadzenie, czyli o rozumieniu rozumienia

Grecka mitologia jest pełna filozoficznej mądrości. Kefalos, zapalony łowca, od swojej żony Prokris otrzymał w prezencie zaczarowaną włócznię i zaczarowanego psa. Były to z kolei dary Artemidy, która pod szczególną opiekę wzięła żonę Kefalosa (według jednej z wersji mitu). Włócznia miała tę własność, że nigdy nie chybiała celu, a pies – że zawsze dopadał ofiary. W greckiej mitologii ślepy los często wplata się w dzieje ludzi i bogów. Kiedyś Kefalos, zmęczony polowaniem, zasnął w lesie. Nagle zbudzony rzucił włócznię w kierunku, jak sądził, napastnika. Ponieważ włócznia nie mogła chybić, trafiła w jego żonę, Prokris. Kefalos przebolał stratę, a po jakimś czasie, dzięki darom swojej żony, jego sława, jako wielkiego łowcy, rozeszła się po całej Grecji.

 

Tymczasem władca Teb, Kreon, miał poważny problem na swoim terenie. W okolicy grasował lis i wyrządzał ogromne straty. Lis był wyposażony przez Dionizosa w niezwykłą właściwość – zawsze uchodził wszelkiej pogoni. To także było wynikiem zawiłych intryg i zrządzeń losu w stosunkach między bogami i ludźmi.

Doprowadzony do ostateczności Kreon zaprosił do Teb Kefalosa, ażeby przy pomocy swojego psa położył kres nieszczęściu. Powstała zapętlona sytuacja: pies, który nigdy nie przegrywał z ofiarą, miał dopaść lisa, który nigdy nie pozwalał się schwytać. Trzeba dodać, że w królestwie mitów greckich obowiązywało prawo, że żaden bóg nie mógł odwołać zarządzenia innego boga. Zeus, władca bogów i ludzi, zadrżał – oto jego władaniu zagrażała sprzeczność – sprzeczność niszcząca cały porządek świata. Zeus nie mógł dopuścić do takiej katastrofy. Nie widząc innego wyjścia, i psa, i lisa zamienił w skały. Ale dwie postacie, choć przeobrażone w skały, nadal zdawały się urągać greckiej racjonalności. Dlatego Zeus, po jakimś czasie, przeniósł je na nieboskłon, gdzie do dziś są widoczne jako konstelacje – Canis Maior i Canis Minor[1]. Greckie poczucie realizmu, przejawiające się nawet w mitach, opierało się na twardym logicznym myśleniu. Dwie rzeczy sprzeczne ze sobą nie mogą się równocześnie urzeczywistnić. Najpierw odnosiło się to do rzeczy, a dopiero później do wypowiedzi o rzeczach. To, co mit wyrażał intuicyjnie i metaforycznie (ale bardzo wymownie!), potem filozofowie ujęli w system. Zarówno opowieści mityczne, jak i roztrząsania filozofów miały na celu to samo – zrozumieć świat i nas samych w świecie. Cała późniejsza historia filozofii, wraz z jej niezwykle żywotną odnogą – historią nauki – zmierzały do tego samego. Zdumiewająco skuteczne zastosowania nauki mogą sprawiać wrażenie, że celem badań naukowych jest nie rozumienie, lecz przeobrażanie świata. Na pewno jest w tym sporo prawdy, ale przeobrażanie świata bez wysiłku jego rozumienia, byłoby w gruncie rzeczy zdradą naukowego przedsięwzięcia.

Idąc po tej linii – a raz uruchomionej myśli nie da się zatrzymać – nie można nie zadać pytania o rozumienie rozumienia. Na pewno w rozumieniu rozumienia istotną rolę musi odgrywać logika. Nawet jeżeli coś poznajemy intuicyjnie, „przez ogląd”, to chcąc zrozumieć ten rodzaj rozumienia, musimy podjąć próbę logicznego rozplątania kłębka rozumowań, które kryją się gdzieś w podświadomości. Logikę najłatwiej podpatrywać w działaniu, a najprzejrzyściej działa ona w matematyce. Zapewne dlatego, że to my sami tworzymy zasady matematycznych działań. My ustalamy wyjściowe aksjomaty i my określamy reguły wnioskowań. Wprawdzie łańcuchy rozumowań mogą nas zaprowadzić w takie regiony, w których przestajemy już „widzieć” i musimy się uciekać do niekiedy bardzo rozbudowanych dowodów, by się przekonać, że jakieś twierdzenie rzeczywiście wynika z przyjętych aksjomatów. Ale i tak formalny dowód jest łatwiej analizować niż inne rodzaje argumentacji.

Nic więc dziwnego, że rozumienie w matematyce stało się wzorem dla innych rodzajów rozumienia. W fizyce zrozumieć jakieś zjawisko lub proces znaczy zbudować jego matematyczny model, z którego by wynikały jakieś przewidywania, nadające się do empirycznego zweryfikowania. Inne dziedziny rozumienia nie są w tak komfortowym położeniu, ale i one chętnie spoglądają w kierunku matematyki.

W osiągnięciach matematyki należy również szukać inspiracji do lepszego rozumienia rozumienia. W ostatnich dekadach otworzyły się pod tym względem interesujące perspektywy. Wprawdzie teoria kategorii jest z nami mniej więcej od końca II wojny światowej, ale potrzeba było nieco czasu, aby teoria ta wyszła poza okres wypracowywania technik oraz matematycznych zastosowań i stała się na tyle dojrzała, by wywierać wpływ na inne dziedziny poznania. Dziś można już zdecydowanie mówić zarówno o rozpoznaniu przynajmniej niektórych jej filozoficznych aspektów, jak i o jej możliwych zastosowaniach, czy też – ogólniej – reperkusjach w pewnych działach filozofii.

Teoria kategorii ukazała przede wszystkim swoją skuteczność w filozofii matematyki. Jej znaczenie pod tym względem można porównać do znaczenia, jakie do rozumienia matematyki wniosła kiedyś teoria mnogości. Ale, jak to zwykle bywa w nauce, kolejne rewolucje naukowe dystansują poprzednie (nie dyskwalifikując jednak ich osiągnięć). Kategoryjne rozumienie matematyki jest jej nowym rozumieniem, które nie niszcząc rozumienia teoriomnogościowego, w jakimś sensie je sobie podporządkowuje.

W niniejszym eseju chciałbym podpatrzeć tę rozumiejącą funkcję teorii kategorii, by ją następnie przeszczepić (po odpowiednich modyfikacjach) do innych dziedzin rozumienia, zwłaszcza do rozumienia samego rozumienia. Nic dziwnego, że tak sformułowane zamierzenie skieruje mnie nieuchronnie w dziedzinę filozofii.

Zamiar ten będzie realizowany według następującego planu. W rozdziale 2 zostaną wprowadzone te pojęcia z teorii kategorii, które są niezbędne do zrozumienia dalszych wywodów. Szkicowe informacje historyczne, wplecione w przedstawienie tych pojęć, mają wprowadzić nieco życia do suchych definicji. Ponieważ zakładam u Czytelnika jedynie brak odporności na ścisłe myślenie, ale niekoniecznie głębszą znajomość teorii kategorii, przedstawiając „suche definicje” jestem niekiedy gotów poświęcić drobiazgową precyzję na rzecz większej poglądowości.

Teoria kategorii do rozumienia rozumienia wnosi dwa ściśle ze sobą splecione elementy: po pierwsze, rozumienie w duchu teorii kategorii musi być strukturalne i, po drugie, częścią tego strukturalizmu musi być logika. Oczywiście, i strukturalizm, i kierowanie się logiką od dawna były obecne w filozoficznym rozumieniu, ale teoria kategorii traktuje te elementy w zaskakująco odkrywczy sposób. Może najbardziej uderzającym jest fakt, że logika w myśleniu kategoryjnym nie jest czymś przyjętym domyślnie lub narzuconym z góry, lecz okazuje się częścią lub aspektem struktury, którą ma „nadzorować”. Co więcej, między logiką a strukturą występuje sprzężenie, które w przypadku struktur formalnych można matematycznie kontrolować.

Rozdział 3 jest poświęcony strukturalistycznym aspektom rozumienia, a rozdział 4 jego aspektom logicznym. Dzięki wspomnianemu wyżej sprzężeniu między logiką a strukturą także zasada niesprzeczności staje się elementem strukturalnej gry. Gdyby Zeus miał wiedzę logiczną większą niż ówcześni Grecy, gdyby w szczególności znał dzisiejszą teorię kategorii, być może nie musiałby się uciekać aż do tak radykalnego środka, jakim było zamienienie polującego psa i uciekającego lisa w gwiazdozbiory, mógłby bowiem dopuścić sprzeczność, ale zastosować środki, które nie pozwoliłyby jej rozlać się na cały system. Wystarczyłoby na przykład zagwarantować, by system był odpowiednim kotoposem.

Rozdział 5 jest już tylko podsumowaniem całości.

2. Preliminaria

2.1. Dwie iskry geniuszu

W matematyce od niepamiętnych czasów, to znaczy przynajmniej od dziewiętnastego wieku, funkcjonuje pojęcie naturalnej transformacji (przekształcenia). Na przykład matematyk powie, że przekształcenie jakiegoś zbioru, posiadającego pewną strukturę, w inny zbiór również wyposażony w pewną strukturę, jest naturalne, jeżeli definicja tego przekształcenia jest tak narzucająca się, iż żaden inny matematyk nie zdefiniowałby go inaczej. Co innego jest jednak intuicyjnie zrozumieć jakieś pojęcie, a co innego ściśle je zdefiniować. Ścisła definicja, jeżeli została trafnie zaprojektowana, niejednokrotnie zawiera w sobie zalążki niespodziewanych przedtem możliwości. Tak było i tym razem.

Samuel Eilenberg (1913–1998), Polak żydowskiego pochodzenia, członek Warszawskiej Szkoły Matematycznej i jeden z nielicznych niefrancuskich uczestników słynnej grupy matematyków, działającej pod pseudonimem Nicolas Bourbaki, zajmował się m.in. algebrą homologiczną i topologią algebraiczną. Saunders Mac Lane (1909–2005), amerykański matematyk, studiował na uniwersytetach w Yale, Chicago i Getyndze; zajmował się m.in. rozszerzeniami grup i, ogólniej, abstrakcyjną algebrą[2].

W 1942 roku Eilenberg i Mac Lane rozpoczęli współpracę. Ich wspólny program polegał na tym, by pewne metody rachunkowe, dotyczące teorii grup, opracowane przez Mac Lane’a, zastosować do problemów z topologii algebraicznej, nad którymi Eilenberg pracował uprzednio z polskim matematykiem Karolem Borsukiem. Podczas wspólnej pracy Eilenberg i Mac Lane mieli do czynienia z pewną klasą przekształceń, które uznali za naturalne i spostrzegli, że dysponują narzędziami, pozwalającymi ściśle zdefiniować pojęcie naturalności. Owocem tego była praca[3], którą sami autorzy określili jako preliminary report; pojawiły się w niej definicje funktora (por. niżej) i przekształceń naturalnych, ale tylko w zawężeniu do grup i przekształceń między grupami[4]. Eilenberg i Mac Lane potraktowali to jako „podstawę do stworzenia ogólnej teorii” i zapowiedzieli, że zrobią to w następnej pracy.

Zapowiedziana praca ukazała się w 1945 roku[5]. Została w niej przedstawiona ogólna teoria przekształceń naturalnych, jak mówią autorzy, „w sposób aksjomatyczny”. Iskra geniuszu, jaka błysnęła w tej pracy, polegała na tym, że jej autorzy myśleli przekształceniami, a nie obiektami, pomiędzy którymi przekształcenia działają. Jeżeli obiektów nie da się w ogóle uniknąć, to przynajmniej niech pozostaną w cieniu przekształceń. Samo przekształcenie struktur Eilenberg i Mac Lane nazwali funktorem. Chcąc jednak ściśle zdefiniować pojęcie funktora, trudno uniknąć uściślenia tego, co zostaje przekształcone (struktura wyjściowa) i tego, w co zostaje przekształcone (struktura docelowa). Tu właśnie pojawia się pojęcie kategorii: funktor przekształca jedną kategorię w drugą.

Wypada w tym miejscu powiedzieć, jak kategoria została zdefiniowana. Otóż kategoria:

• składa się z obiektów: A, B, C, ... i strzałek (zwanych również morfizmami) z jednego obiektu do drugiego, na przykład f : A → B (możemy to również zapisać: A –f→ B). Obiekt A nazywa się dziedziną, a obiekt B – kodziedziną strzałki f.

• Jeżeli mamy również strzałkę g : B → C, to strzałki f i g można złożyć, otrzymując g ○ f : A → C.

• Składanie jest łączne, tzn. jeżeli A –f→ B –g→ C –h→ D, to h ○ (g ○ f) = (h ○ g) ○ f.

• Istnieją strzałki identycznościowe, na przykład 1A : A → A, mające tę własność, że złożenie strzałki identycznościowej z jakąkolwiek inną strzałką (z jaką ona daje się złożyć) jest równe tej strzałce.

Łatwo sprawdzić, że jeżeli zbiory potraktujemy jako obiekty, a odwzorowania między zbiorami jako strzałki, to wszystkie aksjomaty definicji kategorii będą spełnione i otrzymamy kategorię, którą będziemy oznaczać przez SET. Bardzo wielu przykładów kategorii dostarczają zbiory wyposażone w pewną strukturę. Wówczas strzałkami są przekształcenia zachowujące tę strukturę. Na przykład przestrzenie wektorowe (czyli zbiory wyposażone w strukturę liniową) jako obiekty i przekształcenia liniowe jako strzałki tworzą kategorię WEKT. Jednakże pojęcie kategorii jest bardzo ogólne: obiekty nie muszą być (i często nie są) zbiorami, a strzałki nie muszą być (i często nie są) odwzorowaniami między zbiorami. Rozpatrzmy następujący przykład: Niech będzie dany system dedukcyjny S i niech φ, ψ, ζ będą jego formułami, potraktujemy je jako obiekty. Strzałką z φ do ψ, φ → ψ, niech będzie dedukcja formuły ψ z formuły φ. Złożeniem strzałek będzie zestawienie dedukcji, np.: ψ z φ i ζ z φ. Otrzymujemy w ten sposób kategorię, zwaną kategorią dedukcji lub kategorią dowodów.

Jak wspomniałem, pojęcie kategorii zostało wprowadzone przez Eilenberga i Mac Lane’a po to, aby poprawnie zdefiniować funktor. I właśnie to należy teraz zrobić. Funktor jest więc odwzorowaniem (przekształceniem) jednej kategorii w drugą, zachowującym strukturę kategorii. Dokładniej, funktor F, przekształcający kategorię A w kategorię B, F : A → B, przekształca obiekty kategorii A w obiekty kategorii B i strzałki kategorii A w strzałki kategorii B w ten sposób, że składanie strzałek i identyczności są zachowane; to znaczy, jeżeli A, B, C są obiektami kategorii A i mamy dwie strzałki: f : A → B oraz g : B → C,to zachodzi F(g ○ f) = F(g) ○ F(f), a także: F(1A) = 1F(A)[6].

 

Pojęcia kategorii i funktora są znacznie pojemniejsze (bardziej ogólne) niż to, co zwykle rozumiemy przez „strukturę” i „przekształcenie”. Nazwę „kategoria” Eilenberg i Mac Lane zapożyczyli z filozofii Arystotelesa, natomiast nazwę „funktor” bezpośrednio od Carnapa. Nie wydaje się, by łączyli oni z tymi nazwami jakieś głębsze filozoficzne intencje, chociaż niewątpliwie, dzięki późniejszej karierze teorii kategorii, nabrały one silnego filozoficznego zabarwienia.

Teraz drugi błysk geniuszu: naturalne nie jest przekształcenie, czyli funktor F z kategorii A do kategorii B, lecz przekształcenie funktora F z kategorii A do kategorii B w funktor G z kategorii A do kategorii B. „Przenoszenie struktury”[7] z kategorii A do kategorii B dokonuje się za pomocą dwu funktorów, F oraz G, i dopiero przekształcenie funktora F w funktor G definiuje się jako naturalne. Podając tę definicję posłużymy się diagramami, które stanowią ważne pomocnicze narzędzie w teorii kategorii.

Mamy dwie kategorie: A i B oraz dwa funktory F i G z A do B. Ilustruje to rys. 1.


Rysunek 1: Strzałki równoległe.

Wyobraźmy sobie, że funktory F i G wpisują kategorię A w kategorię B. Muszą więc wpisać obiekty kategorii A i jej strzałki do kategorii B. Zacznijmy od obiektów. Niech a1 będzie obiektem kategorii A. Obiekt ten wpisujemy przy pomocy funktora F do kategorii B, otrzymując obiekt F(a1) (będący już obiektem kategorii B). To samo czynimy z obiektem a1 przy pomocy funktora G, otrzymując w B obiekt G(a1). Zakładamy że pomiędzy obiektami F(a1) i G(a1) istnieje strzałka αa1 : F(a1) → G(a1) w B. Jeżeli strzałki takiej nie ma, to przekształcenie między funktorami F i G nie będzie naturalne. Sytuację przedstawia rys. 2.


Rysunek 2: „Wpisywanie” obiektów.

Teraz zajmijmy się strzałkami. Niech a2 będzie obiektem w A, a f : a1 → a2 strzałką w A (rys. 3). Chcemy ją wpisać w strukturę kategorii B. Wiemy już, jak wpisywać obiekty, więc wpisujemy obydwa obiekty a1 i a2 do kategorii B, najpierw przy pomocy funktora F, potem przy pomocy funktora G. Otrzymane obiekty łączymy odpowiednimi strzałkami, co pokazuje rys. 3 (oczywiste strzałki, np. strzałka z a1 do F(a1) zostały na rysunku pominięte, celem uzyskania większej przejrzystości).


Rysunek 3: „Wpisywanie” strzałek.

Otrzymaliśmy w ten sposób dwie strzałki F(f) i G(f) w B, powstałe z wpisania strzałki f w B, najpierw przy pomocy funktora F, potem przy pomocy funktora G. Dwie pozostałe strzałki αa1 i αa2, domykające „kwadrat” w B są nam znane z rys. 2. Jeżeli „kwadrat” ten ma taką właściwość, iż jest obojętne, jaką drogą przejdziemy z F(a1) do G(a2), tzn. jeżeli:

G(f) ○ αa1 = αa2 ○ F(f),

to mówimy, że diagram ten („kwadrat”) komutuje lub że jest przemienny. Ażeby przekształcenie funktorów

α : F → G

było naturalne, diagram ten musi komutować, jeżeli całą tę konstrukcję wykonamy dla dowolnego obiektu a1 kategorii A i dowolnej strzałki f : a1 → a2 tej kategorii. Strzałki αa1 i αa2 nazywamy składowymi naturalnego przekształcenia α.

Sądzę, że te dwie iskry geniuszu: myślenie przekształceniami raczej niż obiektami i tendencja patrzenia na dane zagadnienie, o ile możności, z poziomu wyższego piętra (nie przekształcenie, lecz przekształcenie przekształceń), zadecydowały o późniejszej inwazji teorii kategorii na całą matematykę. Sami autorzy nie podejrzewali takiego sukcesu. Po latach, we wspomnieniu o Samuelu Eilenbergu Mac Lane napisał, że „w tamtym czasie Sammy wyrażał silne przekonanie, że będzie to jedyny artykuł, jakiego wymaga teoria kategorii. Prawdopodobnie miał na myśli to, iż trójca pojęć – kategoria, funktor i naturalne przekształcenie – wystarczą, by umożliwić teorii dobre zastosowania”[8].

Niespełna dwie dekady, jakie upłynęły od opublikowania artykułu Eilenberga i Mac Lane’a, mogłyby usprawiedliwić takie przekonanie. Echo tego artykułu było stosunkowo niewielkie i ograniczało się raczej do wąskich dziedzin abstrakcyjnej algebry. Ale wkrótce sytuacja uległa drastycznej zmianie. Wyzwoliło ją pojęcie funktorów sprzężonych (adjoint functors), wprowadzone przez Daniela Kana w 1958 roku[9].

Rozważmy przekształcenie (funktor) F z kategorii A w kategorię B oraz przekształcenie G z kategorii B w kategorię A (w odwrotnym kierunku!). Jeżeli wykonamy najpierw przekształcenie F z A w B, a potem przekształcenie G z B w A i jeżeli po wykonaniu tych przekształceń, wróciwszy do A, stwierdzimy, że nic się w A nie zmieniło, to mamy prawo powiedzieć, że obie kategorie są takie same.

Możemy to wyrazić w bardziej technicznym żargonie: składamy funktor F (z A do B) z funktorem G (z B do A) i otrzymujemy funktor identycznościowy, prowadzący z A do A; oznaczamy go przez 1A. Innymi słowy, przekształcając A w B i z powrotem B w A, otrzymaliśmy to samo A. Teraz odwróćmy kierunek rozumowania: najpierw aplikujemy funktor G (z B do A), a potem funktor F (z A do B). I zakładamy, że w wyniku otrzymujemy funktor identycznościowy z B do B, oznaczany przez 1B. Sytuację przedstawia rys. 4.


Rysunek 4: Przekształcenie izomorficzne.

Gdy cała ta sytuacja zachodzi, mamy prawo stwierdzić, że obydwie kategorie A i B są takie same (jako kategorie). Matematyk powie, że są one izomorficzne, a funktory F i G są wzajemnie odwrotne.

Rozważmy jeszcze dwa funktory F i G, obydwa z kategorii A do kategorii B, pomiędzy którymi zachodzi naturalne przekształcenie α : F → G. Jeżeli dla każdego obiektu A, należącego do A, przekształcenie

αA : F(A) → G(A)

jest izomorfizmem, to mówimy, że między funktorami F i G zachodzi naturalny izomorfizm; funktory F i G nazywamy wówczas naturalnie izomorficznymi, lub mówimy, że są one naturalnie izomorficzne.

Jeżeli dwie kategorie są takie same, czyli izomorficzne, to ich porównywanie ze sobą jest nieciekawe (bo kategorie, jako kategorie, są identyczne). Jeżeli chcemy wyławiać ciekawe związki między kategoriami, to powinniśmy poszukiwać kategorii „prawie takich samych”, ale nie identycznych. Kan wpadł na następujący sposób. Załóżmy, że mamy dwie kategorie A i B oraz dwa funktory: funktor F z A do B i funktor G z B do A. Składamy, jak poprzednio, F z G, ale zakładamy, że w wyniku nie otrzymujemy funktora identycznościowego z A w A, lecz funktor naturalnie izomorficzny z funktorem identycznościowym z A do A. Składamy teraz, w odwrotnym kierunku, funktor G z funktorem F i zakładamy, że w wyniku otrzymujemy nie funktor identycznościowy z B w B, lecz funktor naturalnie izomorficzny z takim funktorem. Takie funktory F i G Kan nazwał funktorami sprzężonymi (adjoint functors)[10].

Trafił w dziesiątkę. Okazuje się, że właśnie takie funktory precyzyjnie wychwytują związki (niekiedy bardzo subtelne) między matematycznymi strukturami, zorganizowanymi jako kategorie. Wiele z tych związków było znanych matematykom wcześniej, ale wiele ujawniło się dopiero po zastosowaniu funktorów sprzężonych. Odkrycie Kana, z jednej strony, ostatecznie przekonało społeczność matematyków do teorii kategorii (którą przedtem niektórzy nazywali „abstrakcyjnym nonsensem”), a z drugiej strony, dało potężny impuls do rozwoju samej teorii. Dziś bardziej całościowe spojrzenie na matematykę byłoby nie do pomyślenia bez teorii kategorii. Wszystkie poważniejsze monografie matematyczne prezentacje nowych struktur matematycznych zawsze zaopatrują w ich kategoryjne przedstawienia.

Możemy teraz zapytać: jak to się mogło stać, że pojęcia kategorii i funktora – w gruncie rzeczy kilka prostych reguł – przeorganizowały całą współczesną matematykę? Tak mogło się stać, ponieważ pojęcia kategorii i funktora nie były po prostu dowolnie skomponowane (jak na przykład reguły gry w szachy), lecz zostały wysnute z długiej i mozolnej historii rozwiązywania problemów matematycznych. Wprawdzie Eilenberg i Mac Lane „wymyślili” te dwa pojęcia – tego nie można im odmówić – ale nie pracowali oni we wzniosłej izolacji jedynie swoich własnych pomysłów, lecz byli nosicielami historii rozwiązywania matematycznych problemów. Byli więc dobrze osadzeni w dziedzinach swoich specjalności. Ażeby stać się specjalistami, musieli w życiu rozwiązać szereg prostych zadań i bardziej skomplikowanych problemów z tych dziedzin, a rozwiązać jakiś problem, znaczy samemu niejako włączyć swoje rozumienia w ciągi wynikań (i błędnych odgałęzień, z których niekiedy bardzo trudno znaleźć drogę odwrotu), tworzących dobrze znane matematyczne struktury. Specjalności Eilenberga i Mac Lane’a były różne, ale nie na tyle, by były sobie obce – i gdy się skrzyżowały, doprowadziły do wniosków, które dotychczas skutecznie ukrywały się przed okiem badaczy.

Owszem, Eilenberg i Mac Lane zaprojektowali definicje kategorii i funktorów, ale w najistotniejszych rysach swój projekt wyczytali z logiki całej dotychczasowej sytuacji problemowej.

W matematyce w zasadzie nigdy nie jest tak, że badacz (lub badacze) wyczytuje z sytuacji problemowej wszystko to, co jest w niej do wyczytania. Przychodzą inni, którzy podejmują trud (i przyjemność!) odkrywania nowych dróg. Jednym z następnych był Daniel Kan ze swoim odkryciem funktorów sprzężonych. „Odkrycie” jest tu właściwym określeniem, gdyż funktory sprzężone już były w tym, co dokonali Eilenberg i Mac Lane, trzeba było tylko nowego, odpowiednio przenikliwego spojrzenia, by je tam wypatrzeć i ujawnić ich działanie w świecie kategorii.

Czy to znaczy, że historia matematyki jest z góry zdeterminowana? Bynajmniej. Dzieli ona z wszystkimi innymi historiami, w jakie uwikłany jest człowiek, silny rys przygodności. Nawet jeżeli matematyczne struktury bytują w platońskim świecie idei, błądzenie po nim jest przeznaczeniem matematyków.

2.2. Czytane w samolocie

Wiosną 1963 roku Eilenberg i Mac Lane lecieli samolotem z Waszyngtonu do Nowego Jorku. Gdy wyczerpali wstępne tematy, Eilenberg (Sammy, jak go nazywał Mac Lane) wręczył towarzyszowi podróży rozprawę doktorską swojego doktoranta, a sam zapadł w drzemkę. Mac Lane, po przerzuceniu kilku stron, już wiedział, że ma do czynienia z czymś naprawdę ważnym. Zatopił się w lekturze[11].

Doktorantem był F. William Lawvere. Rozprawę zredagował w pośpiechu z notatek, zawierających wcześniej uzyskane wyniki. I to pod groźbą promotora (Eilenberga), że jeżeli tego nie zrobi, to mu nie napisze listu rekomendacyjnego, jakiego Lawvere potrzebował w związku ze staraniem się o pracę.

Lawvere żywił nadzieję, że precyzyjne sformułowanie „kategorii wszystkich kategorii” pozwoli zastąpić teorię mnogości w roli tworzenia podstaw matematyki w sposób wolny od znanych teoriomnogościowych paradoksów[12]. Coś z tej idei pozostało ambitnemu doktorantowi na całe życie, ale do rozprawy doktorskiej musiał się zadowolić bardziej konkretnymi wynikami. A były one na tyle znaczące, że nie tylko przykuły uwagę Mac Lane’a podczas lotu z Waszyngtonu, lecz również wyznaczyły nowe kierunki rozwoju teorii kategorii. Nie znaczy to jednak, że w doktorskiej tezie Lawvere’a nie ma ogólnych idei. Wręcz przeciwnie, cała teza, wraz z jej konkretnymi wynikami, jest nimi przesiąknięta[13].